Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 3. Inverz szóráselmélet

3. INVERZ SZÓRÁSELMÉLET

Az előző fejezetben megismerkedtünk a kvantummechanikai szóráselmélet alapjaival. Láttuk, hogy a centrális potenciál ismeretében a Schrödinger egyenlet egyértelműen meghatározza a szórásamplitúdót,

V (r) ⟹ f(E, ϑ) = \frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1)[S_{l}(E) − 1]P_{l}(cos ϑ),

amelynek abszolút érték négyzete a mérhető hatáskeresztmetszet:

\frac{dσ}{dΩ} = |f(E, ϑ)|^{2}.

Jelen fejezetben a fordított, az inverz folyamat lehetőségét tanulmányozzuk. Feltételezzük hogy a szórásamplitúdó, vagy az S−matrix elem (s így a fázistolás is), kísérleti adatokból már ismert, s azt vizsgáljuk, miként lehet ezen információból egy centrális kölcsönhatásra következtetni:

f(E, ϑ) ⟹ S_{l}(E) ⟹ V (r).  (3.1)

Rögtön észrevesszük, hogy az inverz probléma túlhatározott. Az input információ két folytonos változótól függ, az E szórási energiától és a ϑ szórási szögtől (illetve, amennyiben S_{l}(E)−t használjuk input adatként, egy folytonos változótól és egy megszámlálhatóan végtelen sok diszkrét változótól), míg a keresett output csupán egy folytonos változót tartalmaz. Ezért kétféle inverz problémát ismerünk: rögzített energia melletti inverziót, amikor az input adat az összes S_{l=0,1,2,...}(E = fix), valamint a rögzített l melletti inverziót, amikor az input adat az S_{l=fix}(E = 0 − ∞) függvény.

3.1. AZ INVERZ PROBLÉMA MEGOLDÁSA VÉGES ELEM MÓDSZERREL

A differenciálegyenletek nagy osztályának, így a Schrödinger egyenletnek is, általában nem ismeretes az egzakt analitikus megoldása. Numerikus eljárások esetén a megoldásokat a térváltozók diszkrét pontjaiban állítjuk elő véges elem módszerrel, azaz a differenciál egyenlet helyett a megfelelő differencia egyenletet oldjuk meg a folytonos változó x_{n} = nΔ diszkrét pontjaiban.

Tekintsük az egydimenziós differencia Schrödinger egyenletet a féltengelyen,

−\frac{h̄^{2}}{2m} \frac{ψ_{n+1} − 2ψ_{n} + ψ_{n−1}}{Δ^{2}} + [V_{n} − E]ψ_{n} = 0, n = 0, 1, ...,

amely Δ → 0 esetén megy át a Schrödinger egyenletbe. (Itt az f_{n} ≡ f(x_{n}) szokásos jelölést alkalmaztuk és Δ jelenti a lépésköz nagyságát.)

k^{2} = ε = E/h̄^{2}/2m és U_{n} = V_{n}/h̄^{2}/2m új jelölések bevezetésével, átrendezés után kapjuk a megoldás alapjául szolgáló rekurziós képletet

ψ_{n−1} = ψ_{n}[2 + (U_{n} − ε)Δ^{2}] − ψ_{n+1}.  (3.2)

Direkt probléma esetén ismerjük a potenciált, azaz az

U_{n}, U_{n−1}, ..., U_{0} (input)

számsorozatot.

Tekintsük az x_{n} > NΔ rácspontokban eltűnő potenciál esetét

U_{n} = 0, n > N.

Ekkor az aszimptotikus határfeltétel a

ψ_{n} ∼ e^{−iknΔ} − S(k)e^{iknΔ},  n > N  (3.3)

jól ismert módon írható, ahol S(k) a meghatározandó (output) mennyiség [neve: S−matrix; S = exp(2iδ), δ a fázistolás].

Direkt megoldásnál tehát a következő iterációs sémát alkalmazhatjuk: U_{n}, ψ_{n}, ψ_{n+1}, ⇒ ψ_{n−1},

U_{n−1}, ψ_{n−1}, ψ_{n}, ⇒ ψ_{n−2},
... .. ...
U_{1}, ψ_{1} ψ_{2}, ⇒ ψ_{0}.

A keresendő S−matrix elemet a megoldás origóbeli regularitása határozza meg:

ψ_{0} = 0.

Inverz probléma esetén az S−matrix (valamint az ε_{λ} sajátérték) ismert, és keressük az

U_{n}, U_{n−1}, ..., U_{0} (output)

potenciál számsorozatot. Minthogy a (3.2) alatti iterációs egyenletben a ψ_{n}−ek is ismeretlenek, további információra, még egy egyenletre van szükségünk az inverz probléma megoldásához. A plusz információt a teljességi összefüggés szolgáltatja, amely az ε_{λ}, λ = 1, 2, ... sajátértékekhez tartozó ψ(ε_{λ}) sajátfüggvényekre vonatkozik és differencia formában a következőképpen írható:

∑_{λ} ψ_{n}(ε_{λ})ψ_{m}^{∗}(ε_{λ}) = δ_{nm}/Δ.  (3.4)

(Amennyiben folytonos spektrumrész is van, a baloldalhoz még hozzá kell adni az

∫_{0}^{Emax} ψ_{n}(E)ψ_{m}^{∗}(E)dE

integrált.^{1})

∑_{λ} ψ_{n}−nel balról beszorozva a (3.2) alatti differencia Schrödinger egyenlet komplex konjugáltját, kapjuk a következő egyenletet (U_{n} = U_{n}^{∗}) :

∑_{λ} ψ_{n}(ε_{λ})ψ_{n−1}^{∗}(ε_{λ}) = ∑_{λ} ψ_{n}(ε_{λ})ψ_{n}^{∗}(ε_{λ})[2 + (U_{n} − ε_{λ})Δ^{2}]

1 A véges elem módszer érdekessége, hogy a folytonos spektrum korlátos: Emax =

2h̄2/mΔ2. Ez az eredmény a ψn = exp(iθn) szabad megoldás (3.2)-be való helyettesítésével kapható meg. A (3.4) alatti teljességi formula szintén (3.2) felhasználásával vezethető le, először az ortogonalitási összzefüggés bizonyítására, majd ebből a (3.4)-es formula származtatására.

− ∑_{λ} ψ_{n}(ε_{λ})ψ_{n+1}^{∗}(ε_{λ}).

A (3.4) teljességi összefüggés miatt a baloldal és a jobboldal második tagja eltűnik:

0 = ∑_{λ} ψ_{n}(ε_{λ})ψ_{n}^{∗}(ε_{λ})[2 + (U_{n} − ε_{λ})Δ^{2}]

és ebből kapjuk a potenciált az összes ψ_{n}(ε_{λ}) megoldás függvényeként az x_{n} = nΔ helyen:

U_{n} = Δ ∑_{λ} ε_{λ}|ψ_{n}(ε_{λ})|^{2} − \frac{2}{Δ^{2}} .  (3.5)

(Folytonos spektrumrész esetén ehhez kell még hozzáadni a Δ ∫_{0}^{Emax} E|ψ_{n}(E)|^{2}dE tagot.)

Tehát az energiafüggetlen U_{n} potenciál csak az összes ψ_{n}(ϵ_{λ}) megoldás ismeretében határozható meg. De ezek előállíthatók, hiszen ψ_{n}(ε_{λ}) ismert n > N esetén a rendelkezésre álló input S(k) adatok miatt.^{1} Ezért U_{n} kiszámolható és a fenti iterációs séma szerint ψ_{n−1} meghatározható (3.2)−ből minden egyes ϵ_{λ} energiaértékre. Ebből viszont U_{n−1} számolható ki (3.5) felhasználásával, majd újból a (3.2)- es iterációs Schrödinger egyenletből ψ_{n−2} határozható meg minden energiára. Ebből az U_{n−2} potenciál (3.5) segítségével, és így tovább, egészen U_{0}−ig.

3.2. FIX-L ESETE: GEL’FAND-LEVITAN-MARCHENKO EGYELETEK

Ebben a fejezetben Gel’fand és Levitan által az 50-es években, majd Marchenko által 1962-ben felállított integrálegyenletekhez fogunk eljutni az előző fejezetben már bevált véges elem módszer segítségével. ^{2} A módszer referencia potenciál módszernek is nevezhető. Tekintsük ugyanis a (3.2) differencia Schrödinger egyenletet a 0 ≤ r ≤ ∞ féltengelyen két potenciál, egy ismert Ŭ és a keresendő U potenciál esetén^{∗} (n = 0, 1, 2, ...) :

1 [egy cλ normálási állandótól eltekintve, ami meghatározható, vagy szintén bemenő adatként

szerepel.] 2 Az említett szerzők orosz matematikusok, jelenleg többnyire az Egyesült Államokban, ill.

Franciaországban dolgoznak. Marchenko és Levitan professzor részt vett a jegyzetírók által szervezett inverz szórás konferencián 1996-ban [ld. B. Apagyi, G. Endrédi, and P.

Lévay (eds): Inverse and Algebraic Quantum Scattering Theory, Lecture Notes in Physics, Springer, Vol 488, (1997)].

φ_{n+1} = φ_{n}[2+(U_{n} −ε)Δ^{2}]−φ_{n−1}  φ̆_{n+1} = φ̆_{n}[2+(Ŭ_{n} −ε)Δ^{2}]−φ̆_{n−1},

ahol a φ ill. φ̆ hullámfüggvények nemnormáltak.

Vegyük észre, hogy mindkét egyenletben azonos ε energia szerepel, amelyről feltesszük, hogy az U, tehát a megoldandó problémához tartozó sajátenergia (amely lehet diszkrét, vagy folytonos, vagy mindkettő; egy a lényeg, ez bemenő spektrális adatként fog szerepelni). Az általánosság megszorítása nélkül, az egyszerűség kedvéért vegyük a referencia potenciált zérusnak:

φ_{n+1} = φ_{n}[2 + (U_{n} − ε)Δ^{2}] − φ_{n−1}  φ̆_{n+1} = φ̆_{n}[2 + (0 − ε)Δ^{2}] − φ̆_{n−1}.

A módszer lényegét könnyen észrevehetjük: φ_{0} = φ̆_{0} = 0, φ_{1} = φ̆_{1} = Δ kezdeti feltételekből kiindulva a megoldás az n−dik helyen az energia (n − 1)−dik hatványaként áll elő,

φ_{0} = 0, φ_{1} = Δε^{0}, φ_{2} = c_{0}^{(2)}ε^{0} + c_{1}^{(2)}ε^{1}, φ_{3} = c_{0}^{(3)}ε^{0} + c_{1}^{(3)}ε^{1} + c_{2}^{(3)}ε^{2}, ...

φ̆_{0} = 0, φ̆_{1} = Δε^{0}, φ̆_{2} = c̆_{0}^{(2)}ε^{0} + c̆_{1}^{(2)}ε^{1}, φ̆_{3} = c̆_{0}^{(3)}ε^{0} + c̆_{1}^{(3)}ε^{1} + c̆_{2}^{(3)}ε^{2}, ...,

azaz

φ_{n} = ∑_{i=0}^{n−1} c_{i}^{(n)}ε^{i}  (n = 1, 2, ...)  φ̆_{n} = ∑_{i=0}^{n−1} c̆_{i}^{(n)}ε^{i}

s ezért az ismeretlen \underline{φ} megoldás az ismert \underline{φ̆} megoldás sorozattal kifejezhető:

\underline{φ} = cc̆^{−1}\underline{φ̆} ≡ Δ · K · \underline{φ̆}.

Itt mind c, mind c̆ (ill. az utóbbi inverze) N × N−es háromszög matrix, amelyek diagonális alatti része különbözik nullától. Szorzatuk, amely a K−matrixot definiálja, szintén háromszög matrix. A K−matrix a potenciált bonyolult módon tartalmazza, de energiafüggetlen. Általa az ismeretlen megoldás kifejezhető. Az n−ik pontban a megoldás nyilván a

∗ amelyekbe beleérthetjük az l(l + 1)/r2 centrifugális tagot

φ_{n}(ε) = Δ(K_{nn}φ̆_{n}(ε)+K_{n,n−1}φ̆_{n−1}(ε)+K_{n,n−2}φ̆_{n−2}(ε)+...+K_{n,1}φ̆_{1}(ε))

összegként áll elő.

Δ → 0 határátmenetben kapjuk a megoldás Povzner-Levitan reprezentációját,

φ(ε, r) = φ̆(ε, r) + ∫_{0}^{r} dr′K(r, r′)φ̆(ε, r′),  (3.6)

ahol K tehát egy energiafüggetlen, de az U potenciáltól nagyon is függő nemlokális operátor, amely a referencia hullámfüggvényre hat (amit viszont a ’valódi’, tehát nem a referencia sajátenergiáknál kell ismernünk, ill. előállítanunk).

A K_{nm} matrix elemek potenciálfüggését tanulmányozva, egy igen egyszerű reláció állapítható meg:

U_{n} = \frac{1}{Δ}[K_{n+1,n} − K_{n,n−1}].  (3.7a)

Δ → 0 esetben ez az összefüggés átmegy az

U(r) = 2\frac{d}{dr} K(r, r)  (3.7)

alakba, azaz a potenciál meghatározható lenne, ha valamilyen független forrásból (egyenletből) ismernénk a K operátort.

* * *

Mielőtt továbbmennénk, lássunk az eddigiekre egy példát. A hullámfüggvényt N = 4 pontban fogjuk előállítani (n = 0, 1, 2, 3) s ezekre végezzük el a fenti műveleteket. Először a c_{i}^{(n)} (i = 0, 1, .., n − 1) együtthatókat állítjuk elő:

φ_{0} = 0
φ_{1} = Δ · ε^{0} ≡ c_{0}^{(1)}ε^{0}
φ_{2} = Δ(2 + U_{1}Δ^{2}) · ε^{0} − Δ^{3}ε^{1} ≡ c_{0}^{(2)}ε^{0} + c_{1}^{(2)}ε^{1}

φ_{3} = [Δ(2+U_{1}Δ^{2})(2+U_{2}Δ^{2})−3]·ε^{0}−Δ^{3}[(2+U_{2}Δ^{2})+(2+U_{1}Δ^{2})]ε^{1}+Δ^{5}ε^{2}

≡ c_{0}^{(3)}ε^{0} + c_{1}^{(3)}ε^{1} + c_{2}^{(3)}ε^{2}

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 3. Inverz szóráselmélet

A kifejezések rohamosan bonyolódnak, továbbszámolni csak formula manipulációs program segítségével érdemes. A hullámfüggvényt vektor alakban írva:

( \begin{matrix}φ_{1} \\ φ_{2} \\ φ_{3} \\ ... \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c_{0}^{(1)} \\ c_{0}^{(2)} & c_{1}^{(2)} \\ c_{0}^{(3)} & c_{1}^{(3)} & c_{2}^{(3)} \\ & . & . & . \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}ε^{0} \\ ε^{1} \\ ε^{2} \\ ... \end{matrix} ) ,

ahol a c matrix az előbbiek szerint c = Δ×

( \begin{matrix}1 \\ 2 + U_{1}Δ^{2} & −Δ^{2} \\ (2 + U_{1}Δ^{2})(2 + U_{2}Δ^{2}) − 1 & −Δ^{2}[(2 + U_{2}Δ^{2}) + (2 + U_{1}Δ^{2})] & Δ^{4} \\ ... & ... & ... & ... \end{matrix} ) .

Ebből a c̆ matrix könnyen felírható (Ŭ_{n} = 0):

c̆ = Δ ( \begin{matrix}1 \\ 2 & −Δ^{2} \\ 3 & −4Δ^{2} & Δ^{4} \\ ... & ... & ... & ... \end{matrix} ) .

Inverze:

c̆^{−1} = Δ^{−1} ( \begin{matrix}1 \\ 2Δ^{−2} & −Δ^{−2} \\ 5Δ^{−4} & −4Δ^{−4} & Δ^{−4} \\ ... & ... & ... & ... \end{matrix} ) .

Így a K matrix

K = \frac{1}{Δ}cc̆^{−1} = Δ^{−1} ( \begin{matrix}1 \\ Δ^{2}U_{1} & 1 \\ Δ^{4}U_{1}U2 & Δ^{2}(U_{1} + U_{2}) & 1 \\ ... & ... & ... & ... \end{matrix} ) .

Most ellenőrizhetjük, hogy (7a) teljesül-e:

U_{2} = Δ^{−1}(K_{32} − K_{21}) = Δ^{−1}(Δ(U_{1} + U_{2}) − ΔU_{1}) = U_{2}.

* * *

Ezen kis példa után továbbfolytatjuk az inverz szórás alapegyenletének származtatását, de nem a részletekbe menően.^{∗} Az alapegyenlet a K−ra vonatkozik s csupán spektrális információ (S, ε) szükséges a megoldáshoz.

Ahhoz, hogy egy K−t meghatározó egyenletet nyerjünk, nyilvánvalóan plusz információra van szükség. Ez a plusz információ megint a teljesség összefüggése:

∑_{λ} c_{λ}^{2}φ_{m}(ε_{λ})φ_{n}(ε_{λ}) = δ_{mn}/Δ,

és

∑_{λ} c̆_{λ}^{2}φ̆_{m}(ε̆_{λ})φ̆_{n}(ε̆_{λ}) = δ_{mn}/Δ,

ahol c_{λ} és c̆_{λ} normálási állandókat jelölnek (nem tévesztendők össze az előző c kifejtési együtthatókkal). Felhasználva ezt a két egyeneletet és a két fenti iterációs egyenletet, az előző fejezetben ismertetett módszerrel (beszorzással és összegzéssel) kaphatunk egy meghatározó differencia egyenletet K_{n,m}−re.

Ebből Δ → 0 határátmenetben kapjuk a híres Gel’fand-Levitan integráelgyenletet:

K(r, r′) + g(r, r′) + ∫_{0}^{r} K(r, r′′)g(r′′, r′)dr′′ = 0,  (3.8)

ahol az ún. szimmetrikus (input) kernel definíciója:

g(r, r′) = ∑_{λ} c_{λ}^{2}φ̆(ε_{λ}, r)φ̆(ε_{λ}, r′) − ∑_{λ} c̆_{λ}^{2}φ̆(ε̆_{λ}, r)φ̆(ε̆_{λ}, r′) = g(r′, r).

(Folytonos spektrum esetén ehhez jön még egy járulék, ami az S(E)−matrixot tartalmazza.)

A szimmetrikus kernel csak spektrális (megfigyelési) adatokat (ε_{λ}, c_{λ}) tartalmaz inputként. Ismeretében megoldhatjuk a (3.8) alatti Gel’fand-Levitan egyenletet K-ra, amelynek diagonális elemének deriváltja adja (3.7) szerint a keresett inverz potenciált.

Marchenko egyenlete (3.8)-hoz teljesen hasonló, azzal ekvivalens. A különbség abból adódik, hogy Marchenko az iterációs megoldást az origóbeli kezdeti feltételek helyett az aszimptotikus információk figyelembevételével kezdte felépíteni, φ_{N}, φ_{N−1}, ... Ezért egyenlete

∗ A részletek megtalálhatók B. Zakhariev és A. Suzko, Direct and inverse problems (Springer,

1990) c. könyvben

K(r, r′) + g(r, r′) + ∫_{r}^{∞} K(r, r′′)g(r′′, r′)dr′′ = 0,  (3.9)

és a Marchenko-féle input szimmetrikus kernel is kicsit más.

Megjegyzendő, hogy a Gel’fand-Levitan egyenlet, ill. a Marchenko egyenlet szigorú bizonyításokon alapul és a Sturm-Liouville operátor spektrál elméletéből nőtt ki.

3.3. FIX-E ESETE: A NEWTON-SABATIER MÓDSZER

1962-ben R. G. Newton gondolt arra, hogy ha az integrálegyenletes inverz módszer sikeres volt fix impulzusmomentum esetére a félegyenesen (0 ≤ r ≤ ∞), akkor megoldható a fix-energia melletti inverz probléma is valamilyen Gel’fand-Levitan-Marchenko egyenlethez hasonló integrálegyenlet segítségével. Míg a fix-l inverzió esetén a bemenő spektrális adatok a kötött és/vagy folytonos sajátenergiák (plusz a normálási állandók), addig a fix−E melletti inverzió input adata E > 0 esetén az összes fázistolás {δ_{l}}, vagy az összes S−matrix elem, {S_{l}} lesz.

A Newton által felállított Gel’fand-Levitan típusú egyenlet a következő:

K(ρ, ρ′) = g(ρ, ρ′) − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ ρ′′^{−2}K(ρ, ρ′′)g(ρ′′, ρ′),  (3.10)

ahol a szimmetrikus input kernel egy ismert Ŭ referencia potenciálhoz tartozó összes sajátfüggvény szerinti kifejtéssel konstruálható meg:

g(ρ, ρ′) = ∑_{l=0}^{∞} c_{l}φ̆_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′) = g(ρ′, ρ).  (3.11)

A fenti egyenletekben ρ a szokásos dimenziótlan távolságot jelenti, ρ = kr, ahol k a hullámszám.

(3.10)-ben K az output kernel, amelyből az inverz potenciál kiszámolható a később megadott módon. (3.11)-ben az egyelőre ismeretlen c_{l} kifejtési együtthatókat majd a bemenő fázistolások határozzák meg, mint látni fogjuk.

A φ̆_{l} radiális hullámfüggvények egy referencia Schrödinger egyenletnek tesznek eleget, amelyet most célszerű módon a következő dimenziótlan formában írunk fel:

D̆(ρ)φ̆_{l}(ρ) = l(l + 1)φ̆_{l}(ρ),  (3.12)

ahol

D̆(ρ) ≡ ρ^{2} [\frac{d^{2}}{dρ^{2}} + 1 − Ŭ(ρ)] ,  (3.13)

és Ŭ = V̆ /E, E = h̄^{2}k^{2}/2μ, ρ = kr.

A szimmetrikus kernelnek nyilvánvalóak a következő tulajdonságai:

D̆(ρ)g(ρ, ρ′) = D̆(ρ′)g(ρ, ρ′)

és

g(0, ρ′) = g(ρ, 0) = 0,

mivel a referencia hullámfüggvények regulárisak az origóban (φ̆(0) = 0).

Newton 1962-ben bebizonyította^{∗}, hogy (3.10) egyértelműen megoldható K(ρ, ρ′)−ra, és a keresett inverz potenciál

U = Ŭ − \frac{2}{ρ} \frac{d}{dρ} \frac{K(ρ, ρ)}{ρ}.  (3.14)

[Az inverz probléma egzisztencia és egyértelműségi tételének bizonyítását a következő alfejezetben találhatjuk meg. Itt lényeges szerepet fog játszani a

ξ(ρ, ρ′) = D(ρ)K(ρ, ρ′) − D̆(ρ′)K(ρ, ρ′)

függvény, amelyről kimutatható, hogy kielégíti (10) homogén változatát. Mivel (3.10)-nek egyértelmű a megoldása K−ra, így a Fredholm alternatíva értelmében szükségképpen ξ ≡ 0 kell legyen, azaz

D(ρ)K(ρ, ρ′) = D̆(ρ′)K(ρ, ρ′).

A D(ρ) differenciáloperátor

D(ρ) = D̆(ρ) − ρ^{2}(U(ρ) − Ŭ(ρ))

∗ R. G. Newton, J. Math. Phys. 3, 75 (1962)

definíciójában szereplő ismeretlen U(ρ) azon feltételből határozható meg a (3.14) alatti módon, hogy ξ kielégíti a homogén integrálegyenletet.] A (3.14) alatti inverz potenciál ’mellesleg’ kielégíti a szórást leíró Schrödinger egyenletet,

D(ρ)φ_{l}(ρ) = l(l + 1)φ_{l}(ρ),  (3.15)

D(ρ) ≡ ρ^{2} [\frac{d^{2}}{dρ^{2}} + 1 − U(ρ)] ,  (3.16)

amely reguláris megoldásai a

φ_{l}(0) = 0,  φ_{l}(ρ → ∞) = A_{l}(k) sin(ρ − lπ/2 + δ_{l}(k))  (3.17)

határfeltételek által tartalmazza a kísérleti (spektrális) információt. Ez a mérhető hatáskeresztmetszetből kivonható információ, a {δ_{l}} fázistolás sorozat határozza meg a szimmetrikus input kernelben előforduló c_{l} kifejtési együtthatókat is, amit a következőképpen láthatunk be. Helyettesítsük (3.11)-et (3.10)-be és végezzük el a kínálkozó összevonásokat:

K(ρ, ρ′) = ∑_{l} c_{l}φ̆_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′) − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2}K(ρ, ρ′′) ∑_{l} c_{l}φ̆_{l}(ρ′′)φ̆_{l}(ρ′)

= ∑_{l} c_{l}φ̆_{l}(ρ′) [φ̆_{l}(ρ) − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2}K(ρ, ρ′′)φ̆_{l}(ρ′′)]

≡ ∑_{l} c_{l}φ̆_{l}(ρ′)φ_{l}(ρ).

Itt bevezettük a megoldási hullámfüggvények Povzner-Levitan reprezentációját,

φ_{l}(ρ) = φ̆_{l}(ρ) − ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}K(ρ, ρ′)φ̆_{l}(ρ′),  (3.18)

amelyről még meg kell mutatni, hogy kielégíti (3.15)-öt (ld. következő fejezet).

Az átalakítások révén tehát megkaptuk a potenciált megadó K(ρ, ρ′) output kernel spektrális előállítását:

K(ρ, ρ′) = ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′),  (3.19)

amit a Povzner-Levitan előállításba visszahelyettesítve, kapjuk a fix-energás inverz szórás probléma alapegyenletét, a Newton-Regge egyenletet:

φ_{l}(ρ) = φ̆_{l}(ρ) − ∑_{l′} c_{l′}L_{ll′}(ρ)φ_{l′}(ρ),  (3.20)

ahol L(ρ) a referencia függvényekből előállítható ismert matrix:

L_{ll′}(ρ) ≡ ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}φ̆_{l}(ρ′)φ̆_{l′}(ρ′).

Mármost az inverz probléma megoldási menete a következő.

(i) Az aszimptotikus tartományban (ρ → ∞) a bemenő kísérleti információ felhasználásával megoldjuk a Newton-Regge egyenleteket c_{l}−re. (Valójában c_{l} és A_{l} meghatározása történik az egyenletek valós és imaginárius részének szétválasztása segítségével);

(ii) c_{l}−ek ismeretében, újra a Newton-Regge egyenleteket használva, kiszámítjuk a megoldási függvényeket, φ_{l}(ρ)−ket, a kívánt tetszőleges ρ pontban;

(iii) K(ρ, ρ′) spektrális előállításából kiszámítjuk a transzformációs kernel diagonális részét, amelyből (14) szerint deriválással megkapjuk a keresett inverz potenciált.

Numerikus szempontból az inverz feladatok tipikusan rosszul kondícionáltak. Ezért fontos a kapott inverz potenciálok tesztelése oly módon, hogy elvégezzük velük a direkt szórás számolást is, azaz megoldjuk (15)-öt, s a kapott output fázistolásokat összehasonlítjuk az input fázistolásokkal. Ha egyezést kapunk, megnyugodhatunk: inverz potenciálunk valódi megoldása a feladatnak, és más potenciál nem létezik az egyértelműség miatt. Amennyiben nem kapunk egyezést, a megoldás numerikus pontosságán kell javítanunk, illetve meg kell vizsgálnunk, hogy a bemenő adatsorozatunk eleget tesz-e az egyértelműségi és egzisztencia kritériumoknak (pl. δ_{l} < Cl^{−3−ϵ} ld. később).

Megjegyzendő továbbá, hogy a 80-as évekig valós problémára nem volt használható a módszer. Scheid-nek^{∗} és munkatársainak köszönhető az, hogy manapság már rutinszerűen alkalmazható a (módosított) Newton-Sabatier módszer kísérleti adatok felhasználásával, pl. nehézion ütközésre, elektron atom/molekula ütközésre, s a szórást létrehozó effektív kölcsönhatási potenciál nagy biztonsággal történő meghatározására és elemzésére.

∗ M. Münchow and W. Scheid, Phys.Rev. Letters 44,1299 (1980)

3.4. EGZISZTENCIA ÉS EGYÉRTELMŰSÉG

1) megoldás létezése:

A (10)-es integrálegyenlet kernelje, ρ^{′′−2}g(ρ′′, ρ′) Fredholm osztályba tartozik (folytonos és korlátos), így, ha nincs nemtriviális megoldása a homogén egyenletnek, akkor (10)-nek van megoldása. A korlátosságra elegendő feltétel az, hogy a kernel a Hilbert-Schmidt osztályba tartozzon, azaz

∫_{0}^{R} dr r^{−2} ∫_{0}^{R} dr′ r′^{−2}[g(r, r′)]^{2} = ∑_{ll′} c_{l}c_{l′}[L_{ll′}(R)]^{2} < ∞.

2) egyértelműség:

Sabatier 1966-ben bebizonyította, hogy a Newton módszer egyértelmű megoldást ad, ha a fázistolásokra δ_{l} < Cl^{−3−ϵ} érvényes. (P.C. Sabatier további alapvető vizsgálatokat is végzett Newton fix-energiás inverz módszerével kapcsolatban, ezért nevezik a módszert az irodalomban Newton-Sabatier módszernek.)

A Fredholm alternatíva alkalmazható (vagy egy megoldás van csak és ekkor a homogén egyenletnek csak triviális megoldása van, vagy van több megoldás, de ilyenkor a homogén egyenletnek van nemtriviális megoldása is).

Elegendő tehát bizonyítani, hogy a homogén egyenletnek csak triviális megoldása van. A bizonyítás indirekt: feltesszük, hogy a homogén egyenletnek van nemtriviális megoldása → ellentmondásra jutunk.

Legyen tehát a

ξ(ρ, ρ′) = − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2}ξ(ρ, ρ′′)g(ρ′′, ρ′)  (HGL)

egyenletnek ξ(ρ, ρ′) ≠ 0 nemtriviális megoldása. Ekkor

ξ(ρ, ρ′) = − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2}ξ(ρ, ρ′′) ∑_{l} c_{l}φ̆_{l}(ρ′′)φ̆_{l}(ρ′)

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 3. Inverz szóráselmélet

= ∑_{l} c_{l}[ − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2}ξ(ρ, ρ′′)φ̆_{l}(ρ′′)]φ̆_{l}(ρ′) = ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′),

ahol

φ_{l}(ρ) = − ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}ξ(ρ, ρ′)φ̆_{l}(ρ′)  (∗)

a hullámfüggvény homogén egyenletnek megfelelő PL reprezentációja. Szorozzuk (*)-ot balról ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)−val:

∑_{l} c_{l}φ_{l}^{2}(ρ) = − ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}ξ(ρ, ρ′) ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′)

= − ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}ξ^{2}(ρ, ρ′)

Deriváljuk ezt az összefüggést ρ szerint.

\frac{d}{dρ} ∑_{l} c_{l}φ_{l}^{2}(ρ) = 2 ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ_{l}′(ρ)

= −ρ^{−2}ξ^{2}(ρ, ρ) − 2 ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}ξ(ρ, ρ′)\frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ}.  (′)

Másrészt deriváljuk (*)-ot, szorozzuk be 2c_{l}φ_{l}−lel és összegezzünk: φ_{l}′(ρ) = −ρ^{−2}ξ(ρ, ρ)φ̆_{l}(ρ)

− ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2} \frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ}φ̆_{l}(ρ′),

2 ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ_{l}′(ρ) = −2 ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ)ρ^{−2}ξ(ρ, ρ)

−2 ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2} \frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ} ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′)

= −2ρ^{−2}ξ^{2}(ρ, ρ) − 2 ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}ξ(ρ, ρ′)\frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ}.  (′′)

(′) és (′′) akkor lehet csak egyenlő, ha

ξ(ρ, ρ) ≡ 0.

Bizonyítottuk, hogy a megoldás a diagonális K(ρ, ρ)−ra egyértelmű.

Nemdiagonálisra való bizonyításhoz differenciáljuk (HGL)−t ρ szerint:

\frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ} = − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2} \frac{∂ξ(ρ, ρ′′)}{∂ρ}g(ρ′′, ρ′),  (HGL)

azaz

\frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ}

is megoldása (HGL)−nek, amely ρ → ρ′ limeszben eltűnik az előzőek szerint:

lim_{ρ→ρ′} \frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ} = 0.

Újbóli deriválások segítségével belátjuk, hogy az n−edik parciális deriváltja is eltűnik ξ(ρ, ρ′)−nak,

lim_{ρ→ρ′} \frac{∂^{n}ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ^{n}} = 0,

amelyből következik a nemdiagonális homogén megoldás eltűnése,

ξ(ρ, ρ′) ≡ 0.

3) Az inverz potenciálra vonatkozó

U = Ŭ − \frac{2}{ρ} \frac{d}{dρ} \frac{K(ρ, ρ)}{ρ}

kifejezés bizonyítása azon alapul, hogy a

ξ(ρ, ρ′) ≡ D(ρ)K(ρ, ρ′) − D̆(ρ′)K(ρ, ρ′)

összefüggés kielégíti (10) homogén változatát, tehát a ξ ≡ 0 kell legyen, azaz

D(ρ)K(ρ, ρ′) = D̆(ρ′)K(ρ, ρ′)

összefüggés érvényes, amelyet ki kell használni a következő pontbeli bizonyításhoz is.

4) A (18) alatti Povzner-Levitan reprezentáció eleget tesz a Schrödinger egyenletnek.

Alkalmazzuk (16)-ot (18)-ra, differenciáljunk, és integráljunk parciálisan, valamint használjuk ki az előző összefüggést. Viszonylagosan egyszerű számolással belátható a tétel. (Részletek megtalálhatók Murányi Ferenc: ^{12}C − ^{12}C rugalmas ütközést leíró nehézion potenciál meghatározása kvantummechanikai inverz szórással c. TDK dolgozatában [BME, 1997].)

3.5. INVERZ KVANTUM SZÓRÁS ÉS A NEMLINEÁRIS EVOLÚCIÓS EGYENLETEK MEGOLDÁSA.

Ebben a fejezetben a nemlineáris parciális differenciálegyenletek egzakt megoldását lehetővé tevő inverz szórás transzformációval (IST) fogunk megismerkedni, amely a Fourier-transzformáció általánosításaként fogható fel.

A nemlineáris evolúciós (elsőrendű parciális időderiváltat tartalmazó) egyenletek analitikus megoldásainak nagy szerepe van a fizikai alkalmazásokban a fizika szinte minden területén. Míg az előző fejezetekben ismertetett inverz kvantum szórás elméletek ’csupán’ a kvantumos rendszerek tulajdonságainak megismeréséhez (ti. a működő effektív kölcsönhatások felderítéséhez) jelentenek eszközt, addig az IST a fizika, biofizika, optika, hidrofizika, hírközlés, távérzékelés, geológia, légkörfizika stb. területén tesz lehetővé fontos alkalmazásokat, ill. különleges jelenségek megértését. Teszi ezt azáltal, hogy segítségével a nemlineáris evolúciós parciális differenciálegyenleteknek olyan megoldásai kereshetők meg, amelyek részecskeszerű tulajdonságokkal rendelkeznek: térben és időben állandó az alakjuk, egyenletes sebességgel terjednek és ütközés után ez a két tulajdonságukat megőrzik. Az ilyen típusú megoldásokat hívjuk szolitonoknak. A szolitonokat kiválóan lehet használni információ nagy távolsagokra történő gyors továbbítására (üvegszálas technika). Az árapályok által kiváltott, óriási energiát képviselő magányos tengerhullámok keletkezésének, természetének tanulmányozása nemcsak biztonsági szempontból, de gazdasági vonatkozásban is fontos lehet. Ezen hatalmas, akár száz méter magasságot is elérő magányos vízoszlopok erős mélytengeri áramlásokat okoznak, amelyek káros befolyással lehetnek pl. a mélytengeri olajfúrásokra.

Bár ebben a kis összefoglalóban nincs hely az IST alapján kiépíthető szisztematikus eljárás, az Ablowitz-Kaup-Newel-Segur (AKNS) séma ismertetésére, megjegyezzük, hogy ennek segítségével a nemlineáris evolúciós differenciálegyenletek nagy családjának szerkeszthető meg az állandó amplitúdójú haladóhullám megoldása (nemlineáris Schrödinger egyenlet, sine-Gordon egyenlet, Korteweg-deVries egyenlet, ld. fejezetvégi összefoglaló).

3.5.1. Felületi gravitációs (víz)hullámok felfedezése.

1834-ben J. Scott Russel skót hajómérnök érdekes megfigyelést tett. Egy sekély csatornán vontatott hajó hirtelen megállása után a hajó orránál keletkezett vízörvényből egy különös, mintegy 30 láb hosszúságú és 1 - 1 1/2 láb magas vízhullám vált ki és mintegy 8-9 mérföld/óra sebességgel mozgott tovább. Russel lovon követte a vízhullámot több mérföldön át, s annyira lenyűgözte az addig még soha meg nem figyelt jelenség, hogy saját kísérletezésbe kezdett. Több hasonló, állandó alakú hullámot sikerült előállítania. Kísérletezései során megállapította, hogy a vízhullám c sebessége a következő képletből számolható ki: c^{2} = g(h + η), ahol g a gravitációs gyorsulás, h a csatorna mélysége és η a hullám amplitúdója. A magasabb hullámok tehát gyorsabban haladnak.

Bár sokan próbálkoztak a jelenség megértésével (Airy 1845, Stokes 1847, Boussinesq 1871,1876, Rayleigh 1876), a magyarázó egyenlet felállítása csak 1895-ben sikerült D. J. Korteweg és G. de Vries fizikusoknak. Hosszadalmas levezetés után az η = η(x, t) amplitúdó tér és időfüggését illetően a következő parciális differenciálegyenletre jutottak (KdV egyenlet):

\frac{∂η}{dτ} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{h}} \frac{∂}{∂ξ} (\frac{1}{2} + \frac{2}{3}αη + \frac{1}{3}σ \frac{∂^{2}η}{∂ξ^{2}} ) ,

ahol α egy egynél jóval kisebb állandó, σ pedig magába sűríti a fizikai állandókat: σ = h^{3}/3 − T h/(ρg), ahol h a csatorna mélysége, T a víz felületi feszültsége, ρ a víz sűrűsége. A fenti evolúciós egyenletben τ jelenti az időt, ξ pedig a helyváltozót. Korteweg és de Vries megmutatta, hogy egyenletüknek létezik haladó hullám (magányos hullám, solitary wave) megoldása, amely csak ξ − cτ kombinációban függ az időtől és helytől. Mielőtt ezt a megoldást felírnánk, célszerű a fenti evolúciós egyenletet dimenzió nélküli alakba átírni, ami a következő transzformációkkal érhető el: t = τ\sqrt{g/(hσ)}/2, x = −ξ/\sqrt{σ}, és u = η/2 + α/3. Ezen transzformációkat használva, kapjuk a KdV egyenletek kanonikus alakját,

u_{t} + 6uu_{x} + u_{xxx} = 0,  (3.21)

amely a legegyszerűbb nemlineáris parciális differenciálegyenlet. Az első tag az időfejlődéssel kapcsolatos, a középső tag felelős a nemlinearitásért, az utolsó tag pedig a diszperziót okozza.

A KdV egyenlet haladóhullámú megoldása a következőképpen írható fel:

u(x, t) = 2κ^{2}sech^{2}{κ(x − 4κ^{2}t − x_{0})},  (3.22)

ahol κ és x_{0} állandók.^{1} Ez tényleg egy állandó alakú, állandó sebességgel tovaterjedő megoldás, és a terjedés sebessége az amplitúdó nagyságával arányos.

A KdV egyenlet a 60-as években került újra előtérbe, amikor vele kapcsolatosan fontos új alkalmazások láttak napvilágot. Így például a réteges hullámok leírására, az ion-akusztikus hullámok természetének felderítésére, a magnetohidrodinamikai hullámok tanulmányozására, vagy a plazmafizika és a rácsdinamika területén alkalmazható a KdV egyenlet.

Réteges folyadékokban létrejövő hullámok leírására több egyenlet is született, s mindegyiknek van stacionárius hullám megoldása. Így ma már jól érthetők a tengereken létrejövő, s a műholdas felvételeken is jól kimutatható ’magányos’ felületi vízhullámok létrejötte, haladása és nagyfokú stabilitása. Apel és Holbrook 1980-ban két napon át mintegy 250 tengeri mérföldön követett egy száz méter magas hullámot a szöuli tengeren. Osborn és Burch a Science tudományos magazin 258-as kötetének 1980-as évfolyamában a 451-460. oldalakon leír száz kilométer hosszú barázdákból álló, félnaponként megjelenő vízhullámokat a szumátrai beltengeren, amelyek kiváltó oka az árapályra vezethető vissza.

E fejezet összefoglalásaként megállapíthatjuk, hogy a KdV egyenlet alapján értjük ezen magányos hullámképződmények stabilitásának az okát: a nemlinearitási tag amplitúdó erősítő hatását ellensúlyozza a szétfolyást, diszperziót okozó harmadik tag.

3.5.2. Szolitonok felfedezése.

A nemlineáris egyenletek különlegesen stabil megoldásainak felfedezése visszanyúlik az ún. Fermi-Pasta-Ulum (FPU) probléma vizsgálatára. Fermiék 1955-ben szilárdtestek gerjesztéseinek tanulmányozására egy N figyelembe, hogy S ≡ sech(x) = 1/ cosh(x), S′ = − tanh(x)S, tanh′(x) = S^{2}. tömegpontból álló egydimenziós rácsot vettek, amelyben az egymástól h egyensúlyi távolságra levő m tömegű pontok kölcsönhatását az

1 Arról, hogy (3.22) kielégíti (3.21)-et, behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk. Vegyük

F (Δ) = −K(Δ + αΔ^{2})

anharmonikus erőtörvény szabja meg (K a rugóállandó, α egy kis szám, megfelelő dimenzióval, Δ a kitérés). Fermiék azt vizsgálták, miként oszlik el az energia az N darab, végpontokban rögzített (y_{0} = 0, y_{N} = 0) tömegpont között, ha az y(t) amplitúdókra (kitérésekre) vonatkozó kezdeti feltételek

y_{n}(0) = sin \frac{nπ}{N} ,  y_{n,τ} (0) = 0,  n = 0, 1, 2, ..., N.

Ez a kezdeti feltétel a potenciális energia (mω^{2}y^{2}/2) egy sima, de nem egyenletes elosztásnak felel meg. Azt várták, hogy az

mÿ_{n} = F (y_{n+1} − y_{n}) − F (y_{n} − y_{n−1}) =
= −K(y_{n+1} −2y_{n} +y_{n−1})(1+α(y_{n+1} −y_{n−1})),  n = 1, 2, ...N (3.23)

csatolt nemlineáris dinamikai egyenleteket megoldva a tömegpontok mẏ^{2}/2 + mω^{2}y^{2}/2 energiája egyenletesen oszlik el egy bizonyos idő után a nemlinearitást behozó anharmonicitási tag jelenléte miatt (ω = \sqrt{K/m} a sajátfrekvencia). Az N = 32 csatolt nemlineáris másodrendű közönséges differenciálegyenletet megoldva (amely feladathoz külön számítógépet építettek számukra) azonban azt találták, hogy nem osztódott szét az energia a tömegpontok között. Ellenkezőleg, időnként a teljes energia egy-egy rácspontra koncentrálódott, s ez a jelenség végigterjedt a teljes rácson.

A dolog tíz évig pihent, míg a sorozatban gyártott elektronikus számítógépek megjelenésével lehetőség nyílott a modell újraszámolására 1965-ben. Zabusky és Kruskal a FPU modell kontinuum változatát vizsgálta, amelyben a megoldást az y(x, t) amplitúdóra keressük. Dimenziótlan mennyiségekben az FPU probléma a következőképpen írható fel:

y_{tt} = y_{xx} + εy_{x}y_{xx} + \frac{1}{12}h^{2}y_{xxxx} + O(εh^{2}, h^{4}),  (3.24)

ahol ε = 2αh és x = n (most folytonos), t = t′ω (t′ a (3.23)-beli időváltozó, amely szerint a két ponttal jelölt deriválást végeztük). Mivel aszimptotikusan (nagy t−kre) egyirányba haladó hullámokat akartak kapni, megoldásként olyan ϕ(ξ, τ) hullámfüggvényt kerestek, amely csupán ξ = x − t és τ = εt/2 változóktól függ. A megfelelő egyenlet:

ϕ_{ξτ} + ϕ_{ξ}ϕ_{ξξ} + δ^{2}ϕ_{ξξξξ} + O(h^{2}, h^{4}ϵ^{−1}) = 0,

ahol δ^{2} = \frac{1}{12}h^{2}ε^{−1}.

Ez a differenciálegyenlet az u = ϕ_{ξ} transzformációval átmegy az

u_{τ} + uu_{ξ} + δ^{2}u_{ξξξ} = 0  (3.25)

differenciálegyenletbe, amely ekvivalens a KdV egyenlettel. A kezdeti feltétel most u(ξ, 0) = cos(πξ). A megoldás során azt tapasztalták, hogy δ = 0.022 esetén a u(ξ, τ) már majdnem (Dirac-δ–szerű) szingularitásba fejlődik, amikor a diszperziót okozó δ^{2}-es tag felerősödik és ez megakadályozza a szingularitás kifejlődését. Ehelyett u nyolc különálló magányos hullámra bomlik, melyek amplitúdója különböző. Amikor a gyorsabb haladású nagyobb amplitúdójú hullám utoléri a kisebb amplitúdójú hullámot, az áthaladás (ütközés) nem viseli meg a hullámokat, azok változatlan alakban jelennek meg az ütközés lefolyása után, legfeljebb egymástól való távolságukban különbözhetnek (fázistolás). Ezért, az ilyen egyedi, alakjukat megőrző hullámok megjelölésére vezette be Zabusky és Kruskal a szoliton megjelölést, emlékeztetve a részecskék rugalmas ütközéséhez hasonló jellegzetességekre.

A szolitonok tehát nemlineáris evolúciós parciális differenciálegyenletek olyan megoldásai, amelyek térben és időben stabilak, részecske tulajdonságokat mutatnak. Ezen első, meglepő szoliton megoldást követően a fizika számos területén sikerült a nemlineáris parciális differenciálegyenleteknek hasonló megoldásait megtalálni. Az a sejtés, hogy létezik egy ős (master) nemlineáris evolúciós egyenlet, amelyből az összes nemlineáris egyenlet ismert (és még nem ismert) analitikus megoldása leszármaztatható. Jelenleg az önduális Yang-Mills egyenleteket sejtik az ősegyenlet reprezentánsának, amelyből tehát minden nemlineáris evolúciós differenciálegyenlet szoliton megoldása leszármaztatható lenne.

3.5.3. Fourier transzformáció.

Említettük, hogy a nemlineáris evolúciós differenciálegyenletek szoliton típusú megoldásait lehetővé tevő inverz szórás transzformáció (IST) a Fourier transzformáció nem triviális általánosításának tekinthető. Ezért előbb röviden összefoglaljuk a Fourier transzformáció lényegét, amely a lineáris evolúciós egyenletek kezdeti érték feladat típusú általános megoldási sémája.

Legyen ugyanis egy tetszőleges lineáris evolúciós egyenlet a következő formában megadva:

u_{t} = L(x, t, u(x, t), u_{x}(x, t), ...),  (3.26)

ahol az L lineáris operátor a független váltózóktól az u megoldástól és ezek deriváltjaitól függhet. A feladat az, hogy keressük meg a (3.26)-ot kielégítő u(x, t) megoldást, ha az u(x, 0) = f(x) kezdeti feltétel adott (feltesszük, hogy f(|x| → ∞) = 0).

A Fourier transzformációs módszer alapját az adja meg, hogy tetszőleges függvény Fourier sorba fejthető,

u(x, t) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} û(k, ω)e^{i(kx−ωt)}dkdω,  (3.27)

ahol a kifejtési együtthatókat az

û(k, ω) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} u(x, t)e^{−i(kx−ωt)}dxdt

képletekből számolhatjuk ki. Egymásba helyettesítéssel, és az integrálások felcserélésével Dirac-delta függvényeket kapunk, amelyekre a maradék integrálásokat elvégezve, azonosságot nyerünk.

Tekintsük most a keresett u(x, t) megoldás Fourier transzformáltját a következő formában

u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} û(k, t)e^{ikx}dk,  (3.28)

ahol

û(k, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} u(x, t)e^{−ikx}dx.

Vegyük most (3.26) Fourier transzformáltját:

û_{t}(k, t) = −iω(k)û(k, t),  (3.29)

ahol a jobboldalon felhasználtuk a diszperziós összefüggést, amely a lineáris differenciálegyenletet jellemzi (s megkaphatjuk (3.27) (3.26)-ba való helyettesítésével). Ez az egyenlet adja meg a transzformált térben (k-térben) a megoldás időfüggését:

û(k, t) = û(k, 0)e^{−iω(k)t},  (3.30)

ahol û(k, 0)-at a kezdeti feltétel egyértelműen meghatározza,

û(k, 0) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} f(x)e^{−ikx}dx ≡ f̂(k).  (3.31)

(30) és (31) (28)-ba való helyettesítésével kapjuk az általános megoldást:

u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} f̂(k)e^{i(kx−ω(k)t)}dk.  (3.32)

Láthatjuk tehát, hogy a megoldás menete a következő:

u(x, 0) = f(x)  \underrightarrow{F T}  û(k, 0) = f̂(k)

↓ û_{t} = −iω(k)û

u(x, t)  \underleftarrow{(F T)^{−1}}  û(k, t)

Fourier transzformáció: Lineáris evolúciós egyenletek megoldási sémája.

Lineáris probléma esetén a megoldást a diszperziós reláció egyértelműen meghatározza, ezért az ω = ω(k) összefüggés a lineáris evolúciós egyenletek legfontosabb jellemzője. Ennek segítségével definiáljuk a fázis sebességet: v_{ph} = \frac{ω(k)}{k}, valamint a csoport sebességet: v_{gr} = ω′(k). Amennyiben v_{ph} ≠ v_{gr}, a lineáris rendszer diszperzív, benne különböző sebességű elemi módusok léteznek. Ekkor a kezdetben lokalizált megoldás idővel szétfolyik, elenyészik, diszpergálódik.

Általános esetben a diszperziós reláció lehet komplex is: ω = ω_{R} + iω_{I}. Amennyiben ω_{I} = 0, a lineáris rendszer stabil (konzervatív). Amennyiben ω_{I} > 0, a lineáris rendszer instabil. Ha ω_{I} < 0, a lineáris rendszer disszipatív.

A hullámegyenlet

u_{tt} − u_{xx} = 0 ⟺ −ω^{2} + k^{2} = 0 → ω = ±k, v_{ph} = v_{gr} = ±1,

stabil, nem diszperzív.

A Schrödinger egyenlet, szabad mozgás esetén,

iu_{t} = −u_{xx} ⟺ ω = k^{2} → v_{ph} = k, v_{gr} = 2k,

stabil, diszperzív.

A diffúzió (hővezetés) egyenlete

u_{t} = u_{xx} ⟺ −iω = −k^{2} → ω = −ik^{2}, v_{ph} ≠ v_{gr},

diszperzív, disszipatív.

A linearizált KdV egyenlet

u_{t} + u_{xxx} = 0 ⟺ −iω + (ik)^{3} → ω = −k^{3}, v_{ph} ≠ v_{gr},

diszperzív, stabil.

3.5.3. Inverz szórás transzformáció.

Miután Kruskal és Zabusky oly szépen visszavezette a rácsrezgések problémáját a nemlineáris felületi hullámjelenségek problémájára, és a numerikus megoldás közben különlegesen stabil megoldás sorozatokat (szolitonokat) talált, szükségesnek mutatkozott eredményeik analitikus oldalról való alátámasztása is.

Ezt a munkát Gardner, Green, Kruskal és Miura végezte el 1967ben (Phys. Rev. Letters 19, p.1095). Eredményük egy olyan összefüggésen alapult, amely két differenciálegyenlet megoldásai között állt fenn. Ahhoz, hogy a két nemlineáris differenciálegyenlet a ψ(x, t) közös megoldással rendelkezzen, a közös megoldásnak kompatibilitási feltételnek kell eleget tenni, amely a parciális deriváltak felcserélhetőségét jelenti: ψ_{xxt} = ψ_{txx}. E feltétel kielégítése azt eredményezte, hogy a KdV egyenlet szétesett két lineáris differenciál egyenletre. Az egyik egyenlet az időfüggetlen Schrödinger sajátérték problémának felelt meg, a másik egyenlet az időfejlődést tartalmazta. Az első egyenletben, az időfüggetlen Schrödinger egyenletben az adott kezdeti érték, u(x, 0) játssza a potenciál szerepét, fix időparaméter mellett, a dinamikai változó az x koordináta. Ennek a ’potenciál’ problémának egyértelműen megfelelnek a sajátértékek, csak meg kell oldani a Schrödinger egyenletet (direkt szórás) a diszkrét és folytonos sajátértékekre. Ezt a spektrumot S(λ, 0)−val jelölve, felhasználhatjuk a másik egyenletet az x → ±∞ limitben arra, hogy időfejlődést adjunk a spektrál paramétereknek. Az így kapott S(λ, t) spektrál adatokat pedig a Gel’fand-Levitan-Marchenko egyenlettel inverz transzformáljuk az u(x, t) potenciállá, ami a keresett megoldás. Az egész eljárás hasonlít a Fourier transzformációs módszerre, de lényeges szerepe van a kvantummechanikai direkt és inverz szórás problémának, ezért nevezték Kruskalék eljárásukat inverz szórás transzformációnak (IST).

Láthatjuk tehát, hogy a nemlineáris evolúciós differenciálegyenletek megoldási menete a következő:

u(x, 0)  \underrightarrow{DS (Schr.egyenlet)}  S(λ, 0)

t − fejlesztés ↓

u(x, t)  \underleftarrow{IS (GLM egyenlet)}  S(λ, t)

IST: nemlineáris evolúciós egyenletek megoldási sémája (S ≡ {En, Rn = 0, Tn}).

Mivel a spektrál adatok időfejlesztését szolgáló egyenlet általában egyszerű, traszparens potenciál (reflexiós együttható=0) esetén a GLM egyenlet egyszerűvé válik, az IST probléma analitikusan is megoldható. A KdV egyenlet esetén azon megoldások, amelyekben a reflexiós együtthatót zérusnak választjuk, N szoliton megoldást mutatnak, amint t → ±∞ :

u_{n}(x, t) = 2κ_{n}^{2}sech^{2}{κ_{n}(x − 4κ_{n}^{2}t − x_{n})},  (3.33)

ahol κ_{n} a kötött állapotokkal van kapcsolatban, x_{n} pedig a kötött állapotok normálási állandóinak felelnek meg.

A szolitonok tehát olyan kezdeti feltétellel kapcsolatosak, amelyeket potenciálként betéve a Schrődinger egyenletbe, átlátszónak, transzparensnek bizonyulnak szórás szempontjából (zérus fázistolást produkálnak). A szolitonok száma egyértelmű kapcsolatban áll az u(x, 0) kezdeti feltétel (potenciál) által meghatározott kötött állapotok számával, az amplitúdó és sebesség pedig a kötött állapotok energiaértékével.

Pl. az általános két szoliton megoldása a KdV egyenletnek a következő:

u(x, t) = 12 \{\frac{3 + 4 cosh(2x − 8t) + cosh(4x − 64t)}{[3 cosh(x − 28t) + cosh(3x − 36t)]^{2}}\} .

Véve a t → ±∞ határátmenetet, kapjuk:

u(x, t) ∼ 2sech^{2}(η ± \frac{1}{2} ln 3) + 8sech^{2}(2ξ ∓ \frac{1}{2} ln 3),

ahol ξ = x − 16t és η = x − 4t.

Az IST matematikai tartalmát teljes mélységben Lax Péter tárta fel 1968-ban. Általánosítása utat mutatott egy későbbi séma felállítására (AKNS-eljárás, ld. fejezet eleje), amely segítségével végtelen sok nemlineáris evolúciós egyenlet megoldható analitikusan.

Lax Péter formalizmusa a következő (P. Lax, Comm. Pure and Appl. Math. 21,467 (1968)). Tekintsük az L és M lineáris operátorokat, amelyek közül L a spektrál probléma operátora, M pedig a sajátfüggvény időfejlődését irányítja:

Lv = λv,  (3.34)
v_{t} = Mv.  (3.35)

Vegyük (34) időderiváltját:

L_{t}v + Lv_{t} = λ_{t}v + λv_{t}.

Felhasználva (35)-öt, majd (34)-et, ez a következőképpen is írható:

L_{t}v + LMv = λ_{t}v + λMv
= λ_{t}v + Mλv
= λ_{t}v + MLv.

Azt kaptuk, hogy

[L_{t} + (LM − ML)]v = λ_{t}v,

s ezért, ahhoz, hogy nemtriviális v(x, t) sajátfüggvényt kapjunk megoldásként, szükséges az, hogy λ_{t} = 0 legyen, azaz

L_{t} = [M, L].  (3.36)

Ez a Lax egyenlet, az L és M operátorokat Lax-párnak hívjuk.

Az

L = ∂_{xx} + u, M = u_{x} − (4λ + 2u)∂_{x}

választással (36) a KdV egyenletre vezet. (Kihasználandó a v_{xxt} = v_{txx} kompatibilitási feltétel.) L és M más választásával más parciális differenciálegyenletre jutunk, amit az IST-vel megoldhatunk.

A fizikában alkalmazást nyert és IST-vel megoldható legfontosabb nemlineáris egyenletek a következők:

u_{t} + 6uu_{x} + u_{xxx} = 0,

a KdV egyenlet, amit a hidrodinamikában és plazmafizikában használnak (ld. Phys.Rev. Letters 17, 996 (1966));

u_{tt} − u_{xx} + κ sin(u) = 0, κ = konst.

a sine-Gordon egyenlet, amit az optikában [önindukált veszteség nélküli terjedés (ld. J.Math. Phys 9,1202 (1969), J. Quan. EI.IEEE, QE1, 169 (1965)), a szilárdtest fizikában és kvantumtérelméletben használnak (ld. Phys.Rev D 10, 4114; 11, 3424; 12, 2443 (1974,1975), Theoret. Mat.Phys 25, 1039 (1975)) használnak; és

iu_{t} + u_{xx} + κu^{2}u^{∗} = 0,

a nemlineáris Schrödinger egyenlet, amit az optikában (hullámvezető, ld. Hasegawa: Optical solitons in fibers (Springer, Berlin, 1989)), plazmafizikában (Zakharov, Zsetf. 62, 1745 (1972)), biológiában (Davydov-szolitonok, Physica 3D 1 & 2 , 1 (1981)), valamint a hidrodinamikában (Sov. Phys. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 4, 190 (1968)) alkalmaznak.