Rotacio, gradiens, divergencia

1. Bizonyítsuk be a következő azonosságot: \(\mathbf{r}\dot{\mathbf{r}} = r\dot{r}\).

2. írjuk fel a következő mennyiségeket henger és gömbi koordináta rendszerekben: \[\begin{aligned} &\mathbf{L}^2& = (\mathbf{r}\times\mathbf{p})^2 \\ &\mathbf{L}& = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = m\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}} \end{aligned}\]

3. Egy vektor Descartes koordinátái a következő egyenletnek tesznek eleget: \[\begin{aligned} & x + 2y + 3z & = 0 \\ & 3x +2y + z & = t \\ & 2x - y - z & = 3 \;. \end{aligned}\] Határozzuk meg a vektor idő \((t)\) szerinti deriváltját!

4. írjuk fel a mozgás egyenletét polár koordináta rendszerben egy síkban mozgó, \(l_0\) nyugalmi hosszúságú, \(D\) direkciós állandójú rugó végére kötött tömegpontnak. A potenciális energiáját a következőképpen adhatjuk meg: \[V = \frac{D}{2}\left ( r - l_0 \right)^2 \;.\]

5. Határozzuk meg egyenletes körmozgás esetén a sebesség rotációját!

6. Határozzuk meg a divergenciáját a következő vektor tereknek: \[\begin{aligned} \mbox{henger. koord. r.} & \ & \mbox{gömbi koord. r.}\\ & \left (\begin{array}{c} - y(x^2+y^2) \\ x(x^2+y^2) \\ 1/z^2 \end{array} \right ) & \ & \left (\begin{array}{c} \dfrac{xz}{\sqrt{1-z^2}} \\ \dfrac{yz}{\sqrt{1-z^2}} \\ \sqrt{1-z^2}\end{array} \right ) \end{aligned}\]

7. Számítsuk ki a gradiensét gömbi koordináta rendszerben a következő potenciálnak: \[\Phi = \frac{\mathbf{P}\mathbf{r}}{r^3}\;,\] ahol \(\mathbf{P}\) állandó vektor!

8. Számítsuk ki a rotációját henger vagy gömbi koordináta rendszerben a következő vektortérnek: \[\mathbf{A} = \frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}\;,\] ahol \(\mathbf{m}\) egy állandó vektor! Henger koordináta rendszerben célszerű a \(z\) tengely irányát \(\mathbf{m}\)-mel párhuzamosan választani.

9. Határozzuk meg a divergenciáját gömbi koordináta rendszerben a következő áramsűrűségnek: \[\mathbf{j} = \frac{\mathbf{r}}{r^3}\sin{(kr)}\]

10. Legyen hengerkoordináta-rendszerben \((\varrho,\phi,z)\) felírva \({\mathbf{f}}({\mathbf{r}})={\mathbf{e}}_\phi/z^\alpha+{\mathbf{e}}_z/\varrho^\alpha\), Határozza meg \({\mathbf{f}}({\mathbf{r}})\) divergenciáját!

11. Határozza meg \({\mathbf{f}}({\mathbf{r}})\) rotációját!
    Vizsgálja meg, milyen \(\alpha\) értékre igaz az eredmény! \[\nabla {\mathbf{f}}=\frac{1}{\varrho}\frac{\partial (\varrho f_\varrho)}{\partial \varrho} +\frac{1}{\varrho}\frac{\partial f_\phi}{\partial \phi}+ \frac{\partial f_z}{\partial z}\] \[\nabla\times{\mathbf{f}}=\left(\frac{1}{\varrho}\frac{\partial f_z}{\partial \phi}-\frac{\partial f_\phi}{\partial z}\right){\mathbf{e}}_\varrho+ \left(\frac{\partial f_\varrho}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial \varrho}\right){\mathbf{e}}_\phi+ \left(\frac{\partial (\varrho f_\phi)}{\partial \varrho}-\frac{\partial f_\varrho}{\partial \phi}\right)\frac{1}{\varrho}{\mathbf{e}}_z\]

12. Számoljuk ki az alábbi kifejezéseket \(r>0\) esetén (\({\mathbf{m}}=(0,0,m)\) konstans vektor): \[\mathrm{(a)}\quad \mathrm{grad}\left(\frac{{\mathbf{m}}{\mathbf{r}}}{r^3} \right)=? \qquad \mathrm{(b)}\quad \mathrm{rot}\left(\frac{{\mathbf{r}}\times {\mathbf{m}}}{r^3} \right)=?\qquad\]