2. gyakorlat (szept. 20.)
A variációs elv segítségével határozzuk meg a hidrogén atom alapállapoti energiáját. Próba függvényként használjuk a \(\varphi(r) = e^{-\alpha r}\) függvényt és az \(\alpha\) függvényében minimalizáljuk az energiát: \[E = \frac{\langle \varphi\vert H\vert\varphi\rangle}{\langle \varphi\vert\varphi\rangle} \;.\]
Az előző feladathoz hasonlóan határozzuk meg a He-atom spin szingulett alapállapoti energiáját!
Mutassuk meg, hogy a He-atomra teljesül \(\left[L_z,1/|{\bf r}_1-{\bf r}_2|\right]=0\), ahol \({\bf r}_{1,2}\) az elektronok helyvektora, \(L_z=L_{z,1}+L_{z,2}\) a pályamomentumok összegének \(z\) komponense.
HF:
Tekintsük a u.n. Moshinsky atom Hamilton operátorát,amely két feles spinű részecskét ír le: \[H = \frac{p_1^2}{2m} + \frac{p_2^2}{2m} + \frac{1}{2}m\Omega^2(x_1^2 + x_2^2) +
\frac{1}{2}m\omega^2(x_1 - x_2)^2 \;.\]
Az \(X = x_1 + x_2\) és \(x = x_1 - x_2\) változók bevezetésével oldjuk meg az időfüggetlen Schrödinger egyenletet. Mi lesz az \(S=\) szingulett és \(S=1\) triplet megoldások térbeli részének a szimmetriája?
A variációs elv segítségével vezessünk le egyenletet az \(S=0\) alapállapot hullámfüggvényére és oldjuk meg! (Hartree-Fock egyenlet. Variáljuk a \(\langle \varphi(x_1)\varphi(x_2)\vert H\vert\varphi(x_1)\varphi(x_2)\rangle)\) energiát \(\varphi^*\) szerint a \(\langle \varphi\vert\varphi\rangle = 1\) mellékfeltétellel!)