5. gyakorlat (okt. 4.)
A zárthelyi dolgozat példáinak megoldása:
FELADAT
Két elektron egy hidrogénszerű atomban a p pályán található: \(l_1=1\), \(l_2=1\).
A teljes \(L = l_1 + l_2\) impulzusmomentumuk milyen értékeket vehet fel?
Mekkora lesz a várható értéke az \(l_{1z}\) és \(l_{2x}\) operátoroknak az \({\vert L,M\rangle} = {\vert 1,1\rangle}\) állapotban?
Megoldás:
A teljes impulzusmomentum operátor négyzetének lehetséges értékei: \(L=l_1-l_2, \dots l_1+l_2 = 0,1,2\). Az \({\vert L,M\rangle} = {\vert 2,2\rangle} = {\vert 1,1\rangle}{\vert 1,1\rangle}\) állapotot egyértelműen fel tudjuk írni szorzat formában. Lefelé léptetés után \(\displaystyle{\vert 2,1\rangle}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\vert 1,0\rangle}{\vert 1,1\rangle} +
\frac{1}{\sqrt{2}}{\vert 1,1\rangle}{\vert 1,0\rangle}\) állapotot kapjuk. Erre merőleges lesz az \(\displaystyle{\vert 1,1\rangle}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\vert 1,0\rangle}{\vert 1,1\rangle} - \frac{1}{\sqrt{2}}{\vert 1,1\rangle}{\vert 1,0\rangle}\) állapot. Az \(l_{1z}\) operátor várható értéke ebben az állapotban: \[\begin{aligned}
&\left (\frac{1}{\sqrt{2}}{\langle 1,0\vert}{\langle 1,1\vert} - \frac{1}{\sqrt{2}}{\langle 1,1\vert}{\langle 1,0\vert} \right ) l_{1z}
\left (\frac{1}{\sqrt{2}}{\vert 1,0\rangle}{\vert 1,1\rangle} - \frac{1}{\sqrt{2}}{\vert 1,1\rangle}{\vert 1,0\rangle} \right ) = \\
&\frac{1}{2}{\langle 1,0\vert}{\langle 1,1\vert}l_{1z}{\vert 1,0\rangle}{\vert 1,1\rangle} +
\frac{1}{2}{\langle 1,1\vert}{\langle 1,0\vert}l_{1z}{\vert 1,0\rangle}{\vert 1,1\rangle} +
\frac{1}{2}{\langle 1,0\vert}{\langle 1,1\vert}l_{1z}{\vert 1,1\rangle}{\vert 1,0\rangle} + \\
&\frac{1}{2}{\langle 1,1\vert}{\langle 1,0\vert}l_{1z}{\vert 1,1\rangle}{\vert 1,0\rangle} =
0 + 0 + 0 + \frac{1}{2}\hbar\end{aligned}\] A szorzat állapotokban csak \(l_{2z}\) sajátállapotok szerepelnek ezért az \(l_{2x}\) állapot várható értéke eltünik.
Két harmonikus potenciálban mozgó, feles spinű részecske harmonikus potenciállal hat kölcsön egymással. A Hamilton operátorukat a következőképpen írhatjuk fel: \[H = \frac{p_1^2}{2m} + \frac{1}{2}m\Omega^2x_1^2 + \frac{p_2^2}{2m} + \frac{1}{2}m\Omega^2x_2^2 + \frac{1}{2}m\omega^2(x_1 - x_2)^2\]
Az \(X = x_1+x_2\) és \(x=x_1-x_2\) változók bevezetésével szeparáljuk a Hamiltun operátort két független operátor összegére és keressük meg a sajátállapotokat és a hozzá tarozó energiákat!
Mit tudunk mondani a teljes hullámfüggvény szimmetriájáról? Milyen szimmetriájú állapotok lehetnek spin szingulett és spin triplett állapotok?
Megoldás:
Vezessük be a \(\displaystyle P = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial X}\) és \(\displaystyle p = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\) impulzus operátorokat: \[\begin{aligned}
p_1 &=& \frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x_1} =
\frac{\hbar}{i}\left ( \frac{\partial X}{\partial x_1}\frac{\partial}{\partial X}+
\frac{\partial x}{\partial x_1}\frac{\partial}{\partial x} \right ) =
\frac{\hbar}{i}\left ( \frac{\partial }{\partial X} + \frac{\partial }{\partial x}\right )=
P + p \\
p_2 &=& \frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x_2} =
\frac{\hbar}{i}\left ( \frac{\partial X}{\partial x_2}\frac{\partial}{\partial X}+
\frac{\partial x}{\partial x_2}\frac{\partial}{\partial x} \right ) =
\frac{\hbar}{i}\left ( \frac{\partial }{\partial X} - \frac{\partial }{\partial x}\right )=
P - p\end{aligned}\] A kinetikus energia operátora az új impulzusokkal: \[\frac{p_1^2}{2m} +\frac{p_2^2}{2m} = \frac{P^2}{m} + \frac{p^2}{m} \;.\] A potenciális energiát is kifejeyhetjük az új koordinátákkal \(x_1 = \frac{1}{2}(X+x)\) és \(x_2 = \frac{1}{2}(X-x)\). \[\frac{1}{2}m\Omega^2(x_1^2+x_2^2) = \frac{1}{4} m\Omega^2(X^2 + x^2) \;.\] A teljes Hamilton operátor az új változókban: \[\begin{aligned}
&H = \frac{P^2}{m} + \frac{1}{4} m\Omega^2X^2 + \frac{p^2}{m} +
(\frac{1}{4} m\Omega^2 + \frac{1}{2}m\omega^2)x^2 = \\
&2\left (\frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2} m\left(\frac{\Omega}{2}\right)^2X^2 \right ) +
2\left (\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\left (\left(\frac{\Omega}{2}\right)^2 + \frac{\omega^2}{2}\right )x^2 \right )\end{aligned}\] Az \(X\) és \(x\) változókban a Hamilton operátor szétesik két független harmonikus oszcillátor Hamilton operátorára, amelyek energiája és hullámfüggvényei leolvashatóak: \(\omega_1 = \frac{\Omega}{2} \), \(\omega_2 = \sqrt{\left(\frac{\Omega}{2}\right)^2 + \frac{\omega^2}{2}}\). \(\displaystyle E_{n,m} = 2\hbar\omega_1\left( n+\frac{1}{2}\right )+
2\hbar\omega_2\left( m+\frac{1}{2}\right )\) A hullámfüggvények: \[\begin{aligned}
\Phi_{n,m}(x_1,x_2) = \varphi_n(\frac{x_1+x_2}{x_{10}}) \varphi_m(\frac{x_1-x_2}{x_{20}}) \;,
\end{aligned}\] ahol \(\varphi_n\) a harmonikus oszcillátor hullámfüggvénye, \(\displaystyle x_{10} = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_1}}\), \(\displaystyle x_{20} = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_2}}\). \( \Phi_{n,m}(x_1,x_2)\) első tagja mindig szimmetrikus a változók felcserélésével szemben, míg a második tag páros \(m\) esetén szimmetrikus, páratlan \(m\) esetén antiszimmetrikus lesz. Ennek megfelelően az antiszimmetrikus \(S=0\) szimgulett állapot a páros \(m\) állapotokkal kombinálódik, amíg az \(S=1\) triplett állapot a páratlan \(m\) állapotokkal.
Becsüljük meg a Ritz féle variációs módszerrel az anharmonikus oszcillátor alapállapoti energiáját! Az anharmonikus oszcillátor Hamilton operátora a következő: \[H = \frac{p^2}{2m} + \alpha x^4\] Próba függvénynek válasszuk egy \(\omega\) sajátfrekvenciájú harmonikus oszcillátor alapállapoti hullámfüggvényét és keressük az optimális \(\omega\)-t! Az energia várhatóértéket számíthatjuk a léptető operátorok segítségével is.
Segítség \[\begin{aligned}
a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{x}{x_0}+i\frac{p}{p_0}\right ) &,&
a^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{x}{x_0}-i\frac{p}{p_0}\right ) &,&
x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} &,& p_0 = \sqrt{\hbar m\omega} \\
a{\vert n\rangle} = \sqrt{n}{\vert n-1\rangle} &,& a^+{\vert n\rangle} = \sqrt{n+1}{\vert n+1\rangle} &,&
\varphi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{x_0\sqrt{\pi}}} e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}}
\end{aligned}\]
\[\int_{-\infty}^\infty x^{2n}e^{-ax^2}dx = \frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\frac{1}{a^n} \sqrt{\frac{\pi}{a}}\]
Megoldás:
Határozzuk meg a próbafüggvény felhasználásával az energi várhatóértéket: \[E(\omega) = {\langle \varphi\vert} H {\vert \varphi\rangle}\]
\[\begin{aligned} \frac{p^2}{2m}{\vert \varphi\rangle} =-\frac{1}{\sqrt{x_0\sqrt{\pi}}}\hbar^2 \frac{d^2}{dx^2} e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} = -\frac{1}{\sqrt{x_0\sqrt{\pi}}}\hbar^2 \frac{1}{x_0^2} \left ( 1 - \frac{x^2}{x_0^2}\right ) e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \end{aligned}\]
A kinetikus energia vérható értéke: \[{\langle \varphi\vert} \frac{p^2}{2m}{\vert \varphi\rangle} = \frac{1}{x_0\sqrt{\pi}}\hbar^2\frac{1}{x_0^2} \int_{-infty}^\infty\left ( 1 - \frac{x^2}{x_0^2}\right ) e^{-\frac{x^2}{x_0^2}}dx = \frac{1}{4}\frac{\hbar^2}{mx_0^2} = \frac{1}{4}\hbar\omega\] A próbafüggvényünk egy \(\omega\) frekvenciájú harmonikus oszcillátor alapállapoti hullámfüggvénye, ezért a kinetikus energia várhatóértékének a harmonikus oszcillátor alapállapot energiájának a felének kell lennie! \[{\langle \varphi\vert} \alpha x^4{\vert \varphi\rangle} = \frac{1}{x_0\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty \alpha x^4 e^{-\frac{x^2}{x_0^2}}dx = \frac{3}{4} \alpha x_0^4 = \frac{3}{4}\alpha\frac{\hbar^2}{m^2\omega^2}\;.\] Az energia várható éertéke tehát: \[E(\omega) = {\langle \varphi\vert}H{\vert \varphi\rangle} = \frac{1}{4}\hbar\omega + \frac{3}{4}\frac{\alpha\hbar^2}{m^2\omega^2}\] Az optimális függvény esetén: \[\frac{d E}{d \omega} = \frac{1}{4}\hbar - \frac{6}{4}\frac{\alpha\hbar^2}{m^2\omega^3} = 0 \;.\] Az optimális \(\displaystyle\omega = \sqrt[3]{\frac{6\alpha\hbar}{m^2}}\), \(E = \frac{1}{4}\hbar\sqrt[3]{\frac{6\alpha\hbar}{m^2}} + \frac{3}{4}\frac{\alpha\hbar^2}{m^2}\left (\frac{m^2}{6\alpha\hbar}\right )^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}\hbar\sqrt[3]{\frac{6\alpha\hbar}{m^2}} + \alpha^{\frac{1}{3}} \left (\frac{\hbar^2}{6m}\right )^{\frac{2}{3}}\).
Első Born kőzelítésben határozzuk meg a Yukawa potenciál differenciális hatáskeresztnetszetét! \[\begin{aligned} V(r) = \frac{ke^2}{r}e^{-\frac{r}{r_0}} &,& f(\vartheta) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int V(\mathbf{r})e^{i(\mathbf{k}^\prime -\mathbf{k})\mathbf{r}}d^3r\end{aligned}\] Segítség \[\int_0^\infty x^ne^{-ax}dx = \frac{n!}{a^{n+1}}\]
Megoldás:
Az integrál meghatározásához térjünk át gömbi koordináta rendszerbe. Válasszuk a \(z\)-tengelyt párhuzamosan a \(\mathbf{q}=\mathbf{k}^\prime -\mathbf{k}\) vektorral, ekkor \[\begin{aligned}
& \int V(r)e^{i\mathbf{q}\mathbf{r}}d^3r =
\int_0^\infty r^2dr\int_0^{2\pi}d\varphi \int_0^{\pi} \sin(\vartheta)d\vartheta
V(r)e^{iqr\cos(\vartheta)} \\
&= \frac{4\pi}{q}\int_0^\infty r \sin(iqr) V(r) dr
\end{aligned}\] Helyettessük be a Ykawa potenciált: \[\begin{aligned}
f(\mathbf{q}) &= -\frac{2m}{\hbar^2} ke^2\int_0^\infty e^{-\frac{r}{r_0}}\sin(iqr)dr =
\frac{2}{a_0q} \frac{1}{2i} \int_0^\infty
\left (e^{-(\frac{1}{r_0}-iq)r} - e^{-(\frac{1}{r_0}+iq)r} \right ) dr \\ &=
\frac{1}{ia_0q} \frac{1}{\frac{1}{r_0}-iq} - \frac{1}{\frac{1}{r_0}+iq)r} =
\frac{2}{a_0} \frac{r_0^2}{1 + q^2r_0^2} \;,
\end{aligned}\] ahol \(\displaystyle a_0 = \frac{\hbar^2}{mke^2}\). A differenciális hatáskeresztmetszet a szórási amplitúdó négyzete lesz.
A kölcsönhatási kép és az időfüggő perturbáció számítás kapcsolata
Egy hidrogén atomot \(z\) irányú homogén mágneses térbe helyezünk: \[H = H_H - \mu_B\sigma_zB_z =
\left (\begin{array}{cc}
H_H - \mu_B B_z & 0 \\ 0 & H_H + \mu_B B_z
\end{array} \right )\] A rendszer alapállapotban van, amikor egy \[V(t) = \frac{\mu_B}{2\hbar}S_xB_x\sin(\omega t)\] időfüggő perturbációt kapcsolunk be. Milyen valószínűseggel lesz \(t\) idő múlva a rendszer gerjesztett állapotban?
HF: Gyakorlati példa befejezése.