Válogatott fejezetek a kvantummechanikából

műegyetemi mérnök-fizikus hallgatók számára

Írta:

Dr. Apagyi Barnabás és Dr. Lévay Péter

Tartalomjegyzék

1. Méréselmélet........................................

2. Direkt szóráselmélet................................

3. Inverz szóráselmélet................................

4. Szimmetriák és kötött állapoti spektrumok.......

5. Algebrai szóráselmélet...............................

6. Geometriai fázisfaktorok a kvantummechanikában...........

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 1. Méréselmélet

1. MÉRÉSELMÉLET

Korábbi tanulmányainkban megismerkedtünk a kvantummechanika alapjaival, elméleti apparátusával és számos gyakorlati következményével.

Jelen fejezetben mélyebb bepillantást nyerünk a kvantummechanika méréselméletébe, amelyet korábban a fizikai mérés alaptörvénye kapcsán röviden már érintettünk. Most látni fogjuk, hogy a mérés elmélete összetettebb. Az állapot és mennyiség fogalmának különválasztása lehetőséget teremtett a mérés folyamatának részletesebb analízisére. A külső szemlélőben ugyanis joggal vetődhetnek fel különböző kérdések. Vajon a mérés valószínűségi értelmezése nem csupán tudásunk elégtelen voltát tükrözi-e? A mérés során bekövetkező ún. ’hullámfüggvény redukció’ nem csupán ismereteink hiányát jelenti-e? Léteznek-e – ezen tudáshiányt pótlandó – ún. ’rejtett paraméterek’, amelyek a méréselmélet egyik nyugtalanító pontját, a kvantumállapot mérés során bekövetkező hirtelen változását, redukcióját, az oksági logika szintjén próbálják magyarázni?

Ezen kérdések megválaszolására kerül sor ebben a fejezetben. Fogjuk látni, hogy – bár tudásunk nyilvánvalóan véges – a mérések valószínűségi jellege nem ismeretünk hiányából fakad, hanem az a fizikai állapotok elidegeníthetetlen, inherens tulajdonságát fejezi ki. A Bell egyenlőtlenségek kapcsán pedig megértjük, hogy a kvantummechanika V. axiómájaként számon tartott állapotváltozást, a mérés következtében létrejövő hullámfüggvény redukciót rejtett paraméterek segítségével nem sikerülhet megmagyarázni, mert ilyen paraméterek nem léteznek.

1.1. KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI

A kvantummechnika öt axiómán nyugszik.

I. axióma: Egy fizikai állapotnak egy absztrakt Hilbert-térbeli állapotvektor felel meg. Az absztrakt állapotvektor jele általában a ket : | ⟩. Egy konkrét állapot pl. a

|ψ⟩.

II. axióma: Egy fizikai mennyiségnek egy absztrakt, Hermitikus operátor felel meg. Az ’A’ fizikai mennyiség megfelelője az

A = A†

Hermitikus operátor.

Ebből következik a matematikai tételek alapján a valós sajátértékek és a sajátérték egyenletek léte: A|n⟩ = a_{n}|n⟩; a teljesség: 1 = ∑ |n⟩⟨n|; a kifejtés: |ψ⟩ = ∑ c_{n}|n⟩; valamint az operátorok esetleges nemfelcserélhetősége.

III. axióma: Kimondja, hogy az A fizikai mennyiség a_{n} mért értékei csak a sajátértékek lehetnek, valamint azt, hogy a mért értékek középértéke a várható érték:

⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ = \overline{A}

≡ lim_{N→∞} \frac{1}{N} ∑_{n} N_{n}a_{n}.

Így ez az axióma, az előzővel ötvözve, kiadja a fizikai mérés alaptörvényét: W (a_{n}) = |c_{n}|^{2} (amelyet szoktak III. axiómaként is említeni), továbbá a bizonytalansági relációk is levezethetők.

IV. axióma: Az állapotvektor dinamikai változását a Schrödinger egyenlet írja le:

(ih̄\frac{∂}{∂t} − H)|ψ⟩ = 0.

V. axióma: A |ψ⟩ állapot az A fizikai mennyiség mérése alkalmával az A operátor egyik kvantumállapotába ugrik be:

|ψ⟩ → |n⟩,

ahol A|n⟩ = a_{n}|n⟩ érvényes.

Ezek az axiómák elegendők a kvatummechanika körébe tartozó összes jelenség ellentmondás mentes és kvantitatív magyarázatához.

1.2. TISZTA ÁLLAPOT, KEVERT ÁLLAPOT

Alapozó tanulmányainkban már beszéltünk tiszta és szuperponált állapotokról. Mint látni fogjuk, a mérés szempontjából ez a kétfajta állapot azonos és ezért a továbbiakban nem teszünk különbséget tiszta és szuperponált állapotok között. A fizikai rendszert ebben az esetben csak egyfajta állapot, a |ψ⟩ jellemzi, amely tehát több állapot szuperpozíciójából is összetevődhet: |ψ⟩ = ∑ c_{n}|n⟩ (∑ |c_{n}|^{2} = 1).

Más a helyzet akkor, amikor olyan fizikai rendszerünk van, amelyben többféle |ψ_{i}⟩ állapot keveredik p_{i} valószínűséggel (∑ p_{i} = 1). Fizikai rendszerünk ilyen állapotát kevert állapotnak nevezzük, amelyet tehát nem lehet egyetlen pszi-vel jellemezni.

Összefoglalva:

tiszta állapotban kevert állapotban

|ψ⟩ = ∑ c_{n}|n⟩, |ψ_{1}⟩, |ψ_{2}⟩, ..., |ψ_{N}⟩,

ahol

∑ |c_{n}|^{2} = 1, p_{1}, p_{2}, ..., p_{N}; ∑ p_{i} = 1.

Egy fizikai rendszeren végzett mérés szempontjából fontos szerepe lesz a sűrűségoperátornak, amelyet

tiszta állapotban a kevert állapotban a

ρ ≡ |ψ⟩⟨ψ|, ρ ≡ ∑_{i=1}^{N} p_{i}|ψ_{i}⟩⟨ψ_{i}| = ∑_{i=1}^{N} p_{i}ρ_{i}

képlettel definiálunk.

Ismétlésképpen visszaidézzük, hogy egy X operátor nyomát (németül ’Sp’=Spur, angolul ’Tr’=trace) a következő definíció szerint képezzük:

Sp X ≡ ∑_{n}⟨n|X|n⟩,

ahol {|n⟩} egy tetszőleges ortonormált és teljes (∑ |n⟩⟨n| = 1) rendszert jelöl.

Mármost könnyen belátható, hogy az A fizikai mennyiség mérési átlagértéke a ρA operátor nyomaként áll elő:

tiszta állapotban kevert állapotban

⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ = Sp ρA, ⟨A⟩ = ∑_{i} p_{i}⟨ψ_{i}|A|ψ_{i}⟩ = Sp ∑_{i} p_{i}ρ_{i}A = Sp ρA.

Látjuk tehát, hogy mind tiszta, mind kevert állapotban, formailag azonos kifejezés állítja elő a mérési átlagértéket. Ilyen módon tehát nem dönthetünk afelől, hogy fizikai rendszerünk tiszta (csupán egyféle) állapotokból, vagy többféle állapotok bizonyos (p_{i}) valószínűségű kombinációiból áll-e. Mérési eredményünkre viszont kihatással lehet az állapot milyensége, mint azt a későbbiekben látni fogjuk.

Megvizsgálhatjuk magának a sűrűségoperátornak a nyomát is. Amint az könnyen belátható, a sűrűségoperátor definícióból következő sajátossága az, hogy hermitikus és nyoma az egység:

ρ = ρ†, Sp ρ = 1,

mindkét típusú állapotra. A sűrűségoperátor négyzete viszont már eltérést fog mutatni a tiszta és kevert állapotok esetén. Ugyanis

tiszta állapotban: kevert állapotban:

ρ^{2} = ρ, azaz Sp ρ^{2} = 1,  de  ρ^{2} ≠ ρ és Sp ρ^{2} < 1

könnyen belátható.^{1}

Sp ρ^{2} = ∑_{n}⟨n| ∑_{ij} p_{i}p_{j}|ψ_{i}⟩⟨ψ_{i}|ψ_{j}⟩⟨ψ_{j}|n⟩ =

∑_{ijn} p_{i}p_{j}⟨ψ_{i}|ψ_{j}⟩⟨ψ_{j}|n⟩⟨n|ψ_{i}⟩ =

∑_{ij} p_{i}p_{j}|⟨ψ_{i}|ψ_{j}⟩|^{2} < ∑_{ij} p_{i}p_{j} = (∑_{i} p_{i})(∑_{j} p_{j}) = 1 · 1 = 1

1 Lássuk be pl. a Spρ2 < 1 összefüggést:

Eddigi vizsgálatainkat összegezve megállapíthatjuk tehát, hogy mérés szempontjából rendszerünknek tiszta állapotban látszólagos (inherens, v. látens) statisztikus jellege van, amely objektív, mert tőlünk független, és a tiszta állapotok elidegeníthetetlen tulajdonságából fakadva a c_{n} kifejtési együtthatókon keresztül jelenik meg (∑ |c_{n}|^{2} = 1). Kevert állapotban viszont a fizikai rendszert valódi statisztikus tulajdonságok is jellemzik, amelyek a p_{i} valószínűségekben fejeződnek ki (∑ p_{i} = 1). Minthogy ezen p_{i}-k a rendszerről szerzett tudásunk, ismeretünk elégtelenségét tükrözi, a kevert állapotoknak szubjektív eleme is van.

Tiszta állapotban: kevert állapotban:

|ψ⟩ = ∑ c_{n}|n⟩ → ⟨A⟩ = ∑ |c_{n}|^{2}a_{n}, ⟨A⟩ = ∑_{i} p_{i}⟨ψ_{i}|A|ψ_{i}⟩ = ∑_{i} p_{i}⟨A⟩_{i}.

1.3. EGY RÉSZRENDSZER ESETE

1.3.1. S-\frac{1}{2} rendszerek

Álljon fizikai rendszerünk egyetlen (rész)rendszerből, pl. csak feles spinű állapotokból.

Válasszunk egy tetszőleges ortonormált bázist, amely szerint egy operátor nyomát képezzük. Feles spinoperátor, S= \frac{h̄}{2} σ⃗, esetén lehetnek a bázis elemek pl. a Pauli operátorok^{1} z−komponensének sajátálapotai. Ezekre többféle jelölést használnak az irodalomban:

χ_{+} ≡ ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) ≡ |↑⟩ ≡ α ≡ |+⟩ ≡ χ_{1/2}^{1/2} = |n⟩

és

χ_{−} ≡ ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) ≡ |↓⟩ ≡ β ≡ |−⟩ ≡ χ_{1/2}^{−1/2} = |m⟩.

Képezhetünk tiszta állapotokat:

|↑⟩, |↓⟩, vagy | ⟩_{α} = \frac{1}{\sqrt{2}} (|↑⟩ + e^{iα}|↓⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ e^{iα} \end{matrix} ) .

σ_{x} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , σ_{y} = ( \begin{matrix}0 & −i \\ i & 0 \end{matrix} ) , σ_{z} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) .

1

[Vegyük észre, hogy ezen utóbbi (szuperponált) tiszta állapot α megfelelő megválasztásával σ_{x}, ill. σ_{y} sajátállapotait állítja elő (α = 0, ill. α = π/2).]

Mármost képezhetjük a megfelelő sűrűségoperátorokat (matrix reprezentációban sűrűségmatrixnak hívjuk őket):

ρ_{↑} = |↑⟩⟨↑| = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) (1 0) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = ρ_{↑}^{2},

ρ_{↓} = |↓⟩⟨↓| = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) (0 1) = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ρ_{↓}^{2},

és

ρ_{α} = | ⟩_{α} _{α}⟨ | = \frac{1}{2} (|↑⟩⟨↑| + |↓⟩⟨↓| + e^{iα}|↓⟩⟨↑| + e^{−iα}|↑⟩⟨↓|)

= \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & e^{−iα} \\ e^{iα} & 1 \end{matrix} ) = ρ_{α}^{2}

Elektronsugárral megvalósíthatunk olyan fizikai rendszert is, amelyben az elektronnyaláb felének felfelé mutató, másik felének lefelé mutató spinje van. Az ilyen állapot kevert állapot lesz, a megfelelő sűrűségmatrix pedig:

ρ_{G} = \frac{1}{2}ρ_{↑} + \frac{1}{2}ρ_{↓} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ≠ ρ_{G}^{2} = \frac{1}{4} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Mérési eredményekre kihatással lehet az, hogy rendszerünk tiszta vagy kevert állapotban van-e.

Legyen ugyanis a mérendő fizikai mennyiség A = σ_{x}. A középértékek a ρ_{α} és ρ_{G} sűrűségmatrixokkal jellemzett tiszta, ill. kevert állapotokban egyszerű számolással adódnak:

⟨A⟩_{α} = Sp ρ_{α} σ_{x} = Sp \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & e^{−iα} \\ e^{iα} & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

= \frac{1}{2}Sp ( \begin{matrix}e^{−iα} & 1 \\ 1 & e^{iα} \end{matrix} ) = Re e^{iα} = cos α ≠ 0, ha α ≠ \frac{π}{2} ,

viszont

⟨A⟩_{G} = Sp ρ_{G} σ_{x} = Sp\frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = \frac{1}{2}Sp ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = 0.

Tehát különböző fizikai állapotokban levő fizikai rendszer különböző eredményt szolgáltat az átlagértékre, s így mérést konstruálhatunk annak eldöntésére, hogy egy állapot tiszta, vagy kevert volt-e a mérés pillanatában. (Az egyedi mérések után, a mérési eredménytől függően, a rendszer σ_{x} sajátállapotba kerül, ld. következő alfejezetek.)

Azonban nem bármely fizikai mennyiség mérése nyújt lehetőséget a kiinduló állapot tiszta, vagy kevert voltának eldöntésére. Mérjük meg ugyanis a spin z−komponensének várható értékét. Az eredmény (A = σ_{z})

⟨A⟩_{α} = Sp ρ_{α} σ_{z} = Sp \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & e^{−iα} \\ e^{iα} & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )

= \frac{1}{2}Sp ( \begin{matrix}1 & −e^{−iα} \\ e^{iα} & −1 \end{matrix} ) = 0

és

⟨A⟩_{G} = Sp ρ_{G} σ_{z} = Sp\frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) = \frac{1}{2}Sp ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) = 0

azonos mindkét típusú állapot esetén.

Figyeljük meg, hogy olyan esetben nem tudunk méréssel dönteni az állapot tiszta, vagy kevert volta felől, ha olyan mennyiséget mérünk, amely sajátállapotaiból tevődik össze a rendszer állapota. Ha olyan mennyiséget mérünk, amelynek nem sajátállapotai a rendszert felépítő állapotok (azaz a két fizikai mennyiség – a mérendő és a rendszer összetevőket generáló fizikai mennyiség – nem felcserélhető egymással), akkor lesz különbség a tiszta ill. kevert állapotú rendszeren elvégzett mérés között. Utóbbira példa a σ_{x} mérése, előbbire a σ_{z} mérése.

1.3.2. Spinpolarizáció

A legáltalánosabb 2 × 2−es sűrűségmatrix a következő alakban írható:

ρ = \frac{1}{2}(1 + b⃗ σ⃗),

ahol b⃗ egy tetszőleges vektor állandó. Könnyen belátjuk, hogy ez valóban sűrűségmatrix (ρ = ρ^{+} és Sp ρ=1), és

⟨σ⃗⟩_{ρ} = Sp ρ σ⃗ = b⃗.

Az általánosság megszorítása nélkül vehetjük b⃗-t a z-tengely irányába, azaz legyen b⃗ = (0, 0, b). Ekkor

ρ = \frac{1}{2}(1 + b σ_{z}) = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 + b & 0 \\ 0 & 1 − b \end{matrix} ) .

Minthogy a sűrűségmatrix diagonális elemei valószínűségeknek felelnek meg, kell hogy (1 ± b)/2 ≤ 1 legyen, azaz |b| ≤ 1.

Feltehetjük a kérdést: mely esetben jellemez a fenti általános sűrűségmatrix tiszta állapotot? Ehhez kiszámítjuk a négyzetét. Az eredmény:^{1}

ρ^{2} = \frac{1}{2} (\frac{1 + b^{2}}{2} + b⃗ σ⃗) .

Láthatjuk tehát, hogy ρ csak abban az esetben jelent tiszta állapotot (ρ^{2} = ρ), ha |b⃗| = b = 1. Az ilyen állapotot teljesen polarizált állapotnak hívjuk. (A spin ilyenkor b⃗ irányba ’mutat’.) Minden más esetben kevert állapottal van dolgunk. Pl. b = 0 egy olyan kevert állapotot jelent, amelyben 50%-ban felfelé, 50%-ban lefelé mutató spinű állapotok keverednek (ld. előző pont).

Fentiekből nyilvánvalóak az elnevezések: b⃗ a polarizációs vektor, |b⃗| a polarizáció foka.

1.4. KÉT RÉSZRENDSZER ESETE

Mérés esetén mindig legalább két részrendszerrel van dolgunk: az ’A’ mérőberendezéssel és az ’O’ mérendő objektummal. A később részletesen tárgyalandó Stern-Gerlach kísérletben a fizikai rendszer két alrendszer (részrendszer) együttesének fogható fel. Az egyik alrendszer a z-koordináta sajátállapotokkal jellemezhető; ez a berendezés ’mutatójának’ fogható fel, amely a nyaláb makroszkopikus eltérülését jelzi. A másik alrendszer a spin sajátállapotokkal jellemezhető; ez a mérendő mikroszkopikus objektum.

σ_{i}σ_{j} = δ_{ij} + iϵ_{ijk}σ_{k},
(σ⃗ a⃗)(σ⃗ b⃗) = a⃗ b⃗ + iσ⃗(a⃗ × b⃗).

1 Felhasználtuk a Pauli matrixok ismert tulajdonságait:

1.4.1. Mérés, amely csak az egyik részrendszert érinti

Tegyük fel, hogy az egyes részrendszerek (alrendszerek) lehetséges állapotai a következők:

ψ(1) = {|1n⟩}, ψ(2) = {|2m⟩}.

Tiszta (szuperponált) állapotban a rendszer állapota legáltalánosabban a

|ψ⟩ = ∑_{nm} c_{nm}|1n⟩|2m⟩

formában írható, ahol a két alrendszer kölcsönhatására jellemző c_{nm} szuperpozíciós együtthatókra az alrendszer állapotok ortonormáltsága és a ψ normáltsága miatt

∑_{nm} |c_{nm}|^{2} = 1

megszorítás áll fenn.

Rendszerünk sűrűségoperátora

ρ = |ψ⟩⟨ψ|,

amelyre természetesen igazak a tiszta állapotokat jellemző kritériumok:

ρ^{2} = ρ,  és  Sp ρ^{2} = 1.

Mármost, ha olyan mérést végzünk, amely csak az egyik alrendszert érinti, azaz az ’A’ mérendő fizikai mennyiségnek megfelelő A operátor (pl. A = z a Stern-Gerlach kísérletben) csak |1⟩−re hat, akkor a mérés átlagértéke az előzőekben megismert szabályok szerint adódik:

⟨A_{1}⟩ = Sp_{1,2} ρA_{1} = Sp_{1} Sp_{2} ρA_{1} = Sp_{1} [(Sp_{2} ρ)A_{1}] ≡ Sp_{1} ρ̂_{1}A_{1},

ahol bevezettük a

ρ̂_{1} ≡ Sp_{2} ρ

sűrűség matrixot, amely az 1−es részrendszerre vonatkozó minden mérést jellemez. (Sp_{1,2} az alrendszereket jellemző bázis állapotok szerint képzendő.)

Ez a (redukált) sűrűségmatrix általában nem tiszta álapotot jellemez: ρ̂_{1} ≠ ρ̂_{1}^{2} (általában). Annak viszont, hogy egy rendszer tiszta vagy kevert állapotban van-e a mérés előtt, mérési konzekvenciái vannak.

Az A_{1} fizikai mennyiség mérése alkalmával történő

ρ_{1,2} \underrightarrow{A_{1}} ρ̂_{1}

sűrűségmatrix redukció a kvantummechanika V. axiómájának mélyebb megértését teszi lehetővé. Ugyanis

tiszta állapot → kevert állapot

átmenet történik (általában) az A_{1} fizikai mennyiség mérése szempontjából.

Megvizsgálhatjuk, mely esetben találja mérőberendezésünk tiszta állapotban a mérendő alrendszert. Könnyen beláthatjuk, hogy a

ρ̂_{1} = ρ̂_{1}^{2}

tiszta állapotra utaló összefüggés csak abban az esetben teljesül, ha

|ψ⟩ = |ψ(1)⟩|ψ(2)⟩,

azaz, ha a két alrendszer egymástól független. Ez azt jelenti, hogy egymással nincsenek kölcsönhatásban. Ekkor az is igaz, hogy ρ = ρ_{1}ρ_{2} és külön-külön ρ_{1} ≡ |ψ(1)⟩⟨ψ(1)| = ρ_{1}^{2} és ρ_{2} ≡ |ψ(2)⟩⟨ψ(2)| = ρ_{2}^{2} is igaz. A c_{nm} kifejtési együtthatókra mindez azt jelenti, hogy ezen kölcsönhatásmentes részállapotok esetén az együtthatók faktorizálhatók, c_{nm} = b_{n}d_{m}, ahol ∑ |b_{n}|^{2} = ∑ |d_{m}|^{2} = 1, mert |ψ(1)⟩ = ∑ b_{n}|n⟩ és |ψ(2)⟩ = ∑ d_{m}|m⟩. Viszont, legalább is, ha mérni akarunk, a részrendszerek (mérőberendezés és mérendő objektum) között van kölcsönhatás, így a kvantummechanikai objektum mérés szempontjából általában kevert (tehát valódi statisztikus jelleget hordozó) állapotban van. Mindez szépen illusztrálható a Stern-Gerlach kísérlet révén.

1.5. STERN-GERLACH KÍSÉRLET

Tekintsük az 1. ábrát, ahol az azonos elektronállapotokat generáló forrásból +y irányba kirepülő elektronok z−irányú B(z) inhomogén mágneses téren haladnak keresztül és egy felfogó ernyőbe csapódnak be.

1.1 ábra. A Stern-Gerlach kísérlet elrendezése.

Mérendő objektumunk az elektron spinje. A spinállapotok bázisterét kifeszíti a σ_{z} spinoperátor két sajátvektora: |±⟩. Mérő berendezésünk az ernyő, amely az elektron z− koordinátájának a sajátértékét méri. A bázis tehát, ami szerint a nyomot képezzük, az elektron ẑ koordináta operátorának |z⟩ sajátállapota lesz.

Az előzőeknek megfelelően tehát, a teljes elektronállapot két részrendszer szuperpozíciójából tevődik össze: a z−irányú mozgást leíró, az elektron helyét jellemző f(z, t) hullámcsomagból, és az elektron spinjét jellemző χ spinállapotból. A két komponens (részállapot, alrendszer) közti csatolást (kölcsönhatást) a B(z) inhomogén mágneses tér létesíti.

Az elektronállapotot meghatározó energiaoperátor

H = \frac{p_{z}^{2}}{2m} + B(z)μ_{B}σ_{z}.

Legyen az elektron kezdeti állapota

⟨z|ψ(0)⟩ ≡ ψ(z, 0) = \frac{1}{\sqrt{2}} (χ_{+} + χ_{−}) f(z).

Itt f(z) az elektron térbeli elhelyezkedését megadó hullámcsomag, a spin pedig éppen a +x irányba ’mutat’.

A t időpillanatbeli (mérés előtti) végállapotot H segítségével határozhatjuk meg:

ψ(t) = e^{− \frac{i}{h̄} Ht}ψ(0).

Elvi nehézséget nem tartalmazó számolás után kapjuk a végeredményt:

⟨z|ψ(t)⟩ ≡ ψ(z, t) = \frac{1}{\sqrt{2}} (χ_{+}f(z + Ct^{2})e^{−iαt} + χ_{−}f(z − Ct^{2})e^{iαt}) ,

ahol α = B(z)μ_{B}/h̄, C = −B′(z)μ_{B}/2m. Itt az első tag a lefelé (−z irányú), a második pedig a felfelé (+z irányú) elmozdulást jelöli.

Tekintettel arra, hogy csak makroszkópikus szétválást tudunk detektálni, szükséges az, hogy

∫_{−∞}^{∞} f(z + Ct^{2})f(z − Ct^{2}) dz = 0

legyen (műszerünk makroszkópikus méretekkel rendelkezik).

Előállítjuk a sűrűségmatrix egy 4 × 4-es blokkját:

ρ_{zz′} = ⟨±|⟨z|ψ(t)⟩⟨ψ(t)|z′⟩|±′⟩ ≡

\frac{1}{2} ( \begin{matrix}f(z + Ct^{2})f^{∗}(z′ + Ct^{2}) & f(z + Ct^{2})f^{∗}(z′ − Ct^{2})e^{−i2α} \\ f(z − Ct^{2})f^{∗}(z′ + Ct^{2})e^{i2α} & f(z − Ct^{2})f^{∗}(z′ − Ct^{2}) \end{matrix} ) .

(Az 1/2-es faktor eredete jól látszik: a hullámfüggvény normálása.)

Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy állapotunk tiszta:

ρ_{zz′}^{2} ≡ ∫_{−∞}^{∞} dz′′ρ_{zz′′}ρ_{z′′z′} = ρ_{zz′}.

Ennek így is kell lennie, hiszen az elektronállapotot egyetlen hullámfüggvény írja le.

Ha viszont mérünk, detektáljuk az elektronok becsapódási helyét, a helyzet megváltozik; beavatkozunk a tiszta állapotba.

Detektáljuk a részecskéket mindenütt, a +z és a −z irányban egyaránt! Ekkor a sűrűségmatrix nyomát a teljes z tartományban (mindenhol, ahova az ernyőt raktuk) kell képezni:

Sp_{z} ρ ≡ ρ̂ = ∫_{−∞}^{∞} dz ρ_{zz} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ρ_{G} ≠ ρ_{G}^{2}.

Tehát a mérés hatására kevert állapotba kerül a rendszer, méghozzá olyanba, amelyben 50%-ban ↑, 50%-ban ↓ irányú spinű állapotokból van összekeverve. Minden, csak a spinre vonatkozó F (σ⃗) fizikai mennyiség mérése kevert spinállapotra utaló sűrűségmatrixszal kapcsolatos, azaz

⟨F (σ⃗)⟩ = Sp_{z±}(ρF (σ⃗)) = Sp_{±}(ρ̂F ((σ⃗)).

Mérjünk most csak a +z irányban! (Ernyő csak a +z félsíkon van.) Ekkor

Sp_{z≥0} ρ ≡ ρ̂ = ∫_{0}^{∞} dz ρ_{zz} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = \frac{1}{2}ρ_{↓} = \frac{1}{2}ρ_{↓}^{2},

azaz tiszta állapotot kaptunk, méghozzá olyat, amely ↓ állapotú elektronokat jelent. (Az 1/2-es valószínűségi faktor eredete a későbbiekben válik világossá.)

Mérés révén tehát előállhat

tiszta → kevert,

ill.

tiszta → tiszta

állapotváltozás s ez lehetőséget nyújt arra, hogy mélyebb bepillantást nyerhessünk az V. axióma ’működésébe’.

1.6. ÁLTALÁNOS MÉRÉSELMÉLET

Ezek után egyszerűen összefoglalhatjuk az általános mérést jellemző történéseket, a mérés hatására bekövetkező állapotváltozásokat. Könnyen eloszlathatjuk a ”Schrödinger macskája” néven híressé vált gondolat kísérlettel kapcsolatos félreértéseket.*

A mérés szempontjából világunk állapotát három részegységre oszthatjuk fel:

az |O⟩ – objektum állapotára, amely általában mikroszkópikus s így az n kvantumszámok jellemzik (példaként gondoljunk a β−részecske spinjére n = ±1);

az |A⟩ – műszer állapotára, amely makroszkópikus és így az O két különböző állapotát kijelző |A(n)⟩, ill. |A(m)⟩ állapota szükségszerűen ortogonális egymásra:

⟨A(n)|A(m)⟩ = δ_{nm}.

(Példa itt a macska állapota, amely élő, vagy halott lehet);

* Ebben a gondolat kísérletben egy macskát dobozba zárnak egy β−sugárzó radioaktív preparátummal és egy olyan nyaktilóval együtt, amely működik, ha ↑ spinű elektron találja el, nem működik, ha ↓ elektron megy át rajta. A rosszul megfogalmazott probléma a következő: mindaddig, amíg nem nyitjuk ki a dobozt, nem avatkozunk be a zárt rendszer állapotába, az tiszta állapotban fejlődik az időben, hullámfüggvénye élő és elpusztult macska állapotok szuperpozíciójából tevődik össze, jóllehet a β−bomlás közben megtörténik. Mikor következik be a hullámfüggvény redukciója, azaz mikor dől el, hogy a macska életben maradt-e, vagy elpusztult-e; akkor, amikor kinyitjuk a dobozt, s ezáltal beavatkozunk a hullámfüggvény szabad fejlődésébe? Ha igen, mint ahogy tévesen hitték a kvantummechanikai méréselmélet interpretálása hajnalán, akkor az súlyos ismeretelméleti és egyéb következményekkel járhatna a mérés tudatunktól független objektív megvalósulására nézve. (A probléma megoldását, mint látjuk, a környezet figyelembevétele jelentette.)

végül a Z – környezet állapotára, amely nem elhanyagolható, és mindig jelenlevő (példánkban a nyaktiló, egyéb mechanizmusok, és a doboz fala valósítja meg).

A kezdeti állapotban a világ (doboz, macska, preparátum, nyaktiló stb.) állapotát megadó hullámfüggény a következőképpen írható:

t = 0 |ψ(0)⟩ = ∑_{n} c_{n}|O, n⟩|A⟩|Z⟩.

A kölcsönhatások miatt ez a kezdeti tiszta állapot szuperponált tiszta álapotba fog fejlődni:

t = t |ψ(t)⟩ = ∑_{n} c_{n}(t)|O, n⟩|A(n)⟩|Z(n)⟩.

Mármost háromféle mérési eshetőség képzelhető el:

1) Nem olvassuk le Z−t, nem vagyunk figyelemmel a környezetre (a gyakorlatban természetesen mindig ez van). Ezért az ”objektum+műszer” (eletronspin+macska) rendszer kevert állapota áll elő,

Sp_{Z} ρ = ρ̂ = ∑ |c_{n}|^{2}|A(n)⟩|O, n⟩⟨O, n|⟨A(n)| ≠ ρ̂^{2},

ugyanis ⟨Z(n)|Z(m)⟩ = δ_{nm} a makroszkópikusság miatt.

Tehát N db ilyen (spin+macska) azonos részrendszer úgy viselkedik, mint

N_{1} = N|c_{1}|^{2} db részrendszer az |O, 1⟩|A(1)⟩ állapotban,

N_{2} = N|c_{2}|^{2} db részrendszer az |O, 2⟩|A(2)⟩ állapotban,

... stb.

Azaz részrendszereink tetszőlegesen kiragadott i−dik eleme N_{i}/N = p_{i} = |c_{i}|^{2} valószínűséggel van az |O, i⟩|A(i)⟩ állapotban, ami azt jelenti, hogy az A műszer (a macska) |c_{i}|^{2} valószínűséggel mutat ′i′ értéket (tehát a spin+macska részrendszer vagy |↑⟩|halott⟩ vagy |↓⟩|élő⟩ állapotban van).

2) A(n)−t sem olvassuk le. Ekkor szintén kevert állapot áll elő az O állapotát tekintve, mivel

Sp_{Z,A} ρ = ˆ ρ̂ = ∑_{n} |c_{n}|^{2}|O, n⟩⟨O, n|,

ugyanis ⟨A(n)|A(m)⟩ = δ_{nm} a makroszkópikusság miatt.

3) A−t leolvassuk és A(m) eredményt kapunk. Ekkor

Sp_{Z,A(m)} ρ = |c_{m}|^{2}ˆˆρ̂

ahol tehát |c_{m}|^{2} valószínűséggel kapjuk meg az objektum tiszta állapotát, amit a

ˆˆρ̂ ≡ |A(m)⟩|O, m⟩⟨O, m|⟨A(m)| = ˆ ˆ ρ̂^{2}

sűrűségmatrix jellemez. Ez az V. axióma esete.

1.7. KVANTUM TELEPORTÁCIÓ

A sci-fi irodalomban gyakran találkozhatunk a teleportáció jelenségével, amikor is egy tárgy vagy élőlény azonos másolata, replikációja a tér egy másik távoli pontján megjelenik. Általában idő nem szükségeltetik a teleportációhoz és makroszkópikus targyakat is minden nehézség nélkul teleportálnak a sci-fi szerzők.

Látni fogjuk, hogy a kvantummechanika valóban lehetővé teszi a teleportációt, azonban csak kvantum állapotok teleportációját lehet megvalósítani a kauzalitás megsértése nélkül.

A kvantum teleportáció lehetőségét 1993-ban vetették fel^{1} és azóta kísérletileg többen is kimutatták. Magyarországon Janszky és csoportja végzett sikeres kísérleteket fotonok polarizációs állapotainak teleportálásával.

Kvantum teleportáció

1 Bennet et al, Phys.Rev.Letters 70, 1895 (1993)

Tekintsük a mellékelt diagrammot, amely bemutatja a kvatum teleportáció lényegét. A folyamatban három feles spinű részecske vesz részt. Az A-val jelölt egyik mérőhely (Alíz) rendelkezésére áll a teleportálandó 1-es részecske, amely a |φ⟩ állapotban van. Egy spin szinglett (EPR) párokat generáló forrásból a 2-es részecske Alízhoz, a 3-as részecske a B mérőhelyre (Bobhoz) érkezik. Fogjuk látni, hogy ha Alíz egy Bell-mérést (ld. később) végez el a rendelkezésére álló 1es és 2-es részecske páron, és ennek eredményét klasszikus információs csatornán közli Bobbal (ezt jelöli a diagrammon a folytonos kettős vonal), akkor Bobnak lehetősége van az ő 3-as részecskéjét a |φ⟩ állapotba hozni s ezzel a teleportáció folyamatát megvalósítani.

Magyarázat. A teljes háromrészecske állapot az 1-es részecske és a (2,3)-as részecske pár állapotainak szorzataként írható:

|Ψ_{123}⟩ = |φ_{1}⟩|ψ_{23}^{−}⟩,

ugyanis a 2-es és 3-as részecske pár bármely tagján, vagy mindkettőn végzett mérés semmilyen információval nem szolgál az 1-es részecske állapotáról. Sem klasszikus korreláció, sem kvantumos összefonódás (szuperpozíció) nincs köztük.

Legyen az 1-es részecske állapota

|φ_{1}⟩ = a|↑_{1}⟩ + b|↓_{1}⟩ = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} )_{1} ,

az EPR állapotban levő (2,3)-as részecske pár állapotfüggvénye pedig a következőképpen írható:

|ψ_{23}^{−}⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|↑_{2}⟩|↓_{3}⟩ − |↓_{2}⟩|↑_{3}⟩).

Bevezetjük az ún. Bell-bázist az 1-es és 2-es részecskék spinállapotainak jellemzésére:

|ψ_{12}^{±}⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|↑_{1}⟩|↓_{2}⟩ ± |↓_{1}⟩|↑_{2}⟩),

és

|Φ_{12}^{±}⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|↑_{1}⟩|↑_{2}⟩ ± |↓_{1}⟩|↓_{2}⟩),

amely elemek sajátállapotai az ún. Bell-operátoroknak. Pl. a jól ismert spin szinglett (EPR) |ψ_{12}^{−}⟩ állapot az S⃗_{12} = s⃗(1) + s⃗(2) operátorból képezett S_{12}^{2} és S_{z,12} operátorok sajátfüggvénye S = 0 és S_{z} = 0 sajátérték mellett.

Könnyen megmutatható, hogy a fenti háromrészecske állapot kifejthető a Bell-bázis állapotok szerint:

|Ψ_{123}⟩ = \frac{1}{2}[|ψ_{12}^{−}⟩ ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) + |ψ_{12}^{+}⟩ ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

+|Φ_{12}^{−}⟩ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) + |Φ_{12}^{+}⟩ ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ]|φ_{3}⟩.

Ily módon tehát Alíz méréseket végezhet az ő 1-es és 2-es részecske párján, megmérheti, hogy milyen a négyféle Bell-operátornak megfelelő fizikai mennyiség értéke. Sokszor megmérve ezeket az értékeket, 1/4-ed valószínűséggel kapja mindegyik értéket. De elegendő csak egyszer mérnie a teleportáció érdekében, ugyanis, ha azt találja, hogy mérésének kimenetele például a |ψ_{12}^{−}⟩ Bell-állapotnak megfelelő sajátérték, akkor az V. axióma értelmében biztos lehet benne, hogy

Bob részecskéje a ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) |φ_{3}⟩ állapotba került. Hasonlóan, ha

az állapotfüggvény második összetevőjére való redukciójára következtet

mérési eredményéből, akkor a Bobnál lévő részecske ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) |φ_{3}⟩

állapotba került, és így tovább. Mérése után Alíz klasszikus információ hordozók útján közölheti Bobbal mérési eredményét, s ezután Bobnak nem kell mást csinálni, mint az ő részecskéjén egy inverz uniter transzformációt végrehajtani (ez pl. foton polarizációs állapotok esetén tükrök megfelelő alkalmazását jelenti), s máris megkapta az Alíznál levő eredeti részecske replikáját, anélkül, hogy ezt a részecskét oda kellett volna szállítani, bonyolult berendezésekkel védeni a környezettel való kölcsönhatástól, stb. Tehát a kvantumállapot teleportációja végbement. Alíz számára viszont elveszett az eredeti |φ_{1}⟩ állapot, hiszen a mérése során keletkezett valamelyik Bell-állapotból már nem tudja visszaállítani azt. Tehát kvantumállapotok nem klónozhatók. A mérési eredmény viszont megmarad, az másolható.

Megjegyzendő, hogy a teleportáció nem valósítható meg a klasszikus információ hiányában, Bob nem tudja kitalálni Alíz mérési eredményét. Számára, amíg nincs az információ birtokában, mindegyik inverz transzformáció egyenlő eshetőséggel bír.

Várható, hogy a jövőben a kvantum teleportációnak jelentős gyakorlati alkalmazásai lesznek.

1.8. BELL-EGYENLŐTLENSÉGEK

A Bell-egyenlőtlenségek a kvantummechanikai méréselmélet valószínűségi értelmezését ’pontosítani’ kívánó egyik elmélet, az ún. lokális rejtett paraméterek elméletének tarthatatlanságát hivatott – mérésekkel kimutatható módon – bemutatni. A rejtett paraméterek elméletének megfogalmazói szerint az, hogy a mérés k_{n} (saját)értéke csak a mérés pillanatában realizálódik |c_{n}|^{2} valószínűséggel, csupán tudásunk hiányos voltát, a kvantummechanika tökéletlenségét tükrözi. Ezt a hiátust áthidalandó, feltételezték, hogy a különféle mérési lehetőségek már eleve be vannak kódolva a mérendő rendszerbe egy ismeretlen elmélet révén. Ez a kód, ez az előzetes információ, paraméter formájában benne rejlik a mérési adatokban. Az az elmélet, amelyben ez az információ explicite jelentkezik, nem ismeretes, így ez az információ csupán logikai úton, rejtett paraméterek formájában érhető el számunkra.

Ezen paraméterek segítségével bizonyos matematikai egyenlőtlenségek, az ún. Bell-egyenlőtlenségek vezethetők le a mérési adatok észlelt gyakoriságai között. Ezen egyenlőtlenségeknek szükségszerűen fenn kell állniuk minden olyan mérési eseményre, amelyek az előzetesen kódolt információt tartalmazzák. A másik eshetőség az, hogy az egyenlőtlenségek nem teljesülnek. Ekkor a rejtett paraméterek elméletét fel kell adnunk, előzetesen kódot információk nem léteznek. Mint kiderül, makroszkópikus mérési eseményekre mindig fennállnak az egyenlőtlenségek, mikroszkópikus objektumokon végzett mérések (pl. spin mérés) esetén nem mindig. Így tehát a kvantummechanika jelenlegi elméletét rejtett paraméterek bevezetésével ’finomítani’ nem lehetséges.

Az eddigiekből nyilvánvaló már, hogy a Bell-egyenlőtlenségek felállításához nem szükséges a kvantummechanika. Bármely két, egymástól független mérőhelyen mért, egymással korrelációba hozható olyan adatsorozat gyakoriságaira vonatkozóan felállíthatók az egyenlőtlenségek, amelyekben az észlelt korrelációt egy közös ok okozta.

A Bell-egyenlőtlenségek felállításának egyik lehetséges módozatát, és a megfelelő kísérletet Hraskó Péter írta le (Fizikai Szemle, 1984/7. sz., 252 oldal). Jelenlegi ismereteink szerint kéféle információ áramlás típust tudunk elképzelni: (i) a közvetlen ok típusút, amelyben az A ok közvetlen kiváltója a B okozatnak ; (ii) a közös ok típusút, amelyben a C közös ok a felelős az A és B eseménysorozatban fellelhető korrelációért. Logikai úton azonban eljuthatunk egy harmadik típusú ok-okozati kapcsolathoz (információ áramláshoz), amelyet felfogni nehéz, de kétségtelen hogy mikrovilágunk gazdag mozgásformái ilyen információ áramlás típust (is) tartalmaznak.

C

A B

1  2  3  1  2  3

1.2 ábra. A Bell-egyenlőtlenségek felállítását lehetővé tevő Hraskó-féle kísérleti elrendezés.

A Hraskó-kísérlet a következő (ld. 1.2 ábra). A C postamester asztalán egy nagy halom tökéletesen egyforma nagyalakú boríték halmaz van. C a halomból véletlenszerűen kivesz egy nagyborítékot, felnyitja, s a benne levő két, tökéletesen egyforma, lezárt, közepes alakú borítékot továbbítja a szomszéd szobákban ülő A, ill. B munkatársaihoz. A és B kibontja a saját közepes alakú borítékját, s a benne található három, számozott kisboríték közül találomra kivesz egyet, a többit megsemmisíti. A megtartott számozott kisborítékot felbontja, s abban egy színes korongot talál. Feladata, mind A-nak mind B-nek csupán annyi, hogy az így hozzájuk érkező kisborítékok számát, valamint a bennük talált a korongok színét egy jegyzőkönyvbe rögzítsék, s várják a következő közepes alakú boríték küldeményt, amely megérkezése esetén hasonlóképpen járnak el. A korongok színe kétféle lehet, pl. kék K és piros P. Így mind A, mind B 6−féle (2 × 3) eseményt rögzíthet. A nagyszámú boríték felbontásból (mérésből) mind A-nál, mind B-nél keletkezik egy lista (vö. 1.1 táblázat). A listákat a mérés sorozat befejezése után összehasonlítják. Az összehasonlításából A és B a következő információ C általi közvetítésére gondolhat: egy nagyborítékon belül az azonos számú kisborítékok csak különböző színű korongot tartalmazhatnak, azaz nKnP. Minthogy egyazon nagyborítékból származó, azonos színű korong azonos számozású kisborítékon belül nem fordulhat elő, összesen 6 × 6 − 6 = 30 esemény regisztrálása fordulhat elő, különböző gyakorisággal az egymás mellé tett jegyzőkönyvek listájának soraiban.

Sőt, mivel nem lehet megkülönböztetést tenni a közepes borítékok között, összesen csupán 30/2=15 különböző esemény szerepelhet az egymás mellé tett mérési jegyzőkönyvek megfelelő soraiban (ld. 1.1 táblázat). Enek a 15 eseménynek az előfordulási valószínűsége, a relatív gyakorisága, p_{i} kiszámolható: p_{i} = N_{i}/N, ahol N_{i} jelenti az i−dik esemény előfordulási számát, N pedig a minden határon túl növelt összesemény (a szétküldött azonos nagyborítékból származó közepes alakú borítékok) számát (∑_{i=1}^{15} p_{i} = 1).

1.1 táblázat: A és B listáján szereplő események.

Mármost A és B, a klasszikus fizikán iskolázott alpostamesterek jóhiszeműen valóban azt gondolhatják, hogy főnökük, C, jól preparált közepes alakú borítékokat küldözget nekik; nevezetesen olyanokat, amelyekben még véletlenül sem fordulhat elő az, hogy azonos számozású kisborítékba azonos színű korong kerül. Bár A és B számára elérhetetlen főnökük manipulációiba való betekintés, mégis, logikai úton kitalálják, hogy C hányféle közepes alakú borítékot készíthet el. Okoskodásuk azon alapul, hogy C tényleg eleve bekódolja az általuk később megállapított információt az egyszerre feladott közepes alakú borítékokba. Ennek ellentéte csak az lehet, hogy nincs eleve bekódolva az nKnP információ az egy nagyborítékból származó levelekbe, hanem az közben, pl. a felnyitás pillanatában keletkezik. Ez esetben sérülhet okoskodásuk, s ekkor az információ továbbítás egy olyan módozatával állunk szemben, amely a klasszikus világunkban megismert típusok egyikébe sem illeszthető bele.

Az 1.2 táblázat tartalmazza A és B logikai munkájának eredményét. Ha tényleg nKnP a közvetített információ (márpedig ez alól egyetlen kivétel sem ismeretes) és valóban már C-nél bekerül a nagy borítékokba ez az információ, akkor csupán az 1.2 táblázatban felsorolt négyféle (a, b, c, d) közepes alakú boríték típust tartalmazhatják a C előtt fekvő nagyborítékok. Ha A és B a kísérlet megkezdése előtt bemehetnének C szobájába és felnyithatnák az összes nagyborítékot, akkor megállapíthatnák az egyes típusok előfordulási gyakoriságát, s így annak w_{a}, w_{b}, w_{c}, w_{d} valószínűségét is, amellyel C a különféle típusú nagyborítékokat küldözgeti számukra: pl. w_{a} = N_{a}/N, ahol N_{a} az a−tipusú nagyborítékok száma. (Nyilvávalóan w_{a} + w_{b} + w_{c} + w_{d} = 1.) Viszont nem mehetnek be a nagyborítékos szobába, ezért csupán feltételezik, hogy ezek a w_{a}, ..., w_{d} valószínűségek léteznek. (Teljesen normális feltételezés.) Viszont számukra, a megfigyelők számára ténylegesen nem hozzáférhetők (mérhetők) ezek az adatok, s ezért rejtett paramétereknek nevezik el őket. Feltételezésük viszont lehetőséget nyújt arra, hogy az általuk a tapasztalatból nyert valószínűségeket, a p_{i}−ket kifejezhessék ezekkel a w valószínűségekkel. Pl. egy ilyen összefüggés a p(1P, 2P) ≐ (\frac{1}{3})^{2} (w_{c}+w_{d}), amint az az 1.1 és 1.2 táblázat összevetéséből nyilvánvaló. (Az 1/9-es faktor abból adódik, hogy mind B, mind A 1/3 valószínűséggel választ ki egy borítékot a kapott három közül.)

Ezért a tapasztalt (mért) p_{i} valószínűségek között felállíthatók bizonyos összefüggések, méghozzá egyenlőtlenségek alakjában. Ezek a Bellegyenlőtlenségek. Pl. egy ilyen egyenlőtlenség a következő:

1.2 táblázat: A C boríték típusai.

p(1P, 2P) + p(2P, 3P) ≥ p(1P, 3P),  (1.1)

ugyanis

(w_{c} + w_{d}) + (w_{b} + w_{d}) ≥ w_{b} + w_{c},

mivel a w_{d} valószínűség határozottan nem negatív.

Bell 1964-ben állította fel egyenlőtelenségeit^{1}, amelyektől való eltérést végül 1981-ben Aspect-nek és munkatársainak^{2} sikerült kimérni spinkorrelációs mérések során.

1 J.S. Bell, Physics 1, 195 (1964); in Die Deutung der Quantentheorie (eds. K.R. Baumann,

R.U. Sexl) (Vieweg, Wiesbaden, 1984), p. 193.

2 A.P. Aspect et al, Phys. Rev. Letters, 47, 460 (1981); ibid 49, 91 (1982)

Kvantummechanikai tanulmányaink során láttuk, hogy egy feles spinű részecske spinjének tetszőleges irányra való vetülete ±h̄/2 lehet. Feleltessük most meg az előző, borítékos (Hraskó-féle) kísérletben szereplő korongok színeit a kétféle beállásnak: K = +, P = −. Legyen továbbá adva az egymástól izolált A ill. B laboratóriumban egy-egy olyan mérőberendezés (Stern-Gerlach apparátusok, megfelelő elrendezésben), amellyel véletlenszerűen kiválasztott, háromféle irányra vonatkozó spinvetületet tudunk mérni. Az előző kísérlettel való analógia tehát: borítékok számozása = mérési irányok, azaz 1 = n̂_{1}, 2 = n̂_{2}, 3 = n̂_{3}. Az A-hoz és B-hez érkező feles spinű azonos részecskék egy C-forrásból származnak. A C-forrás S = 0 szinglet állapotban levő, két-nukleon rendszerek sokaságát tartalmazza, ezek bomlása réven keletkeznek az ellentétes irányba, A-hoz, ill. B-hez repülő nukleonok. (A postamester szerepét tehát a radioaktív bomlás és az impulzus megmaradás tölti be, a nagyboríték maga a szétsugárzó, S = 0 spinű kétrészecske rendszer.)

Mármost, ahhoz, hogy kimutassuk: a kvantummechanika sérti a Bellegyenlőtlenségeket, nem is kell elvégeznünk a mérést. Ugyanis a kvantummechanika alapján ki tudjuk számítani a p_{i} valószínűségeket. (Természetesen, bíznunk kell abban, hogy a kvantummechanika helyes, pontos elmélet, s a kísérlet majd javára dönt.) Annak valószínűsége (átlagértéke), hogy egy S = 0 állapotban levő részecske pár egyik részecskéjének n̂_{1} irányra vonatkozó spinvetülete ugyanolyan előjelű legyen, mint a részecske pár másik résztvevőjének egy tetszőleges másik n̂_{2} irányra nézve,

q(n̂_{1}, n̂_{2}) = \frac{1}{2}(1 − cos ϑ_{12}),

ahol ϑ_{12} az irányok által bezár szöget jelenti. Válasszunk három, előre megadott különböző irányt mindkét laboratóriumban! Ekkor az (1.1)- ben szereplő p_{i} valószínűségekre a következő képletek adhatók meg:

p(1P, 2P) = (\frac{1}{3})^{2} q(n̂_{1}, n̂_{2}) = \frac{1}{18}(1 − cos ϑ_{12}),

p(2P, 3P) = (\frac{1}{3})^{2} q(n̂_{2}, n̂_{3}) = \frac{1}{18}(1 − cos ϑ_{23}),

p(1P, 3P) = (\frac{1}{3})^{2} q(n̂_{1}, n̂_{3}) = \frac{1}{18}(1 − cos ϑ_{13}).

Ezeket az (1.1) alatti Bell-egyenlőtlenségbe helyettesítve a következő összefüggés fennállását kapjuk:

1 − cos ϑ_{12} + 1 − cos ϑ_{23} ≥ 1 − cos ϑ_{13},

azaz 1 + cos ϑ_{13} ≥ cos ϑ_{12} + cos ϑ_{23}.

Válasszuk a 2-es irányt merőlegesnek a 3-as irányra, az n̂_{1}, n̂_{2} irányok közti ϑ_{12} szöget pedig π/4 = 45^{o}−nak! Ekkor − cos ϑ_{13} = cos ϑ_{12} = \frac{1}{\sqrt{2}}, cos ϑ_{23} = 0, amiket behelyettesítve, látjuk, hogy az egyenlőtlenség, 1 ≥ 2\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (helytelen!) ebben az esetben nem teljesül.

Aspect-ék kísérletei ezt meg is erősítették, amennyiben méréseik mindig a kvantummechanika által szolgáltatott eredményeket adták vissza a mérési hibán belül (1.3 ábra), azaz lokális rejtett paraméterk nem léteznek.

1.3 ábra. Spinkorrelációs mérés.