Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 4. Tört statisztikák, bármionok

4. TÖRT STATISZTIKÁK, BÁRMIONOK

Kvantummechanikai és statisztikus mechanikai tanulmányaink során az azonos részecskék megkülönböztethetetlenségének elvét kizárólag kvantumrendszerek sajátosságaként vezettük be. Klasszikusan a részecskéket megkülönböztethetőknek tekintettük. A 70-es évek során azonban számos szerző [1] [2] hangsúlyozta, hogy az azonos részecskék megkülönböztethetetlenségének elvét már a klasszikus mechanika keretein belül is használnunk kellene. A fent említett szerzők a Gibbsparadoxon [1–3] elemzése kapcsán kimutatták, hogy a fenti elv klasszikus mechanikában történő alkalmazása nélkülözhetetlen feltétele a sokrészecske rendszerek konzisztens leírásának. Ezek a munkák azonban észrevétlenek maradtak a 80-as évek derekáig, mikoris a fizikusok figyelme a ketdimenziós rendszerek statisztikus mechanikájára irányult. A fent említett és más szerzők munkáit újrafelfedezve kiderült, hogy a kétdimenziós kvantummechanikai sokrészecske rendszerek ”egzotikus” kvantumstatisztikákkal írhatók le. Ezen rendszereket alkotó részecskék se nem fermionok (Fermi- Dirac statisztika), se nem bozonok (Bose-Einstein statisztika). Frank Wilczek [4] ezeket a különc statisztikájú részecskéket bármionok-nak (angolul anyon) nevezte el.

Ebben a fejezetben újratárgyaljuk az azonos részecskék kvantummechanikai leírásával kapcsolatos ismereteinket. Az azonos részecskék megkülönböztethetetlenségének elvét már a megfelelő klasszikus rendszerre alkalmazzuk. Megvizsgáljuk ezen klasszikus rendszer konfigurációs terének nemtriviális topológiai tulajdonságait. Elvégezzük a klasszikus rendszer kvantálását. Ehhez meg kell találnunk a rendszer lehetséges állapotait jellemző ψ hullámfüggvényt. Kvantummechanikai tanulmányaink alapján azt várnánk, hogy ψ a teljes Q konfigurációs téren értelmezett komplex értékű reguláris függvény lesz, azaz ψ : Q → C, ψ ∈ H ahol H a reguláris függvények alkotta Hilbert tér. Ezt az elvárásunkat a szokásos klasszikus mechanikai rendszerek (harmonikus oszcillátor, H-atom stb.) kvantálása során szerzett tapasztalatunk is sugallja. Csakhogy mindezekben a példákban a konfigurációs tér R^{n} (n = 1, 3) volt, ami topológiai szempontból triviális. Q nemtriviális tulajdonságai esetén azonban a hullámfüggény naiv fogalmát általánosítanunk kell. Vizsgálataink során megmutatjuk, hogy az a tény, hogy kétdimenziós rendszerek esetén részecskéink egzotikus statisztikáknak (bármionok) is engedelmeskedhetnek, a Q-n létező nemtriviális kvantálásoknak köszönhető.

4.1. A KONFIGURÁCIÓS TÉR

Tekintsünk N darab R^{d}-ben mozgó szabad klasszikus részecskét! (d a tér dimenziója.) A konfigurációs tér ekkor

M ≡ R^{d} × R^{d} × … R^{d} = R^{dN}.  (4.1)

Legyen x a konfigurációs tér egy pontja, azaz x ∈ M, x ≡ (x_{1}, …, x_{N}). Itt x_{i} i = 1, …, N d komponensű vektorok. A bennünket érdeklő konfigurációs tér azonban nem ez, hanem N darab R^{d}-ben mozgó azonos részecske konfigurációs tere. Azonos részek esetén a fenti részecskeindexek bevezetése zavaró, hiszen azonos részecskék esetén ezek nem megfigyelhető mennyiségek. Más szavakkal: a részecskeindexeket bárhogyan is permutáljuk, ugyanazt a konfigurációt kapjuk. Legyen p az N elem egy permutációja. Természetesen p ∈ S_{N} ahol S_{N} az N! elemű permutációs csoport. Legyen továbbá p(x) ≡ (x_{p(1)}, …, x_{p(N)}), ahol x ∈ M. S_{N} ily módon mint M transzformációcsoportja is hat. Matematikai szempontból azonos részek bevezetése ekvivalens azzal, hogy M azon x és x′ pontjait azonosítjuk melyekre p(x) ≡ x′.

A fenti azonosítás egy ekvivalenciareláció, képezhetjük tehát a megfelelő ekvivalenciaosztályokat melyeket az M/S_{N} szimbólummal fogunk jelölni. A konfigurációs tér Q tehát

Q ≡ M/S_{N} = R^{dN}/S_{N}.  (4.2)

Q tehát a valódi konfigurációs tér. Ezt a topológiai objektumot kell minden elméleti fejtegetésünk kiindulópontjául választani.

A konfigurációs tér szerkezetének illusztrálása céljából célszerű a tömegközéppont mozgását leválasztani. Legyen X ≡ \frac{1}{N} ∑_{i=1}^{N} x_{i} a tömegközéppont koordinátája. Ez a mennyiség a részecskeindexek permutálására nézve változatlan marad s így

Q = R^{d} × R^{d(N−1)}/S_{N} ≡ R^{d} × Q^{rel},  (4.3)

ahol Q^{rel} a relatív konfigurációs tér.

Tekintsük példaként két azonos részecske konfigurációs terét. Ekkor N = 2 és így Q^{rel} = R^{d}/S_{2}. A tömegközéppont koordinátája X = \frac{1}{2}(x_{1} + x_{2}), míg a relatív koordináta x = x_{1} − x_{2}.

1. ábra

A permutációs csoport (S_{2}) hatása R^{d}-n egyszerű: azonosítani kell x-et −x-szel. Természetesen az x = 0 pont speciális pont, itt a két részecske ”egybeesik”.

N = 2, d = 1, két részecske egy egyenesen. Könnyen láthatjuk (lásd 1. ábra), hogy Q^{rel} nem más mint a valós félegyenes.

N = 2, d = 2, két részecske egy síkban. Az átellenes pontok azonosításával beláthatjuk (2. ábra), hogy Q^{rel} = R^{2}/S_{2} egy forgáskúp 30 fokos félnyílásszöggel. Látható, hogy a kúp R^{2}/S_{2} globális tulajdonságai lényegesen különböznek R^{2} tulajdonságaitól.

2. ábra

Az előbbi megkülönböztethetetlen az utóbbi megkülönböztethető két részecske konfigurációs terét reprezentálja. Vegyük észre, hogy az x = 0 pont szinguláris pont a kúpon. A későbbiekben ez a tulajdonság fontos szerepet fog játszani.

N = 2, d = 3, két részecske egy síkban. Könnyen belátható, hogy

Q^{rel} = R^{3}/S_{2} = {x ≡ (x, y, z)|z ≥ 0,
(x, y, 0) ∼ (−x, −y, 0)} = R_{0}^{+} × P_{2},  (4.4)

ahol a ∼ jelölés arra utal, hogy a megfelelő pontokat azonosítanunk kell. Geometriai szempontból (lásd 3. ábra) R^{3}/S_{2} a következő módon kapható.

Mivel az átellenes pontokat ismét azonosítanunk kell, ezért elég csak a felső térrészre szorítkozni, azaz z ≥ 0. A felső térrészt felépíthetjük koncentrikus ”félgömbhéjakból”. Az egyes félgömbhéjakra a R_{0}^{+} × P_{2} kifejezésben szereplő ”radiális” R_{0}^{+} jelenléte utal. A félgömbhéj alján levő körív átellenes pontjait az (x, y, 0) ∼ (−x, −y, 0) szabály alapján azonosítani kell.

Így kapjuk a P_{2}-vel jelölt 2 dimenziós valós projektív teret. A későbbiek során látni fogjuk, hogy a két- és háromdimenziós konfigurációs terekre adott fenti két példa topológiai szempontból lényegesen különbözik. Ez a különbség a megfelelő klasszikus dinamikák kvantálásában fellelhető eltérésekben is tükröződni fog.

3. ábra

4.2. GLOBÁLIS TULAJDONSÁGOK FELTÉRKÉPEZÉSE PÁRHUZAMOS ELTOLÁSSAL.

Matematikai tanulmányainkból ismeretes, hogy görbült tereken definiálnunk kell azt, hogy mit értünk vektorok ”párhuzamos” eltolásán. Vegyük példaképp a kúpot, mely épp a relatív konfigurációs tér: R^{2}/S_{2}. A kúp egy görbült felület, a szinguláris pontot megközelítő ”intelligens” katicabogár számára ez egyre nyilvánvalóbb. Nem kell azonban a szinguláris pontot megközelítenünk ahhoz, hogy rájöjjünk: görbült felületen vagyunk. Ezt az alábbi módon láthatjuk be. Tudjuk már, hogy a kúp nem más mint R^{2}/S_{2}. Maradhatunk tehát a síkon R^{2}, ahol a vektorok párhuzamos eltolása a szokásos, feltéve ha észben tartjuk, hogy az ”átellenes pontokat” azonosnak kell tekintenünk. Ezért az x(t) és az y(t) = −x(t) görbe ugyanaz a görbe. Következésképp a sebességvektor, v = ẋ, az x pontban ugyanaz lesz mint a w = ẏ = −v a −x pontban. Mindaddig, amíg nem azonosítunk pontokat, a párhuzamos eltolás szabálya egy görbe mentén a szokásos, azonosítás során azonban v előjelet vált. Tehát a kúpon az x-ből −x be tartó út (ez egy zárt görbe) során a párhuzamos eltolás megfordítja a v irányát. Természetesen mindezek a megfontolások R^{d}/S_{2}-re is érvényesek.

Válasszunk most a kúpon egy tetszőleges v(x) vektormezőt. Mivel számításainkat mindig egy bizonyos koordinátarendszerben végezzük, szükségünk lesz a vektormező komponenseire minden x pontban. Bázist kell tehát választanunk. Ekkor

v(x) = ∑_{j=1}^{d} v_{j}(x)e_{j}(x).  (4.5)

Választhatunk például párhuzamosan eltolt bázist, ami az R^{d}-n nevelkedett fizikus számára egy természetes választás. Erről azonban tudjuk, hogy nem egyértékű bázis, hiszen egy zárt görbén körbemenve az e_{j} bázisvektor a görbétől függően vagy előjelet vált, vagy nem. Ez a bázis tehét kétértékű. Mivel v(x) egyértékű, ezért a v_{j}(x) komponensek sem egyértékűek. Választhatunk persze egyértékű bázist is, és ekkor a komponensek is egyértékűek lesznek, ami persze fizikai szempontból kevésbé indokolt. Ennek az alternatívának fontos szerepe lesz majd a későbbiek során, amikor nem vektormezőket, hanem hullámfüggvé nyeket fogunk a kúpon (vagy általában Q^{rel}-en) tekinteni. Ennek a fejezetnek a lezárásaként megjegyezzük, hogy N darab részecske esetén belátható, hogy a párhuzamosan eltolt bázis N! értékű bázis lesz R^{dN}/S_{N}-en.

4.3. A KONFIGURÁCIÓS TÉR FUNDAMENTÁLIS CSOPORTJA.

Kvantummechanikai tanulmányainkból tudjuk, hogy az azonosság elve olyan hullámfüggvények bevezetését teszi indokolttá, melyek vagy szimmetrikusak (bozonok), vagy antiszimmetrikusak (fermionok) a részecskekoordináták felcserélésével szemben. Mivel a részecskeindexek azonos részek esetén nem megfigyelhető mennyiségek, ezért a fenti (az indexek permutálásán alapuló) leírás redundáns. Ha azonban a valódi konfigurációs teret tekintjük kiindulópontnak, akkor a részecskeindexek cserélgetése helyett a konfigurációs téren tekintett zárt görbék tulajdonságainak vizsgálatát kell elvégeznünk.

Valóban, a kúpon (R^{2}/S_{2}) tekintett zárt görbének R^{2}-n egy olyan nyílt görbe is megfelelhet, mely az x és a −x pontokat köti össze. Mivel x épp a két részecske, relatív koordinátája, ezért x = x_{1} − x_{2} miatt ez a nyílt görbe a két részecske folytonosan végrehajtott cseréjének felel meg. Levonhatjuk tehát a következtetést a konfigurációs téren tekintett zárt görbék vizsgálata alapvető fontosságú szerepet játszik a részecske statisztikák értelmezésében.

A konfigurácios tér zárt görbéi valójában a kör (S^{1}) f : S^{1} → Q leképezései. Másszóval

f : [0, 1] → Q; f(0) = f(1).  (4.6)

Két zárt görbét homotópnak hívunk ha az egyiket folytonosan át tudjuk deformálni a másikba. Először egy rögzített alapponton átmenő görbét vizsgálunk. Vegyük észre, hogy ha a zárt görbénk parametrizálását folytonosan megváltoztatjuk, akkor már egy új görbét kapunk, mely természetesen homotóp az eredetivel. A homotópia a zárt görbék halmazán egy ekvivalenciarelációt definiál. Ez a reláció páronként diszjunkt ekvialencia osztályokra bontja a görbék halmazát. Ezeket az osztályokat rögzített q ∈ Q alapponton átmenő zárt görbék homotópia osztályai-nak nevezzük.

Két zárt görbe f és g szorzatát az alábbi módon definiáljuk

(f · g)(t) = \{ \begin{matrix}f(2t), & for 0 ≤ t ≤ \frac{1}{2}, \\ g(2t − 1), & for \frac{1}{2} ≤ t ≤ 1 \end{matrix} ,  (4.7)

azaz először f-en, majd pedig g-n megyünk végig. Görbénk inverzét az f^{−1}(t) = f(1 − t) egyenlőséggel definiáljuk, míg az egyetlen pontból álló triviális görbét az e(t) ≡ q ∀t módon értelmezzük. Azt gondolhatnánk, hogy a fent definiált szorzással egy csoport-struktúrát definiáltunk a zárt görbék halmazán. Ez azonban nem igaz, hiszen például f · f^{−1} ≠ f^{−1} · f, tekintettel arra, hogy a bal és jobb oldal parametrizálása különböző. Hasonló okok miatt nem teljesül a szorzás asszociatívitása sem. Könnyen beláthatjuk azonban, hogy a homotópia osztályok halmazán az [f] · [g] ≡ [f · g] módon értelmezett osztályszorzás már egy csoportstruktúrát definiál. Itt [f] az f homotópiaosztályát jelöli. Az így definiált csoportot q-beli fundamentális csoportnak nevezzük, és a π_{1}(Q, q) szimbólummal jelöljük.

Ha Q ívszerűen összefüggő, akkor bármely két q_{1} és q_{2} pontra létezik egy őket összekötő c : [0, 1] → Q, c(0) = q_{1}, c(1) = q_{2} görbe, míg c^{−1} ugyanígy összeköti őket fordított sorrendben. Ha f egy zárt görbe q_{2}-n át, akkor c·f ·c^{−1} egy zárt görbe q_{1}-n át. A fenti c görbe felhasználásával megmutatható, hogy ∀q_{1}, q_{2}-re π_{1}(Q, q_{1}) izomorf π_{1}(Q, q_{2})-vel. Létezik tehát egyetlen olyan fundamentális csoport, melynek a ∀q ∈ Qbeli fundamentális csoportok izomorf kópiái. Ezt a csoportot Q első homotópia csoportjának, vagy fundamentális csoportjának nevezzük, és a π_{1}(Q) szimbólummal jelöljük. Azt a topológikus teret, melyre π_{1}(Q) = 0 (minden zárt görbe Q-n egy pontba húzható össze), egyszeresen összefüggőnek nevezzük. (A 0 szimbólum itt most arra utal, hogy a csoport csak az identitás elemből áll.)

Mindezek után minden készen áll arra, hogy a Q = R^{dN}/S_{N} (vagy a Q^{rel} = R^{d(N−1)}/S_{N}) konfigurációs tér fundamentális csoportját megvizsgáljuk. d = N = 2 esetén (kúp) a 4. ábrán látható C_{1} görbe ugyan átdeformálható a C_{2} görbébe, de ennek a során a szinguláris ponton át kell mennünk. Mivel a C_{1} görbe mentén történő parallel transzport során a v vektor nem vált előjelet, míg a C_{2} mentén igen, ezért a szinguláris pontban a párhuzamos eltolás nem egyértelmű. A természetes megoldás az, hogy ezt a szinguláris pontot egyszerűen kizárjuk a konfigurációs térből.

4. ábra

Ezáltal Q többszörösen összefüggővé vált, a kúp körül különböző csavarodási számú zárt görbék ugyanis már nem deformálhatók folytonosan egymásba.

Hasonló érvelés mutatja, hogy R^{dN}/S_{N} a szinguláris pontok kizárása után többszörösen összefüggő lesz. Tekintsük ugyanis R^{dN}- et. Szinguláris pontok akkor keletkeznek, ha két részecske koordinátái megegyeznek. Jelöljük ezen pontok halmazát D-vel! Ezeket a pontokat célszerű már az azonosítás előtt kivágnunk R^{dN}-ből. Az így kapott tér R^{dN} − D. Ha S_{N} segítségével elvégezzük az azonosításokat Q ≡ (R^{dN} − D)/S_{N}-et kapjuk, mely épp a konfigurációs tér a szinguláris pontok kizárása után. Meg kell tehát mutatnunk, hogy π_{1}(Q) ≠ 0, illetve meg szeretnénk tudni azt is, hogy mi ez a csoport. Látni fogjuk, hogy π_{1}(Q), lényegesen más ha d = 2, illetve ha d > 2. Ez az a tulajdonság mely lehetővé teszi azt, hogy két dimenzióban egzotikus statisztikák is létezhessenek. Visszatérve R^{dN} − D-re, könnyen beláthatjuk, hogy az d > 2-re egyszeresen összefüggő, míg d = 2-re nem az! Ehhez csak azt kell meggondolnunk, hogy R^{dN} − D létrehozásakor csak pontokat hagytunk ki R^{dN}-ből. Kétdimenzióban ezen pontok körüli zárt görbék nemösszehózhatók, ennél nagyobb dimenziókban viszont már összehúzhatók egy pontba folytonos deformációval. Tekintsük először a d > 2 esetet. Minden Q-beli zárt görbét R^{dN} − D-beli görbékből kaphatunk meg. Ezek lehetnek nyíltak és zártak. (Gondoljunk R^{2} − Dre és a ”csúcsától megfosztott” kúpra (R^{2} − D)/S_{2}-re. Itt egy adott x ponton átmenő zárt görbe és az ebből −x be tartó nyílt görbe a kúpon zárt görbéknek felel meg.) Nézzük először azon Q-beli zárt görbéket, melyek R^{dN} − D-beli zárt görbékből kaphatók meg. Mivel d > 2 esetén ezek egy pontba folytonos deformációval összehúzhatók, ezért a megfelelő Q-beli zárt görbék úgyszintén. Ezért Q-n minden nemtriviális homotópiaosztályba tartozó zárt görbét már csak R^{dN} − Dbeli nyílt görbékből kaphatunk meg. Vegyük észre továbbá, hogy S_{N} R^{dN} − D-en effektíven hat (ez azt jelenti, hogy az egység elemen kívül nincsen olyan S_{N}-beli elem, mely R^{dN} − D minden pontját békén hagyja). Ebből az következik, hogy R^{dN} − D azon pontjai, melyek Q ugyanazon pontjainak felelnek meg, egy-egy értelmű megfeleltetésben vannak S_{N} elemeivel. Ez azt jelenti, hogy azon különböző végpontú nyílt görbék, melyek ugyanazon kezdőpontból indulnak ki, Q-ban különböző homotópiaosztályokba tartozó zárt görbéknek felelnek meg. Ezeket az osztályokat továbbá egy-egy értelműen megfeleltethetjük S_{N} elemeinek. Azt kaptuk tehát, hogy

π_{1}(Q) ≡ π_{1}((R^{dN} − D)/S_{N}) = S_{N}, ha d > 2,  (4.8)

tehát π_{1}(Q) egy véges (N! elemű) diszkrét csoport. Például a 3. ábrán látható C és C′ görbék különböző homotópiaosztályokba tartoznak. Több osztály nincs is, hiszen C^{2} homotópiaosztálya triviális, ez a görbe ugyanis folytonosan egy pontba összehúzható. (Az egy pontba történő folytonos deformáció egy közbülső állomását a C^{2}-vel homotóp C_{3} görbe szemlélteti.) Azt kaptuk tehát, hogy π_{1}(R^{3}/S_{2}) = Z_{2} ≡ S_{2}, ahogy ennek lennie is kell. (Z_{2} a másodrendű ciklikus csoport.)

Mi a helyzet kétdimenzióban? Ekkor R^{dN} − D nem egyszeresen összefüggő és π_{1}(Q) egy végtelen elemű diszkrét csoport, melyet az irodalomban fonatcsoportnak nevezünk. Ezt a csoportot az alábbi módon jellemezhetjük. N darab részecske esetén tekintsünk N görbét a háromdimenziós térben (két térdimenzió egy pedig a görbék parametrizálásával kapcsolatos, gondolhatunk például az időre melynek során a részecskék cseréje megtörténik). Elképzelhetünk például egy olyan N rugóból álló expandert, melynek rugói nem feltétlenül párhuzamosak, hanem ”összekuszáltak” is lehetnek (5. ábra). Ha az időt szimbolizáló paraméter az ábra aljától a felső része ”irányába” telik, akkor a végállapot a részecskék egy lehetséges permutációjának felel meg. Egy ilyen ”expander”-t a továbbiakban fonatnak fogunk nevezni.

A fonatokat azonosaknak tekintjük, ha őket egymásba folytonos deformációval átvihetjük. (Az expander rugóit addig rendezgetjük, amíg a másik expanderrel tökéletesen azonos elrendezést nem kapunk.) Két fonatot össze is szorozhatunk, az alábbi módon.

5. ábra

Az első fonat végpontját a másik kezdőpontjához illesztve a két fonatot ”összevarrjuk” (6. ábra).

(A két expanderből egyet csinálunk olymódon, hogy a megfelelő rugókat összecsatlakoztatjuk.) A csoportstruktúra definiálásához szükséges egységelem az a fonat, mely a közönséges expanderre emlékeztet, párhuzamosan álló rugókkal (7. ábra).

6. ábra

Az inverz definíciója is kézenfekvő, ez ugyanis az a fonat melyet az eredeti

fonattal történő összevarrás után folytonosan az egységelembe deformálhatunk. Nyilván a fentiekben értelmezett szorzás asszociatív is (teljesen mindegy, milyen sorrendben kombinálunk össze három expandert),

7. ábra

tehát tényleg egy csoport-struktúrát kaptunk. A fentiekben bevezetett fonatcsoport egy hasznos és rövid jellemzését kaphatjuk a σ_{i}, i = 1, 2 … N − 1 szomszédcserék fogalmának bevezetésével.

σ_{i} az expander i-edik rugójának végpontját megcseréli az i + 1-dik végpontjával olymódon, hogy az iedik rugó az i + 1-dik fölött marad (8. ábra).

8. ábra

σ_{i}^{−1} ugyanezt a cserét végzi el, de úgy, hogy az i-edik rugó most az i + 1-dik alatt marad (9. ábra). Minden fonat előállítható szomszédcserék egymást követő sorozataként.

9. ábra

Tekintsük a σ_{i}σ_{i+1}σ_{i} és a σ_{i+1}σ_{i}σ_{i+1} fonatokat

(10. ábra). Könnyen belátható, hogy ez a két fonat egymásba deformálható, tehát σ_{i}σ_{i+1}σ_{i} = σ_{i+1}σ_{i}σ_{i+1}. Megmutatható [5], hogy a fonatcsoportot az e, σ_{1}, σ_{2}, … σ_{N−1} generátorok megadásával (e az egységelem), és az azok közötti

10. ábra

σ_{i}σ_{i+1}σ_{i} = σ_{i+1}σ_{i}σ_{i+1},  (4.9a)
σ_{i}σ_{j} = σ_{j}σ_{i}, |i − j| ≥ 2  (4.9b)

relációkkal kimerítően jellemezhetjük. A továbbiakban az N ”rugóból” álló fonatcsoportot B_{N}-nel fogjuk jelölni.

Hátra van még a fonatcsoport (B_{N}) és a permutációcsoport (S_{N}) közötti különbség tisztázása. Könnyen belátható ugyanis, hogy ha most e, σ_{1}, σ_{2}, … σ_{N−1} N egymást követő elem közönséges szomszédcseréit jelenti, akkor a (4.9a,b) relációk ismét teljesülnek. Mivel minden permutáció felírható egymást követő szomszédcserék szorzataként, azt várnánk, hogy a (4.9a,b) relációk S_{N}-et is jel jellemzik. Természetesen nem ez a helyzet, ugyanis a permutációkra tudjuk, hogy két egymást követő σ_{i} szomszédcsere az egységelemet adja, azaz

σ_{i}^{2} = e.  (4.10)

Ez a reláció fonatokra természetesen nem teljesül amint ezt a 11. ábra is mutatja. (Az egymásba gubancolódott rugókat nem tudjuk a rugók elszakítása nélkül kibogózni!)

Összefoglalva: B_{N}-t a (4.9a,b), S_{N}-t a (4.9a,b) és a (4.10) relációk jellemzik. Ez az ”apró” eltérés drámai különbségekre vezet. S_{N} egy véges (N!) míg B_{N} egy végtelen elemű diszkrét csoport.

11. ábra

Tisztáztuk már, hogy a részecskeindexek permutálásán alapuló szemlélet helyett célszerű a Q konfigurációs tér homotópiacsoportjának a vizsgálatán alapuló szemléletet elsajátítanunk. Ez a szemlélet arra tanított meg bennünket, hogy kétdimenzióban π_{1}(Q) szerkezete gyökeresen más. Nevezetesen

π_{1}(Q) = \{ \begin{matrix}B_{N}, & ha d = 2, \\ S_{N}, & ha d > 2. \end{matrix}  (4.11)

Láttuk azt is, hogy a B_{N} és S_{N} közötti különbség a (4.10) relációban rejlik. Ha a részecskék cseréjén alapuló képben gondolkodunk akkor σ_{i} az i-dik és az i + 1-dik részecske az óramutató járásával ellentétes, σ_{i}^{−1} pedig az óramutató járásával azonos körüljárási irányú cseréjének, felel meg. A megfelelő két zárt görbét a 12. ábrán láthatjuk. Ha D > 2, akkor nyilván

σ_{i}^{−1} ∼ σ_{i} (σ_{i}^{2} ∼ e), hiszen a két görbét egymásba tudjuk deformálni azáltal, hogy az egyiket a lap síkjából 180 fokkal kifordítjuk, és ezzel a körüljárási irányt megváltoztatjuk. Ha D = 2 akkor az ”extra” harmadik dimenzió híján ezt a kiforgatást nem tudjuk megtenni, ezért a (4.10) reláció nem teljesül.

12. ábra

4.4. KVANTÁLÁS

Az előző fejezetek során láttuk, hogy Q nemtriviális globális tulajdonságokkal rendelkező (nem egyszeresen összefüggő) görbült tér. Az ilyen tulajdonságú tereken a fizikai rendszer állapotait leíró hullámfüggvények definiálása nemtriviális feladat. Ahhoz, hogy ezt belássuk szeretnénk emlékeztetni arra, hogy a fizikai információ nem a hullámfüggvényben, hanem annak abszolútérték négyzetében |ψ(q)|^{2} (q ∈ Q) van elrejtve. Más szóval ψ-t módosíthatjuk egy helytől függő fázisfaktorral anélkül, hogy a fizikai leírást megváltoztatnánk,

ψ(q) → ψ(q)e^{iα(q)}, q ∈ Q.  (4.12)

(Ne keverjük azonban ezt a fázist össze a lineáris szuperpozícióban szereplő hullámfüggvények relatív fázisával.) A ψ komplex hullámfüggvény tehát redundáns módon írja le a Q konfigurációs térrel rendelkező fizikai rendszer állapotait. Felmerül azonban a kérdés: nem lehet-e a ”lötyögő” fázisfaktort egyszer s mindenkorra globálisan (Q minden pontjában) lerögzíteni? Ezt a problémát a kvantumelmélet megszületése óta vizsgálják. A kérdésre adott válasz a következő: mindaddig, amíg a Q egyszeresen összefüggő (π_{1}(Q) = 0), addig a fázis globális definíciója lehetséges [6]. Esetünkben azonban (4.11) alapján tudjuk, hogy Q nem egyszeresen összefüggő. Ennek a következménye az lesz, hogy a hullámfüggvény fázisát nem értelmezhetjük úgy, mint egy Q-n értelmezett jól definiált ( egyértékű) függvényt.

A helyzet emlékeztet a Q-n értelmezett vektorok komponenseinek definiálásakor fellépő problémára. (Lásd a (4.5) egyenlettel kapcsolatos fejtegetéseket.) A komponenseket egy bizonyos bázisra kell vonatkoztatnunk, a fizikai szempontból természetes bázis azonban nem mindig egyértékű, következésképp a vektormező komponensei sem egyértékűek. A fizikai állapotokat reprezentáló geometriai mennyiség (a vektormező) azonban már egyértékű.

Hasonlóan, definiáljuk a fizikai állapotokat reprezentáló geometriai mennyiséget (jelöljük ezt Ψ(q)-val) az alábbi módon

Ψ(q) = ψ(q)e(q), q ∈ Q.  (4.13)

Nyilván (4.13) a (4.5) egyenlet megfelelője j = 1 esetén, továbbá most ψ(q) és e(q), |e(q)| = 1, komplex értékű függvények. Ha ψ-t a (4.12) módon transzformáljuk, akkor Ψ(q) a bázis

e(q) → e(q)e^{−iα(q)}, q ∈ Q  (4.14)

transzformációja esetén nem változik. Most megismételhetjük mindazokat a fejtegetéseket, amelyeket a (4.2) fejezetben a vektorok párhuzamos eltolása kapcsán már megtettünk. Nevezetesen, nem meglepő, hogy a fizikai szempontból indokolt párhuzamosan eltolt bázis választása esetén ψ(q) nem lesz egyértékű. Próbáljuk meg a párhuzamos eltolás fogalmát egy kicsit precízebben megfogalmazni! Válasszunk Q-n egy egyértékű e(q) bázist! Infinitezimális párhuzamos eltolás esetén megköveteljük, hogy a q-ból q + dq-ba e(q)-t eltoló P (q + dq, q) operátor elégítse ki a

P (q + dq, q)e(q) = (1 + idq^{μ}a_{μ}(q))e(q + dq)  (4.15)

egyenletet, ahol

f_{μν} ≡ ∂_{μ}a_{ν} − ∂_{ν}a_{μ} = 0.  (4.16)

Itt q^{μ} (μ, ν = 1, 2, … dN) lokális koordináták Q-n. Bevezettük továbbá az a_{μ}(q) vektormezőt, ez fogja nekünk jellemezni a párhuzamos eltolást Q-n. Vegyük észre, hogy a (4.15) szabály egy lineáris unitér transzformáció infinitezimális változata. Azaz egy C görbe menti párhuzamos eltolásra

P_{C}(q_{2}, q_{1})e(q_{1}) = e^{i ∫_{C} dq^{μ}a_{μ}}e(q_{2}).  (4.17)

Fontos arra is felfigyelnünk, hogy a bevezetett a_{μ}(q) igen speciális. A (4.16) egyenlet bevezetésének szükségességét az alábbiakban részletesen tárgyaljuk. Elöljáróban elégedjünk meg annyival, hogy a részecskék cseréjével kapcsolatos (a statisztikát tükröző), a hullámfüggvényben történő változásokat egy vektormező (a_{μ}) segítségével szeretnénk leírni. Ez a vektorpotenciál-szerű mennyiség (az ún. statisztikus vektorpotenciál) lehetővé teszi majd számunkra, hogy az egzotikus statisztikákat dinamikai módon tudjuk tárgyalni. (a_{μ} a Hamilton operátorban fog szerepelni.) Ahhoz, hogy ezt a feladatot megvalósíthassuk szükségünk van a (4.16) feltételre.

Most pedig mélyedjünk el kicsit jobban a (4.16) egyenlet jelentésében! Először is emlékeztetünk arra, hogy f_{μν} ≡ 0 akkor és csak akkor, ha a_{μ} = ∂_{μ}α valamilyen α függvényre. Fontos azt is felidéznünk, hogy az α függvény csak akkor egyértékű, ha Q egyszeresen összefüggő. Esetünkben tehát α nem egyértékű. Ha μ, ν = 1, 2, 3 akkor (4.16) azt mondja, hogy a rotációja zérus. Ekkor a fenti állítás épp az I. gradienstétel nem egyszeresen összefüggő tartományok esetén! (Lásd Jánossy-Gnädig-Tasnádi: Vektorszámítás III. 56. oldal.)

Kicsit precízebbé tehetjük ezt az állítást, ha tekintjük adott a_{μ} esetén az a_{μ} = ∂_{μ}α egyenlet

α(q_{2}) = α(q_{1}) + ∫_{C} dq^{μ}a_{μ}(q)  (4.18)

formális megoldását. Itt C egy a q_{1} és q_{2} pontokat összekötő görbe. α(q_{1})-et tetszőlegesen lerögzítve (4.18) alapján α(q_{2})-t is megkaphatjuk tetszőleges q_{2} esetén. Mivel f_{μν} = 0 ezért a vonalintegrál értéke nem fog változni mindazon C_{1}, C_{2}, … görbékre melyeket C-ből folytonos deformációval megkaphatunk. α(q_{2}) értéke tehát csak a C homotópiaosztályától fog függeni. Ha Q egyszeresen összefüggő, akkor csak egy homotópiaosztály van (a triviális osztály), ekkor α egyértékű.

Válasszunk most Q-n egy egyértékű e(q) bázist! Ez azt jelenti, hogy minden q ∈ Q pontban egy bázisvektort állítunk. Másrészt, korábban megtanultuk már, hogy a párhuzamosan eltolt bázis nem egyértékű bázis. Valóban, (4.17) alapján látjuk, hogy amennyiben e(q) egyértékű, P (q_{2}, q_{1})e(q_{1}) már függ az úttól s így nem egyértékű. Ha e(q) egyértékű akkor (4.13) alapján ψ(q) is az. Az előző bekezdés alapján tudjuk azonban azt, hogy létezik olyan mértéktranszformáció, hogy a transzformált mértékpotenciál zérus, azaz a′_{μ} = a_{μ} − ∂_{μ}α ≡ 0. Ez a mértéktranszformáció (4.12) alakú, és most már azt is tudjuk, hogy a kapott ψ′(q) ≡ ψ(q)e^{iα(q)} már nem egyértékű, ha π_{1}(Q) ≠ 0.

Mindezek alapján a következő választási lehetőségeink vannak f_{μν} ≡ 0 esetén: vagy egyértékű hullámfüggvénnyel dolgozunk s ekkor a_{μ} ≠ 0, vagy többértékű hullámfüggvénnyel dolgozunk s ekkor a_{μ} = 0.

Ha (4.17)-ben q_{1} = q_{2} ≡ q (azaz a C görbe egy zárt görbe), akkor kapjuk, hogy

P_{C}(q, q) = e^{i ∮_{C} dq^{μ}a_{μ}(q)}.  (4.19)

Ez a fázisfaktor nyilván mértékinvariáns, hiszen a körintegrál értéke nem változik az a_{μ}(q) ↦ a_{μ}(q)−∂_{μ}f(q) egyértékű mértéktranszformáció során. Igaz továbbá az is, hogy az ismételt párhuzamos eltolás a C_{1}, majd a C_{2} zárt görbék mentén eleget tesz a

P_{C_{1}C_{2}}(q, q) = P_{C_{1}}(q, q)P_{C_{2}}(q, q),  (4.20)

tulajdonságnak. Tekintsünk most egy olyan C′ zárt görbét mely ugyanabba a homotópiaosztályba esik mint C! A CC′^{−1} görbére (4.20) alapján kapjuk, hogy

P_{CC′^{−1}}(q, q) = P_{C}(q, q)P_{C′}^{−1}(q, q).  (4.21)

Az egyenlet baloldalán álló ∮_{CC′^{−1}} dq^{μ}a_{μ}(q) körintegrált a Stokes tétel segítségével átírhatjuk az f_{μν}-nek a CC′^{−1} által határolt területre való felületi integráljává. Mivel azonban f_{μν}(q) ≡ 0 ezért a baloldal is zérus. Azt kaptuk tehát, hogy

P_{C}(q, q) = P_{C′}(q, q), ha C ∼ C′.  (4.22)

Könnyen belátható az is, hogy a P (q, q) fázisfaktor értéke nem változik akkor sem, ha C-t folytonosan úgy deformáljuk, hogy q-t is mozgatjuk. Levonhatjuk tehát a következtetést: a mértékinvariáns fázisfaktor csak a C görbe homotópiaosztályától függ, azaz P_{[C]}. (Itt [C] a C görbe homotópiaosztályát jelöli.) Tekintettel arra, hogy komplex fázisfaktorunk egy 1 × 1-es unitér mátrix, (4.20) alapján triviálisan következik, hogy a hullámfüggvény párhuzamos eltolását definiáló fázisfaktor egy egydimenziós unitér ábrázolását adja a π_{1}(Q) fundamentális csoportnak.

Tekintsük most a Q konfigurációs teret ha d > 2. Ekkor (4.11) alapján tudjuk, hogy π_{1}(Q) = S_{N}. Kíváncsiak vagyunk arra, hogy két részecske valódi megcserélése esetén a hullámfüggvénnyel mi történik. Tudjuk már, hogy a részecskék cseréjének a Q konfigurációs térben egy zárt C görbe fog megfelelni. Továbbá [C] ∈ S_{N}. A fentiekben azt is beláttuk, hogy a hullámfüggvény egy fázisfaktort fog felszedni, mely S_{N} egydimenziós unitér ábrázolását fogja adni. Mivel S_{N}-t az e egységelem és a σ_{j}, j = 1, 2, … N − 1 szomszédcserék generálják, ezért elég, ha ezekhez a generátorokhoz rendelünk fázisfaktorokat. Legyen ez a hozzárendelés D (ábrázolás) az alábbi alakú

D : e ↦ 1, D : σ_{j} ↦ e^{iθ_{j}}, j = 1, 2, … N − 1.  (4.23)

Most kihasználjuk az S_{N}-t definiáló (4.9a,b) és (4.10) relációkat. Mivel a fázisfaktorok felcserélhetők egymással, ezért (4.9b) triviálisan teljesül (ráadásul most minden i, j-re), (4.9a)-ból pedig a θ_{j} = θ_{j+1} összefüggést kapjuk. Marad még az (4.10) reláció, ebből kapjuk, hogy e^{2iθ} = 1 azaz θ ≡ 0, π mod 2π. Az ábrázolás tehát σ_{j} ↦ ±1 minden j-re. A részecskék valódi fizikai felcserélésekor tehát a hullámfüggvény vagy előjelet vált (fermionok), vagy nem vált előjelet (bozonok).

Kétdimenzióban a helyzet sokkal izgalmasabb. Ekkor π_{1}(Q) = B_{N}, tehát a részecskék statisztikájának megállapításához a fonatcsoport egydimenziós unitér ábrázolásai kellenek. Ekkor (4.10) teljesülését már nem kell megkövetelnünk s így a szomszédcserékhez tetszőleges θ statisztikus paraméterrel jellemzett fázisfaktorokat rendelhetünk, azaz

D : σ_{j} ↦ e^{iθ}.  (4.24)

A θ statisztikus paraméter minden értéke (mod 2π) egy lehetséges ábrázolását adja π_{1}(Q)-nak. Ezek a statisztikus paraméterek a bozonok (θ = 0) és a fermionok (θ = π) között interpoláló statisztikájú részecskéket írnak le. θ ≠ {0, π} esetén a megfelelő részecskék se nem fermionok, se nem bozonok. Frank Wilczek szavaival élve bármionok, vagy az angol kifejezést a magyar nyelvbe ültetve anyonok. Szokásos még a (kicsit félrevezető) tört statisztikák elnevezés is, tekintettel arra, hogy a θ statisztikus paraméter π-nek nemcsak egész, hanem tetszőleges valós ( így például racionális ) többszöröse is lehet.

4.5. TÖRT STATISZTIKÁJÚ RÉSZECSKÉK DINAMIKÁJA

Miután beláttuk, hogy kétdimenzióban egzotikus statisztikáknak engedelmeskedő részecskék is létezhetnek, megvizsgáljuk ezeknek a részecskéknek a dinamikáját. Első lépésként N darab szabad anyon dinamikáját tanulmányozzuk. A Hamilton operátor N darab m tömegű szabad részecske esetén \frac{−h̄^{2}}{2m} ∑_{j=1}^{N} △_{j}, ahol △_{j} a j-dik részecske Laplace operátora d dimenzióban. Itt d a Q konfigurációs tér dimenziója. Az első probléma természetesen az, hogy hogyan definiáljuk a Laplace operátort egy nemtriviális topológiai tulajdonságokkal rendelkező téren. Azaz: hogyan kvantáljunk Q-n? Az előző fejezet alapján ezt a kérdést megválaszolhatjuk. Vegyük először is észre, hogy Q lényegében a dN dimenziós Euklideszi tér, melyben bizonyos pontokat azonosítottunk. Használjuk tehát a továbbiakban a q^{μ} ∈ Q lokális koordináták helyett az x^{μ} euklideszi koordinátákat, és ugyanakkor tartsuk észben, hogy bizonyos pontokat azonosítottunk. A Laplace operátor tehát a szokásos ∑_{μ=1}^{dN} \frac{∂^{2}}{∂x^{μ}^{2}} marad, de az azonosítások miatt a hullámfüggvénynek speciális határfeltételeket kell majd kielégítenie. Mik ezek a határfeltételek? Két nem azonos R^{dN}-beli pontot akkor azonosítunk, ha az őket összekötő nyílt görbének Q-ban egy π_{1}(Q)-beli zárt görbe felel meg. Tudjuk továbbá azt is, hogy ha a hullámfüggvényt egy Q-beli zárt görbén körbevisszük, akkor az egy olyan fázisfaktort szed fel, ami épp π_{1}(Q) egydimenziós unitér ábrázolása. Ha tehát g ∈ π_{1}(Q), akkor a határfeltétel R^{dN}-en

ψ(gx) = D(g)ψ(x).  (4.25)

Itt a gx szimbólum azt jelöli, hogy g x-et abba a gx ≡ x′ pontba viszi, melyet R^{dN}-ben x-vel olyan nyílt görbékkel köthetünk össze, hogy azok Q-ban a g által meghatározott g ≡ [C] zárt görbék homotópiaosztályának feleljenek meg. (x és gx nyilván az a két pont, amit azonosítanunk kell.)

Fontos azt is látnunk, hogy a (4.25) egyenletben megjelenő fázisfaktor éppen a párhuzamos eltolás kapcsán bevezetett

D(g) = e^{−i ∫_{Γ} dx^{μ}a_{μ}(x)}  (4.26)

fázisfaktor, ahol Γ az a nyílt R^{dN} görbe, ami a g osztálybeli zárt görbének felel meg.

Példaképp tekintsük a d = 2 N = 2 esetet. Ekkor a tömegközéppont leválasztása után kapott Q^{rel} konfigurációs tér nem más mint, a jólismert ”csúcsától megfosztott kúp” 30 fokos fél nyílásszöggel. Másrészt tudjuk azt is, hogy Q^{rel} = (R^{2} − {0})/S_{2}. Könnyen látható az is, hogy π_{1}(Q) = Z. (Z az egész számok additív csoportját jelöli.) Valóban a kúp csúcsa körüli különböző csavarodási számú görbék nem deformálhatók folytonosan egymásba. Az egy pontba összehúzható görbének a 0, a pozitív kürüljárású görbéknek a pozitív, a negatív körüljárásúaknak a negatív egészek felelnek meg. Vezessük be az (x_{1}, x_{2}) ≡ (r cos ϕ, r sin ϕ) polárkoordinátákat R^{2}-n. r, és ϕ a két részecske relatív koordinátáit jellemzi. Ha a ϕ koordinátát π-vel folytonosan megváltoztatjuk, akkor egy olyan görbét kapunk, melynek a kúpon egy olyan zárt görbe felel meg, melyre a csavarodási szám egy. A párhuzamos eltolás ezen görbe mentén az e(r, ϕ) bázisvektort az e^{−iθ}e(r, ϕ) bázisvektorba viszi. Mivel Ψ(r, ϕ) egyértékű, ezért ψ(r, ϕ + π) = e^{iθ}ψ(r, ϕ). Tetszőleges Q ∈ Z ≡ π_{1}(Q^{rel}) csavarodási számú görbére pedig kapjuk, hogy

ψ(r, ϕ + Qπ) = e^{iQθ}ψ(r, ϕ).  (4.27)

Ez az egyenlet az általános (4.25) egyenlet speciális esete. A (4.27) egyenletet Q-n értelmezve látjuk, hogy a párhuzamosan eltolt ψ nem egyértékű. Ekkor választhatunk olyan mértéket (lásd a (4.19) előtti vastag betűs részt), ahol a_{μ} = 0, μ = 1, 2. Összefoglalva: a Hamilton operátor a szokásos, az egzotikus statisztikák csak a határfeltétel (4.27) alakjában jelennek meg.

Választhatjuk azonban a másik alternatívát is. Ekkor tekintsük az alábbi egyértékű hullámfüggvényt

ψ′(r, ϕ) = e^{−i \frac{θ}{π} ϕ}ψ(r, ϕ).  (4.28)

Ez a transzformáció azonban megváltoztatja a parciális deriváltakat

∂_{r} ↦ ∂_{r}, ∂_{ϕ} ↦ ∂_{ϕ} + i\frac{θ}{π} .  (4.29)

Eredményünk: ha a Hamilton operátorba bevezetjük az a_{r} = 0 a_{ϕ} = −\frac{θ}{π} statisztikus vektorpotenciált, akkor egyértékű hullámfüggvényt használhatunk.

Most meghatározzuk a Hamilton operátor alakját derékszögű koordinátákban. Ehhez szükségünk van a \frac{∂}{∂x} és a \frac{∂}{∂y} parciális deriváltakra. Mivel

\frac{∂f}{∂x} = \frac{∂f}{∂r} \frac{∂r}{∂x} + \frac{∂f}{∂ϕ} \frac{∂ϕ}{∂x} \frac{∂f}{∂y} = \frac{∂f}{∂r} \frac{∂r}{∂y} + \frac{∂f}{∂ϕ} \frac{∂ϕ}{∂y}

és r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, ϕ = arctan \frac{y}{x}, ezért

\frac{∂}{∂x} = cos ϕ\frac{∂}{∂r} − \frac{sin ϕ}{r} \frac{∂}{∂ϕ}  \frac{∂}{∂y} = sin ϕ\frac{∂}{∂r} + \frac{cos ϕ}{r} \frac{∂}{∂ϕ}.  (4.30)

Vezessük be a kovariáns derivált komponenseit az alábbi módon

D_{x} ≡ ∂_{x} − ia_{x},  D_{y} ≡ ∂_{y} − ia_{y}.  (4.31)

(4.29) alapján tudjuk, hogy D_{r} = ∂_{r} és D_{ϕ} = ∂_{ϕ} + i\frac{θ}{π}. (4.30-31) felhasználásával tehát

a_{x} = \frac{θ/π}{r^{2}} y,  a_{y} = −\frac{θ/π}{r^{2}} x.  (4.32)

Ezek tehát a statisztikus vektorpotenciál relatív koordináták szerinti komponensei. Nyilván (4.3) alapján az X és Y tömegközépponti koordináták szerinti komponensek zérusok. Figyelembe véve, hogy

x = x_{1} − x_{2}, y = y_{1} − y_{2}, X = \frac{1}{2}(x_{1} + x_{2}) Y = \frac{1}{2}(y_{1} + y_{2}), (4.33)

és

\frac{∂f}{∂x_{1}} = \frac{∂f}{∂x} \frac{∂x}{∂x_{1}} + \frac{∂f}{∂X} \frac{∂X}{∂x_{1}} \frac{∂f}{∂x_{2}} = \frac{∂f}{∂x} \frac{∂x}{∂x_{2}} + \frac{∂f}{∂X} \frac{∂X}{∂x_{2}} ,

illetve hasonlóan eljárva az y_{1} y_{2} szerinti parciális deriváltakra is kapjuk, hogy

\frac{∂}{∂x_{1}} = \frac{1}{2} \frac{∂f}{∂X} + \frac{∂f}{∂x} \frac{∂}{∂y_{1}} = \frac{1}{2} \frac{∂f}{∂Y} + \frac{∂f}{∂y} ,  (4.34)

az első részecskére. A másodikra pedig

\frac{∂}{∂x_{2}} = \frac{1}{2} \frac{∂f}{∂X} − \frac{∂f}{∂x} \frac{∂}{∂y_{2}} = \frac{1}{2} \frac{∂f}{∂Y} − \frac{∂f}{∂y} .  (4.35)

Tekintettel arra, hogy a_{X} = 0 és a_{Y} = 0 a végeredmény,

a_{x_{1}} = −a_{x_{2}} = a_{x} = k \frac{y_{1} − y_{2}}{r^{2}} , a_{y_{1}} = −a_{y_{2}} = a_{y} = −k \frac{x_{1} − x_{2}}{r^{2}} , (4.36)

ahol r^{2} = \sqrt{(x_{1} − x_{2})^{2} + (y_{1} − y_{2})^{2}} és

k ≡ \frac{θ}{π} .  (4.37)

A következő feladatunk a (4.36) statisztikus vektorpotenciál fizikai jelentésének tisztázása. Tekintsünk egy részecskét a tetszőleges x ∈ R^{2} pontban! Természetes feltételeznünk, hogy ez a részecske egy bizonyos A(x) vektorpotenciált észlel. Ez a részecske nem érzékeli a saját maga által keltett teret, hanem csak a másik részecske által keltettet. Tehát az x_{1} ≡ (x_{1}, y_{1}) pontban lévő 1. részecske olyan vektorpotenciált generál, melynek komponensei

A_{x}(x) = k \frac{y − y_{1}}{(x − x_{1})^{2} + (y − y_{1})^{2}} ,

A_{y}(x) = −k \frac{x − x_{1}}{(x − x_{1})^{2} + (y − y_{1})^{2}} .  (4.38)

Az x_{2} ≡ (x_{2}, y_{2}) pontban lévő 2. részecske tehát az a_{2} = A(x_{2}) vektorpotenciált észleli. A fent definiált A vektorpotenciálhoz természetesen a B = ∂_{x}A_{y} − ∂_{y}A_{x} térerősség tartozik. [Kétdimenzióban ez egy (pszeudo)skalártér.] Számítsuk ki a fenti térerősség fluxusát egy olyan Ω felületen keresztül, melyet egy Γ zárt görbe határol. Nyilván két esetet kell megkülönböztetni aszerint, hogy x_{1} ∈ Ω, vagy pedig x_{1} ∉ Ω. Feladatunk tehát a

∫_{Ω} d^{2}xB = ∮_{Γ} dxA(x),  (4.39)

körintegrál kiszámítása. Az integrálási kontúrt folytonosan deformálhatjuk mindaddig, amíg az x_{1} ponton át nem megyünk. Legyen Γ először egy x_{1} középpontú kör! Mivel A(x)dx = A_{ϕ}dϕ = −kdϕ, és a z = re^{iϕ}, dz = irdϕe^{iϕ} komplex jelöléssel ez az ik \frac{dz}{z} alakba írható át, Cauchy formulája alapján (∮_{Γ} \frac{dz}{z} = 2πi) kapjuk, hogy az integrál értéke −2πk. Ha Ω nem tartalmazza x_{1}-et akkor Cauchy tétele miatt az integrál zérust ad. Végeredményül tehát azt kaptuk, hogy

∫_{Ω} d^{2}xB = \{ \begin{matrix}−2πk, & ha x_{1} ∈ Ω \\ 0, & különben. \end{matrix}  (4.40)

A (4.40) formula alapján látjuk, hogy az 1. részecske által létesített tér alakja

B = −2πkδ(x − x_{1}),  (4.41)

azaz a fluxus az 1. részecske tartózkodási helyére lokalizált. A bármionokra tehát úgy is gondolhatunk, mint olyan részecskékre, melyeket töltésükön és tömegükön kívül a −2θ fluxus értéke is jellemez. A (4.16) egyenlet jelentése (4.41) segítségével most már tisztázható. Mivel a részecskék nem hatolhatnak egymásba (az ezeknek megfelelő pontok a vektorpotenciál szinguláris pontjai, ráadásul ezeket a pontokat ki is vágtuk a konfigurációs térből), ezért rájuk Lorentz erő nem hat (B ≡ 0). A részecskék közötti kölcsönhatás, akárcsak az Aharonov-Bohm effektus esetén, kizárólag a statisztikus vektorpotenciálnak köszönhető.

(Pontosabban az ebből képzett e^{i ∮_{Γ} A(x)dx} fázisfaktornak.) Ezek a részecskék ha úgy tetszik egy-egy Aharonov-Bohm ”fluxusfonalat” is cipelnek magukkal. Ezeknek a fluxusfonalaknak a kölcsönhatása nemtriviális ”fonatstatisztika” megjelenésére vezet.

A fenti két részecskén alapuló fejtegetés könnyen általánosítható N részecskére. A statisztikus vektorpotenciál ekkor

a_{x_{j}} = k ∑_{i≠j}^{N} \frac{y_{j} − y_{i}}{\sqrt{(x_{j} − x_{i})^{2} + (y_{j} − y_{i})^{2}}} ,

a_{y_{j}} = −k ∑_{i≠j}^{N} \frac{x_{j} − x_{i}}{\sqrt{(x_{j} − x_{i})^{2} + (y_{j} − y_{i})^{2}}} ,  (4.42)

ahol j = 1, 2, … N. Vegyük észre, hogy a komponensei többértéküek R^{dN}-en, de egyértéküek R^{dN}/S_{N}-en. Az a-ból képezett

A_{x}(x) = k ∑_{i≠j}^{N} \frac{y − y_{i}}{\sqrt{(x − x_{i})^{2} + (y − y_{i})^{2}}} ,

A_{y}(y) = −k ∑_{i≠j}^{N} \frac{x − x_{i}}{\sqrt{(x − x_{i})^{2} + (y − y_{i})^{2}}} ,  (4.43)

vektormező jelentése világos: ez az x_{i} ∈ R^{2}-ben lévő j ≠ i részecskék által létrehozott statisztikus vektorpotenciál. A j-edik részecske természetesen az a_{j} ≡ A(x_{j}) potenciált érzi. A az alábbi téregyenletnek tesz eleget

∂_{x}A_{y} − ∂_{y}A_{x} = −2πkϱ,  (4.44)

ahol

ϱ(x) = ∑_{i≠j}^{N} δ(x − x_{i}).  (4.45)

Látjuk tehát, hogy a nemtriviális fonatstatisztikát a (4.42) statisztikus vektorpotenciál bevezetésével írhatjuk le. A Hamilton operátor alakja

H = \frac{1}{2m}(p − h̄a)^{2} = \frac{1}{2m} ∑_{j=1}^{N}(p_{j} − h̄a_{j})^{2},  (4.46)

ahol p_{j} = \frac{h̄}{i}(∂_{x_{j}}, ∂_{y_{j}}). Vegyük észre, hogy ez N darab szabad bármion Hamilton operátora. A kölcsönhatás a bármionok között tisztán topológiai természetű. Érdemes még megjegyezni, hogy a Hamiltoniban jelenlévő a^{2} = ∑_{j} a_{j}^{2} tag háromrészecske tagok megjelenésére vezet. H-hoz természetesen további V (x_{1}, …, x_{N}) kölcsönhatási tagot is adhatunk.

4.6. ÖSSZEFOGLALÁS

Ebben a fejezetben felülvizsgáltuk az azonos részecskék kvantummechanikájával kapcsolatos ismereteinket. A részecskéket már klasszikusan is azonosaknak tekintettük. Megmutattuk, hogy N darab d dimenzióban lévő részecske Q konfigurációs tere topológiai szempontból lényegesen eltér R^{dN}-től. A részecskeindexek permutálásán alapuló régi szemlélet helyett egy új topológiai szemléletet vezettünk be. Ennek a lényege: a Q-n tekintett zárt görbék tulajdonságainak vizsgálata. A részecskék R^{dN}-ben történő valódi megcserélését ugyanis Q-beli zárt görbékkel reprezentálhatjuk. A Q-beli zárt görbék ekvivalenciaosztályokba sorolhatók, ezen osztályok egy alkalmasan választott szorzásra nézve csoportot alkotnak. Ez a csoport, π_{1}(Q), Q első homotópia, vagy fundamentális csoportja. Megmutattuk, hogy π_{1}(Q) szerkezete N részecske esetén lényegesen más kettő, illetve három (vagy ennél nagyobb) dimenzióban. Kétdimenzióban π_{1}(Q) egy végtelen elemű diszkrét csoport, az úgynevezett fonatcsoport, míg ennél nagyobb dimenziókban ez a véges (N! elemű) diszkrét permutációs csoport. A klasszikus konfigurációs tér tanulmányozása után figyelmünket a megfelelő klasszikus dinamika kvantálásának problémája felé fordítottuk. Célunk a kvantumrendszer állapotait reprezentáló ψ : Q → C hullámfüggvény, és az N darab szabad, azonos részecske dinamikáját leíró H Hamilton operátor megtalálása volt. A fenti probléma megoldására eredményül az alábbi alternatívát kaptuk.

1. A dinamikát jellemző Hamilton operátor nem más mint, a szokásos N szabad részecskéket leíró \frac{1}{2m} ∑_{i=1}^{N} p_{i}^{2}, a ψ hullámfüggvény azonban R^{dN}-en nemtriviális határfeltételnek kell, hogy eleget tegyen. Ez a határfeltétel Q-n értelmezett nem egyértékű hullámfüggvény bevezetésének felel meg. Ha ψ-t egy Q-beli zárt görbén körbevisszük (ez a részecskék R^{dN}-beli folytonos cseréjének felel meg), az egy statisztikus fázisfaktort szed fel. Ez a fázisfaktor π_{1}(Q) egydimenziós unitér ábrázolását adja. Három vagy ennél magasabb dimenzióban ez a fázisfaktor +1 (Bose-Einstein statisztika), vagy ±1 (Fermi-Dirac statisztika) lehet. Kétdimenzióban egzotikus fonat-statisztikákat (tört statisztikákat) is kaphatunk. Ezekre a fázisfaktor e^{iθ} ahol θ ∈ [0, 2π) az úgynevezett statisztikus paraméter.

2. A ψ hullámfüggvény Q-n egyértékű úgy, ahogy ezt korábbi kvantummechanikai tanulmányaink alapján megszoktuk, viszont a Hamilton operátor alakja \frac{1}{2m} ∑_{i=1}^{N}(p_{i}−h̄a_{i})^{2} lesz. Itt a_{i} két dimenzióban a (4.42) statisztikus vektorpotenciál. Ebben a képben a nemtriviális fonat-statisztikák megjelenését az a speciális tulajdonságaira vezettük vissza. Ennek alapján a részecskékhez Aharonov-Bohm fluxusfonalakat rendelhetünk −2θ fluxussal, a statisztikát tükröző kölcsönhatás topológiai természetű.

Befejezésül kitérünk annak a fontos kérdésnek a rövid megvitatására, hogy milyen kísérleti bizonyítékaink vannak arra nézve, hogy fonat-statisztikáknak engedelmeskedő részecskék valóban léteznek a természetben. Az első felmerülő kérdés az, hogy mi értelme van két dimenziós kísérleti fizikáról beszélni a mi három dimenziós világunkban? Fowler, Fang, Howard és Stiles 1966-os kísérlete óta tudjuk, hogy az elektronok mozgását valóban korlátozhatjuk egy két dimenziós felületre [7]. Az elektronok mozgását ők egy erős mágneses térbe helyezett félvezető felületére korlátozták. A felületen az elektronok szabadon mozogtak, míg erre merőlegesen a △E gerjesztési energia néhány meV volt. T = 1K hőmérsékleten kT ∼ 0.1meV, így például △E = 10meV esetén e^{− \frac{△E}{kT}} = e^{−100} ∼ 10^{−44}, ami gyakorlatilag zérus. Elektrongázunk tehát valóban kétdimenziós. A kétdimenziós kísérleti fizika 1980-óta már egyáltalán nem számít egzotikus területnek. Kitzling, Dorda és Pepper [8] ekkor fedezte fel ugyanis a kvantált Hall-effektust. Eszerint a Hall ellenállása egy kétdimenziós elektron gáznak az alábbi módon kvantált

R_{H} = \frac{h}{νe^{2}} = \frac{25812.807Ω}{ν},

ahol ν egy egész szám. 1982-ben Tsui, Stormer and Gossard [9] felfedezte a tört kvantum Hall-effektust. Ezek a szerzők megmutatták, hogy ν már bizonyos racionális értékeket is felvehet. A tört kvantum Halleffektus Laughlin [10], Halperin [11], Arovas, Schrieffer és Wilczek [12] által kidolgozott elmélete alapján tudjuk, hogy az effektus az anyag egy új állapotának, az összenyomhatatlan kvantumfolyadék megjelenésének köszönhető. Ennek a ”folyadéknak” az elemi gerjesztéseit olyan kvázirészecskékkel írhatjuk le, melyek tört töltésűek, és fonatstatisztikáknak engedelmeskednek. Három lényegesen különböző [13-15] kísérlet igazolta azt, hogy bármionokat valóban megfigyelhetünk a természetben.

Az 1986-ban felfedezett magas hőmérsékletű szupravezetők képviselik a kísérletileg elérhető kétdimenziós rendszerek másik izgalmas családját. Az effektus bármionok segítségével történő elméleti magyarázatára tett erőfeszítések mindezidáig kísérleti szempontból megalapozatlanok.

4.7 REFERENCIÁK A 4. FEJEZETHEZ

[1] R. Mirman: Nuovo Cimento, B18, 110 (1973)

[2] J. M. Leinaas and J. Myrheim: Nuovo Cimento, B37, 1 (1977)

[3] T. H. Boyer: Am. J. Phys, 38, 840 (1970)

[4] F. Wilczek: Phys. Rev. Lett.48, 1144 (1982)

[5] E. Artin: Ann. Math. 48, 101, 643 (1947)

[6] G. Morandi: ”The role of topology in classical and quantum physics” Springer-Verlag 1992.

[7] A. B. Fowler, F. F. Fang, W. E. Howard, and P. J. Stiles: Phys. Rev. Lett. 16, 901 (1966).

[8] K. von Kitzling, G. Dorda, and M. Pepper: Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).

[9] D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard: Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).

[10] R. B. Laughlin: Phys. Rev. Lett. 50, 1395 (1983)

[11] B. I. Halperin: Phys. Rev. Lett. 52, 1583 (1984)

[12] D. Arovas, J. R. Schrieffer and F. Wilczek:Phys. Rev. Lett. 53, 722 (1984)

[13] R. G. Clark, J. R. Mallett, S. R. Haynes, J. J. Harris and C. T.Foxon Phys. Rev. Lett. 60, 1747 (1988)

[14] J. A. Simmons, H. P. Wei, L. W. Engel, D. C. Tsui, and M. Shayegan: Phys. Rev. Lett. 63, 1731 (1989)

[15] A. M. Chang and J. E. Cunninghamn: Solid State Commun. 72, 651 (1989)