2. Gyakorlat

1. Bernoulli differenciálegyenlet
2. Másod rendű állandó együtthatós k.d.e.
   $$\ddot{x} + \alpha \dot{x} = \omega^2 x = 0$$ Megfelelően választott $\alpha$ és $\omega$ paraméterekkel. Keressük a megoldást $e^{\alpha x}$ alakban!
3. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert az $x_1(0)=1$, $x_2(0)=0$ kezdőfeltételekkel: $$ \begin{array}{lcl} \dot{x}_1 &=& 2x_1 + 2x_2 \\ \dot{x}_2 &=& 2x_1 - x_2 \end{array} $$
4. Határozzuk meg az ábrán látható rendszer jellemző frekvenciáit, ha egyensúlyi helyzetben a rugók nyújtatlanok. A testek csak vízszintesen, egy egyenes mentén mozoghatnak súrlódás nélkül! A mozgásegyenletek: $$ \begin{array}{lcl} m\ddot{x}_1 &=& -Kx_1 + k(x_2 - x_1) \\ m\ddot{x}_2 &=& -Kx_2 + k(x_1 - x_2) \end{array} $$ Mátrix alakban: $$ \left ( \begin{array}{c} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc} -(\frac{k}{m}+\frac{K}{m}) & \frac{K}{m} \\ \frac{K}{m} & -(\frac{k}{m}+\frac{K}{m} \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right ) $$ Mutassuk meg, hogy $\displaystyle \mathbf{x}(t)=\mathbf{u}e^{i\alpha t}$ függvény, megfelelően választott $\mathbf{u}$ vektorral és $\alpha$ kitevővel kielégíti a differenciálegyenlet rendszert!