Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 2. Direkt szóráselmélet

2. DIREKT SZÓRÁSELMÉLET

A kvantumfizikában minden szóráskísérlet hátterében az a cél húzódik meg, hogy információt szerezzünk a szóródó (összetett) részecskék közötti kölcsönhatásokról. Az ütközésben általában két részecske vesz részt: a bombázódó céltárgy, a target és a bombázó lövedék, a projektil. A méréseket laboratóriumban végezzük, itt a target az ütközés előtt nyugalomban van. Az elméleti leírás ezzel szemben általában tömegközépponti koordináta rendszerben történik, ahol a kétrészecske rendszer tömegközéppontja van nyugalomban. Abban az esetben, ha a két részecske kölcsönhatási potenciálja csak a részecskék relatív távolságától függ, az elméleti leírás a relatív koordináta rendszert használja, amelyben a kétrészecske probléma egyrészecske problémává redukálódik. (Olyan egyrészecskéére, amelynek tömege a redukált tömeg, azaz mindkét partner tömegénél kisebb tömeg.) Bár a relatív koordináta rendszer nem inercia rendszer (az impulzus nem marad meg), a relatív energia és a relatív impulzusmomentum megmarad (lévén, hogy ezek megegyeznek a tömegközépponti rendszerbeli értékekkel).

Első lépésként áttekintjük a mérések kiértékeléséhez szükséges energia és szórási szög transzformációs képleteket. A továbbiakban klasszikus mechanikai és kvantummechanikai tanulmányaink elemeit alkalmazzuk töltött részecskék ütközése esetére s levezetjük Rutherford szórási képletét, valamint meghatározzuk a Coulomb szórási amplitúdót. Ezután érintjük a szennyezések környezetében létrejövő Friedeloszcillációkat, illetve az ún. Friedel-összegszabályt és a fázistolások előjelének az ütközési idővel kapcsolatos összefüggését tisztázzuk. A fejezet végén a kétdimenziós kvantummechanikai szórás elemeit alkalmazzuk töltött részecskék szórására.

2.1. LABOR ÉS TÖMEGKÖZÉPPONTI RENDSZERBELI ENERGIÁK ÉS SZÓRÁSI SZÖGEK KÖZTI ÖSSZEFÜG-GÉSEK

Jelölje m_{1} és m_{2} a két ütköző részecske tömegét, v_{1} és v_{2} labor rendszerbeli (L-i) sebességüket, w_{1} és w_{2} tömegközéppont rendszerbeli (tkp-i) sebességüket, ütközés előtt. Az ütközés utáni sebességek: v′_{1}, v′_{2}, illetve w′_{1}, w′_{2}. Legyen a 2-es részecske a target, azaz v_{2} = 0.

A tömegközéppont sebessége labor rendszerben

u^{L} = \frac{m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1}v′_{1} + m_{2}v′_{2}}{m_{1} + m_{2}} ,

míg tkp-i rendszerben

u^{tkp} = 0 = \frac{m_{1}w_{1} + m_{2}w_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1}w′_{1} + m_{2}w′_{2}}{m_{1} + m_{2}} .

A tkp-i és labor rendszerbeli sebességek közötti különbség éppen a tömegközéppont labor rendszerbeli sebessége:

v_{1} = w_{1}+u^{L}, → w_{1} = v_{1}−u^{L} = v_{1} (1 − \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} ) = v_{1} \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

és

v_{2} = 0 = w_{2} + u^{L}, → w_{2} = −u^{L} = −v_{1} \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} .

Látjuk, hogy u^{L}||v_{1}, w_{1}||v_{1}, w_{2}||v_{1}. Ezen, egy egyenesen fekvő, sebességvektorok jelölik ki a szórás z−tengelyét, amelytől mérjük a θ szórási szöget.

Azonos tömegek, m_{1} = m_{2} esetén, w_{1} = \frac{1}{2}v_{1}, w_{2} = −w_{1}.

A tkp-i sebességek nagysága rugalmas ütközés során nem változik. Ezt a következőképpen láthatjuk be. A tkp-i teljes impulzus definíció szerint zérus: 0 = m_{1}w_{1} + m_{2}w_{2} = m_{1}w′_{1} + m_{2}w′_{2}, amiből w_{2} = w_{1}m_{1}/m_{2} és w′_{2} = w′_{1}m_{1}/m_{2} adódik. A tkp-i energiamegmaradás miatt m_{1}w_{1}^{2} + m_{2}w_{2}^{2} = m_{1}w′_{1}^{2} + m_{2}w′_{2}^{2} írható, amiből 0 = m_{1}(w_{1}^{2} − w′_{1}^{2}) + m_{2}(w_{2}^{2} − w′_{2}^{2}) = m_{1}(w_{1}^{2} −w′_{1}^{2})+(m_{1}^{2}/m_{2})(w_{1}^{2} −w′_{1}^{2}) = m_{1}(1+m_{1}/m_{2})(w_{1}^{2} −w′_{1}^{2}). Mivel m_{1} ≠ 0, kell, hogy w_{1}^{2} = w′_{1}^{2} fennálljon. Azaz w_{1} = w′_{1}. Hasonlóan, w_{2} = w′_{2} fennállása is bizonyítható m_{2} ≠ 0 révén.

Ezek után az energiák közti átszámítást könnyen megkapjuk. (Csak kinetikus energiákról van szó, mert a részecskéknek most nem tulajdonítunk szerkezetet, azaz belső energiát.)

Labor rendszerben:

E^{L} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} ≡ E_{1}.

Tkp-i rendszerben:

E^{tkp} = \frac{1}{2}(m_{1}w_{1}^{2} + m_{2}w_{2}^{2}) = \frac{1}{2} \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1}^{2} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} E^{L}.  (2.1)

A két energia különbsége éppen a tömegközéppont kinetikus energiája:

E^{L} − E^{tkp} = \frac{1}{2}(m_{1} + m_{2}) (u^{L})^{2} .

Egyenlő tömegek esetén: E^{tkp} = \frac{1}{2}E^{L}.

Kevésbé gyakran tárgyalt összefüggés a szórási szögek, θ^{L} és θ^{tkp} közti transzformáció. Ennek fontossága azonnal nyilvánvalóvá válik, ha a hatáskeresztmetszetek alábbi összefüggésére tekintünk, amely a detektált részecskeszámok vonatkoztatási rendszertől való függetlenségét fejezi ki:

(\frac{dσ}{dΩ})_{L} dΩ^{L} = (\frac{dσ}{dΩ})_{tkp} dΩ^{tkp},

amiből

(\frac{dσ}{dΩ})_{L} = (\frac{dσ}{dΩ})_{tkp} \frac{dΩ^{tkp}}{dΩ^{L}} ,

azaz a mért laborbeli és a számolt tkp-i hatáskeresztmetszetek közötti transzformációt a

\frac{dΩ^{tkp}}{dΩ^{L}} = \frac{d cos θ^{tkp}}{d cos θ^{L}}  (2.2)

biztosítja, mivel az ütközés síkban zajlik le s így az azimutális szögváltozók nem transzformálódnak (ϕ^{L} = ϕ^{tkp}).

Mármost, ütközés előtt

v_{1} = w_{1} + u^{L}.

Ütközés után pedig az alábbi egyenleteket írhatjuk fel a szórási szögek tkp-i és labor rendszerbeli értéke között (ld. 2.1. ábra):

w′_{1} sin θ^{tkp} = v′_{1} sin θ^{L},

w′_{1} cos θ^{tkp} + u^{L} = v′_{1} cos θ^{L}.

2.1. Ábra: szórási szögek közti összefüggések.

Elosztva egymással a két egyenletet, kapjuk a hasznos összefüggést:

tan θ^{L} = \frac{sin θ^{tkp}}{cos θ^{tkp} + λ},

ahol λ = u^{L}/w′_{1} = u^{L}/w_{1} = \frac{m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}} \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{2}v_{1}} = m_{1}/m_{2}. Itt a második egyenlőség jel után felhasználtuk az imént levezetett w_{1} = w′_{1} egyenlőséget, ami rugalmas ütközések esetére érvényes. (Rugalmatlan ütközések esetén a fenti transzformációs képlet kicsit más.) Ahhoz, hogy a (2.2) transzformációs képletet megkapjuk, még négyzetre emelést és gyökvonást kell végeznünk, amiből a következő összefüggést nyerjük:

cos θ^{L} = \frac{cos θ^{tkp} + λ}{\sqrt{1 + 2λ cos θ^{tkp} + λ^{2}}} .

Deriválva ezt a kifejezést, kapjuk a kívánt eredményt:

\frac{d cos θ^{tkp}}{d cos θ^{L}} = \frac{(1 + 2λ cos θ^{tkp} + λ^{2})^{3/2}}{|1 + λ cos θ^{tkp}|} .  (2.3)

Könnyen belátható a fenti képletekből, hogy azonos tömegű részecskék rugalmas ütközése (λ = 1) esetén a differenciális hatáskeresztmetszetek között a

(\frac{dσ}{dΩ})_{L} = 4 cos θ^{L} (\frac{dσ}{dΩ})_{tkp}

egyszerű összefüggés áll fenn, a szórási szögek tartománya pedig 0 ≤ θ^{tkp} ≤ π, illetve 0 ≤ θ^{L} ≤ π/2 értékekre korlátozódik és θ^{L} = θ^{tkp}/2.

A fenti képleteket haszonnal kamatoztathatjuk, ha például inverz szórás segítségével (ld. 3. fejezet) fázistolásokból akarjuk meghatározni a mikrorendszerek (atomok, atommagok stb.) szóródását létrehozó kölcsönhatást. Mivel mindig labor rendszerben mérjük a differenciális hatáskeresztmetszeteket, a mért szög és a hatáskeresztmetszet értékeket először át kell számítani a megfelelő tömegközépponti értékekre. Ezután a hatáskeresztmetszet ismert elméleti formulájának (ld. potenciál szórás) felhasználásával és valamilyen modell független eljárás segítségével meghatározhatjuk az inverz módszer input adatait képező fázistolásokat.

2.2. KLASSZIKUS COULOMB SZÓRÁS

Először a gömbszimmetrikus V (r) potenciállal kölcsönható kétrészecske szórás esetét vizsgáljuk. Mivel a részecskéknek nem tulajdonítunk szerkezetet (nem gerjeszthetők, belső állapotuk nem változtatható meg), csak rugalmas ütközésre van lehetőség.

A teljes energia a két részecske kinetikus energiájából, valamint a kölcsönhatási potenciális energiából tevődik össze, amit tömegközépponti és relatív energia felbontásban is írhatunk:

E = \frac{1}{2}m_{1}ṙ_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}ṙ_{2}^{2} + V (r) = \frac{1}{2}MṘ^{2} + \frac{1}{2}μṙ^{2} + V (r) ≡ \frac{1}{2}MṘ^{2} + E_{r}.

Itt a szokásos M = m_{1} +m_{2}, R = (m_{1}r_{1} +m_{2}r_{2})/(m_{1} +m_{2}), r = r_{2} −r_{1} és μ = m_{1}m_{2}/(m_{1} + m_{2}) jelölést alkalmaztuk.

Az impulzusmomentumot szintén felírhatjuk, mint két részecske labor rendszerbeli impulzusmomentumának összege, illetve mint a tömegközéppont impulzusmomentuma plusz a relatív impulzusmomentum:

L = (r_{1} ×m_{1}ṙ_{1})+(r_{2} ×m_{2}ṙ_{2}) = (R×MṘ)+(r×μṙ) ≡ (R×MṘ)+L_{r}.

A relatív mozgást klasszikusan a Newton egyenlet írja le

μr̈ = −∇V (r),

amelyet ṙ-rel skalárisan megszorozva kapjuk az energiamegmaradást kifejező egyenletet a következőképpen:

μr̈ṙ + ∇V (r)ṙ = 0.

Az első tag a kinetikus energia teljes időderiváltja, \frac{d}{dt} (\frac{1}{2}μṙ^{2}). A második tag pedig a potenciál teljes deriváltjaként írható, mivel a centrális potenciál csak az r(t) változón keresztül függ az időtől, explicite nem: \frac{dV (r(t))}{dt} = ∇V (r)ṙ + \frac{∂V}{∂t} = ∇V (r)ṙ. Végeredményben tehát a relatív kinetikus energia időbeli állandóságát kaptuk:

\frac{d}{dt} (\frac{1}{2}μṙ^{2} + V (r)) ≡ \frac{d}{dt}E_{r} = 0.

Mivel V (r → ∞) = 0, a relatív sebesség abszolút értéke, |ṙ| is megmarad ütközés előtt és után, amint annak rugalmas ütközések esetén lennie kell.

A mozgásegyenletet r-rel vektoriálisan beszorozva, a relatív impulzusmomentum időbeli állandóságát kifejező összefüggést kapjuk (r × ∇ ≡ 0):

\frac{d}{dt} (r × μṙ) = \frac{d}{dt}L_{r} = 0.

Mivel r(t)L_{r} = 0, az ütközés az L_{r}-re merőleges síkban zajlik le. Relatív koordináta rendszerünk origója a target, innen mutat az r = (x, y) = (r cos φ, r sin φ) helyvektor a projektil felé, ahol φ az a polárszög, amely a kezdeti beesési x−irány tengelyétől (általában ezt szoktuk z−tengelynek nevezni) méri a szöget az r helyvektorig. t = −∞-ben φ = π, majd az idő növekedtével φ csökken, t = ∞ esetén értéke megegyezik a θ szórási szög értékével.

A relatív energia képletét célszerű polár koordináta rendszerben is felírni:

E_{r} = \frac{1}{2}μ (ṙ^{2} + r^{2}φ̇^{2}) + V (r).

A relatív impulzusmomentum nagysága is felírható polár koordináta rendszerben:

L_{r} = μbv = −μr^{2}φ̇,

ahol a − előjel van figyelemmel φ időbeli csökkenésére, és bevezettük a b ütközési (impakt) paramétert és a v kezdeti relatív sebességet a jól ismert definíciókkal.

Az impulzusmomentum egyenletéből a φ̇ szögsebességet kifejezve,

φ̇ = −\frac{L_{r}}{μr^{2}} = −\frac{bv}{r^{2}} ,

és ezt E_{r} kifejezésébe helyettesítve,

E_{r} = \frac{1}{2}μṙ^{2} + \frac{L_{r}^{2}}{2μr^{2}} + V (r) = \frac{1}{2}μṙ^{2} + \frac{μb^{2}v^{2}}{2r^{2}} + V (r),

a következő egyenletet nyerjük az ṙ^{2} radiális sebesség négyzetére (E_{r} = μv^{2}/2):

ṙ^{2} = \frac{2E_{r}}{μ} − \frac{2V}{μ} − \frac{b^{2}v^{2}}{r^{2}} = v^{2} (1 − \frac{V}{E_{r}} − \frac{b^{2}}{r^{2}} ) .

Ebből gyököt vonva nyerjük a potenciálszórásra vonatkozó klasszikus radiális sebesség egyenletet:

ṙ = ∓v \{1 − \frac{V (r)}{E_{r}} − \frac{b^{2}}{r^{2}} \}^{\frac{1}{2}} .

A ∓ előjel azt jelzi, hogy a projektil kezdetben közeledik a targethez, ekkor a sebesség negatív, majd, elérve a legkisebb megközelítési távolságot, r_{m}-et, ettől kezdve távolodik a targettől, így sebessége pozitív. A megközelítés legkisebb távolságát a zérus sebesség határozza meg:

0 = \{1 − \frac{V (r_{m})}{E_{r}} − \frac{b^{2}}{r_{m}^{2}} \} ,

ami egy implicit egyenletet jelent az r_{m} = r_{m}(E_{r}, b) függvényre.

Kombinálva a szögsebesség és radiális sebesség egyenletét, megkaphatjuk az eltérülés szögére (szórási szög) vonatkozó egyenletet. Először a φ polárszög megváltozásának egyenletét származtatjuk le:

dφ = \frac{dφ}{dr}dr = \frac{φ̇}{ṙ}dr = ±\frac{b}{r^{2}} \{1 − \frac{V (r)}{E_{r}} − \frac{b^{2}}{r^{2}} \}^{− \frac{1}{2}} dr.

φ zéruspontját a pálya szimmetria tengelyénél felvéve, azaz a φ(r_{m}) = 0 által kijelölt apszistól mérve, látható a fenti egyenletből, hogy a φ(r) trajektória szimmetrikus erre az apszisra nézve, mivel ugyanaz az r érték tartozik a +φ-hez, mint a −φ-hez. φ-t továbbra is a pozitív x−tengelytől mérve, integrálás után a szórási szög

θ = π − 2 ∫_{r_{m}}^{∞} \frac{b}{r^{2}} \{1 − \frac{V (r)}{E_{r}} − \frac{b^{2}}{r^{2}} \}^{− \frac{1}{2}} dr ≡ θ(b, E_{r}).

Coulomb potenciál, V (r) = C/r, esetére alkalmazva:

θ = π − 2 ∫_{r_{m}}^{∞} \frac{b}{r^{2}} \{1 − \frac{C}{rE_{r}} − \frac{b^{2}}{r^{2}} \}^{− \frac{1}{2}} dr = 2 arcsin \frac{C/2bE_{r}}{\{1 + (C/2bE_{r})^{2}\}^{1/2}} ,

amely eredményt az

∫_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{dx}{x(ax^{2} + bx + c)^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{−c}} arcsin \frac{bx + 2c}{x(b^{2} − 4ac)^{1/2}} ]_{x_{1}}^{x_{2}}

integrációs képlet használatával kaptuk meg.* Szükség volt még az

arcsin x − arcsin y = arcsin(x\sqrt{1 − y^{2}} − y\sqrt{1 − x^{2}})

összegzési tétel alkalmazására (xy ≥ 0), valamint az

r_{m}^{2} − \frac{C}{E_{r}} r_{m} − b^{2} = 0,

összefüggés megoldásából adódó r_{m} minimális megközelítési távolság, Coulomb potenciál esetén érvényes, következő értékére:

r_{m} = \frac{C/E_{r} ± \sqrt{(C/E_{r})^{2} + 4b^{2}}}{2} = b\{C/2bE_{r} + ((C/2bE_{r})^{2} + 1)^{1/2}\}.

Látjuk, hogy Coulomb potenciálra centrális ütközés (b = 0) esetén a minimális ütközési távolság:

r_{m}(b = 0) = C/E_{r} ≡ R(E_{r}).

A szórási szögre vonatkozó képletet másként írva,

sin \frac{1}{2}θ = \frac{C/2bE_{r}}{\{1 + (C/2bE_{r})^{2}\}^{1/2}} ,

azaz

tan \frac{1}{2}θ = C/2bE_{r} = R(E_{r})/2b.

Ez az egyszerű összefüggés lesz a Coulomb szórási hatáskeresztmetszet kiszámolásának az alapja.

* Ld. pl. Bronstein 1.1.3.3 fejezet 258. integrál.

Differenciális hatáskeresztmetszet

A σ(θ, E_{1}) differenciális hatáskeresztmetszet a részecskék θ irányokba való szóródásának valószínűségét, a mérő apparátus által észlelt eloszlásának intenzitását, az ún. szögeloszlását adja meg. Azt mutatja meg, hogy a b és b + db közti körszeleten áthaladó ϕ fluxussűrűségű projektil részecskék közül mennyi jelenik meg a szórás után a θ(b) és θ(b + db) = θ(b) + dθ szórási szögtartományban.**

ϕ2πb|db| = ϕσ(θ)dΩ = ϕσ(θ)2π sin θ|dθ|,

ahol ϕ = nv a beeső részecskék homogén fluxus sűrűsége, azaz az egységnyi felületen egységnyi idő alatt áthaladó részecskék száma (n a sűrűség, v a sebesség). Átrendezve,

σ(θ) = \frac{b}{sin θ} |\frac{db}{dθ} | .  (2.4)

2.2 Ábra. Szemléltetés a differenciális hatáskeresztmetszet definícójához.

Alkalmazva a fenti definiciót Coulomb szórásra, kapjuk

σ_{c}(θ) = \frac{b}{sin θ} |\frac{db}{dθ} | = \frac{b}{sin θ} \frac{R}{4} \frac{1}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} =

= \frac{(C/4E_{r})^{2}}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} = (\frac{R}{4})^{2} \frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} .  (2.5)

ϕσ(θ)dΩ = ϕ_{r}r^{2}dΩ.

** Kvantummechanikában a fenti definíciót, tehát a másodpercenként a dΩ térszögbe szóródó

részecskék számát, a leíráshoz jobban illeszkedő radiális fluxussal fejezzük ki:

Ez Rutherford képlete, ami független C előjelétől. C > 0 esetén azonban 0 ≤ θ ≤ π érvényes, míg C < 0 esetén −π ≤ θ ≤ 0.

Transzfer hatáskeresztmetszet

Rugalmas ütközés során energia (és impulzus) transzferálódik át a projektilről a targetre (inercia rendszerből figyelve az eseményt). Az átadódott energia nyilván ΔE = E′_{2} ≡ T -vel, azaz a ”2”-es részecske (target) ütközés utáni (visszalökődési) energiájával egyenlő, amit szokás T -vel jelölni.

Egyszerű számolással kapjuk:

T = E′_{2} = E_{1} \frac{4m_{1}m_{2}}{M^{2}} sin^{2} \frac{1}{2}θ ≡ T_{m} sin^{2} \frac{1}{2}θ = E_{1} \frac{2m_{1}m_{2}}{M^{2}} (1 − cos θ),

ahol bevezettük a θ = π esetén (centrális ütközés) transzferálódó maximális energiát:

T_{m} = E_{1} \frac{4m_{1}m_{2}}{M^{2}} .

Az energia transzport (vagy momentum transzfer) hatáskeresztmetszet, hasonlóan a labor–tkp hatáskeresztmetszetek egymásba való számolásához, egyszerű transzformációval kapható a szögeloszlást jelentő differenciális hatáskeresztmetszetből:

ϕ2πb|db| = ϕσ(θ, E_{1})dΩ = ϕσ_{m}(T, E_{1})dE′_{2},

amelyből

σ_{m}(T, E_{1}) = σ(θ, E_{1})\frac{dΩ}{dE′_{2}} = σ(θ, E_{1})2π sin θ \frac{dθ}{dE′_{2}}

= −σ(θ, E_{1})2π \frac{d cos θ}{dE′_{2}} = +σ(θ, E_{1})2π \frac{1}{E_{1} \frac{2m_{1}m_{2}}{M^{2}}} = σ(θ, E_{1})\frac{4π}{T_{m}} .

Coulomb szórásra alkalmazva, további átalakításokra nyílik lehetőség. Mivel

\frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} = (\frac{T_{m}}{T} )^{2} és R = \frac{C}{E_{r}} ,

ezért

σ_{m,c}(T, E_{1}) = σ_{c}(θ, E_{1})\frac{4π}{T_{m}} = (\frac{C}{4E_{r}} )^{2} \frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} \frac{4π}{T_{m}} =

= (\frac{C}{4E_{r}} )^{2} \frac{4π}{T^{2}} T_{m} = \frac{πR^{2}(E_{1})}{4} \frac{T_{m}}{T^{2}} ,  (2.6)

ahol 0 ≤ T ≤ T_{m}. Mint látjuk, kis energia-transzfer a preferált eset, amely kis θ esetén valósul meg. θ = 0 esetén mind σ_{c}, mind σ_{m,c} divergál Coulomb potenciál esetén, mivel a kölcsönhatás hosszúhatótávolságú.

Fékezőerő (stopping power)

Az imént definiált σ_{m}(T, E_{1}) veszteségi hatáskeresztmetszet segítségével kiszámíthatjuk a szǿródó részecske átlagos energiaveszteségét:

⟨T ⟩ = ∫ \frac{T σ_{m}(T, E_{1})}{σ_{tot}}dT.

Egy σ_{tot} hatásos keresztmetszettel v̄ átlagsebességgel rendelkező részecske v̄t út megtétele után n(σ_{tot}v̄t) számú target részecskével találkozik, ahol n a target részecskesűrűséget jelenti. Így az egy ütközésre eső útszakasz, az átlagos szabadúthossz a

λ = \frac{v̄t}{n(σ_{tot}v̄t)} = \frac{1}{nσ_{tot}}

képlettel adható meg. Ezért ν ütközés esetén a részecskénk ΔR = νλ utat tesz meg és ennek során

−ΔE_{1} = ν⟨T ⟩

energiát veszít. Az egységnyi útra eső energiaveszteség

−\frac{dE_{1}}{dx} = \frac{ν⟨T ⟩}{νλ} = nσ_{tot} ∫_{0}^{T_{m}} \frac{T σ_{m}(T, E_{1})}{σ_{tot}}dT = n ∫_{0}^{T_{m}} T σ_{m}(T, E_{1})dT

arányos a közeg sűrűségével. A közeg sűrűségtől független fékezőereje (a ”stopping power”) definíciója ezért

S(E_{1}) = −\frac{1}{n} \frac{dE_{1}}{dx} = ∫_{0}^{T_{m}} T σ_{m}(T, E_{1})dT ≡ \frac{1}{2}T_{m}σ_{tr},  (2.7)

ahol az energia transzport hatáskeresztmetszet definíciója az előzőek alapján:

σ_{tr} = ∫ σ(θ)2 sin^{2} \frac{θ}{2}dΩ = 2π ∫_{−1}^{1} σ(θ)(1 − cos θ)d cos θ.

2.3. POTENCIÁLSZÓRÁS

Ebben a fejezetben a kvantummechanikai potenciálszórás elméletét tekintjük át vázlatosan, támaszkodva a Kvantummechanika alaptárgyban tanult anyagra.

Potenciálszórásról akkor beszélünk, ha két részecske olyan potenciálon keresztül hat egymással kölcsön, amely csupán a két részecske közti távolságtól függ: V = V (r). Mint ismeretes, ekkor a laboratóriumi rendszerben felírt kétrészecske Schrödinger egyenlet,

[\frac{−h̄^{2}}{2m_{1}} Δ_{r_{1}} + \frac{−h̄^{2}}{2m_{2}} Δ_{r_{2}} + V (r_{2} − r_{1})] Ψ_{L}(r_{1}, r_{2}) = E_{L}Ψ_{L}(r_{1}, r_{2}),

egzaktul szétesik a tömegközéppont transzlációs mozgását leíró

\frac{−h̄^{2}}{2(m_{1} + m_{2})}Δ_{R}Φ(R) = E_{cm}Φ(R)

érdektelen egyenletre és a relatív koordináta rendszerben felírt (E_{L} = E_{cm} + E)

[\frac{−h̄^{2}}{2μ} Δ_{r} + V (r)] ψ(r) = EΨ(r)

egyenletre, amely a kétrészecske relatív, egymáshoz viszonyított mozgását írja le, a nyilvánvaló jelölésekkel. Ez utóbbi egyenlet az, amit ismert E és megfelelő határfeltételek mellett meg kell oldanunk, ha a szórás kísérletek eredményeiből következtetni akarunk a kölcsönhatási potenciálra.

Korábbi szóráselméleti tanulmányainkban bizonyítottuk, hogy V (r → ∞) ∼ r^{−1−ϵ} rövid hatótávolságú (árnyékolt) potenciálok esetén a szórási hullámfüggvény az aszimptotikus (r → ∞) tartományban a következő általános alakban írható (|k_{i}| = k):

ψ_{k_{i}}^{(+)a}(r) = A (e^{ik_{i}r} + f(θ, φ)\frac{e^{+ikr}}{r} ) ≡ Φ_{be} + ψ_{sz},

ahol minden információ a köcsönhatásról az f(θ, ϕ) szórásamplitúdóba sűrűsödik.

2.3. Ábra. A hatáskeresztmetszet kvantummechanikai definícója.

A hatáskeresztmetszet kvantummechanikai tárgyaláshoz illeszkedő definíciója a következő: azon részecskék száma, amelyek egységnyi idő alatt, egységnyi ϕ = |j_{be}| beeső fluxus mellett az r vektor körüli dΩ térszögbe szóródnak:

σ(θ, E_{1}) = \frac{dσ}{dΩ} = \frac{|jr̂|}{|j_{be}|}r^{2} = \frac{ϕ_{r}}{ϕ} r^{2},

ahol

j_{be} = ℜ\frac{h̄}{im}Φ_{be}^{∗}∇_{r}Φ_{be} = |A|^{2} \frac{h̄k_{i}}{m} = |A|^{2}v

a beeső áramsűrűség,

ϕ_{r} = jr̂ = ℜ\frac{h̄}{im}Ψ_{k_{i}}^{(+)a∗}∇_{r}Ψ_{k_{i}}^{(+)a}r̂ = (j_{be} + j_{sz} + j_{int})r̂

a teljes áramsűrűség radiális része, amelyből a differenciális hatáskeresztmetszethez csak a j_{sz} szórt áramsűrűség ad járulékot:

j_{sz}r̂ = |A|^{2}v \frac{|f(θ, φ)|^{2}}{r^{2}} + O(r^{−3}),

mivel a j_{int} interferenciából származó áramsűrűség csak előreszórás esetén véges (ld. optikai tétel), a beeső áramsűrűség pedig nem ad járulékot a hatáskeresztmetszethez. Így a

\frac{dσ}{dΩ} = σ(θ, φ) = |f(θ, φ)|^{2}

alapvető kvantummechanikai differenciális hatáskeresztmetszet kifejezéshez jutunk, amiből a teljes hatáskeresztmetszet:

σ_{tot} = ∫ |f(θ, φ)|^{2}dΩ.  (2.8)

Az energia transzport hatáskeresztmetszet csak egy (1 − cos θ) faktorban tér el a szórási szögek eloszlását jellemző differenciális hatáskeresztmetszettől, mivel (1 − cos θ) arányos az energiaveszteség átlagával:

σ_{tr} = ∫ |f(θ, φ)|^{2}(1 − cos θ)dΩ.  (2.9)

Ez utóbbi kifejezést diffúziós hatáskeresztmetszetnek is szokás nevezni.

Parciális hullámok módszere

Amennyiben a potenciál csak |r|-től függ, alkalmazható a parciális hullámok módszere, amikor a szórási hullámfüggvény Legendrefüggvények szerint sorba fejthető:

ψ(r) = ∑_{l=0}^{∞} c_{l}ψ_{l}(r)P_{l}(cos θ).

A szórási amplitúdó ilyenkor csak a szórási szög függvénye, és a következőképpen írható:

f(θ) = \frac{1}{2ik} ∑_{l}^{∞}(2l + 1)(e^{2iδ_{l}} − 1)P_{l} cos(θ),

amiből a teljes hatáskeresztmetszetre a

σ_{tot} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1) sin^{2} δ_{l},  (2.10)

a transzport hatáskeresztmetszetre pedig* a

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{l=0}^{∞}(l + 1) sin^{2}(δ_{l} − δ_{l+1})  (2.11)

képletek adódnak, ahol az új mennyiség, δ_{l}, a fázistolás. A fázistolás, nevével összhangban, azt mutatja meg, hogy a radiális hullámfüggvény aszimptotikus részének a fázisa mennyire tér el a szabad mozgás hullámfüggvényének fázisától:

* Ld. függelék

ψ_{l}(r → ∞) = \frac{A_{l}}{kr} sin(kr − l \frac{π}{2} + δ_{l}).

Ismétlésképpen idézzük fel a radiális hullámfüggvényre vonatkozó Schrödinger egyenletet:

(−\frac{h̄^{2}}{2μ} \frac{1}{r} \frac{d^{2}}{dr^{2}} r + \frac{h̄^{2}}{2μ} \frac{l(l + 1)}{r^{2}} + V (r) − \frac{h̄^{2}}{2μ}k^{2}) ψ_{l}(k; r) = 0.

A megoldáshoz szükséges két határfeltétel közül a végtelenbelit az imént írtuk fel, a másik lehet az origóbeli regularitás: ψ_{l}(r → 0) ∼ r^{l}.

Fázistolással kapcsolatos tételek, szabályok.

A gömbszimmetrikus potenciálon történő szórást a fázistolás egyértelműen meghatározza. Ezért, ha ismerjük a fázistolásokat az összes (l = 0, 1, ...∞) parciális hullámban, akkor a szórásprobléma teljesen megoldottnak tekinthető, minden feltett kérdésre válasz adható.

Ezért igen fontos a δ_{l}(k) fázistolások viselkedésének ismerete az energia (ehelyett általában a k ∼ \sqrt{E} hullámszámot használjuk) és impulzusmomentum (l) függvényében. Regge és Levinson foglalkozott ezzel a kérdéskörrel behatóan a 30-as, 40-es években. Vizsgálataikból tudjuk, hogy zérus energián δ_{l}(0) = n_{l}π-vel egyenlő, ahol n_{l} az l-dik parciális hullámban létrejövő kötött állapotok száma. Amennyiben zérus energián is van kötött állapot, akkor az összefüggés δ_{l}(0) = (n_{l} + 1/2)πre módosul.

Végtelen energián a szórópotenciál hatása nyilván elhanyagolható a részecske végtelen kinetikus energiájához képest, így szabad mozgásunk van, azaz a fázistolás zérus: δ_{l}(k → ∞) = 0.

l = 0 esetre δ_{0}(k) a centrális ütközés fázistolását jelenti, aminek kis energiák esetén van jelentősége (vö. l_{max} ∼ kr_{0} klasszikus összefüggéssel, ahol r_{0} a potenciál hatótávolsága). l → ∞ esetére δ_{l→∞} = 0 a távoli ütközések fázistolását jelenti, ami zérus, mivel a potenciál már nem gyakorol hatást a részecskére.

Friedel oszcilláció és összegszabály

Friedel fontos összefüggést vezetett le a szennyeződések indukálta potenciálon történő elektronszórás fázistolásaira. Eredménye a szilárdtestfizika azon tételén alapul, hogy az elektrongáz teljesen leárnyékolja a beléhelyezett Z töltést. A szennyeződés körül indukálódó ΔN többlet elektronállapotok száma így megegyezik a Z töltéssel:

Z = ΔN = 4π ∫_{0}^{∞} r^{2}dr[ρ(r) − ρ_{0}],  (2.12)

ahol

ρ_{0} = 2 ∫_{k<k_{F}} \frac{dk}{(2π)^{3}} |Φ_{k}(r)|^{2}

a szennyeződés bevitele előtt uralkodó töltéssűrűség, amit a szabadon mozgó elektronok alakítottak ki, ρ pedig a szennyeződésen szóródást szenvedő elektronok megváltozott sűrűsége:

ρ = 2 ∫_{k<k_{F}} \frac{dk}{(2π)^{3}} |Ψ_{k}(r)|^{2}.

Először vizsgáljuk meg (2.12) integrandusának viselkedését r → ∞ esetén.

lim_{r→∞}(ρ − ρ_{0}) ∼ \frac{2 · 4π}{(2π)^{3}} ∫_{0}^{k_{F}} k^{2}dk

× ∑_{l} (\frac{sin^{2}(kr + δ_{l} − lπ/2)}{k^{2}r^{2}} − \frac{sin^{2}(kr − lπ/2)}{k^{2}r^{2}}) (2l + 1) =

= ∑_{l} \frac{2l + 1}{π^{2}r^{2}} ∫_{0}^{k_{F}} dk \frac{1}{2}(1 − cos(2kr + 2δ_{l} − lπ) − 1 + cos(2kr − lπ)).

Most felhasználjuk azt, hogy az elektronállapotok nagyrésze be van töltve és szóródás csak k_{F} környékén lehetséges. Ezért δ_{l}(k)-t Taylor sorba fejtve, δ_{l}(k) ∼ δ_{l}(k_{F}) + (k − k_{F})\frac{dδ}{dk} |_{k=k_{F}} , a fenti levezetés

továbbfolytatható:

lim_{r→∞}(ρ − ρ_{0}) ∼

∼ ∑_{l} \frac{2l + 1}{2π^{2}r^{2}}(−1)^{l} ∫_{0}^{k_{F}} ( cos 2kr−cos [2k(r+ \frac{dδ}{dk})+2δ_{l}(k_{F})−2k_{F} \frac{dδ}{dk} ])dk

∼ \frac{1}{4π^{2}r^{3}} ∑_{l}(2l + 1)(−1)^{l}( sin 2k_{F} r − sin [2k_{F} r + 2δ_{l}(k_{F})])

∼ \frac{cos 2k_{F} r}{r^{3}} .  (2.13)

Ezt az eredményt nevezik Friedel-oszcillációnak. Azt kaptuk, hogy a szennyeződés leárnyékolásában a nagy távolságoknak nincs szerepe, mivel ott a sűrűség r^{−3}-nal csökken és r ∼ ∞ miatt igen gyorsan oszcillál, s így járuléka az állapotváltozáshoz elhanyagolható:

∫_{r>>1}^{∞} r^{2}dr[ρ(r) − ρ_{0}] = 0.

Az r ∼ 0 kis távolságok esetén másképpen fogjuk kiszámolni a Z töltésű szennyeződés által okozott állapotváltozást. Tekintsünk egy olyan R sugarú felületet Z körül, amely a vizsgált anyagot teljes egészében magában foglalja. Amennyiben nincs szennyeződés, azaz a perturbáló potenciál zérus (V = 0), R mentén a szabad elektronállapotokhoz tartozó megoldások tűnnek el:

j_{l}(kR) = 0 = \frac{1}{kR} sin(kR − l \frac{π}{2} ).

Ebből

kR = nπ + l \frac{π}{2} , n = 0, 1, 2, ...

Ha van szennyeződés, akkor V ≠ 0, és a perturbált elektronállapotok hullámfüggvénye tűnik el az R sugarú gömbfelületen. Ezek a hullámfüggvények pontosan a δ_{l} fázisban különböznek a szabad gömbhullámoktól (valamint egy C_{l} normálási állandóban):

ψ_{l}(kR) = 0 = \frac{C_{l}}{kR} sin(kR + δ_{l} − l \frac{π}{2} ),

amiből

kR + δ_{l} = nπ + l \frac{π}{2} , n = 0, 1, 2, ...

adódik. Ez utóbbi képletből kiszámolhatjuk a k és k + dk közötti állapotok számát, amit δn-nel jelölünk:

\frac{dn}{dk} = \frac{R}{π} + \frac{1}{π} \frac{dδ_{l}}{dk} = \frac{d(δn)}{dk}.

Felismerjük, hogy itt az első tag reprezentálja a V = 0 esetéhez tartozó állapotok számát, a második tag pedig a szennyeződés általi változást, ami iránt érdeklődünk valójában. Ahhoz, hogy a szennyeződés hatására a k és k + dk intervallumban történő teljes állapotsűrűség változást megkapjuk, összegezni kell még az impulzusmomentum és mágneses kvantumszámokra:

\frac{d}{dk} N = \frac{d}{dk} ∑_{m_{s}m_{l}l} \frac{δ_{l}}{π} .

Ebből integrálással kapjuk az akkumulálódott töltések (állapotok) számát:

∫_{0}^{k_{F}} dk \frac{dN}{dk} = ΔN = Z = ∑_{m_{s}m_{l}l} \frac{δ_{l}(k_{F}) − δ_{l}(0)}{π} =

= \frac{2}{π} ∑_{l}(2l + 1)[δ_{l}(k_{F}) − δ_{l}(0)].  (2.14)

Ez utóbbi összefüggést hívják Friedel összegszabálynak. Jelentősége abban van, hogy bármely, a szennyződések kristálybeli modellezésére kifejlesztt elméletnek teljesítenie kell ezen egzakt összefüggést a fázistolásokra nézve.

A fázistolások energiabeli változásának jelentése.

A valóságban mindig egy k_{i} körüli

Φ(r) = ∫ A(k_{i})Φ_{k_{i}}(r)dk_{i}

hullámcsomag szóródik a céltárgyon. A bejövő k_{i} hullámszámok tartományát a kísérleti elrendezés kollimátora szabja meg.

Az egyszerűség kedvéért álljon hullámcsomagunk két homogén nyalábból, amelyeket E ± dE energia, k ± dk hullámszám és fix l jellemez:

Φ_{be}(r → ∞) → \frac{1}{r} [e^{−i(k+dk)r− \frac{i}{h̄} (E+dE)t} + e^{−i(k−dk)r− \frac{i}{h̄} (E−dE)t}] .

Ennek a radiálisan befelé futó hullámcsomagnak a centruma (maximuma) ott van, ahol a hullámok fázisai megegyeznek:

−i(k + dk)r − \frac{i}{h̄}(E + dE)t = −i(k − dk)r − \frac{i}{h̄}(E − dE)t,

azaz

rdk + \frac{1}{h̄} t dE = 0.

Szórás után a radiálisan kifelé futó hullámban egy δ ± dδ fázistolás indukálódik, amit az S_{±}-matrixszal fogunk figyelembe venni. [S_{±} = exp 2i(δ ± dδ).] Így

ψ_{sz}(r → ∞) → \frac{1}{r}[e^{+i(k+dk)r− \frac{i}{h̄} (E+dE)t+2i(δ+dδ)}+

+e^{+i(k−dk)r− \frac{i}{h̄} (E−dE)t+2i(δ−dδ)}].

A centrum most az

rdk − \frac{1}{h̄} t dE + 2dδ = 0

összefüggés által meghatározott

r = \frac{1}{h̄} \frac{dE}{dk} t − 2\frac{dδ}{dk} = \frac{1}{h̄} \frac{dE}{dk} (t − 2h̄\frac{dδ}{dE} ) = v(t − Δt).

pontban van, ahol Δt = 2h̄dδ/dE = \frac{2}{v} dδ/dk. Itt felhasználtuk, hogy E = (h̄^{2}/2m)k^{2} és v = h̄k/m. Pozitív dδ/dE esetén a szórás miatt a hullámcsomag késik, retardálódik a szórás nélküli esethez képest. Ilyen általában vonzó potenciálok esetén kialakuló rezonancia helyek körül van. Ellenkező esetben s ez az általános, a szórócentrum sietteti a szórt hullámot a szórás nélküli állapothoz képest.

Born közelítés

Igen fontos és gyakran alkalmazott közelítés, ami nagy energiájú szórás (azaz gyenge potenciál) esetén használható.

A Born közelítéshez legkönnyebben a Lippmann-Schwinger egyenletből lehet eljutni, amely a következő:

ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = Φ_{k_{i}}(r) + ∫ G_{0}^{+}(r, r′)U(r′)ψ_{k_{i}}^{+}(r′)dr′,

ahol

Φ_{k_{i}}(r) = \frac{1}{(2π)^{3/2}} e^{ik_{i}r}

a befutó hullámot jelöli,

U(r) = \frac{2μ}{h̄^{2}}V (r)

a redukált potenciál s a szabad Green függvény kielégíti a

(∇_{r}^{2} + k^{2})G_{0}^{+}(r, r′) = δ(r − r′) = \frac{1}{(2π)^{3}} ∫ e^{ik′(r−r′)}dk′

definíciós egyenletet, amelyből meg is határozható analitikusan:

G_{0}^{+}(r, r′) = −\frac{1}{(2π)^{3}} lim_{ϵ→0} ∫ \frac{e^{ik′(r−r′)}}{k′^{2} − k^{2} − iϵ}dk′ = −\frac{1}{4π} \frac{e^{ik|r−r′|}}{|r − r′|}

úgy, hogy kifutó aszimptotikával rendelkezzen:

lim_{|r|→∞} G_{0}^{+}(r, r′) = −\frac{1}{4π} \frac{e^{ikr}}{r} e^{−ik_{f} r′} = −\frac{(2π)^{3/2}}{4π} Φ_{k_{f}}^{∗} (r′)\frac{e^{ikr}}{r} .

Itt felhasználtuk a k_{f} = kr/r összefüggést, amikor az exponensben vettük a limeszt.

Behelyettesítve ezt az összefüggést a Lippmann-Schwinger egyenletbe, a hullámfüggvény aszimptotikus alakját kapjuk,

lim_{r→∞} ψ_{k_{i}}^{(+)} = \frac{1}{(2π)^{3/2}} [e^{ik_{i}r} + f(θ, φ)\frac{e^{ikr}}{r} ] ,

a szórásamplitúdó integrális reprezentációjával együtt:

f(θ, φ) = −\frac{(2π)^{3}}{4π} ⟨Φ_{k_{f}} | U |ψ_{k_{i}}^{(+)}⟩ = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} | U |ψ_{k_{i}}^{(+)}⟩.  (2.15)

A Lippmann-Schwinger egyenletet általában iterációval oldjuk meg. Kiindulunk egy nulladik közelítésből, ezt behelyettesítjük a jobboldalba, megkapjuk baloldalt az első közelítést, amit újra a jobboldalba helyettesítve nyerjük a második közelítést és így tovább, egészen addig, amíg az egymásra következő közelítő megoldások egymástól való eltérése kisebb egy előre meghatározott mennyiségnél. Az általános iterációs séma formálisan a

ψ_{n} = Φ_{k_{i}} + G_{0}Uψ_{n−1}

alakban írható. Itt G_{0} a szabad Green (integrál) operátort jelöli.

Az egyes iterációs megoldások a Born sorozat elemeit állítják elő:

Φ_{k_{i}} ≡ Φ_{0} ≡ ψ_{B0},

Φ_{0} + G_{0}UΦ_{0} ≡ Φ_{0} + Φ_{1} ≡ ψ_{B1},

Φ_{0} + G_{0}UΦ_{0} + G_{0}UG_{0}UΦ_{0} ≡ Φ_{0} + Φ_{1} + Φ_{2} ≡ ψ_{B2},

és így tovább. Az index a potenciál előfordulásának legmagasabb fokú hatványát jelöli. Az Born sorozat n-dik eleme:

∑_{i=0}^{n} Φ_{i} ≡ ψ_{Bn},

míg a teljes megoldás a

ψ_{k_{i}}^{(+)} = ∑_{i=0}^{∞} Φ_{i} ≡ ψ_{B∞},

végtelen sor alakjában áll elő. Láthatjuk, hogy a Born sorozat konvergenciája akkor remélhető, ha gyenge a potenciál (U kicsi), vagy nagy az energia (G_{0} erősen oszcillál). Bizonyítható, hogy a Born sorozat konvergens, ha a potenciál kielégíti az ∫ r|U|dr < 1 feltételt.

A szórásamplitúdó Born sorozat alakban történő előállítása:

f = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} |U|ψ_{k_{i}}^{+}⟩ = −2π^{2} ∑_{n=0}^{∞}⟨Φ_{k_{f}} |U|ψ_{Bn}⟩ ≡ ∑_{n=1}^{∞} f_{Bn},

ahol az index ugyancsak a potenciál legmagasabb előfordulási hatványát jelöli.

A Born közelítés nem más, mint a Born sorozat megfelelő elemeinek használata az egzakt mennyiség helyett. Így például a szórásamplitúdó az elsőrendű Born közelítésben:

f_{B1} = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} |U|ψ_{B0}⟩ = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} |U|Φ_{k_{i}}⟩,

másodrendű Born közelítésben:

f_{B2} = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} |U|ψ_{B1}⟩ = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} |U|Φ_{k_{i}} + GUΦ_{k_{i}}⟩,

és így tovább.

A Born közelítés előnye az, hogy könnyen számolható analitikus formulák nyerhetők általa. Az elsőrendű Born közelítés a szórásamplitúdóra az

f_{B1} = −2π^{2} \frac{1}{(2π)^{3}} ∫ e^{i(k_{i}−k_{f})r′}U(r′)dr′ = \frac{−1}{4π}U(q)  (2.16)

képletet szolgáltatja, amely nem más, mint a potenciál Fourier transzformáltja a q = k_{i} − k_{f} transzfer impulzus térben.

Centrális potenciál esetén ez még tovább egyszerűsödik:

f_{B1} = −\frac{1}{4π} ∫ e^{iqr}U(r)dr

= −\frac{2π}{4π} ∫_{0}^{∞} dr ∫_{−1}^{1} dx e^{iqrx}r^{2}U(r) = − ∫_{0}^{∞} dr r^{2}j_{0}(qr)U(r),

ahol |q| = 2k sin(θ/2) az impulzus transzfer abszolút értéke, és felhasználtuk az alábbi integrált:

∫_{−1}^{1} dx e^{iqrx} = 2j_{0}(qr) = 2 sin(qr)/qr.

A hatáskeresztmetszet elsőrendű Born közelítésben:

σ_{B1} = |f_{B1}|^{2} = σ_{B1}(k, θ).

Parciális hullámokra vonatkozó Lippmann-Schwinger egyenlet és a Born közelítés

Gömbszimmetrikus potenciálszórás esetén a Lippmann-Schwinger egyenletnek is van parciális hullámú megfelelője:

ψ_{l}(k; r) = j_{l}(kr) + ∫_{0}^{∞} G_{l}(r, r′)U(r′)ψ_{l}(k, r′)r′^{2}dr′,

ahol a parciális hullámú szabad Green-függvény

G_{l}(r, r′) = kj_{l}(kr_{<})n_{l}(kr_{>}),

tartalmazza az n_{l} szferikus Neumann-függvényt és a j_{l} szferikus Besselfüggvényt. Az r_{<}(r_{>}) változó a kisebbet (nagyobbat) jelenti az r, r′ változók közül. Elvégezve az r → ∞ határátmenetet, kapjuk az aszimptotikus alakot:

ψ_{l}(k; r → ∞) = j_{l}(kr) − tan δ_{l}n_{l}(kr),

és a fázistolás integrális reprezentációját

tan δ_{l} = −k ∫_{0}^{∞} j_{l}(kr)U(r)ψ_{l}(k; r)r^{2}dr.  (2.17)

A Born sorozatot a

ψ_{l}^{(n)} = j_{l} + G_{l}Uψ_{l}^{(n−1)}

rekurzióból állíthatjuk elő s így elsőrendű Born közelítésben

(tan δ_{l})_{B1} = −k ∫_{0}^{∞} (j_{l}(kr))^{2}U(r)r^{2}dr,  (2.18)

másodrendű Born közelítésben

(tan δ_{l})_{B2} = (tan δ_{l})_{B1}+
+ ∫_{0}^{∞} dr ∫_{0}^{∞} dr′j_{l}(kr)U(r)G_{l}(r, r′)U(r′)j_{l}(kr′)r^{2}r′^{2}.

A Bessel- és Neumann-függvények sorfejtéses alakját felhasználva argumentumaik kicsi (k → 0), illetve nagy (k → ∞) értékeire, bebizonyítható, hogy a Born sorozat akkor konvergens, ha a potenciálra teljesülnek az

∫_{0}^{∞} r|U(r)|dr < 2l + 1, (k → 0),

illetve az

∫_{0}^{1} |U(r)|dr < ∞  (k → ∞) és az  |∫_{0}^{∞} U(r)dr| < πk

feltételek.

U(r) = U_{0}ae^{−r/a}/r, Yukawa (árnyékolt Coulomb) potenciál esetén (|U_{0}|a/k)[log(ka)/π] < 1 egyenlőtlenség kell teljesüljön a konvergencia fennállásához (W. Kohn feltétele).

2.4. KVANTUMMECHANIKAI COULOMB PROBLÉMA

Coulomb szórás esetén az E = h̄^{2}k^{2}/2μ > 0 energia adott és V = C/r = ZZ′e^{2}/r Coulomb potenciál . A Schrödinger egyenlet a következő egyszerű formába alakítható át:

∇_{r}^{2}ψ(r) + (k^{2} − \frac{β}{r} ) ψ(r) = 0, β = \frac{2μ}{h̄^{2}}ZZ′e^{2}.

Meg fogjuk mutatni, hogy a ψ szórási hullámfüggvény r nagy értékeire a

ψ(|r| → ∞) ∼ I + Sf_{c}(θ)

asszimptotikus alakot ölti, ahol I a bejövő hullámot, S pedig a szórt hullámot reprezentálja. A kölcsönhatás végtelen hosszúhatótávolságából eredendően, mindkét hullám tartalmaz egy síkhullámot disztortáló faktort, így:

I = e^{ikz+iα ln k(r−z)},

és a szórás amplitúdó abszolút értéke

|f_{c}| = (\frac{ZZ′e^{2}}{2mv^{2}} ) \frac{1}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} = \frac{C}{4E_{r}} \frac{1}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} ,

pontosan a Rutherford szórásképlet amplitúdójával egyezik meg. Szokás mondani ezért, hogy a kvantummechanika ugyanazt a Coulomb szórási hatáskeresztmetszetet adja, mint a klasszikus leírás. Fogjuk azonban látni, hogy a kvantummechanikai leírás egy egységnyi abszolút értékű fázisfaktort is szolgáltat a szórásamplitúdóhoz, ami azonos részecskék szórása esetén mérésekkel is kimutatható interferenciát, és ezáltal oszcillácókat fog eredményezni a hatáskeresztmetszetben a klasszikus (Rutherford) érték körül a szórási szög függvényeként.

A kvantummechanikai Coulomb problémát kétféle módon, henger illetve gömbi koordináta rendszert használva oldhatjuk meg.

Megoldás vázolása henger koordináta rendszerben.

Válasszuk le szórási hullámfüggvényünkből a z-irányú (bejövő) síkhullámot:

ψ(r) = e^{ikz}F.

Behelyettesítés után a

∇_{r}^{2}F + 2ik \frac{∂F}{∂z} − \frac{β}{r} F = 0

differenciál egyenletre jutunk. [Az energia tag a Schrödinger egyenletből kiesett, mert ∂_{z}ψ = ikψ+exp(ikz)∂_{z}F, ∂_{z}^{2}ψ = −k^{2}ψ+2ik exp(ikz)∂_{z}F + exp(ikz)∂_{z}^{2}F.]

Ennek a parciális differenciálegyenletnek van F = F (r − z) alakú megoldása, amint arról a behelyettesítés azonnal meggyőz bennünket:

2 (1 − \frac{z}{r} ) F′′ + \frac{2}{r}F′ + 2ik (\frac{z}{r} − 1) F′ − \frac{β}{r} F = 0,

ahol a vessző a ξ ≡ r − z = r(1 − cos ϑ) argumentum szerinti deriválást jelenti. r/2-vel beszorozva kapjuk az ún. Kummer-Laplace egyenletet

ξF′′ + F′ − ikξF′ − \frac{β}{2} F = 0,

amely tényleg csak r − z = ξ-től függ (0 ≤ ξ ≤ ∞).

A Kummer-Laplace egyenletek megoldásai a differenciálegyenletek elméletében jól ismertek. Ezek az elsőfajú hipergeometrikus függvények,

1F_{1}(a; c; z) = 1 + \frac{a}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a(a + 1)}{c(c + 1)} \frac{z^{2}}{2!} + ...,

amelyek a

zF′′(z) + (b − z)F′(z) − aF = 0

típusú differenciálegyenletet elégítik ki F (0) = 1 kezdeti feltétel esetén (ld. Abramowitz). Esetünkre alkalmazva, a megoldás:

F (ξ) = _{1}F_{1}(−iα; 1; ikξ),

ahol α = β/2k = mZZ′e^{2}/h̄^{2}k = ZZ′e^{2}/h̄v a Sommerfeld paraméter. A hipergeometrikus függvények elméletéből ismeretes, hogy F aszimptotikusan két részre bontható (ld. Abramowitz):

F (ξ → ∞) = W_{1} + W_{2},

ahol

W_{1} = \frac{e^{\frac{1}{2} πα}}{Γ(1 + iα)} (1 + \frac{α^{2}}{ikξ} ) e^{iα ln kξ},

és

W_{2} = \frac{e^{\frac{1}{2} πα}}{Γ(−iα)} \frac{e^{ikξ}}{ikξ} e^{−iα ln kξ}.

Tehát, ha e^{ikz}-vel szorozzuk F -et, akkor W_{1} a bejövő, W_{2} pedig a kimenő szórt hullámot képviseli. Viszont egységnyi amplitúdójú beeső hullámra van szükségünk ahhoz, hogy az f_{c}(θ) szórásamplitúdót le tudjuk olvasni. Ezért a most kapott F -et még normálnunk kell (be kell szoroznunk e^{ikz}-n kívül még) az e^{− \frac{1}{2} πα}Γ(1 + iα) faktorral is. Az így nyert fizikai megoldás

ψ(r, θ) = e^{− \frac{1}{2} πα}Γ(1 + iα)_{1}F_{1}( − iα; 1; ikr(1 − cos θ))e^{ikz}

a kívánt aszimptotikát fogja mutatni:

ψ(r → ∞, θ) = I + Sf_{c}(θ),

ahol

I = (1 + \frac{α^{2}}{ik(r − z)}) e^{ikz+iα ln k(r−z)},

S = \frac{1}{r}e^{ikr−iα ln 2kr},

és

f_{c}(θ) = \frac{ZZ′e^{2}}{2mv^{2}} \frac{e^{−iα ln sin^{2} \frac{1}{2} θ+iπ+2iη_{0}}}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} =

= −\frac{α}{2k} e^{2iη_{0}} \frac{e^{−iα ln sin^{2} \frac{1}{2} θ}}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} .  (2.19)

Itt bevezettük a centrális ütközés okozta Coulomb fázistolást, az η_{0} = arg Γ(1 + iα) definícióval. (Megjegyzések a fenti átalakításokkal kapcsolatban: exp(2iη_{0}) = Γ(1 + iα)/Γ(1 − iα); a W_{2} nevezőjében szereplő ξ = r(1 − cos θ) = r 2 sin^{2} \frac{θ}{2} tényező elemei felismerhetők egyrészt az S, másrészt a szórásamplitúdó nevezőjében.)

A szórásamplitúdó első kifejezéséből világosan látható, hogy független a h̄ Planck állandótól. Ezért lehetsége az, hogy a kvantumos és a klasszikus levezetés azonos

σ_{c} = |f_{c}(θ)|^{2} = (\frac{ZZ′e^{2}}{2mv^{2}} )^{2} \frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ}

differenciális hatáskeresztmetszet értéket szolgáltat, amely szimmetrikus a θ = 90^{o} körül (ld. 2.4 ábra). Eltérést a klasszikus számolás eredményétől a (2.19)-ben megjelenő fázisfaktor jelenti, amely már függ – az α Sommerfeld paraméteren keresztül – a Planck állandótól, és azonos részecskék ütközése esetén mérésekkel kimutatható konzekvenciái vannak.

2.4. Ábra. Egyrészecske szórás esetén a kvantumos Coulomb szórási differenciális hatáskeresztmetszet megegyezik a klasszikussal.

Azonos részecskék ütközése

Azonos részecskék esetén a kvantummechanikában megkülönböztetünk feles spinű (fermion) részecskéket, illetve egész spinű (bozon) részecskéket. Két azonos fermion hullámfüggvénye antiszimmetrikus, két azonos bozon részecske hullámfüggvénye szimmetrikus a kétrészecske változók felcserélésével szemben. Ütközés esetén ez a szimmetria a szórásamplitúdóban jelentkezik. Zérus spinű bozonok (pl. alapállapotú oxigén atommagok) ütközése esetén a hatáskeresztmetszet

(\frac{dσ}{dΩ})_{q} = |f_{c}(θ)+f_{c}(π−θ)|^{2} = |f_{c}(θ)|^{2}+|f_{c}(π−θ)|^{2}+2ℜ[f_{c}(θ)f_{c}^{∗}(π−θ)],

mivel nem tudunk különbséget tenni a direkt és a (virtuálisan = zérus energiafelhasználás mellett) kicserélődött szórás között. A klasszikus esethez képesti különbség itt az interferencia tag megjelenésében van, mert

(\frac{dσ}{dΩ})_{cl} = |f_{c}(θ) + f_{c}(π − θ)|^{2} = |f_{c}(θ)|^{2} + |f_{c}(π − θ)|^{2}.

Colulomb szórás esetén θ = π/2 szórási szögnél a kvantummechanika által jósolt hatáskeresztmetszet bozonokra tehát a klasszikus Rutherford érték kétszerese

(\frac{dσ}{dΩ})_{q} = 2 (\frac{dσ}{dΩ})_{cl} , θ = \frac{π}{2}

amit a mérések igazolnak. De nemcsak θ = π/2 szórásszög esetén van eltérés a klasszikus formulától, hanem általánosan is kiszámolhatjuk Coulomb szórásra bozonok ütközése esetén az ún. Mott-formulát:

(\frac{dσ}{dΩ})_{Mott} = (\frac{α}{2k} )^{2} [\frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} + \frac{1}{cos^{4} \frac{1}{2}θ} + \frac{2 cos (2α ln tan \frac{1}{2}θ)}{sin^{2} \frac{1}{2}θ cos^{2} \frac{1}{2}θ}]. (2.20)

Ebből látjuk, hogy a klasszikushoz (első két taghoz) képesti eltérést az interferencia tag nagy α Sommerfeld paraméter (alacsony energia, nagy töltések) esetén várható. A mérések minden esetben a kvantummechanikai Mott-formulát igazolják (ld. 2.5 ábra).

2.5 Ábra. Bozon ütközések differenciális hatáskeresztmetszete a szórásszög függvényében, α = 0.5 és 5 esetén. Folytonos vonal: klasszikus leírás. Szaggatott vonal: kvantumos leírás. A mérési értékeket pontok jelölik.

Fermionok esetén, pl. 1/2 spinű protonok üközése esetén a nempolarizált nyalábban 1/4 valószínűséggel található szinglett (S = 0), 3/4 valószínűséggel triplett (S = 1) állapot. Az előzőhöz szimmetrikus, az utóbbihoz antiszimmetrikus térszerű hullámfüggvény társul, így

(\frac{dσ}{dΩ})_{p−p,Mott} = \frac{1}{4} (\frac{dσ}{dΩ})_{S=0} + \frac{3}{4} (\frac{dσ}{dΩ})_{S=1} =

= \frac{1}{4}|f_{c}(θ) + f_{c}(π − θ)|^{2} + \frac{3}{4}|f_{c}(θ) − f_{c}(π − θ)|^{2} =

= |f_{c}(θ)|^{2} + |f_{c}(π − θ)|^{2} − 2ℜ[f_{c}(θ)f_{c}^{∗}(π − θ) =

= (\frac{α}{2k} )^{2} [\frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} + \frac{1}{cos^{4} \frac{1}{2}θ} − \frac{cos (2α ln tan \frac{1}{2}θ)}{sin^{2} \frac{1}{2}θ cos^{2} \frac{1}{2}θ}].

Fermionok ütközése esetén θ = π/2 szórás szögre minimumot kapunk (ld. 2.6 ábra), ellentétben a bozon ütközéssel, ahol maximumot kaptunk.

2.6 Ábra. Proton ütközések differenciális hatáskeresztmetszete a szórásszög függvényében. Folytonos vonal: klasszikus leírás. Szaggatott vonal: kvantumos leírás. A mérési értékeket pontok jelölik.

Könnyen belátható, hogy S spinű azonos részecskék ütközése esetén

(\frac{dσ}{dΩ}) = |f(θ)|^{2} + |f(π − θ)|^{2} + \frac{(−1)^{S}}{2S + 1}ℜf(θ)f^{∗}(π − θ).

A Coulomb szórás tárgyalása parciális hullámok módszerével

Mivel a Coulomb potenciál csak |r|-től függ, a szórási hullámfüggvényt sorba fejthetjük impulzusmomentum sajátfüggvények (gömbfüggvények) szerint mind az r̂, mind a k̂_{i} irányok körül. Az gömbfüggvényekre vonatkozó addíciós tétel felhasználásával kapjuk a jól ismert parciális hullámok szerinti sorfejtést:

ψ = \frac{1}{r} ∑_{l=0}^{∞} w_{l}(k, r)P_{l}(cos θ) ≡ e^{ikz}F → I + Sf_{c}(θ).

Ezt behelyettesítve a

[−\frac{h̄^{2}}{2m} \frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} r + \frac{L̂^{2}(θ, φ)}{2mr^{2}}] ψ + \frac{ZZ′e^{2}}{r} ψ = \frac{h̄}{2m}k^{2}ψ

Schrödinger egyenletbe, kapjuk a radiális szórási fügvényre vonatkozó másodrendű közönséges differenciál egyenletet:

(\frac{d^{2}}{dr^{2}} + k^{2} − \frac{l(l + 1)}{r^{2}} − \frac{2αk}{r} ) w_{l}(k, r) = 0.

Ha most a radiális szórási függvényből leválasztjuk a bejövő gömbhullámot jelentő exp(ikr) faktort, valamint az origóbeli viselkedésre jellemző (kr)^{l+1} faktort,

w_{l}(k, r) = e^{ikr}(kr)^{l+1}f(ξ),

akkor a ξ ≡ −2ikr-től függő f_{l} függvény éppen egy Kummer-Laplace egyenletet fog kielégíteni:

ξf′′_{l} + (2l + 2 − ξ)f′_{l} − (l + 1 + iα)f_{l} = 0,

amelynek reguláris megoldása az alábbi hipergeometrikus függvény:

f_{l} = C_{l} _{1}F_{1}(l + 1 + iα; 2l + 2; −2ikr),

amely a C_{l} állandóval egyenlő az origóban.

Így a reguláris radiális szórási hullámfüggvények Coulomb szórás esetén az ún. szférikus Coulomb hullámfüggvények:

w_{l}^{reg}(k, r) ≡ F_{l}(kr) = C_{l}e^{ikr}(kr)^{l+1} _{1}F_{1}(l + 1 + iα; 2l + 2; −2ikr),

amelyek aszimptotikus viselkedése a hipergeometrikus függvények kézikönyveiből leolvasható:

w_{l}^{reg}(k, r → ∞) = F_{l}(kr → ∞)

= C_{l} \frac{e^{\frac{1}{2} πα+iη_{l}}(2l + 1)!}{2^{l}Γ(l + 1 + iα)} sin(kr − l \frac{π}{2} − α ln 2kr + η_{l}),

ahol bevezettük a Coulomb fázistolást az

η_{l} = arg Γ(l + 1 + iα)

definícióval.

A Kummer Lapalce egyenlet másik megoldása az origóban irreguláris. Ebből kapjuk az irreguláris Coulomb hullámfüggvényt,

w_{l}^{irreg}(k, r) ≡ G_{l}(kr) → − cos(kr − l \frac{π}{2} − α ln 2kr + η_{l}),

amely cos-os aszimptotikával rendelkezik a végtelenben.* Az aszimptotikus alakokat felhasználva, meghatározható a Coulomb szórásamplitúdó parciális hullámú kifejtése is:

* A Coulomb hullámfüggvényeket több kézikönyv részletesen tárgyalja. Az egyik legjobb

összefoglalás az ”Abramowitz”-ban található.

f_{c}(θ) = \frac{1}{2ik} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1) (e^{2iη_{l}} − 1) P_{l}(cos θ),

ahol megjelent a Coulomb S−matrix:

S_{l}^{c}(k) ≡ e^{2iη_{l}} = \frac{Γ(l + 1 + iα)}{Γ(l + 1 − iα)},

összhangban a Coulomb fázistolás előbbi definíciójával.**

A Coulomb szórásamplitúdó parciális hullámok szerinti kifejtése birtokában most már kétféleképpen is fel tudjuk írni a Coulomb szórás végtelent adó teljes hatáskresztmetszetét:

σ_{c}^{tot} = ∫ |f_{c}|^{2}dΩ = (\frac{ZZ′e^{2}}{4E} )^{2} 2π ∫_{0}^{π} dθ sin θ \frac{1}{sin^{4} θ/2} =

= \frac{1}{4k^{2}} ∑_{l}(2l + 1) sin^{2} η_{l} = ∞.

A transzport hatáskeresztmetszet is végtelen Coulomb szórás esetén

σ_{tr} = 2π ∫_{−1}^{1} dx|f_{c}(θ)|^{2}(1 − x) = \frac{2}{k^{2}} ∑_{l}(l + 1) sin^{2}(η_{l} − η_{l+1}) = ∞,

ugyanis vegyük figyelembe, hogy

arg Γ(z + 1) = arg Γ(z) + arctan \frac{y}{x}

s így

η_{l+1} = arg Γ(l + 2 + iα) = η_{l} + arctan \frac{α}{l + 1},

azaz

η_{l+1} − η_{l} = arctan \frac{α}{l + 1}.

** Ugyanis a = |a| exp(i arg a) a^{∗} = |a| exp(−i arg a) és így: a/a^{∗} = exp(2i arg a).

Vegyük továbbá figyelembe, hogy

sin^{2} γ = \frac{tan^{2} γ}{1 + tan^{2} γ} .

Ezért

σ_{tr}^{c} = \frac{2}{k^{2}} ∑_{l}(l + 1)\frac{(\frac{α}{(l+1)})2}{(1 + \frac{α^{2}}{(l+1)^{2}} )} =

= \frac{2}{k^{2}} ∑_{l}(l + 1)\frac{α^{2}}{(l + 1)^{2} + α^{2}} → ∑_{l} \frac{1}{l} = ∞.

Megjegyzendő, hogy zérus töltés (zérus Sommerfeld paraméter) esetén a Coulomb hullámfüggvények átmennek a megfelelő Bessel, ill. Neumann hullámfüggvényekbe:

F_{l}(α = 0, kr) = krj_{l}(kr),
G_{l}(α = 0, kr) = krn_{l}(kr).

Módosított Coulomb szórás

Módosítsuk a Coulomb potenciált az r_{0} sugáron belüli tartományban V̂ (r) potenciállal:

V = V̂ + V_{c},  V̂ = 0, r > r_{0}.

Ilyen módosított Coulomb potenciállal találkozunk tipikusan atommagok, vagy nehéz ionok ütközése esetén.

Legyen a módosító potenciálunk olyan, ami kiküszöböli a Coulomb potenciál origóbeli szingularitását:

V̂ = −\frac{ZZ′e^{2}}{r} + \frac{ZZ′e^{2}}{r_{0}} , r ≤ r_{0}.

Az aszimptotikus hullámfüggvényben most meg fog jelenni a módosító potenciál hatása is az f̂ szórás amplitúdón keresztül:

ψ = \frac{1}{r} ∑_{l} w_{l}P_{l} → I + S(f_{c}(θ) + f̂(θ)).

Az r > r_{0} tartományban az általános megoldás kifejezhető a reguláris és irreguláris Coulomb hullámfüggvények szuperpozíciójaként:

w_{l}(k, r > r_{0}) = F_{l}(kr) + tan δ̂_{l}G_{l}(kr),

ahol δ̂_{l} a nukleáris potenciálból eredő fázistolás (a Coulomb potenciál jelenléte mellett!). A teljes fázistolás

δ_{l}^{tot} = δ̂_{l} + η_{l}.

Feladatunk a teljes szórásamplitúdó azon részének meghatározása, amely a módosító potenciálból ered.

f(θ) = f_{c}(θ) + f̂(θ) = \frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1) (e^{2i(η_{l}+δ̂_{l})} − 1) P_{l}(cos θ) =

= \frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1) (e^{2iη_{l}} − 1) P_{l}(cos θ)+

+\frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1)e^{2iη_{l}} (e^{2iδ̂_{l}} − 1) P_{l}(cos θ) =

= f_{c}(θ) + \frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1)e^{2iη_{l}} (e^{2iδ̂_{l}} − 1) P_{l}(cos θ).

Tehát

f̂(θ) = +\frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1)e^{2iη_{l}} (e^{2iδ̂_{l}} − 1) P_{l}(cos θ).

Összefüggés a fázistolások és a kötött állapoti energiák között

Ismeretes az, hogy az S−matrix pólusai a komplex k−sík pozitív imaginárius tengelyén a potenciál kötött állapoti energiáit adják meg. Potenciálszórásra S = exp 2iδ_{l}(k), ahol δ_{l}(k) a potenciál okozta fázistolás az l-edik parciális hullámban. Coulomb szórás esetén a fázistolás δ_{l}^{c} = arg Γ(l + 1 + iα), ahol α a Sommerfeld paraméter: α = ZZ′e^{2}/h̄v = (ZZ′e^{2}/h̄)\sqrt{m/2E}. A Coulomb S−matrixnak, *

S_{l}^{(c)} = e^{2iδ_{l}^{c}} = \frac{Γ(l + 1 + iα)}{Γ(l + 1 − iα)},

\frac{a}{a^{∗}} = e^{2i arg a}.

* a Coulomb S−matrix kiszámításánál figyelembe vesszük, hogy egy komplex szám és

adjungáltja a következőképpen írható: a = |a|ei arg a, a∗ = |a|e−i arg a s így

a gamma függvények tulajdonságai alapján ott van pólusa, ahol

l − iα = −n, n = 1, 2, ...

Tehát E = −|E|-t írva n + l = iα = (ZZ′e^{2}/h̄)\sqrt{m/2|E|}, s ebből

E_{nl} = −|E| = −\frac{1}{2} (\frac{ZZ′\sqrt{m}e^{2}}{h̄} )^{2} \frac{1}{(n + l)^{2}} ,

ami éppen a Rydberg sorozattal egyezik meg.

Ez az eredmény az S-matrix analitikus tulajdonságát tükrözi, és felhívja a figyelmet az S-matrix centrális szerepére.

2.5. KÉTDIMENZIÓS POTENCIÁLSZÓRÁS

Jóllehet környező világunk háromdimenziós, azonban a kísérleti szilártestfizika fejlődése, vékony rétegek, speciális mágneses felületek előállítása manapság szükségessé teszik az elmélet számára, hogy foglalkozzon a kétdimenziós szórással, és leszármaztassa a kísérletek kiértékeléséhez szükséges szóráselméleti alapformulákat.

A Schrödinger egyenlet kétdimenzióban:

−\frac{h̄^{2}}{2m}Δψ + V ψ = Eψ, ψ = ψ(x, y) → e^{ikx} + f(θ)\frac{e^{ikx}}{\sqrt{r}} .

Csak gömbszimmetrikus potenciál esetére szorítkozunk, ami két dimenzióban ”körszimmetrikus” potenciálnak felel meg (a potenciál csak az r körsugártól függ): V = V (r).

Ilyen esetben, csakúgy mint három dimenzióban, célszerű áttérni a (kétdimenziós) polár koordináta rendszerre (x = r cos θ, y = r sin θ), mert a hullámfüggvény ezekben a változókban szeparálható:

ψ(x, y) = R(r)T (θ), Δ = ∂_{x}^{2} + ∂_{y}^{2} = \frac{1}{r}∂_{r}r∂_{r} + \frac{1}{r^{2}} ∂_{θ}^{2}.

Átírva a Schrödinger egyenletet polár koordinátás alakra és osztva ψ-vel, kapjuk:

\frac{r^{2}}{R} (R′′ + \frac{1}{r}R′) + r^{2}(k^{2} − U(r)) = −\frac{1}{T} \frac{∂^{2}T}{∂θ^{2}} = m^{2} = áll.

Itt a szokásos E = h̄^{2}k^{2}/2m és U = 2mV/h̄^{2} jelölést alkalmaztuk.

A jobboldali egyenlőségből a szögmozgást jellemző T -re kapunk egyenletet:

\frac{d^{2}T}{dθ^{2}} + m^{2}T = 0,

amelynek megoldása

T = Ce^{imθ},

ahol C és m meghatározandó állandók. Mivel T (θ) = T (θ + 2π) azonos állapotokat kell jellemezzen, m = 0, 1, 2.... Másrészt a megoldás vagy páros vagy páratlan θ = 0-ra való tükrözés szempontjából. De a megoldásnak θ-ban szimmetrikusnak kell lennie, mivel ψ ≠ 0 θ = 0 esetén. Azaz

T (θ) = C cos mθ = T (−θ).

Kétdimenzióban a Jacobi determináns r, így a C normálási állandó

1 = |C|^{2} ∫_{0}^{2π} cos^{2} θdθ

egyenletből C = 1/\sqrt{π}-nek adódik. Tehát a kvantált szögmozgást leíró normált egyértékű megoldás:

T_{m} = \frac{1}{\sqrt{π}} cos mθ, m = 0, 1, 2, ..., 0 ≤ θ ≤ 2π.

Így azt kaptuk, hogy akárcsak a háromdimenziós esetben, a kétdimenziós potenciálszórás probléma is sorbafejthető ”parciális hullámok” szerint:

ψ = ∑_{m=0}^{∞} R_{m}(r)T_{m}(θ).

A radiális mozgást az

R′′_{m} + \frac{1}{r}R′_{m} + (k^{2} − U(r) − \frac{m^{2}}{r^{2}} ) R_{m} = 0

differenciálegyenlet megoldásai szolgáltatják. Zérus potenciál, U = 0 esetén ezen egyenlet megoldása a Bessel és Neumann-féle henger függvények, J_{m}(kr) és N_{m}(kr).

Mármost a szórási hullámfüggvény kétdimenzióban is egy beeső síkhullám és egy a szórócentrumról radiálisan kifelé haladó ”körhullám” szuperpozíciójából tevődik össze

ψ(r, θ) → e^{ikx} + f(θ)\frac{e^{ikr}}{\sqrt{r}} ,  (2.21)

ahol az f(θ) szórásamplitúdóból kaphatjuk meg a potenciálra jellemző differenciális szórási ”hatáshosszt”:

λ(θ) = |f(θ)|^{2},

ami hosszúság jellegű mennyiség.

A differenciális szóráshossz származtatása

Hasonlóan a háromdimenziós potenciálszórás esetéhez, itt is ki kell fejteni a síkhullámot Bessel függvények szerint, majd fel kell használni ezek aszimptotikus tulajdonságait.

Az ”Abramowitz” 9.1.44-45 egyenlete szerint

cos(z cos θ) = J_{0}(z) + 2 ∑_{m=1}^{∞}(−1)^{m}J_{2m}(z) cos(2mθ)

és

sin(z cos θ) = 2 ∑_{m=0}^{∞}(−1)^{m}J_{2m+1}(z) cos([2m + 1]θ).

Ezekből könnyen meghatározzuk a bejövő síkhullám Bessel függvények szerinti kifejtését (z = kr) :

e^{ikx} = e^{ikr cos θ} = cos(z cos θ) + i sin(z cos θ) =

= ∑_{m=0} ϵ_{m}i^{m} cos(mθ)J_{m}(kr), ahol ϵ_{m} = 2, ha m ≠ 0, ϵ_{0} = 1.

Szintén az Abramowitzból (vagy más kézikönyvből) kinézhetők az alábbi aszimptotikus alakok:

J_{m}(kr) → (\frac{2}{πkr} )^{1/2} cos (kr − π \frac{m + 1/2}{2})

és

N_{m}(kr) → (\frac{2}{πkr} )^{1/2} sin (kr − π \frac{m + 1/2}{2}) .

Abban a térrészben (síkrészben), ahol a potenciál már zérus, a radiális egyenlet legáltalánosabb megoldása a Bessel és Neumann-függvények lineárkombinációja:

R_{m}(kr) = A′_{m}J_{m}(kr) + B′_{m}N_{m}(kr) →

→ A_{m} \frac{1}{(kr)^{1/2}} cos (kr − π \frac{m + 1/2}{2} + δ_{m}) ,

ahol már vettük a végtelenbeli aszimptotikus alakot, és bevezettük az ismeretlen A′_{m} és B′_{m} normálási együtthatókkal kifejezhető, de végső soron a potenciállal kapcsolatos szórási alapmennyiséget, a δ_{m} fázistolást. (A fázistolás zérus V = 0 esetén, mivel ekkor R_{m} = J_{m}.) Tehát a teljes hullámfüggvény aszimptotikus alakja:

ψ(r → ∞, θ) = ∑_{m=0}^{∞} A_{m} \frac{1}{(πkr)^{1/2}} cos (kr − π \frac{m + 1/2}{2} + δ_{m}) cos(mθ),

amit összevetve a (2.21) alatt felírt kanonikus alakkal, meghatározhatjuk (egyenlővé téve az e^{ikr}, illetve az e^{−ikr} együtthatóit) az A_{m} normálási állandót:

A_{m} = 2ϵ_{m}i^{m} \frac{1}{(kr)^{1/2}} e^{iδ_{m}}

és a szórásamplitúdó kifejezését:

f(θ)^{(2d)} = \frac{1}{(2πik)^{1/2}} ∑_{m=0}^{∞} ϵ_{m} cos(mθ) (e^{2iδ_{m}} − 1) .

(Ez a képlet nagyon emlékeztet a háromdimenziós szórásamplitúdó

f^{(3d)}(θ) = \frac{1}{(2ik)} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)P_{l}(cos θ) (e^{2iδ_{l}} − 1)

kifejezésére.)

A teljes hatáshosszt megkapjuk abszolút érték képzéssel és a szögre vonatkozó integrál elvégzésével:

λ = ∫_{0}^{2π} dθ|f(θ|^{2} =

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 2. Direkt szóráselmélet

= \frac{1}{2πk} ∑_{m,m′} ϵ_{m}ϵ_{m′} (e^{2iδ_{m}} − 1)^{∗} (e^{2iδ_{m′}} − 1) ∫_{0}^{2π} dθ cos(mθ) cos(m′θ).

Most kihasználjuk, hogy

∫_{0}^{2π} dθ cos(mθ) cos(m′θ) = \{ \begin{matrix}πδ_{mm′} & ha & m ≠ 0 \\ 2πδ_{mm′} & ha & m = 0 \end{matrix} ,

és

(e^{2iδ_{m}} − 1)^{∗} (e^{2iδ_{m}} − 1) = 4 sin^{2} δ_{m}.

Így a hatáshossz kifejezése a következőképpen alakítható tovább:

λ = \frac{4}{k} ϵ_{0}^{2} sin^{2} δ_{0} + \frac{2}{k} ∑_{m=1} ϵ_{m}^{2} sin^{2} δ_{m} = \frac{4}{k} ∑_{m=0} ϵ_{m} sin^{2} δ_{m}.

(Ez a képlet összevetendő a háromdimenziós esetre kapott

σ_{tot}^{(3d)} = \frac{1}{4k^{2}} ∑_{l=0}(2l + 1) sin^{2} δ_{l}

kifejezéssel.) Példa. Szóródás merev körön. Merev kör esetén a potenciál:

V (r < a) = ∞,

V (r ≥ a) = 0.

Megoldás r > a térrészben:

R_{m}(kr) = A_{m}J_{m}(kr) + B_{m}N_{m}(kr)

A folytonosság miatt r = a határon a hullámfüggvény eltűnik:

0 = A_{m}J_{m}(ka) + B_{m}N_{m}(ka),

amiből

B_{m}/A_{m} = −J_{m}(ka)/N_{m}(ka).

A fázistolás az aszimptotikus radiális hullámfüggvényből olvasható le:

R(kr → ∞) = A_{m} (\frac{2}{πkr} )^{1/2} cos (kr − π \frac{m + 1/2}{2}) +

+B_{m} (\frac{2}{πkr} )^{1/2} sin (kr − π \frac{m + 1/2}{2})

= C_{m} (\frac{2}{πkr} )^{1/2} cos (kr − π \frac{m + 1/2}{2} + δ_{m}) ,

ahol C_{m}^{2} = A_{m}^{2} + B_{m}^{2}, és

tan δ_{m} = −\frac{B_{m}}{A_{m}} = \frac{J_{m}(ka)}{N_{m}(ka)}.

(Háromdimenziós esetben

tan δ_{l} = \frac{j_{l}(ka)}{n_{l}(ka)}.)

Born közelítés kétdimenziós szórás esetén.

Az alábbiakban r-en az (x, y) koordinátákat értjük.

A ψ hullámfüggvény felírható, mint a V = 0 esetén érvényes (beeső) szabad hullámfüggvény, ψ_{0}, valamint a kifutó aszimptotikát tartalmazó, a kölcsönhatás által modifikált Φ hullámfüggvény szuperpozíciója:

ψ(r) = ψ_{0}(r) + Φ(r) → ψ_{0} + \frac{e^{ikr}}{\sqrt{r}} f(θ).

Ez a hullámfüggvény valóban kielégíti a

(∇^{2} + k^{2} − U) ψ = 0,

Schrödinger egyenletet, ugyanis

(∇^{2} + k^{2}) ψ(r) = (∇^{2} + k^{2}) Φ(r) = U(ψ_{0} + Φ).

Bevezetve a kétdimenziós Green függvényt,

(∇^{2} + k^{2}) G_{0}(r, r′) = δ(r − r′),

a háromdimenziós eljárásoknál hasonló módon, kontúr integrálási technikával meghatározhatjuk analitikusan a kifutó aszimptotikát biztosító szabad Green függvényt:

G_{0}(r, r′) = iπH_{0}^{(1)}(kρ) → (\frac{2π}{kρ} )^{1/2} e^{ikρ+iπ/4},

ahol ρ^{2} = (r − r′)^{2} és az első fajú Hankel függvény kifejezhető a Bessel, illetve Neumann függvényekkel: H_{0}^{(1)} = J_{0} + iN_{0}. G_{0} valóban kifutó aszimptotikát biztosít, ugyanis

e^{ikρ} = e^{ik|r−r′|} = e^{ik\sqrt{r^{2}+r′^{2}−2rr′ cos θ}} = e^{ikr\sqrt{1+(r′/r)^{2}−2(r′/r) cos θ}}
→ e^{ikr}e^{−ikr′ cos θ} = e^{ikr}e^{−ik′r′}.

A Green függvény segítségével a Schrödinger egyenletet felírhatjuk a határfeltételeket is magába foglaló Lippmann-Schwinger integrálegyenlet formájában:

ψ(r) = ψ_{0}(r) + ∫ G_{0}(r, r′)U(r′)ψ(r′)dr′,

amely formailag teljesen azonos a háromdimenziós LS egyenlettel, és belőle ezért hasonló módon minden közelítés, illetve integrális szórást jellemző mennyiség leszármaztatható. Például, a szórásamplitúdó integrális alakja:

f(θ) = − (\frac{2π}{k} )^{1/2} e^{\frac{iπ}{4}} ∫ e^{−ik′r′}U(r′)ψ(r′)dr′,

Az elsőrendű Born közelítés formulák szintén hasonlóak a háromdimenziós esetéhez. Például

f_{B1}(θ) = − (\frac{2π}{k} )^{1/2} e^{\frac{iπ}{4}} ∫ e^{iqr′}U(r′)dr′,

ahol q = k − k′ az impulzus megváltozás.

Gömb(kör)szimmetrikus potenciál esetén,

f(θ)_{B1} = − (\frac{(2π)^{3}}{k} )^{1/2} e^{\frac{iπ}{4}} ∫ J_{0}(qr′)U(r′)r′dr′.

Coulomb szórás kétdimenzióban.

Ezek után könnyen el tudjuk képzelni, hogy sok matematikával hasonló formulák nyerhetők a kvantummechanikai kétdimenziós Coulomb szórásra is, mint amiket levezettünk háromdimenziós esetben. A számítások menete hasonló a háromdimenziós tárgyaláséhoz, ezért itt most csak a főbb képleteket közöljük levezetés nélkül, mindig összehasonlítva a háromdimenziós eset megfelelő formulájával.

A Coulomb szórásamplitúdók:

f_{c}^{(2d)} = \frac{α}{\sqrt{2k}} \sqrt{i}\frac{Γ(\frac{1}{2} + iα)}{Γ(1 − iα)} \frac{e^{−iα ln sin \frac{1}{2} θ}}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} ,

f_{c}^{(3d)} = \frac{α}{2k} (−1)\frac{Γ(1 + iα)}{Γ(1 − iα)} \frac{e^{−iα ln sin^{2} \frac{1}{2} θ}}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} ,

ahol korábban e^{2iη_{0}} formában írtunk fel az S_{0} = \frac{Γ(1+iα)}{Γ(1−iα)} (háromdimenziós) Coulomb S-matrixot.

A Coulomb szórás differenciális hatáskeresztmetszetei:

\frac{dσ_{c}^{(2d)}}{dΩ} = |f_{c}^{(2d)}|^{2} = \frac{1}{2} \frac{α}{k} \frac{1}{sin^{2} \frac{θ}{2}} tanh πα → σ_{tot}^{c,2d} = ∞,

\frac{dσ_{c}^{(3d)}}{dΩ} = |f_{c}^{(3d)}|^{2} = \frac{1}{4} (\frac{α}{k})^{2} \frac{1}{sin^{4} \frac{θ}{2}} → σ_{tot}^{c,3d} = ∞.

Tehát kétdimenzióban is végtelen a hatáskeresztmetszet (hatáshossz).

A momentum transzfer hatáskeresztmetszet kétdimenziós Coulomb szórásra:

σ_{m}^{c,2d} = ∫_{0}^{2π} dθ(1 − cos θ) |f_{c}^{(2d)}|^{2} = \frac{1}{2} \frac{α}{k} tanh πα ∫_{0}^{2π} dθ \frac{(1 − cos θ)}{sin^{2} \frac{θ}{2}} =

= \frac{1}{2} \frac{α}{k} tanh πα ∫_{0}^{2π} dθ 2 = \frac{2πα}{k} tanh πα < ∞.

Látjuk, hogy itt lényeges különbség adódik a háromdimenziós szórás esetéhez képest, ahol a momentum transzport hatáskeresztmetszet végtelennek adódott. Ez mindenképpen rávilágít arra, hogy a jelenleg előtérbe kerülő kétdimenziós rendszerek vizsgálatában még több meglepetésre számíthatunk.

felhasználjuk a |Γ(\frac{1}{2} + iα)|^{2} = π/ cosh πα és |Γ(1 + iα)|^{2} = πα/ sinh πα Függelék.

összefüggéseket

A transzport hatáskeresztmetszet kiszámítása fázistolások segítségével.

f(θ) = \frac{1}{2ik} ∑_{n=0}^{∞}(2n + 1) (e^{2iδ_{n}} − 1) P_{n}(x)

jelöléssel a szórásamplitúdóra, a transzport hatáskeresztmetszet a következő:

σ_{tr} = 2π ∫_{−1}^{1} dx|f(θ)|^{2}(1 − x)

= 2π \frac{1}{4k^{2}} ∫_{−1}^{1}(1 − x)[( ∑_{n}(2n + 1)(cos 2δ_{n} − 1)P_{n}(x))^{2}

+( ∑_{m}(2m + 1)(sin 2δ_{m})P_{m}(x))^{2}]dx

= 2π \frac{1}{4k^{2}} ∫_{−1}^{1}(1 − x) ∑_{n}(2n + 1)^{2}[(cos 2δ_{n} − 1)^{2} + sin^{2} 2δ_{n}]P_{n}^{2}(x)dx

+\frac{1}{4k^{2}} ∫_{−1}^{1}(1 − x) ∑_{n≠m}(2n + 1)(2m + 1)[(cos 2δ_{n} − 1)(cos 2δ_{m} − 1)

+ sin 2δ_{n} sin 2δ_{m}]P_{n}P_{m}(x)dx

= 2π \frac{1}{4k^{2}} ∫_{−1}^{1} ∑_{n}(2n + 1)^{2}[(cos 2δ_{n} − 1)^{2} + sin^{2} 2δ_{n}]P_{n}^{2}(x)dx

+2π \frac{1}{4k^{2}} ∫_{−1}^{1}(−x) ∑_{n≠m}(2n + 1)(2m + 1)[(cos 2δ_{n} − 1)(cos 2δ_{m} − 1)

+ sin 2δ_{n} sin 2δ_{m}]P_{n}P_{m}(x)dx,

mivel az első tagban az x-re vonatkozó integrálás az integrandus páratlan volta miatt, a második tagban az ’1’-re vonatkozó integrálás a Legendre-polinomok ortogonalitása miatt zérust ad. Most a szögletes zárójelekben álló kifejezéseket egyszerüsítjük, illetve átalakítjuk.

[(cos 2δ_{n} − 1)^{2} + sin^{2} 2δ_{n}] = 2 − 2 cos 2δ_{n} = 4 sin^{2} δ_{n},

és

[(cos 2δ_{n} − 1)(cos 2δ_{m} − 1) + sin 2δ_{n} sin 2δ_{m}] =

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 2. Direkt szóráselmélet

= 4 sin^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{m} + 4 sin δ_{n} sin δ_{m} cos δ_{n} cos δ_{m}.

Behelyettesítve és az egyszerűsítéseket elvégezve:

σ_{tr} = \frac{2π}{k^{2}} ∑_{n}(2n + 1) sin^{2} δ_{n} ∫_{−1}^{1} P_{n}^{2}(x)dx

−\frac{2π}{k^{2}} 2 ∑_{n<m}(2n + 1)(2m + 1)[ sin^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{m} + sin δ_{n} sin δ_{m} cos δ_{n} cos δ_{m}]

× ∫_{−1}^{1} xP_{n<m}(x)P_{m}(x)dx.

Felhasználva a Legendre polinomokra vonatkozó ismert összefüggéseket,

∫ P_{n}P_{m} = \frac{2}{2n + 1}δ_{nm},

xP_{n} = \frac{1}{2n + 1}(nP_{n−1} + (n + 1)P_{n+1}),

∫ xP_{n<m}P_{m}dx = \frac{1}{2n + 1}(nδ_{n−1,m} + (n + 1)δ_{n+1,m})\frac{2}{2m + 1}

= \frac{1}{2n + 1}(0 + (n + 1)δ_{n+1,m})\frac{2}{2m + 1},

elvégezzük az integrálásokat, és a második tagban összegzünk m-re:

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(2n + 1) sin^{2} δ_{n}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n} 2(n + 1)[ sin^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{n+1} + sin δ_{n} sin δ_{n+1} cos δ_{n} cos δ_{n+1}].

Most az első tagot kétfelé bontjuk, a második tagot pedig háromfelé:

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n} n sin^{2} δ_{n} + \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1)(1 − cos^{2} δ_{n}) sin^{2} δ_{n+1} − \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{n+1}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n} 2(n + 1) sin δ_{n} sin δ_{n+1} cos δ_{n} cos δ_{n+1}.

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 2. Direkt szóráselmélet

Itt az első tag kiesik a második sor első kifejezésének első tagjával, ugyanis

∑_{n} n sin^{2} δ_{n} − ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n+1} = 0.

Marad összesen négy tagunk:

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n} + \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) cos^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{n+1}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{n+1}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n} 2(n + 1) sin δ_{n} sin δ_{n+1} cos δ_{n} cos δ_{n+1},

amiből az első és a harmadik összevonható,

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n} cos^{2} δ_{n+1} + \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) cos^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{n+1}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n} 2(n + 1) sin δ_{n} sin δ_{n+1} cos δ_{n} cos δ_{n+1},

és a maradék három tag egy teljes négyzetet ad:

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1)[ sin δ_{n} cos δ_{n+1} − cos δ_{n} sin δ_{n+1}]^{2}

= \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2}(δ_{n} − δ_{n+1})

.