Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 1. Méréselmélet

1. MÉRÉSELMÉLET

Korábbi tanulmányainkban megismerkedtünk a kvantummechanika alapjaival, elméleti apparátusával és számos gyakorlati következményével.

Jelen fejezetben mélyebb bepillantást nyerünk a kvantummechanika méréselméletébe, amelyet korábban a fizikai mérés alaptörvénye kapcsán röviden már érintettünk. Most látni fogjuk, hogy a mérés elmélete összetettebb. Az állapot és mennyiség fogalmának különválasztása lehetőséget teremtett a mérés folyamatának részletesebb analízisére. A külső szemlélőben ugyanis joggal vetődhetnek fel különböző kérdések. Vajon a mérés valószínűségi értelmezése nem csupán tudásunk elégtelen voltát tükrözi-e? A mérés során bekövetkező ún. ’hullámfüggvény redukció’ nem csupán ismereteink hiányát jelenti-e? Léteznek-e – ezen tudáshiányt pótlandó – ún. ’rejtett paraméterek’, amelyek a méréselmélet egyik nyugtalanító pontját, a kvantumállapot mérés során bekövetkező hirtelen változását, redukcióját, az oksági logika szintjén próbálják magyarázni?

Ezen kérdések megválaszolására kerül sor ebben a fejezetben. Fogjuk látni, hogy – bár tudásunk nyilvánvalóan véges – a mérések valószínűségi jellege nem ismeretünk hiányából fakad, hanem az a fizikai állapotok elidegeníthetetlen, inherens tulajdonságát fejezi ki. A Bell egyenlőtlenségek kapcsán pedig megértjük, hogy a kvantummechanika V. axiómájaként számon tartott állapotváltozást, a mérés következtében létrejövő hullámfüggvény redukciót rejtett paraméterek segítségével nem sikerülhet megmagyarázni, mert ilyen paraméterek nem léteznek.

1.1. KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI

A kvantummechnika öt axiómán nyugszik.

I. axióma: Egy fizikai állapotnak egy absztrakt Hilbert-térbeli állapotvektor felel meg. Az absztrakt állapotvektor jele általában a ket : | ⟩. Egy konkrét állapot pl. a

|ψ⟩.

II. axióma: Egy fizikai mennyiségnek egy absztrakt, Hermitikus operátor felel meg. Az ’A’ fizikai mennyiség megfelelője az

A = A†

Hermitikus operátor.

Ebből következik a matematikai tételek alapján a valós sajátértékek és a sajátérték egyenletek léte: A|n⟩ = a_{n}|n⟩; a teljesség: 1 = ∑ |n⟩⟨n|; a kifejtés: |ψ⟩ = ∑ c_{n}|n⟩; valamint az operátorok esetleges nemfelcserélhetősége.

III. axióma: Kimondja, hogy az A fizikai mennyiség a_{n} mért értékei csak a sajátértékek lehetnek, valamint azt, hogy a mért értékek középértéke a várható érték:

⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ = \overline{A}

≡ lim_{N→∞} \frac{1}{N} ∑_{n} N_{n}a_{n}.

Így ez az axióma, az előzővel ötvözve, kiadja a fizikai mérés alaptörvényét: W (a_{n}) = |c_{n}|^{2} (amelyet szoktak III. axiómaként is említeni), továbbá a bizonytalansági relációk is levezethetők.

IV. axióma: Az állapotvektor dinamikai változását a Schrödinger egyenlet írja le:

(ih̄\frac{∂}{∂t} − H)|ψ⟩ = 0.

V. axióma: A |ψ⟩ állapot az A fizikai mennyiség mérése alkalmával az A operátor egyik kvantumállapotába ugrik be:

|ψ⟩ → |n⟩,

ahol A|n⟩ = a_{n}|n⟩ érvényes.

Ezek az axiómák elegendők a kvatummechanika körébe tartozó összes jelenség ellentmondás mentes és kvantitatív magyarázatához.

1.2. TISZTA ÁLLAPOT, KEVERT ÁLLAPOT

Alapozó tanulmányainkban már beszéltünk tiszta és szuperponált állapotokról. Mint látni fogjuk, a mérés szempontjából ez a kétfajta állapot azonos és ezért a továbbiakban nem teszünk különbséget tiszta és szuperponált állapotok között. A fizikai rendszert ebben az esetben csak egyfajta állapot, a |ψ⟩ jellemzi, amely tehát több állapot szuperpozíciójából is összetevődhet: |ψ⟩ = ∑ c_{n}|n⟩ (∑ |c_{n}|^{2} = 1).

Más a helyzet akkor, amikor olyan fizikai rendszerünk van, amelyben többféle |ψ_{i}⟩ állapot keveredik p_{i} valószínűséggel (∑ p_{i} = 1). Fizikai rendszerünk ilyen állapotát kevert állapotnak nevezzük, amelyet tehát nem lehet egyetlen pszi-vel jellemezni.

Összefoglalva:

tiszta állapotban kevert állapotban

|ψ⟩ = ∑ c_{n}|n⟩, |ψ_{1}⟩, |ψ_{2}⟩, ..., |ψ_{N}⟩,

ahol

∑ |c_{n}|^{2} = 1, p_{1}, p_{2}, ..., p_{N}; ∑ p_{i} = 1.

Egy fizikai rendszeren végzett mérés szempontjából fontos szerepe lesz a sűrűségoperátornak, amelyet

tiszta állapotban a kevert állapotban a

ρ ≡ |ψ⟩⟨ψ|, ρ ≡ ∑_{i=1}^{N} p_{i}|ψ_{i}⟩⟨ψ_{i}| = ∑_{i=1}^{N} p_{i}ρ_{i}

képlettel definiálunk.

Ismétlésképpen visszaidézzük, hogy egy X operátor nyomát (németül ’Sp’=Spur, angolul ’Tr’=trace) a következő definíció szerint képezzük:

Sp X ≡ ∑_{n}⟨n|X|n⟩,

ahol {|n⟩} egy tetszőleges ortonormált és teljes (∑ |n⟩⟨n| = 1) rendszert jelöl.

Mármost könnyen belátható, hogy az A fizikai mennyiség mérési átlagértéke a ρA operátor nyomaként áll elő:

tiszta állapotban kevert állapotban

⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ = Sp ρA, ⟨A⟩ = ∑_{i} p_{i}⟨ψ_{i}|A|ψ_{i}⟩ = Sp ∑_{i} p_{i}ρ_{i}A = Sp ρA.

Látjuk tehát, hogy mind tiszta, mind kevert állapotban, formailag azonos kifejezés állítja elő a mérési átlagértéket. Ilyen módon tehát nem dönthetünk afelől, hogy fizikai rendszerünk tiszta (csupán egyféle) állapotokból, vagy többféle állapotok bizonyos (p_{i}) valószínűségű kombinációiból áll-e. Mérési eredményünkre viszont kihatással lehet az állapot milyensége, mint azt a későbbiekben látni fogjuk.

Megvizsgálhatjuk magának a sűrűségoperátornak a nyomát is. Amint az könnyen belátható, a sűrűségoperátor definícióból következő sajátossága az, hogy hermitikus és nyoma az egység:

ρ = ρ†, Sp ρ = 1,

mindkét típusú állapotra. A sűrűségoperátor négyzete viszont már eltérést fog mutatni a tiszta és kevert állapotok esetén. Ugyanis

tiszta állapotban: kevert állapotban:

ρ^{2} = ρ, azaz Sp ρ^{2} = 1,  de  ρ^{2} ≠ ρ és Sp ρ^{2} < 1

könnyen belátható.^{1}

Sp ρ^{2} = ∑_{n}⟨n| ∑_{ij} p_{i}p_{j}|ψ_{i}⟩⟨ψ_{i}|ψ_{j}⟩⟨ψ_{j}|n⟩ =

∑_{ijn} p_{i}p_{j}⟨ψ_{i}|ψ_{j}⟩⟨ψ_{j}|n⟩⟨n|ψ_{i}⟩ =

∑_{ij} p_{i}p_{j}|⟨ψ_{i}|ψ_{j}⟩|^{2} < ∑_{ij} p_{i}p_{j} = (∑_{i} p_{i})(∑_{j} p_{j}) = 1 · 1 = 1

1 Lássuk be pl. a Spρ2 < 1 összefüggést:

Eddigi vizsgálatainkat összegezve megállapíthatjuk tehát, hogy mérés szempontjából rendszerünknek tiszta állapotban látszólagos (inherens, v. látens) statisztikus jellege van, amely objektív, mert tőlünk független, és a tiszta állapotok elidegeníthetetlen tulajdonságából fakadva a c_{n} kifejtési együtthatókon keresztül jelenik meg (∑ |c_{n}|^{2} = 1). Kevert állapotban viszont a fizikai rendszert valódi statisztikus tulajdonságok is jellemzik, amelyek a p_{i} valószínűségekben fejeződnek ki (∑ p_{i} = 1). Minthogy ezen p_{i}-k a rendszerről szerzett tudásunk, ismeretünk elégtelenségét tükrözi, a kevert állapotoknak szubjektív eleme is van.

Tiszta állapotban: kevert állapotban:

|ψ⟩ = ∑ c_{n}|n⟩ → ⟨A⟩ = ∑ |c_{n}|^{2}a_{n}, ⟨A⟩ = ∑_{i} p_{i}⟨ψ_{i}|A|ψ_{i}⟩ = ∑_{i} p_{i}⟨A⟩_{i}.

1.3. EGY RÉSZRENDSZER ESETE

1.3.1. S-\frac{1}{2} rendszerek

Álljon fizikai rendszerünk egyetlen (rész)rendszerből, pl. csak feles spinű állapotokból.

Válasszunk egy tetszőleges ortonormált bázist, amely szerint egy operátor nyomát képezzük. Feles spinoperátor, S= \frac{h̄}{2} σ⃗, esetén lehetnek a bázis elemek pl. a Pauli operátorok^{1} z−komponensének sajátálapotai. Ezekre többféle jelölést használnak az irodalomban:

χ_{+} ≡ ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) ≡ |↑⟩ ≡ α ≡ |+⟩ ≡ χ_{1/2}^{1/2} = |n⟩

és

χ_{−} ≡ ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) ≡ |↓⟩ ≡ β ≡ |−⟩ ≡ χ_{1/2}^{−1/2} = |m⟩.

Képezhetünk tiszta állapotokat:

|↑⟩, |↓⟩, vagy | ⟩_{α} = \frac{1}{\sqrt{2}} (|↑⟩ + e^{iα}|↓⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ e^{iα} \end{matrix} ) .

σ_{x} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , σ_{y} = ( \begin{matrix}0 & −i \\ i & 0 \end{matrix} ) , σ_{z} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) .

1

[Vegyük észre, hogy ezen utóbbi (szuperponált) tiszta állapot α megfelelő megválasztásával σ_{x}, ill. σ_{y} sajátállapotait állítja elő (α = 0, ill. α = π/2).]

Mármost képezhetjük a megfelelő sűrűségoperátorokat (matrix reprezentációban sűrűségmatrixnak hívjuk őket):

ρ_{↑} = |↑⟩⟨↑| = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) (1 0) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = ρ_{↑}^{2},

ρ_{↓} = |↓⟩⟨↓| = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) (0 1) = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ρ_{↓}^{2},

és

ρ_{α} = | ⟩_{α} _{α}⟨ | = \frac{1}{2} (|↑⟩⟨↑| + |↓⟩⟨↓| + e^{iα}|↓⟩⟨↑| + e^{−iα}|↑⟩⟨↓|)

= \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & e^{−iα} \\ e^{iα} & 1 \end{matrix} ) = ρ_{α}^{2}

Elektronsugárral megvalósíthatunk olyan fizikai rendszert is, amelyben az elektronnyaláb felének felfelé mutató, másik felének lefelé mutató spinje van. Az ilyen állapot kevert állapot lesz, a megfelelő sűrűségmatrix pedig:

ρ_{G} = \frac{1}{2}ρ_{↑} + \frac{1}{2}ρ_{↓} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ≠ ρ_{G}^{2} = \frac{1}{4} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Mérési eredményekre kihatással lehet az, hogy rendszerünk tiszta vagy kevert állapotban van-e.

Legyen ugyanis a mérendő fizikai mennyiség A = σ_{x}. A középértékek a ρ_{α} és ρ_{G} sűrűségmatrixokkal jellemzett tiszta, ill. kevert állapotokban egyszerű számolással adódnak:

⟨A⟩_{α} = Sp ρ_{α} σ_{x} = Sp \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & e^{−iα} \\ e^{iα} & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

= \frac{1}{2}Sp ( \begin{matrix}e^{−iα} & 1 \\ 1 & e^{iα} \end{matrix} ) = Re e^{iα} = cos α ≠ 0, ha α ≠ \frac{π}{2} ,

viszont

⟨A⟩_{G} = Sp ρ_{G} σ_{x} = Sp\frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = \frac{1}{2}Sp ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = 0.

Tehát különböző fizikai állapotokban levő fizikai rendszer különböző eredményt szolgáltat az átlagértékre, s így mérést konstruálhatunk annak eldöntésére, hogy egy állapot tiszta, vagy kevert volt-e a mérés pillanatában. (Az egyedi mérések után, a mérési eredménytől függően, a rendszer σ_{x} sajátállapotba kerül, ld. következő alfejezetek.)

Azonban nem bármely fizikai mennyiség mérése nyújt lehetőséget a kiinduló állapot tiszta, vagy kevert voltának eldöntésére. Mérjük meg ugyanis a spin z−komponensének várható értékét. Az eredmény (A = σ_{z})

⟨A⟩_{α} = Sp ρ_{α} σ_{z} = Sp \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & e^{−iα} \\ e^{iα} & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )

= \frac{1}{2}Sp ( \begin{matrix}1 & −e^{−iα} \\ e^{iα} & −1 \end{matrix} ) = 0

és

⟨A⟩_{G} = Sp ρ_{G} σ_{z} = Sp\frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) = \frac{1}{2}Sp ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) = 0

azonos mindkét típusú állapot esetén.

Figyeljük meg, hogy olyan esetben nem tudunk méréssel dönteni az állapot tiszta, vagy kevert volta felől, ha olyan mennyiséget mérünk, amely sajátállapotaiból tevődik össze a rendszer állapota. Ha olyan mennyiséget mérünk, amelynek nem sajátállapotai a rendszert felépítő állapotok (azaz a két fizikai mennyiség – a mérendő és a rendszer összetevőket generáló fizikai mennyiség – nem felcserélhető egymással), akkor lesz különbség a tiszta ill. kevert állapotú rendszeren elvégzett mérés között. Utóbbira példa a σ_{x} mérése, előbbire a σ_{z} mérése.

1.3.2. Spinpolarizáció

A legáltalánosabb 2 × 2−es sűrűségmatrix a következő alakban írható:

ρ = \frac{1}{2}(1 + b⃗ σ⃗),

ahol b⃗ egy tetszőleges vektor állandó. Könnyen belátjuk, hogy ez valóban sűrűségmatrix (ρ = ρ^{+} és Sp ρ=1), és

⟨σ⃗⟩_{ρ} = Sp ρ σ⃗ = b⃗.

Az általánosság megszorítása nélkül vehetjük b⃗-t a z-tengely irányába, azaz legyen b⃗ = (0, 0, b). Ekkor

ρ = \frac{1}{2}(1 + b σ_{z}) = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 + b & 0 \\ 0 & 1 − b \end{matrix} ) .

Minthogy a sűrűségmatrix diagonális elemei valószínűségeknek felelnek meg, kell hogy (1 ± b)/2 ≤ 1 legyen, azaz |b| ≤ 1.

Feltehetjük a kérdést: mely esetben jellemez a fenti általános sűrűségmatrix tiszta állapotot? Ehhez kiszámítjuk a négyzetét. Az eredmény:^{1}

ρ^{2} = \frac{1}{2} (\frac{1 + b^{2}}{2} + b⃗ σ⃗) .

Láthatjuk tehát, hogy ρ csak abban az esetben jelent tiszta állapotot (ρ^{2} = ρ), ha |b⃗| = b = 1. Az ilyen állapotot teljesen polarizált állapotnak hívjuk. (A spin ilyenkor b⃗ irányba ’mutat’.) Minden más esetben kevert állapottal van dolgunk. Pl. b = 0 egy olyan kevert állapotot jelent, amelyben 50%-ban felfelé, 50%-ban lefelé mutató spinű állapotok keverednek (ld. előző pont).

Fentiekből nyilvánvalóak az elnevezések: b⃗ a polarizációs vektor, |b⃗| a polarizáció foka.

1.4. KÉT RÉSZRENDSZER ESETE

Mérés esetén mindig legalább két részrendszerrel van dolgunk: az ’A’ mérőberendezéssel és az ’O’ mérendő objektummal. A később részletesen tárgyalandó Stern-Gerlach kísérletben a fizikai rendszer két alrendszer (részrendszer) együttesének fogható fel. Az egyik alrendszer a z-koordináta sajátállapotokkal jellemezhető; ez a berendezés ’mutatójának’ fogható fel, amely a nyaláb makroszkopikus eltérülését jelzi. A másik alrendszer a spin sajátállapotokkal jellemezhető; ez a mérendő mikroszkopikus objektum.

σ_{i}σ_{j} = δ_{ij} + iϵ_{ijk}σ_{k},
(σ⃗ a⃗)(σ⃗ b⃗) = a⃗ b⃗ + iσ⃗(a⃗ × b⃗).

1 Felhasználtuk a Pauli matrixok ismert tulajdonságait:

1.4.1. Mérés, amely csak az egyik részrendszert érinti

Tegyük fel, hogy az egyes részrendszerek (alrendszerek) lehetséges állapotai a következők:

ψ(1) = {|1n⟩}, ψ(2) = {|2m⟩}.

Tiszta (szuperponált) állapotban a rendszer állapota legáltalánosabban a

|ψ⟩ = ∑_{nm} c_{nm}|1n⟩|2m⟩

formában írható, ahol a két alrendszer kölcsönhatására jellemző c_{nm} szuperpozíciós együtthatókra az alrendszer állapotok ortonormáltsága és a ψ normáltsága miatt

∑_{nm} |c_{nm}|^{2} = 1

megszorítás áll fenn.

Rendszerünk sűrűségoperátora

ρ = |ψ⟩⟨ψ|,

amelyre természetesen igazak a tiszta állapotokat jellemző kritériumok:

ρ^{2} = ρ,  és  Sp ρ^{2} = 1.

Mármost, ha olyan mérést végzünk, amely csak az egyik alrendszert érinti, azaz az ’A’ mérendő fizikai mennyiségnek megfelelő A operátor (pl. A = z a Stern-Gerlach kísérletben) csak |1⟩−re hat, akkor a mérés átlagértéke az előzőekben megismert szabályok szerint adódik:

⟨A_{1}⟩ = Sp_{1,2} ρA_{1} = Sp_{1} Sp_{2} ρA_{1} = Sp_{1} [(Sp_{2} ρ)A_{1}] ≡ Sp_{1} ρ̂_{1}A_{1},

ahol bevezettük a

ρ̂_{1} ≡ Sp_{2} ρ

sűrűség matrixot, amely az 1−es részrendszerre vonatkozó minden mérést jellemez. (Sp_{1,2} az alrendszereket jellemző bázis állapotok szerint képzendő.)

Ez a (redukált) sűrűségmatrix általában nem tiszta álapotot jellemez: ρ̂_{1} ≠ ρ̂_{1}^{2} (általában). Annak viszont, hogy egy rendszer tiszta vagy kevert állapotban van-e a mérés előtt, mérési konzekvenciái vannak.

Az A_{1} fizikai mennyiség mérése alkalmával történő

ρ_{1,2} \underrightarrow{A_{1}} ρ̂_{1}

sűrűségmatrix redukció a kvantummechanika V. axiómájának mélyebb megértését teszi lehetővé. Ugyanis

tiszta állapot → kevert állapot

átmenet történik (általában) az A_{1} fizikai mennyiség mérése szempontjából.

Megvizsgálhatjuk, mely esetben találja mérőberendezésünk tiszta állapotban a mérendő alrendszert. Könnyen beláthatjuk, hogy a

ρ̂_{1} = ρ̂_{1}^{2}

tiszta állapotra utaló összefüggés csak abban az esetben teljesül, ha

|ψ⟩ = |ψ(1)⟩|ψ(2)⟩,

azaz, ha a két alrendszer egymástól független. Ez azt jelenti, hogy egymással nincsenek kölcsönhatásban. Ekkor az is igaz, hogy ρ = ρ_{1}ρ_{2} és külön-külön ρ_{1} ≡ |ψ(1)⟩⟨ψ(1)| = ρ_{1}^{2} és ρ_{2} ≡ |ψ(2)⟩⟨ψ(2)| = ρ_{2}^{2} is igaz. A c_{nm} kifejtési együtthatókra mindez azt jelenti, hogy ezen kölcsönhatásmentes részállapotok esetén az együtthatók faktorizálhatók, c_{nm} = b_{n}d_{m}, ahol ∑ |b_{n}|^{2} = ∑ |d_{m}|^{2} = 1, mert |ψ(1)⟩ = ∑ b_{n}|n⟩ és |ψ(2)⟩ = ∑ d_{m}|m⟩. Viszont, legalább is, ha mérni akarunk, a részrendszerek (mérőberendezés és mérendő objektum) között van kölcsönhatás, így a kvantummechanikai objektum mérés szempontjából általában kevert (tehát valódi statisztikus jelleget hordozó) állapotban van. Mindez szépen illusztrálható a Stern-Gerlach kísérlet révén.

1.5. STERN-GERLACH KÍSÉRLET

Tekintsük az 1.1 ábrát, ahol az azonos elektronállapotokat generáló forrásból +y irányba kirepülő elektronok z−irányú B(z) inhomogén mágneses téren haladnak keresztül és egy felfogó ernyőbe csapódnak be.

1.1 ábra. A Stern-Gerlach kísérlet elrendezése.

Mérendő objektumunk az elektron spinje. A spinállapotok bázisterét kifeszíti a σ_{z} spinoperátor két sajátvektora: |±⟩. Mérő berendezésünk az ernyő, amely az elektron z− koordinátájának a sajátértékét méri. A bázis tehát, ami szerint a nyomot képezzük, az elektron ẑ koordináta operátorának |z⟩ sajátállapota lesz.

Az előzőeknek megfelelően tehát, a teljes elektronállapot két részrendszer szuperpozíciójából tevődik össze: a z−irányú mozgást leíró, az elektron helyét jellemző f(z, t) hullámcsomagból, és az elektron spinjét jellemző χ spinállapotból. A két komponens (részállapot, alrendszer) közti csatolást (kölcsönhatást) a B(z) inhomogén mágneses tér létesíti.

Az elektronállapotot meghatározó energiaoperátor

H = \frac{p_{z}^{2}}{2m} + B(z)μ_{B}σ_{z}.

Legyen az elektron kezdeti állapota

⟨z|ψ(0)⟩ ≡ ψ(z, 0) = \frac{1}{\sqrt{2}} (χ_{+} + χ_{−}) f(z).

Itt f(z) az elektron térbeli elhelyezkedését megadó hullámcsomag, a spin pedig éppen a +x irányba ’mutat’.

A t időpillanatbeli (mérés előtti) végállapotot H segítségével határozhatjuk meg:

ψ(t) = e^{− \frac{i}{h̄} Ht}ψ(0).

Elvi nehézséget nem tartalmazó számolás után kapjuk a végeredményt:

⟨z|ψ(t)⟩ ≡ ψ(z, t) = \frac{1}{\sqrt{2}} (χ_{+}f(z + Ct^{2})e^{−iαt} + χ_{−}f(z − Ct^{2})e^{iαt}) ,

ahol α = B(z)μ_{B}/h̄, C = −B′(z)μ_{B}/2m. Itt az első tag a lefelé (−z irányú), a második pedig a felfelé (+z irányú) elmozdulást jelöli.

Tekintettel arra, hogy csak makroszkópikus szétválást tudunk detektálni, szükséges az, hogy

∫_{−∞}^{∞} f(z + Ct^{2})f(z − Ct^{2}) dz = 0

legyen (műszerünk makroszkópikus méretekkel rendelkezik).

Előállítjuk a sűrűségmatrix egy 4 × 4-es blokkját:

ρ_{zz′} = ⟨±|⟨z|ψ(t)⟩⟨ψ(t)|z′⟩|±′⟩ ≡

\frac{1}{2} ( \begin{matrix}f(z + Ct^{2})f^{∗}(z′ + Ct^{2}) & f(z + Ct^{2})f^{∗}(z′ − Ct^{2})e^{−i2α} \\ f(z − Ct^{2})f^{∗}(z′ + Ct^{2})e^{i2α} & f(z − Ct^{2})f^{∗}(z′ − Ct^{2}) \end{matrix} ) .

(Az 1/2-es faktor eredete jól látszik: a hullámfüggvény normálása.)

Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy állapotunk tiszta:

ρ_{zz′}^{2} ≡ ∫_{−∞}^{∞} dz′′ρ_{zz′′}ρ_{z′′z′} = ρ_{zz′}.

Ennek így is kell lennie, hiszen az elektronállapotot egyetlen hullámfüggvény írja le.

Ha viszont mérünk, detektáljuk az elektronok becsapódási helyét, a helyzet megváltozik; beavatkozunk a tiszta állapotba.

Detektáljuk a részecskéket mindenütt, a +z és a −z irányban egyaránt! Ekkor a sűrűségmatrix nyomát a teljes z tartományban (mindenhol, ahova az ernyőt raktuk) kell képezni:

Sp_{z} ρ ≡ ρ̂ = ∫_{−∞}^{∞} dz ρ_{zz} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ρ_{G} ≠ ρ_{G}^{2}.

Tehát a mérés hatására kevert állapotba kerül a rendszer, méghozzá olyanba, amelyben 50%-ban ↑, 50%-ban ↓ irányú spinű állapotokból van összekeverve. Minden, csak a spinre vonatkozó F (σ⃗) fizikai mennyiség mérése kevert spinállapotra utaló sűrűségmatrixszal kapcsolatos, azaz

⟨F (σ⃗)⟩ = Sp_{z±}(ρF (σ⃗)) = Sp_{±}(ρ̂F ((σ⃗)).

Mérjünk most csak a +z irányban! (Ernyő csak a +z félsíkon van.) Ekkor

Sp_{z≥0} ρ ≡ ρ̂ = ∫_{0}^{∞} dz ρ_{zz} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = \frac{1}{2}ρ_{↓} = \frac{1}{2}ρ_{↓}^{2},

azaz tiszta állapotot kaptunk, méghozzá olyat, amely ↓ állapotú elektronokat jelent. (Az 1/2-es valószínűségi faktor eredete a későbbiekben válik világossá.)

Mérés révén tehát előállhat

tiszta → kevert,

ill.

tiszta → tiszta

állapotváltozás s ez lehetőséget nyújt arra, hogy mélyebb bepillantást nyerhessünk az V. axióma ’működésébe’.

1.6. ÁLTALÁNOS MÉRÉSELMÉLET

Ezek után egyszerűen összefoglalhatjuk az általános mérést jellemző történéseket, a mérés hatására bekövetkező állapotváltozásokat. Könnyen eloszlathatjuk a ”Schrödinger macskája” néven híressé vált gondolat kísérlettel kapcsolatos félreértéseket.*

A mérés szempontjából világunk állapotát három részegységre oszthatjuk fel:

az |O⟩ – objektum állapotára, amely általában mikroszkópikus s így az n kvantumszámok jellemzik (példaként gondoljunk a β−részecske spinjére n = ±1);

az |A⟩ – műszer állapotára, amely makroszkópikus és így az O két különböző állapotát kijelző |A(n)⟩, ill. |A(m)⟩ állapota szükségszerűen ortogonális egymásra:

⟨A(n)|A(m)⟩ = δ_{nm}.

(Példa itt a macska állapota, amely élő, vagy halott lehet);

* Ebben a gondolat kísérletben egy macskát dobozba zárnak egy β−sugárzó radioaktív preparátummal és egy olyan nyaktilóval együtt, amely működik, ha ↑ spinű elektron találja el, nem működik, ha ↓ elektron megy át rajta. A rosszul megfogalmazott probléma a következő: mindaddig, amíg nem nyitjuk ki a dobozt, nem avatkozunk be a zárt rendszer állapotába, az tiszta állapotban fejlődik az időben, hullámfüggvénye élő és elpusztult macska állapotok szuperpozíciójából tevődik össze, jóllehet a β−bomlás közben megtörténik. Mikor következik be a hullámfüggvény redukciója, azaz mikor dől el, hogy a macska életben maradt-e, vagy elpusztult-e; akkor, amikor kinyitjuk a dobozt, s ezáltal beavatkozunk a hullámfüggvény szabad fejlődésébe? Ha igen, mint ahogy tévesen hitték a kvantummechanikai méréselmélet interpretálása hajnalán, akkor az súlyos ismeretelméleti és egyéb következményekkel járhatna a mérés tudatunktól független objektív megvalósulására nézve. (A probléma megoldását, mint látjuk, a környezet figyelembevétele jelentette.)

végül a Z – környezet állapotára, amely nem elhanyagolható, és mindig jelenlevő (példánkban a nyaktiló, egyéb mechanizmusok, és a doboz fala valósítja meg).

A kezdeti állapotban a világ (doboz, macska, preparátum, nyaktiló stb.) állapotát megadó hullámfüggény a következőképpen írható:

t = 0 |ψ(0)⟩ = ∑_{n} c_{n}|O, n⟩|A⟩|Z⟩.

A kölcsönhatások miatt ez a kezdeti tiszta állapot szuperponált tiszta álapotba fog fejlődni:

t = t |ψ(t)⟩ = ∑_{n} c_{n}(t)|O, n⟩|A(n)⟩|Z(n)⟩.

Mármost háromféle mérési eshetőség képzelhető el:

1) Nem olvassuk le Z−t, nem vagyunk figyelemmel a környezetre (a gyakorlatban természetesen mindig ez van). Ezért az ”objektum+műszer” (eletronspin+macska) rendszer kevert állapota áll elő,

Sp_{Z} ρ = ρ̂ = ∑ |c_{n}|^{2}|A(n)⟩|O, n⟩⟨O, n|⟨A(n)| ≠ ρ̂^{2},

ugyanis ⟨Z(n)|Z(m)⟩ = δ_{nm} a makroszkópikusság miatt.

Tehát N db ilyen (spin+macska) azonos részrendszer úgy viselkedik, mint

N_{1} = N|c_{1}|^{2} db részrendszer az |O, 1⟩|A(1)⟩ állapotban,

N_{2} = N|c_{2}|^{2} db részrendszer az |O, 2⟩|A(2)⟩ állapotban,

... stb.

Azaz részrendszereink tetszőlegesen kiragadott i−dik eleme N_{i}/N = p_{i} = |c_{i}|^{2} valószínűséggel van az |O, i⟩|A(i)⟩ állapotban, ami azt jelenti, hogy az A műszer (a macska) |c_{i}|^{2} valószínűséggel mutat ′i′ értéket (tehát a spin+macska részrendszer vagy |↑⟩|halott⟩ vagy |↓⟩|élő⟩ állapotban van).

2) A(n)−t sem olvassuk le. Ekkor szintén kevert állapot áll elő az O állapotát tekintve, mivel

Sp_{Z,A} ρ = ˆ ρ̂ = ∑_{n} |c_{n}|^{2}|O, n⟩⟨O, n|,

ugyanis ⟨A(n)|A(m)⟩ = δ_{nm} a makroszkópikusság miatt.

3) A−t leolvassuk és A(m) eredményt kapunk. Ekkor

Sp_{Z,A(m)} ρ = |c_{m}|^{2}ˆˆρ̂

ahol tehát |c_{m}|^{2} valószínűséggel kapjuk meg az objektum tiszta állapotát, amit a

ˆˆρ̂ ≡ |A(m)⟩|O, m⟩⟨O, m|⟨A(m)| = ˆ ˆ ρ̂^{2}

sűrűségmatrix jellemez. Ez az V. axióma esete.

1.7. KVANTUM TELEPORTÁCIÓ

A sci-fi irodalomban gyakran találkozhatunk a teleportáció jelenségével, amikor is egy tárgy vagy élőlény azonos másolata, replikációja a tér egy másik távoli pontján megjelenik. Általában idő nem szükségeltetik a teleportációhoz és makroszkópikus targyakat is minden nehézség nélkül teleportálnak a sci-fi szerzők.

Látni fogjuk, hogy a kvantummechanika valóban lehetővé teszi a teleportációt, azonban csak kvantum állapotok teleportációját lehet megvalósítani a kauzalitás megsértése nélkül.

A kvantum teleportáció lehetőségét 1993-ban vetették fel^{1} és azóta kísérletileg többen is kimutatták. Magyarországon Janszky és csoportja végzett sikeres kísérleteket fotonok polarizációs állapotainak teleportálásával.

Kvantum teleportáció

1 Bennet et al, Phys.Rev.Letters 70, 1895 (1993)

Tekintsük a mellékelt diagrammot, amely bemutatja a kvatum teleportáció lényegét. A folyamatban három feles spinű részecske vesz részt. Az A-val jelölt egyik mérőhely (Alíz) rendelkezésére áll a teleportálandó 1-es részecske, amely a |φ⟩ állapotban van. Egy spin szinglett (EPR) párokat generáló forrásból a 2-es részecske Alízhoz, a 3-as részecske a B mérőhelyre (Bobhoz) érkezik. Fogjuk látni, hogy ha Alíz egy Bell-mérést (ld. később) végez el a rendelkezésére álló 1es és 2-es részecske páron, és ennek eredményét klasszikus információs csatornán közli Bobbal (ezt jelöli a diagrammon a folytonos kettős vonal), akkor Bobnak lehetősége van az ő 3-as részecskéjét a |φ⟩ állapotba hozni s ezzel a teleportáció folyamatát megvalósítani.

Magyarázat. A teljes háromrészecske állapot az 1-es részecske és a (2,3)-as részecske pár állapotainak szorzataként írható:

|Ψ_{123}⟩ = |φ_{1}⟩|ψ_{23}^{−}⟩,

ugyanis a 2-es és 3-as részecske pár bármely tagján, vagy mindkettőn végzett mérés semmilyen információval nem szolgál az 1-es részecske állapotáról. Sem klasszikus korreláció, sem kvantumos összefonódás (szuperpozíció) nincs köztük.

Legyen az 1-es részecske állapota

|φ_{1}⟩ = a|↑_{1}⟩ + b|↓_{1}⟩ = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} )_{1} ,

az EPR állapotban levő (2,3)-as részecske pár állapotfüggvénye pedig a következőképpen írható:

|ψ_{23}^{−}⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|↑_{2}⟩|↓_{3}⟩ − |↓_{2}⟩|↑_{3}⟩).

Bevezetjük az ún. Bell-bázist az 1-es és 2-es részecskék spinállapotainak jellemzésére:

|ψ_{12}^{±}⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|↑_{1}⟩|↓_{2}⟩ ± |↓_{1}⟩|↑_{2}⟩),

és

|Φ_{12}^{±}⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|↑_{1}⟩|↑_{2}⟩ ± |↓_{1}⟩|↓_{2}⟩),

amely elemek sajátállapotai az ún. Bell-operátoroknak. Pl. a jól ismert spin szinglett (EPR) |ψ_{12}^{−}⟩ állapot az S⃗_{12} = s⃗(1) + s⃗(2) operátorból képezett S_{12}^{2} és S_{z,12} operátorok sajátfüggvénye S = 0 és S_{z} = 0 sajátérték mellett.

Könnyen megmutatható, hogy a fenti háromrészecske állapot kifejthető a Bell-bázis állapotok szerint:

|Ψ_{123}⟩ = \frac{1}{2}[|ψ_{12}^{−}⟩ ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) + |ψ_{12}^{+}⟩ ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

+|Φ_{12}^{−}⟩ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) + |Φ_{12}^{+}⟩ ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ]|φ_{3}⟩.

Ily módon tehát Alíz méréseket végezhet az ő 1-es és 2-es részecske párján, megmérheti, hogy milyen a négyféle Bell-operátornak megfelelő fizikai mennyiség értéke. Sokszor megmérve ezeket az értékeket, 1/4-ed valószínűséggel kapja mindegyik értéket. De elegendő csak egyszer mérnie a teleportáció érdekében, ugyanis, ha azt találja, hogy mérésének kimenetele például a |ψ_{12}^{−}⟩ Bell-állapotnak megfelelő sajátérték, akkor az V. axióma értelmében biztos lehet benne, hogy

Bob részecskéje a ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) |φ_{3}⟩ állapotba került. Hasonlóan, ha

az állapotfüggvény második összetevőjére való redukciójára következtet

mérési eredményéből, akkor a Bobnál lévő részecske ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) |φ_{3}⟩

állapotba került, és így tovább. Mérése után Alíz klasszikus információ hordozók útján közölheti Bobbal mérési eredményét, s ezután Bobnak nem kell mást csinálni, mint az ő részecskéjén egy inverz uniter transzformációt végrehajtani (ez pl. foton polarizációs állapotok esetén tükrök megfelelő alkalmazását jelenti), s máris megkapta az Alíznál levő eredeti részecske replikáját, anélkül, hogy ezt a részecskét oda kellett volna szállítani, bonyolult berendezésekkel védeni a környezettel való kölcsönhatástól, stb. Tehát a kvantumállapot teleportációja végbement. Alíz számára viszont elveszett az eredeti |φ_{1}⟩ állapot, hiszen a mérése során keletkezett valamelyik Bell-állapotból már nem tudja visszaállítani azt. Tehát kvantumállapotok nem klónozhatók. A mérési eredmény viszont megmarad, az másolható.

Megjegyzendő, hogy a teleportáció nem valósítható meg a klasszikus információ hiányában, Bob nem tudja kitalálni Alíz mérési eredményét. Számára, amíg nincs az információ birtokában, mindegyik inverz transzformáció egyenlő eshetőséggel bír.

Várható, hogy a jövőben a kvantum teleportációnak jelentős gyakorlati alkalmazásai lesznek.

1.8. BELL-EGYENLŐTLENSÉGEK

A Bell-egyenlőtlenségek a kvantummechanikai méréselmélet valószínűségi értelmezését ’pontosítani’ kívánó egyik elmélet, az ún. lokális rejtett paraméterek elméletének tarthatatlanságát hivatott – mérésekkel kimutatható módon – bemutatni. A rejtett paraméterek elméletének megfogalmazói szerint az, hogy a mérés k_{n} (saját)értéke csak a mérés pillanatában realizálódik |c_{n}|^{2} valószínűséggel, csupán tudásunk hiányos voltát, a kvantummechanika tökéletlenségét tükrözi. Ezt a hiátust áthidalandó, feltételezték, hogy a különféle mérési lehetőségek már eleve be vannak kódolva a mérendő rendszerbe egy ismeretlen elmélet révén. Ez a kód, ez az előzetes információ, paraméter formájában benne rejlik a mérési adatokban. Az az elmélet, amelyben ez az információ explicite jelentkezik, nem ismeretes, így ez az információ csupán logikai úton, rejtett paraméterek formájában érhető el számunkra.

Ezen paraméterek segítségével bizonyos matematikai egyenlőtlenségek, az ún. Bell-egyenlőtlenségek vezethetők le a mérési adatok észlelt gyakoriságai között. Ezen egyenlőtlenségeknek szükségszerűen fenn kell állniuk minden olyan mérési eseményre, amelyek az előzetesen kódolt információt tartalmazzák. A másik eshetőség az, hogy az egyenlőtlenségek nem teljesülnek. Ekkor a rejtett paraméterek elméletét fel kell adnunk, előzetesen kódot információk nem léteznek. Mint kiderül, makroszkópikus mérési eseményekre mindig fennállnak az egyenlőtlenségek, mikroszkópikus objektumokon végzett mérések (pl. spin mérés) esetén nem mindig. Így tehát a kvantummechanika jelenlegi elméletét rejtett paraméterek bevezetésével ’finomítani’ nem lehetséges.

Az eddigiekből nyilvánvaló már, hogy a Bell-egyenlőtlenségek felállításához nem szükséges a kvantummechanika. Bármely két, egymástól független mérőhelyen mért, egymással korrelációba hozható olyan adatsorozat gyakoriságaira vonatkozóan felállíthatók az egyenlőtlenségek, amelyekben az észlelt korrelációt egy közös ok okozta.

A Bell-egyenlőtlenségek felállításának egyik lehetséges módozatát, és a megfelelő kísérletet Hraskó Péter írta le (Fizikai Szemle, 1984/7. sz., 252 oldal). Jelenlegi ismereteink szerint kéféle információ áramlás típust tudunk elképzelni: (i) a közvetlen ok típusút, amelyben az A ok közvetlen kiváltója a B okozatnak ; (ii) a közös ok típusút, amelyben a C közös ok a felelős az A és B eseménysorozatban fellelhető korrelációért. Logikai úton azonban eljuthatunk egy harmadik típusú ok-okozati kapcsolathoz (információ áramláshoz), amelyet felfogni nehéz, de kétségtelen, hogy mikrovilágunk gazdag mozgásformái ilyen információ áramlás típust (is) tartalmaznak.

C

A B

1  2  3  1  2  3

1.2 ábra. A Bell-egyenlőtlenségek felállítását lehetővé tevő Hraskó-féle kísérleti elrendezés.

A Hraskó-kísérlet a következő (ld. 1.2 ábra). A C postamester asztalán egy nagy halom tökéletesen egyforma nagyalakú boríték halmaz van. C a halomból véletlenszerűen kivesz egy nagyborítékot, felnyitja, s a benne levő két, tökéletesen egyforma, lezárt, közepes alakú borítékot továbbítja a szomszéd szobákban ülő A, ill. B munkatársaihoz. A és B kibontja a saját közepes alakú borítékját, s a benne található három, számozott kisboríték közül találomra kivesz egyet, a többit megsemmisíti. A megtartott számozott kisborítékot felbontja, s abban egy színes korongot talál. Feladata, mind A-nak mind B-nek csupán annyi, hogy az így hozzájuk érkező kisborítékok számát, valamint a bennük talált a korongok színét egy jegyzőkönyvbe rögzítsék, s várják a következő közepes alakú boríték küldeményt, amely megérkezése esetén hasonlóképpen járnak el. A korongok színe kétféle lehet, pl. kék K és piros P. Így mind A, mind B 6−féle (2 × 3) eseményt rögzíthet. A nagyszámú boríték felbontásból (mérésből) mind A-nál, mind B-nél keletkezik egy lista (vö. 1.1 táblázat). A listákat a mérés sorozat befejezése után összehasonlítják. Az összehasonlításából A és B a következő információ C általi közvetítésére gondolhat: egy nagyborítékon belül az azonos számú kisborítékok csak különböző színű korongot tartalmazhatnak, azaz nKnP. Minthogy egyazon nagyborítékból származó, azonos színű korong azonos számozású kisborítékon belül nem fordulhat elő, összesen 6 × 6 − 6 = 30 esemény regisztrálása fordulhat elő, különböző gyakorisággal az egymás mellé tett jegyzőkönyvek listájának soraiban.

Sőt, mivel nem lehet megkülönböztetést tenni a közepes borítékok között, összesen csupán 30/2=15 különböző esemény szerepelhet az egymás mellé tett mérési jegyzőkönyvek megfelelő soraiban (ld. 1.1 táblázat). Enek a 15 eseménynek az előfordulási valószínűsége, a relatív gyakorisága, p_{i} kiszámolható: p_{i} = N_{i}/N, ahol N_{i} jelenti az i−dik esemény előfordulási számát, N pedig a minden határon túl növelt összesemény (a szétküldött azonos nagyborítékból származó közepes alakú borítékok) számát (∑_{i=1}^{15} p_{i} = 1).

1.1 táblázat: A és B listáján szereplő események.

Mármost A és B, a klasszikus fizikán iskolázott alpostamesterek jóhiszeműen valóban azt gondolhatják, hogy főnökük, C, jól preparált közepes alakú borítékokat küldözget nekik; nevezetesen olyanokat, amelyekben még véletlenül sem fordulhat elő az, hogy azonos számozású kisborítékba azonos színű korong kerül. Bár A és B számára elérhetetlen főnökük manipulációiba való betekintés, logikai úton mégis kitalálják, hogy C hányféle nagyalakú borítékot készíthet el. Okoskodásuk azon alapul, hogy C tényleg eleve bekódolja az általuk később megállapított információt az egyszerre feladott közepes alakú borítékokba. Ennek ellentéte csak az lehet, hogy nincs eleve bekódolva az nKnP információ az egy nagyborítékból származó levelekbe, hanem az közben, pl. a felnyitás pillanatában keletkezik. Ez esetben sérülhet okoskodásuk, s ekkor az információ továbbítás egy olyan módozatával állunk szemben, amely a klasszikus világunkban megismert típusok egyikébe sem illeszthető bele.

Az 1.2 táblázat tartalmazza A és B logikai munkájának eredményét. Ha tényleg nKnP a közvetített információ (márpedig ez alól egyetlen kivétel sem ismeretes) és valóban már C-nél bekerül a nagy borítékokba ez az információ, akkor csupán az 1.2 táblázatban felsorolt négyféle (a, b, c, d) közepes alakú boríték típust tartalmazhatják a C előtt fekvő nagyborítékok. Ha A és B a kísérlet megkezdése előtt bemehetnének C szobájába és felnyithatnák az összes nagyborítékot, akkor megállapíthatnák az egyes típusok előfordulási gyakoriságát, s így annak w_{a}, w_{b}, w_{c}, w_{d} valószínűségét is, amellyel C a különféle típusú nagyborítékokat küldözgeti számukra: pl. w_{a} = N_{a}/N, ahol N_{a} az a−tipusú nagyborítékok száma. (Nyilvávalóan w_{a} + w_{b} + w_{c} + w_{d} = 1.) Viszont nem mehetnek be a nagyborítékos szobába, ezért csupán feltételezik, hogy ezek a w_{a}, ..., w_{d} valószínűségek léteznek. (Teljesen normális feltételezés.) Viszont számukra, a megfigyelők számára ténylegesen nem hozzáférhetők (mérhetők) ezek az adatok, s ezért rejtett paramétereknek nevezik el őket. Feltételezésük viszont lehetőséget nyújt arra, hogy az általuk a tapasztalatból nyert valószínűségeket, a p_{i}−ket kifejezhessék ezekkel a w valószínűségekkel. Pl. egy ilyen összefüggés a p(1P, 2P) ≐ (\frac{1}{3})^{2} (w_{c}+w_{d}), amint az az 1.1 és 1.2 táblázat összevetéséből nyilvánvaló. (Az 1/9-es faktor abból adódik, hogy mind B, mind A 1/3 valószínűséggel választ ki egy borítékot a kapott három közül.)

Ezért a tapasztalt (mért) p_{i} valószínűségek között felállíthatók bizonyos összefüggések, méghozzá egyenlőtlenségek alakjában. Ezek a Bellegyenlőtlenségek. Pl. egy ilyen egyenlőtlenség a következő:

1.2 táblázat: A C boríték típusai.

p(1P, 2P) + p(2P, 3P) ≥ p(1P, 3P),  (1.1)

ugyanis

(w_{c} + w_{d}) + (w_{b} + w_{d}) ≥ w_{b} + w_{c},

mivel a w_{d} valószínűség határozottan nem negatív.

Bell 1964-ben állította fel egyenlőtelenségeit^{1}, amelyektől való eltérést végül 1981-ben Aspect-nek és munkatársainak^{2} sikerült kimérni spinkorrelációs mérések során.

1 J.S. Bell, Physics 1, 195 (1964); in Die Deutung der Quantentheorie (eds. K.R. Baumann,

R.U. Sexl) (Vieweg, Wiesbaden, 1984), p. 193.

2 A.P. Aspect et al, Phys. Rev. Letters, 47, 460 (1981); ibid 49, 91 (1982)

Kvantummechanikai tanulmányaink során láttuk, hogy egy feles spinű részecske spinjének tetszőleges irányra való vetülete ±h̄/2 lehet. Feleltessük most meg az előző, borítékos (Hraskó-féle) kísérletben szereplő korongok színeit a kétféle beállásnak: K = +, P = −. Legyen továbbá adva az egymástól izolált A ill. B laboratóriumban egy-egy olyan mérőberendezés (Stern-Gerlach apparátusok, megfelelő elrendezésben), amellyel véletlenszerűen kiválasztott, háromféle irányra vonatkozó spinvetületet tudunk mérni. Az előző kísérlettel való analógia tehát: borítékok számozása = mérési irányok, azaz 1 = n̂_{1}, 2 = n̂_{2}, 3 = n̂_{3}. Az A-hoz és B-hez érkező feles spinű azonos részecskék egy C-forrásból származnak. A C-forrás S = 0 szinglet állapotban levő, két-nukleon rendszerek sokaságát tartalmazza, ezek bomlása réven keletkeznek az ellentétes irányba, A-hoz, ill. B-hez repülő nukleonok. (A postamester szerepét tehát a radioaktív bomlás és az impulzus megmaradás tölti be, a nagyboríték maga a szétsugárzó, S = 0 spinű kétrészecske rendszer.)

Mármost, ahhoz, hogy kimutassuk: a kvantummechanika sérti a Bellegyenlőtlenségeket, nem is kell elvégeznünk a mérést. Ugyanis a kvantummechanika alapján ki tudjuk számítani a p_{i} valószínűségeket. (Természetesen, bíznunk kell abban, hogy a kvantummechanika helyes, pontos elmélet, s a kísérlet majd javára dönt.) Annak valószínűsége (átlagértéke), hogy egy S = 0 állapotban levő részecske pár egyik részecskéjének n̂_{1} irányra vonatkozó spinvetülete ugyanolyan előjelű legyen, mint a részecske pár másik résztvevőjének egy tetszőleges másik n̂_{2} irányra nézve,

q(n̂_{1}, n̂_{2}) = \frac{1}{2}(1 − cos ϑ_{12}),

ahol ϑ_{12} az irányok által bezár szöget jelenti. Válasszunk három, előre megadott különböző irányt mindkét laboratóriumban! Ekkor az (1.1)- ben szereplő p_{i} valószínűségekre a következő képletek adhatók meg:

p(1P, 2P) = (\frac{1}{3})^{2} q(n̂_{1}, n̂_{2}) = \frac{1}{18}(1 − cos ϑ_{12}),

p(2P, 3P) = (\frac{1}{3})^{2} q(n̂_{2}, n̂_{3}) = \frac{1}{18}(1 − cos ϑ_{23}),

p(1P, 3P) = (\frac{1}{3})^{2} q(n̂_{1}, n̂_{3}) = \frac{1}{18}(1 − cos ϑ_{13}).

Ezeket az (1.1) alatti Bell-egyenlőtlenségbe helyettesítve a következő összefüggés fennállását kapjuk:

1 − cos ϑ_{12} + 1 − cos ϑ_{23} ≥ 1 − cos ϑ_{13},

azaz 1 + cos ϑ_{13} ≥ cos ϑ_{12} + cos ϑ_{23}.

Válasszuk a 2-es irányt merőlegesnek a 3-as irányra, az n̂_{1}, n̂_{2} irányok közti ϑ_{12} szöget pedig π/4 = 45^{o}−nak! Ekkor − cos ϑ_{13} = cos ϑ_{12} = \frac{1}{\sqrt{2}}, cos ϑ_{23} = 0, amiket behelyettesítve, látjuk, hogy az egyenlőtlenség, 1 ≥ 2\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (helytelen!) ebben az esetben nem teljesül.

Aspect-ék kísérletei ezt meg is erősítették, amennyiben méréseik mindig a kvantummechanika által szolgáltatott eredményeket adták vissza a mérési hibán belül (1.3 ábra), azaz lokális rejtett paraméterek nem léteznek.

1.3 ábra. Spinkorrelációs mérés.

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 2. Direkt szóráselmélet

2. DIREKT SZÓRÁSELMÉLET

A kvantumfizikában minden szóráskísérlet hátterében az a cél húzódik meg, hogy információt szerezzünk a szóródó (összetett) részecskék közötti kölcsönhatásokról. Az ütközésben általában két részecske vesz részt: a bombázódó céltárgy, a target és a bombázó lövedék, a projektil. A méréseket laboratóriumban végezzük, itt a target az ütközés előtt nyugalomban van. Az elméleti leírás ezzel szemben általában tömegközépponti koordináta rendszerben történik, ahol a kétrészecske rendszer tömegközéppontja van nyugalomban. Abban az esetben, ha a két részecske kölcsönhatási potenciálja csak a részecskék relatív távolságától függ, az elméleti leírás a relatív koordináta rendszert használja, amelyben a kétrészecske probléma egyrészecske problémára redukálódik. (Olyan egyrészecskéére, amelynek tömege a redukált tömeg, azaz mindkét partner tömegénél kisebb tömeg.) Bár a relatív koordináta rendszer nem inercia rendszer (az impulzus nem marad meg), a relatív energia és a relatív impulzusmomentum megmarad (lévén, hogy ezek megegyeznek a tömegközépponti rendszerbeli értékekkel).

Első lépésként áttekintjük a mérések kiértékeléséhez szükséges energia és szórási szög transzformációs képleteket. A továbbiakban klasszikus mechanikai és kvantummechanikai tanulmányaink elemeit alkalmazzuk töltött részecskék ütközése esetére s levezetjük Rutherford szórási képletét, valamint meghatározzuk a Coulomb szórási amplitúdót. Ezután érintjük a szennyezések környezetében létrejövő Friedeloszcillációkat, illetve az ún. Friedel-összegszabályt és a fázistolások előjelének az ütközési idővel kapcsolatos összefüggését tisztázzuk. A fejezet végén a kétdimenziós kvantummechanikai szórás elemeit alkalmazzuk töltött részecskék szórására.

2.1. LABOR ÉS TÖMEGKÖZÉPPONTI RENDSZERBELI ENERGIÁK ÉS SZÓRÁSI SZÖGEK KÖZTI ÖSSZEFÜG-GÉSEK

Jelölje m_{1} és m_{2} a két ütköző részecske tömegét, v_{1} és v_{2} labor rendszerbeli (L-i) sebességüket, w_{1} és w_{2} tömegközéppont rendszerbeli (tkp-i) sebességüket, ütközés előtt. Az ütközés utáni sebességek: v′_{1}, v′_{2}, illetve w′_{1}, w′_{2}. Legyen a 2-es részecske a target, azaz v_{2} = 0.

A tömegközéppont sebessége labor rendszerben

u^{L} = \frac{m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1}v′_{1} + m_{2}v′_{2}}{m_{1} + m_{2}} ,

míg tkp-i rendszerben

u^{tkp} = 0 = \frac{m_{1}w_{1} + m_{2}w_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1}w′_{1} + m_{2}w′_{2}}{m_{1} + m_{2}} .

A tkp-i és labor rendszerbeli sebességek közötti különbség éppen a tömegközéppont labor rendszerbeli sebessége:

v_{1} = w_{1}+u^{L}, → w_{1} = v_{1}−u^{L} = v_{1} (1 − \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} ) = v_{1} \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

és

v_{2} = 0 = w_{2} + u^{L}, → w_{2} = −u^{L} = −v_{1} \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} .

Látjuk, hogy u^{L}||v_{1}, w_{1}||v_{1}, w_{2}||v_{1}. Ezen, egy egyenesen fekvő sebességvektorok jelölik ki a szórás z−tengelyét, amelytől mérjük a θ szórási szöget.

Azonos tömegek, m_{1} = m_{2} esetén, w_{1} = \frac{1}{2}v_{1}, w_{2} = −w_{1}.

A tkp-i sebességek nagysága rugalmas ütközés során nem változik. Ezt a következőképpen láthatjuk be. A tkp-i teljes impulzus definíció szerint zérus: 0 = m_{1}w_{1} + m_{2}w_{2} = m_{1}w′_{1} + m_{2}w′_{2}, amiből w_{2} = w_{1}m_{1}/m_{2} és w′_{2} = w′_{1}m_{1}/m_{2} adódik. A tkp-i energiamegmaradás miatt m_{1}w_{1}^{2} + m_{2}w_{2}^{2} = m_{1}w′_{1}^{2} + m_{2}w′_{2}^{2} írható, amiből 0 = m_{1}(w_{1}^{2} − w′_{1}^{2}) + m_{2}(w_{2}^{2} − w′_{2}^{2}) = m_{1}(w_{1}^{2} −w′_{1}^{2})+(m_{1}^{2}/m_{2})(w_{1}^{2} −w′_{1}^{2}) = m_{1}(1+m_{1}/m_{2})(w_{1}^{2} −w′_{1}^{2}). Mivel m_{1} ≠ 0, kell, hogy w_{1}^{2} = w′_{1}^{2} fennálljon. Azaz w_{1} = w′_{1}. Hasonlóan, w_{2} = w′_{2} fennállása is bizonyítható m_{2} ≠ 0 révén.

Ezek után az energiák közti átszámítást könnyen megkapjuk. (Csak kinetikus energiákról van szó, mert a részecskéknek most nem tulajdonítunk szerkezetet, azaz belső energiát.)

Labor rendszerben:

E^{L} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} ≡ E_{1}.

Tkp-i rendszerben:

E^{tkp} = \frac{1}{2}(m_{1}w_{1}^{2} + m_{2}w_{2}^{2}) = \frac{1}{2} \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1}^{2} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} E^{L}.  (2.1)

A két energia különbsége éppen a tömegközéppont kinetikus energiája:

E^{L} − E^{tkp} = \frac{1}{2}(m_{1} + m_{2}) (u^{L})^{2} .

Egyenlő tömegek esetén: E^{tkp} = \frac{1}{2}E^{L}.

Kevésbé gyakran tárgyalt összefüggés a szórási szögek, θ^{L} és θ^{tkp} közti transzformáció. Ennek fontossága azonnal nyilvánvalóvá válik, ha a hatáskeresztmetszetek alábbi összefüggésére tekintünk, amely a detektált részecskeszámok vonatkoztatási rendszertől való függetlenségét fejezi ki:

(\frac{dσ}{dΩ})_{L} dΩ^{L} = (\frac{dσ}{dΩ})_{tkp} dΩ^{tkp},

amiből

(\frac{dσ}{dΩ})_{L} = (\frac{dσ}{dΩ})_{tkp} \frac{dΩ^{tkp}}{dΩ^{L}} ,

azaz a mért laborbeli és a számolt tkp-i hatáskeresztmetszetek közötti transzformációt a

\frac{dΩ^{tkp}}{dΩ^{L}} = \frac{d cos θ^{tkp}}{d cos θ^{L}}  (2.2)

biztosítja, mivel az ütközés síkban zajlik le s így az azimutális szögváltozók nem transzformálódnak (ϕ^{L} = ϕ^{tkp}).

Mármost, ütközés előtt

v_{1} = w_{1} + u^{L}.

Ütközés után pedig az alábbi egyenleteket írhatjuk fel a szórási szögek tkp-i és labor rendszerbeli értéke között (ld. 2.1. ábra):

w′_{1} sin θ^{tkp} = v′_{1} sin θ^{L},

w′_{1} cos θ^{tkp} + u^{L} = v′_{1} cos θ^{L}.

2.1. Ábra: szórási szögek közti összefüggések.

Elosztva egymással a két egyenletet, kapjuk a hasznos összefüggést:

tan θ^{L} = \frac{sin θ^{tkp}}{cos θ^{tkp} + λ},

ahol λ = u^{L}/w′_{1} = u^{L}/w_{1} = \frac{m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}} \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{2}v_{1}} = m_{1}/m_{2}. Itt a második egyenlőség jel után felhasználtuk az imént levezetett w_{1} = w′_{1} egyenlőséget, ami rugalmas ütközések esetére érvényes. (Rugalmatlan ütközések esetén a fenti transzformációs képlet kicsit más.) Ahhoz, hogy a (2.2) transzformációs képletet megkapjuk, még négyzetre emelést és gyökvonást kell végeznünk, amiből a következő összefüggést nyerjük:

cos θ^{L} = \frac{cos θ^{tkp} + λ}{\sqrt{1 + 2λ cos θ^{tkp} + λ^{2}}} .

Deriválva ezt a kifejezést, kapjuk a kívánt eredményt:

\frac{d cos θ^{tkp}}{d cos θ^{L}} = \frac{(1 + 2λ cos θ^{tkp} + λ^{2})^{3/2}}{|1 + λ cos θ^{tkp}|} .  (2.3)

Könnyen belátható a fenti képletekből, hogy azonos tömegű részecskék rugalmas ütközése (λ = 1) esetén a differenciális hatáskeresztmetszetek között a

(\frac{dσ}{dΩ})_{L} = 4 cos θ^{L} (\frac{dσ}{dΩ})_{tkp}

egyszerű összefüggés áll fenn, a szórási szögek tartománya pedig 0 ≤ θ^{tkp} ≤ π, illetve 0 ≤ θ^{L} ≤ π/2 értékekre korlátozódik és θ^{L} = θ^{tkp}/2.

A fenti képleteket haszonnal kamatoztathatjuk, ha például inverz szórás segítségével (ld. 3. fejezet) fázistolásokból akarjuk meghatározni a mikrorendszerek (atomok, atommagok stb.) szóródását létrehozó kölcsönhatást. Mivel mindig labor rendszerben mérjük a differenciális hatáskeresztmetszeteket, a mért szög és a hatáskeresztmetszet értékeket először át kell számítani a megfelelő tömegközépponti értékekre. Ezután a hatáskeresztmetszet ismert elméleti formulájának (ld. potenciál szórás) felhasználásával és valamilyen modell független eljárás segítségével meghatározhatjuk az inverz módszer input adatait képező fázistolásokat.

2.2. KLASSZIKUS COULOMB SZÓRÁS

Először a gömbszimmetrikus V (r) potenciállal kölcsönható kétrészecske szórás esetét vizsgáljuk. Mivel a részecskéknek nem tulajdonítunk szerkezetet (nem gerjeszthetők, belső állapotuk nem változtatható meg), csak rugalmas ütközésre van lehetőség.

A teljes energia a két részecske kinetikus energiájából, valamint a kölcsönhatási potenciális energiából tevődik össze, amit tömegközépponti és relatív energia felbontásban is írhatunk:

E = \frac{1}{2}m_{1}ṙ_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}ṙ_{2}^{2} + V (r) = \frac{1}{2}MṘ^{2} + \frac{1}{2}μṙ^{2} + V (r) ≡ \frac{1}{2}MṘ^{2} + E_{r}.

Itt a szokásos M = m_{1} +m_{2}, R = (m_{1}r_{1} +m_{2}r_{2})/(m_{1} +m_{2}), r = r_{2} −r_{1} és μ = m_{1}m_{2}/(m_{1} + m_{2}) jelölést alkalmaztuk.

Az impulzusmomentumot szintén felírhatjuk, mint két részecske labor rendszerbeli impulzusmomentumának összege, illetve mint a tömegközéppont impulzusmomentuma plusz a relatív impulzusmomentum:

L = (r_{1} ×m_{1}ṙ_{1})+(r_{2} ×m_{2}ṙ_{2}) = (R×MṘ)+(r×μṙ) ≡ (R×MṘ)+L_{r}.

A relatív mozgást klasszikusan a Newton egyenlet írja le

μr̈ = −∇V (r),

amelyet ṙ-rel skalárisan megszorozva kapjuk az energiamegmaradást kifejező egyenletet a következőképpen:

μr̈ṙ + ∇V (r)ṙ = 0.

Az első tag a kinetikus energia teljes időderiváltja, \frac{d}{dt} (\frac{1}{2}μṙ^{2}). A második tag pedig a potenciál teljes deriváltjaként írható, mivel a centrális potenciál csak az r(t) változón keresztül függ az időtől, explicite nem: \frac{dV (r(t))}{dt} = ∇V (r)ṙ + \frac{∂V}{∂t} = ∇V (r)ṙ. Végeredményben tehát a relatív kinetikus energia időbeli állandóságát kaptuk:

\frac{d}{dt} (\frac{1}{2}μṙ^{2} + V (r)) ≡ \frac{d}{dt}E_{r} = 0.

Mivel V (r → ∞) = 0, a relatív sebesség abszolút értéke, |ṙ| is megmarad ütközés előtt és után, amint annak rugalmas ütközések esetén lennie kell.

A mozgásegyenletet r-rel vektoriálisan beszorozva, a relatív impulzusmomentum időbeli állandóságát kifejező összefüggést kapjuk (r × ∇ ≡ 0):

\frac{d}{dt} (r × μṙ) = \frac{d}{dt}L_{r} = 0.

Mivel r(t)L_{r} = 0, az ütközés az L_{r}-re merőleges síkban zajlik le. Relatív koordináta rendszerünk origója a target, innen mutat az r = (x, y) = (r cos φ, r sin φ) helyvektor a projektil felé, ahol φ az a polárszög, amely a kezdeti beesési x−irány tengelyétől (általában ezt szoktuk z−tengelynek nevezni) méri a szöget az r helyvektorig. t = −∞-ben φ = π, majd az idő növekedtével φ csökken, t = ∞ esetén értéke megegyezik a θ szórási szög értékével.

A relatív energia képletét célszerű polár koordináta rendszerben is felírni:

E_{r} = \frac{1}{2}μ (ṙ^{2} + r^{2}φ̇^{2}) + V (r).

A relatív impulzusmomentum nagysága is felírható polár koordináta rendszerben:

L_{r} = μbv = −μr^{2}φ̇,

ahol a − előjel van figyelemmel φ időbeli csökkenésére, és bevezettük a b ütközési (impakt) paramétert és a v kezdeti relatív sebességet a jól ismert definíciókkal.

Az impulzusmomentum egyenletéből a φ̇ szögsebességet kifejezve,

φ̇ = −\frac{L_{r}}{μr^{2}} = −\frac{bv}{r^{2}} ,

és ezt E_{r} kifejezésébe helyettesítve,

E_{r} = \frac{1}{2}μṙ^{2} + \frac{L_{r}^{2}}{2μr^{2}} + V (r) = \frac{1}{2}μṙ^{2} + \frac{μb^{2}v^{2}}{2r^{2}} + V (r),

a következő egyenletet nyerjük az ṙ^{2} radiális sebesség négyzetére (E_{r} = μv^{2}/2):

ṙ^{2} = \frac{2E_{r}}{μ} − \frac{2V}{μ} − \frac{b^{2}v^{2}}{r^{2}} = v^{2} (1 − \frac{V}{E_{r}} − \frac{b^{2}}{r^{2}} ) .

Ebből gyököt vonva nyerjük a potenciálszórásra vonatkozó klasszikus radiális sebesség egyenletet:

ṙ = ∓v \{1 − \frac{V (r)}{E_{r}} − \frac{b^{2}}{r^{2}} \}^{\frac{1}{2}} .

A ∓ előjel azt jelzi, hogy a projektil kezdetben közeledik a targethez, ekkor a sebesség negatív, majd, elérve a legkisebb megközelítési távolságot, r_{m}-et, ettől kezdve távolodik a targettől, így sebessége pozitív. A megközelítés legkisebb távolságát a zérus sebesség határozza meg:

0 = \{1 − \frac{V (r_{m})}{E_{r}} − \frac{b^{2}}{r_{m}^{2}} \} ,

ami egy implicit egyenletet jelent az r_{m} = r_{m}(E_{r}, b) függvényre.

Kombinálva a szögsebesség és radiális sebesség egyenletét, megkaphatjuk az eltérülés szögére (szórási szög) vonatkozó egyenletet. Először a φ polárszög megváltozásának egyenletét származtatjuk le:

dφ = \frac{dφ}{dr}dr = \frac{φ̇}{ṙ}dr = ±\frac{b}{r^{2}} \{1 − \frac{V (r)}{E_{r}} − \frac{b^{2}}{r^{2}} \}^{− \frac{1}{2}} dr.

φ zéruspontját a pálya szimmetria tengelyénél felvéve, azaz a φ(r_{m}) = 0 által kijelölt apszistól mérve, látható a fenti egyenletből, hogy a φ(r) trajektória szimmetrikus erre az apszisra nézve, mivel ugyanaz az r érték tartozik a +φ-hez, mint a −φ-hez. φ-t továbbra is a pozitív x−tengelytől mérve, integrálás után a szórási szög

θ = π − 2 ∫_{r_{m}}^{∞} \frac{b}{r^{2}} \{1 − \frac{V (r)}{E_{r}} − \frac{b^{2}}{r^{2}} \}^{− \frac{1}{2}} dr ≡ θ(b, E_{r}).

Coulomb potenciál, V (r) = C/r, esetére alkalmazva:

θ = π − 2 ∫_{r_{m}}^{∞} \frac{b}{r^{2}} \{1 − \frac{C}{rE_{r}} − \frac{b^{2}}{r^{2}} \}^{− \frac{1}{2}} dr = 2 arcsin \frac{C/2bE_{r}}{\{1 + (C/2bE_{r})^{2}\}^{1/2}} ,

amely eredményt az

∫_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{dx}{x(ax^{2} + bx + c)^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{−c}} arcsin \frac{bx + 2c}{x(b^{2} − 4ac)^{1/2}} ]_{x_{1}}^{x_{2}}

integrációs képlet használatával kaptuk meg.* Szükség volt még az

arcsin x − arcsin y = arcsin(x\sqrt{1 − y^{2}} − y\sqrt{1 − x^{2}})

összegzési tétel alkalmazására (xy ≥ 0), valamint az

r_{m}^{2} − \frac{C}{E_{r}} r_{m} − b^{2} = 0

összefüggés megoldásából adódó r_{m} minimális megközelítési távolság, Coulomb potenciál esetén érvényes, következő értékére:

r_{m} = \frac{C/E_{r} ± \sqrt{(C/E_{r})^{2} + 4b^{2}}}{2} = b\{C/2bE_{r} + ((C/2bE_{r})^{2} + 1)^{1/2}\}.

Látjuk, hogy Coulomb potenciálra centrális ütközés (b = 0) esetén a minimális ütközési távolság:

r_{m}(b = 0) = C/E_{r} ≡ R(E_{r}).

A szórási szögre vonatkozó képletet másként írva,

sin \frac{1}{2}θ = \frac{C/2bE_{r}}{\{1 + (C/2bE_{r})^{2}\}^{1/2}} ,

azaz

tan \frac{1}{2}θ = C/2bE_{r} = R(E_{r})/2b.

Ez az egyszerű összefüggés lesz a Coulomb szórási hatáskeresztmetszet kiszámolásának az alapja.

* Ld. pl. Bronstein 1.1.3.3 fejezet 258. integrál.

Differenciális hatáskeresztmetszet

A σ(θ, E_{1}) differenciális hatáskeresztmetszet a részecskék θ irányokba való szóródásának valószínűségét, a mérő apparátus által észlelt eloszlásának intenzitását, az ún. szögeloszlását adja meg. Azt mutatja meg, hogy a b és b + db közti körszeleten áthaladó ϕ fluxussűrűségű projektil részecskék közül mennyi jelenik meg a szórás után a θ(b) és θ(b + db) = θ(b) + dθ szórási szögtartományban.**

ϕ2πb|db| = ϕσ(θ)dΩ = ϕσ(θ)2π sin θ|dθ|,

ahol ϕ = nv a beeső részecskék homogén fluxus sűrűsége, azaz az egységnyi felületen egységnyi idő alatt áthaladó részecskék száma (n a sűrűség, v a sebesség). Átrendezve,

σ(θ) = \frac{b}{sin θ} |\frac{db}{dθ} | .  (2.4)

2.2 Ábra. Szemléltetés a differenciális hatáskeresztmetszet definícójához.

Alkalmazva a fenti definiciót Coulomb szórásra, kapjuk

σ_{c}(θ) = \frac{b}{sin θ} |\frac{db}{dθ} | = \frac{b}{sin θ} \frac{R}{4} \frac{1}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} =

= \frac{(C/4E_{r})^{2}}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} = (\frac{R}{4})^{2} \frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} .  (2.5)

ϕσ(θ)dΩ = ϕ_{r}r^{2}dΩ.

** Kvantummechanikában a fenti definíciót, tehát a másodpercenként a dΩ térszögbe szóródó

részecskék számát, a leíráshoz jobban illeszkedő radiális fluxussal fejezzük ki:

Ez Rutherford képlete, ami független C előjelétől. C > 0 esetén azonban 0 ≤ θ ≤ π érvényes, míg C < 0 esetén −π ≤ θ ≤ 0.

Transzfer hatáskeresztmetszet

Rugalmas ütközés során energia (és impulzus) transzferálódik át a projektilről a targetre (inercia rendszerből figyelve az eseményt). Az átadódott energia nyilván ΔE = E′_{2} ≡ T -vel, azaz a ”2”-es részecske (target) ütközés utáni (visszalökődési) energiájával egyenlő, amit szokás T -vel jelölni.

Egyszerű számolással kapjuk:

T = E′_{2} = E_{1} \frac{4m_{1}m_{2}}{M^{2}} sin^{2} \frac{1}{2}θ ≡ T_{m} sin^{2} \frac{1}{2}θ = E_{1} \frac{2m_{1}m_{2}}{M^{2}} (1 − cos θ),

ahol bevezettük a θ = π esetén (centrális ütközés) transzferálódó maximális energiát:

T_{m} = E_{1} \frac{4m_{1}m_{2}}{M^{2}} .

Az energia transzport (vagy momentum transzfer) hatáskeresztmetszet, hasonlóan a labor–tkp hatáskeresztmetszetek egymásba való számolásához, egyszerű transzformációval kapható a szögeloszlást jelentő differenciális hatáskeresztmetszetből:

ϕ2πb|db| = ϕσ(θ, E_{1})dΩ = ϕσ_{m}(T, E_{1})dE′_{2},

amelyből

σ_{m}(T, E_{1}) = σ(θ, E_{1})\frac{dΩ}{dE′_{2}} = σ(θ, E_{1})2π sin θ \frac{dθ}{dE′_{2}}

= −σ(θ, E_{1})2π \frac{d cos θ}{dE′_{2}} = +σ(θ, E_{1})2π \frac{1}{E_{1} \frac{2m_{1}m_{2}}{M^{2}}} = σ(θ, E_{1})\frac{4π}{T_{m}} .

Coulomb szórásra alkalmazva, további átalakításokra nyílik lehetőség. Mivel

\frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} = (\frac{T_{m}}{T} )^{2} és R = \frac{C}{E_{r}} ,

ezért

σ_{m,c}(T, E_{1}) = σ_{c}(θ, E_{1})\frac{4π}{T_{m}} = (\frac{C}{4E_{r}} )^{2} \frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} \frac{4π}{T_{m}} =

= (\frac{C}{4E_{r}} )^{2} \frac{4π}{T^{2}} T_{m} = \frac{πR^{2}(E_{1})}{4} \frac{T_{m}}{T^{2}} ,  (2.6)

ahol 0 ≤ T ≤ T_{m}. Mint látjuk, kis energia-transzfer a preferált eset, amely kis θ esetén valósul meg. θ = 0 esetén mind σ_{c}, mind σ_{m,c} divergál Coulomb potenciál esetén, mivel a kölcsönhatás hosszúhatótávolságú.

Fékezőerő (stopping power)

Az imént definiált σ_{m}(T, E_{1}) veszteségi hatáskeresztmetszet segítségével kiszámíthatjuk a szó ródó részecske átlagos energiaveszteségét:

⟨T ⟩ = ∫ \frac{T σ_{m}(T, E_{1})}{σ_{tot}}dT.

Egy σ_{tot} hatásos keresztmetszettel v̄ átlagsebességgel rendelkező részecske v̄t út megtétele után n(σ_{tot}v̄t) számú target részecskével találkozik, ahol n a target részecskesűrűséget jelenti. Így az egy ütközésre eső útszakasz, az átlagos szabadúthossz a

λ = \frac{v̄t}{n(σ_{tot}v̄t)} = \frac{1}{nσ_{tot}}

képlettel adható meg. Ezért ν ütközés esetén a részecskénk ΔR = νλ utat tesz meg és ennek során

−ΔE_{1} = ν⟨T ⟩

energiát veszít. Az egységnyi útra eső energiaveszteség

−\frac{dE_{1}}{dx} = \frac{ν⟨T ⟩}{νλ} = nσ_{tot} ∫_{0}^{T_{m}} \frac{T σ_{m}(T, E_{1})}{σ_{tot}}dT = n ∫_{0}^{T_{m}} T σ_{m}(T, E_{1})dT

arányos a közeg sűrűségével. A közeg sűrűségtől független fékezőereje (a ”stopping power”) ezért

S(E_{1}) = −\frac{1}{n} \frac{dE_{1}}{dx} = ∫_{0}^{T_{m}} T σ_{m}(T, E_{1})dT ≡ \frac{1}{2}T_{m}σ_{tr},  (2.7)

ahol az energia transzport hatáskeresztmetszet definíciója az előzőek alapján:

σ_{tr} = ∫ σ(θ)2 sin^{2} \frac{θ}{2}dΩ = 2π ∫_{−1}^{1} σ(θ)(1 − cos θ)d cos θ.

2.3. POTENCIÁLSZÓRÁS

Ebben a fejezetben a kvantummechanikai potenciálszórás elméletét tekintjük át vázlatosan, támaszkodva a Kvantummechanika alaptárgyban tanult anyagra.

Potenciálszórásról akkor beszélünk, ha két részecske olyan potenciálon keresztül hat egymással kölcsön, amely csupán a két részecske közti távolságtól függ: V = V (r). Mint ismeretes, ekkor a laboratóriumi rendszerben felírt kétrészecske Schrödinger egyenlet,

[\frac{−h̄^{2}}{2m_{1}} Δ_{r_{1}} + \frac{−h̄^{2}}{2m_{2}} Δ_{r_{2}} + V (r_{2} − r_{1})] Ψ_{L}(r_{1}, r_{2}) = E_{L}Ψ_{L}(r_{1}, r_{2}),

egzaktul szétesik a tömegközéppont transzlációs mozgását leíró

\frac{−h̄^{2}}{2(m_{1} + m_{2})}Δ_{R}Φ(R) = E_{cm}Φ(R)

érdektelen egyenletre és a relatív koordináta rendszerben felírt (E_{L} = E_{cm} + E)

[\frac{−h̄^{2}}{2μ} Δ_{r} + V (r)] ψ(r) = EΨ(r)

egyenletre, amely a kétrészecske relatív, egymáshoz viszonyított mozgását írja le, a nyilvánvaló jelölésekkel. Ez utóbbi egyenlet az, amit ismert E és megfelelő határfeltételek mellett meg kell oldanunk, ha a szórás kísérletek eredményeiből következtetni akarunk a kölcsönhatási potenciálra.

Korábbi szóráselméleti tanulmányainkban bizonyítottuk, hogy V (r → ∞) ∼ r^{−1−ϵ} rövid hatótávolságú (árnyékolt) potenciálok esetén a szórási hullámfüggvény az aszimptotikus (r → ∞) tartományban a következő általános alakban írható (|k_{i}| = k):

ψ_{k_{i}}^{(+)a}(r) = A (e^{ik_{i}r} + f(θ, φ)\frac{e^{+ikr}}{r} ) ≡ Φ_{be} + ψ_{sz},

ahol minden információ a köcsönhatásról az f(θ, ϕ) szórásamplitúdóba sűrűsödik.

2.3. Ábra. A hatáskeresztmetszet kvantummechanikai definícója.

A hatáskeresztmetszet kvantummechanikai tárgyaláshoz illeszkedő definíciója a következő: azon részecskék száma, amelyek egységnyi idő alatt, egységnyi ϕ = |j_{be}| beeső fluxus mellett az r vektor körüli dΩ térszögbe szóródnak:

σ(θ, E_{1}) = \frac{dσ}{dΩ} = \frac{|jr̂|}{|j_{be}|}r^{2} = \frac{ϕ_{r}}{ϕ} r^{2},

ahol

j_{be} = ℜ\frac{h̄}{im}Φ_{be}^{∗}∇_{r}Φ_{be} = |A|^{2} \frac{h̄k_{i}}{m} = |A|^{2}v

a beeső áramsűrűség,

ϕ_{r} = jr̂ = ℜ\frac{h̄}{im}Ψ_{k_{i}}^{(+)a∗}∇_{r}Ψ_{k_{i}}^{(+)a}r̂ = (j_{be} + j_{sz} + j_{int})r̂

a teljes áramsűrűség radiális része, amelyből a differenciális hatáskeresztmetszethez csak a j_{sz} szórt áramsűrűség ad járulékot:

j_{sz}r̂ = |A|^{2}v \frac{|f(θ, φ)|^{2}}{r^{2}} + O(r^{−3}),

mivel a j_{int} interferenciából származó áramsűrűség csak előreszórás esetén véges (ld. optikai tétel), a beeső áramsűrűség pedig nem ad járulékot a hatáskeresztmetszethez. Így a

\frac{dσ}{dΩ} = σ(θ, φ) = |f(θ, φ)|^{2}

alapvető kvantummechanikai differenciális hatáskeresztmetszet kifejezéshez jutunk, amiből a teljes hatáskeresztmetszet:

σ_{tot} = ∫ |f(θ, φ)|^{2}dΩ.  (2.8)

Az energia transzport hatáskeresztmetszet csak egy (1 − cos θ) faktorban tér el a szórási szögek eloszlását jellemző differenciális hatáskeresztmetszettől, mivel (1 − cos θ) arányos az energiaveszteség átlagával:

σ_{tr} = ∫ |f(θ, φ)|^{2}(1 − cos θ)dΩ.  (2.9)

Ez utóbbi kifejezést diffúziós hatáskeresztmetszetnek is szokás nevezni.

Parciális hullámok módszere

Amennyiben a potenciál csak |r|-től függ, alkalmazható a parciális hullámok módszere, amikor a szórási hullámfüggvény Legendrefüggvények szerint sorba fejthető:

ψ(r) = ∑_{l=0}^{∞} c_{l}ψ_{l}(r)P_{l}(cos θ).

A szórási amplitúdó ilyenkor csak a szórási szög függvénye, és a következőképpen írható:

f(θ) = \frac{1}{2ik} ∑_{l}^{∞}(2l + 1)(e^{2iδ_{l}} − 1)P_{l} cos(θ),

amiből a teljes hatáskeresztmetszetre a

σ_{tot} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1) sin^{2} δ_{l},  (2.10)

a transzport hatáskeresztmetszetre pedig* a

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{l=0}^{∞}(l + 1) sin^{2}(δ_{l} − δ_{l+1})  (2.11)

képletek adódnak, ahol az új mennyiség, δ_{l}, a fázistolás. A fázistolás, nevével összhangban, azt mutatja meg, hogy a radiális hullámfüggvény aszimptotikus részének a fázisa mennyire tér el a szabad mozgás hullámfüggvényének fázisától:

* Ld. függelék

ψ_{l}(r → ∞) = \frac{A_{l}}{kr} sin(kr − l \frac{π}{2} + δ_{l}).

Ismétlésképpen idézzük fel a radiális hullámfüggvényre vonatkozó Schrödinger egyenletet:

(−\frac{h̄^{2}}{2μ} \frac{1}{r} \frac{d^{2}}{dr^{2}} r + \frac{h̄^{2}}{2μ} \frac{l(l + 1)}{r^{2}} + V (r) − \frac{h̄^{2}}{2μ}k^{2}) ψ_{l}(k; r) = 0.

A megoldáshoz szükséges két határfeltétel közül a végtelenbelit az imént írtuk fel, a másik lehet az origóbeli regularitás: ψ_{l}(r → 0) ∼ r^{l}.

Fázistolással kapcsolatos tételek, szabályok.

A gömbszimmetrikus potenciálon történő szórást a fázistolás egyértelműen meghatározza. Ezért, ha ismerjük a fázistolásokat az összes (l = 0, 1, ...∞) parciális hullámban, akkor a szórásprobléma teljesen megoldottnak tekinthető, minden feltett kérdésre válasz adható.

Ezért igen fontos a δ_{l}(k) fázistolások viselkedésének ismerete az energia (ehelyett általában a k ∼ \sqrt{E} hullámszámot használjuk) és impulzusmomentum (l) függvényében. Regge és Levinson foglalkozott ezzel a kérdéskörrel behatóan a 30-as, 40-es években. Vizsgálataikból tudjuk, hogy zérus energián δ_{l}(0) = n_{l}π-vel egyenlő, ahol n_{l} az l-dik parciális hullámban létrejövő kötött állapotok száma. Amennyiben zérus energián is van kötött állapot, akkor az összefüggés δ_{l}(0) = (n_{l} + 1/2)πre módosul.

Végtelen energián a szórópotenciál hatása nyilván elhanyagolható a részecske végtelen kinetikus energiájához képest, így szabad mozgásunk van, azaz a fázistolás zérus: δ_{l}(k → ∞) = 0.

l = 0 esetre δ_{0}(k) a centrális ütközés fázistolását jelenti, aminek kis energiák esetén van jelentősége (vö. l_{max} ∼ kr_{0} klasszikus összefüggéssel, ahol r_{0} a potenciál hatótávolsága). l → ∞ esetére δ_{l→∞} = 0 a távoli ütközések fázistolását jelenti, ami zérus, mivel a potenciál már nem gyakorol hatást a részecskére.

Friedel oszcilláció és összegszabály

Friedel fontos összefüggést vezetett le a szennyeződések indukálta potenciálon történő elektronszórás fázistolásaira. Eredménye a szilárdtestfizika azon tételén alapul, hogy az elektrongáz teljesen leárnyékolja a beléhelyezett Z töltést. A szennyeződés körül indukálódó ΔN többlet elektronállapotok száma így megegyezik a Z töltéssel:

Z = ΔN = 4π ∫_{0}^{∞} r^{2}dr[ρ(r) − ρ_{0}],  (2.12)

ahol

ρ_{0} = 2 ∫_{k<k_{F}} \frac{dk}{(2π)^{3}} |Φ_{k}(r)|^{2}

a szennyeződés bevitele előtt uralkodó töltéssűrűség, amit a szabadon mozgó elektronok alakítottak ki, ρ pedig a szennyeződésen szóródást szenvedő elektronok megváltozott sűrűsége:

ρ = 2 ∫_{k<k_{F}} \frac{dk}{(2π)^{3}} |Ψ_{k}(r)|^{2}.

Először vizsgáljuk meg (2.12) integrandusának viselkedését r → ∞ esetén.

lim_{r→∞}(ρ − ρ_{0}) ∼ \frac{2 · 4π}{(2π)^{3}} ∫_{0}^{k_{F}} k^{2}dk

× ∑_{l} (\frac{sin^{2}(kr + δ_{l} − lπ/2)}{k^{2}r^{2}} − \frac{sin^{2}(kr − lπ/2)}{k^{2}r^{2}}) (2l + 1) =

= ∑_{l} \frac{2l + 1}{π^{2}r^{2}} ∫_{0}^{k_{F}} dk \frac{1}{2}(1 − cos(2kr + 2δ_{l} − lπ) − 1 + cos(2kr − lπ)).

Most felhasználjuk azt, hogy az elektronállapotok nagyrésze be van töltve és szóródás csak k_{F} környékén lehetséges. Ezért δ_{l}(k)-t Taylor sorba fejtve, δ_{l}(k) ∼ δ_{l}(k_{F}) + (k − k_{F})\frac{dδ}{dk} |_{k=k_{F}} , a fenti levezetés

továbbfolytatható:

lim_{r→∞}(ρ − ρ_{0}) ∼

∼ ∑_{l} \frac{2l + 1}{2π^{2}r^{2}}(−1)^{l} ∫_{0}^{k_{F}} ( cos 2kr−cos [2k(r+ \frac{dδ}{dk})+2δ_{l}(k_{F})−2k_{F} \frac{dδ}{dk} ])dk

∼ \frac{1}{4π^{2}r^{3}} ∑_{l}(2l + 1)(−1)^{l}( sin 2k_{F} r − sin [2k_{F} r + 2δ_{l}(k_{F})])

∼ \frac{cos 2k_{F} r}{r^{3}} .  (2.13)

Ezt az eredményt nevezik Friedel-oszcillációnak. Azt kaptuk, hogy a szennyeződés leárnyékolásában a nagy távolságoknak nincs szerepe, mivel ott a sűrűség r^{−3}-nal csökken és r ∼ ∞ miatt igen gyorsan oszcillál, s így járuléka az állapotváltozáshoz elhanyagolható:

∫_{r>>1}^{∞} r^{2}dr[ρ(r) − ρ_{0}] = 0.

Az r ∼ 0 kis távolságok esetén másképpen fogjuk kiszámolni a Z töltésű szennyeződés által okozott állapotváltozást. Tekintsünk egy olyan R sugarú felületet Z körül, amely a vizsgált anyagot teljes egészében magában foglalja. Amennyiben nincs szennyeződés, azaz a perturbáló potenciál zérus (V = 0), R mentén a szabad elektronállapotokhoz tartozó megoldások tűnnek el:

j_{l}(kR) = 0 = \frac{1}{kR} sin(kR − l \frac{π}{2} ).

Ebből

kR = nπ + l \frac{π}{2} , n = 0, 1, 2, ...

Ha van szennyeződés, akkor V ≠ 0, és a perturbált elektronállapotok hullámfüggvénye tűnik el az R sugarú gömbfelületen. Ezek a hullámfüggvények pontosan a δ_{l} fázisban különböznek a szabad gömbhullámoktól (valamint egy C_{l} normálási állandóban):

ψ_{l}(kR) = 0 = \frac{C_{l}}{kR} sin(kR + δ_{l} − l \frac{π}{2} ),

amiből

kR + δ_{l} = nπ + l \frac{π}{2} , n = 0, 1, 2, ...

adódik. Ez utóbbi képletből kiszámolhatjuk a k és k + dk közötti állapotok számát, amit δn-nel jelölünk:

\frac{dn}{dk} = \frac{R}{π} + \frac{1}{π} \frac{dδ_{l}}{dk} = \frac{d(δn)}{dk}.

Felismerjük, hogy itt az első tag reprezentálja a V = 0 esetéhez tartozó állapotok számát, a második tag pedig a szennyeződés általi változást, ami iránt érdeklődünk valójában. Ahhoz, hogy a szennyeződés hatására a k és k + dk intervallumban történő teljes állapotsűrűség változást megkapjuk, összegezni kell még az impulzusmomentum és mágneses kvantumszámokra:

\frac{d}{dk} N = \frac{d}{dk} ∑_{m_{s}m_{l}l} \frac{δ_{l}}{π} .

Ebből integrálással kapjuk az akkumulálódott töltések (állapotok) számát:

∫_{0}^{k_{F}} dk \frac{dN}{dk} = ΔN = Z = ∑_{m_{s}m_{l}l} \frac{δ_{l}(k_{F}) − δ_{l}(0)}{π} =

= \frac{2}{π} ∑_{l}(2l + 1)[δ_{l}(k_{F}) − δ_{l}(0)].  (2.14)

Ez utóbbi összefüggést hívják Friedel összegszabálynak. Jelentősége abban van, hogy bármely, a szennyződések kristálybeli modellezésére kifejlesztt elméletnek teljesítenie kell ezen egzakt összefüggést a fázistolásokra nézve.

A fázistolások energiabeli változásának jelentése.

A valóságban mindig egy k_{i} körüli

Φ(r) = ∫ A(k_{i})Φ_{k_{i}}(r)dk_{i}

hullámcsomag szóródik a céltárgyon. A bejövő k_{i} hullámszámok tartományát a kísérleti elrendezés kollimátora szabja meg.

Az egyszerűség kedvéért álljon hullámcsomagunk két homogén nyalábból, amelyeket E ± dE energia, k ± dk hullámszám és fix l jellemez:

Φ_{be}(r → ∞) → \frac{1}{r} [e^{−i(k+dk)r− \frac{i}{h̄} (E+dE)t} + e^{−i(k−dk)r− \frac{i}{h̄} (E−dE)t}] .

Ennek a radiálisan befelé futó hullámcsomagnak a centruma (maximuma) ott van, ahol a hullámok fázisai megegyeznek:

−i(k + dk)r − \frac{i}{h̄}(E + dE)t = −i(k − dk)r − \frac{i}{h̄}(E − dE)t,

azaz

rdk + \frac{1}{h̄} t dE = 0.

Szórás után a radiálisan kifelé futó hullámban egy δ ± dδ fázistolás indukálódik, amit az S_{±}-matrixszal fogunk figyelembe venni. [S_{±} = exp 2i(δ ± dδ).] Így

ψ_{sz}(r → ∞) → \frac{1}{r}[e^{+i(k+dk)r− \frac{i}{h̄} (E+dE)t+2i(δ+dδ)}+

+e^{+i(k−dk)r− \frac{i}{h̄} (E−dE)t+2i(δ−dδ)}].

A centrum most az

rdk − \frac{1}{h̄} t dE + 2dδ = 0

összefüggés által meghatározott

r = \frac{1}{h̄} \frac{dE}{dk} t − 2\frac{dδ}{dk} = \frac{1}{h̄} \frac{dE}{dk} (t − 2h̄\frac{dδ}{dE} ) = v(t − Δt).

pontban van, ahol Δt = 2h̄dδ/dE = \frac{2}{v} dδ/dk. Itt felhasználtuk, hogy E = (h̄^{2}/2m)k^{2} és v = h̄k/m. Pozitív dδ/dE esetén a szórás miatt a hullámcsomag késik, retardálódik a szórás nélküli esethez képest. Ilyen általában vonzó potenciálok esetén kialakuló rezonancia helyek körül van. Ellenkező esetben s ez az általános, a szórócentrum sietteti a szórt hullámot a szórás nélküli állapothoz képest.

Born közelítés

Igen fontos és gyakran alkalmazott közelítés, ami nagy energiájú szórás (azaz gyenge potenciál) esetén használható.

A Born közelítéshez legkönnyebben a Lippmann-Schwinger egyenletből lehet eljutni, amely a következő:

ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = Φ_{k_{i}}(r) + ∫ G_{0}^{+}(r, r′)U(r′)ψ_{k_{i}}^{+}(r′)dr′,

ahol

Φ_{k_{i}}(r) = \frac{1}{(2π)^{3/2}} e^{ik_{i}r}

a befutó hullámot jelöli,

U(r) = \frac{2μ}{h̄^{2}}V (r)

a redukált potenciál s a szabad Green függvény kielégíti a

(∇_{r}^{2} + k^{2})G_{0}^{+}(r, r′) = δ(r − r′) = \frac{1}{(2π)^{3}} ∫ e^{ik′(r−r′)}dk′

definíciós egyenletet, amelyből meg is határozható analitikusan:

G_{0}^{+}(r, r′) = −\frac{1}{(2π)^{3}} lim_{ϵ→0} ∫ \frac{e^{ik′(r−r′)}}{k′^{2} − k^{2} − iϵ}dk′ = −\frac{1}{4π} \frac{e^{ik|r−r′|}}{|r − r′|}

úgy, hogy kifutó aszimptotikával rendelkezzen:

lim_{|r|→∞} G_{0}^{+}(r, r′) = −\frac{1}{4π} \frac{e^{ikr}}{r} e^{−ik_{f} r′} = −\frac{(2π)^{3/2}}{4π} Φ_{k_{f}}^{∗} (r′)\frac{e^{ikr}}{r} .

Itt felhasználtuk a k_{f} = kr/r összefüggést, amikor az exponensben vettük a limeszt.

Behelyettesítve ezt az összefüggést a Lippmann-Schwinger egyenletbe, a hullámfüggvény aszimptotikus alakját kapjuk,

lim_{r→∞} ψ_{k_{i}}^{(+)} = \frac{1}{(2π)^{3/2}} [e^{ik_{i}r} + f(θ, φ)\frac{e^{ikr}}{r} ] ,

a szórásamplitúdó integrális reprezentációjával együtt:

f(θ, φ) = −\frac{(2π)^{3}}{4π} ⟨Φ_{k_{f}} | U |ψ_{k_{i}}^{(+)}⟩ = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} | U |ψ_{k_{i}}^{(+)}⟩.  (2.15)

A Lippmann-Schwinger egyenletet általában iterációval oldjuk meg. Kiindulunk egy nulladik közelítésből, ezt behelyettesítjük a jobboldalba, megkapjuk baloldalt az első közelítést, amit újra a jobboldalba helyettesítve nyerjük a második közelítést és így tovább, egészen addig, amíg az egymásra következő közelítő megoldások egymástól való eltérése kisebb egy előre meghatározott mennyiségnél. Az általános iterációs séma formálisan a

ψ_{n} = Φ_{k_{i}} + G_{0}Uψ_{n−1}

alakban írható. Itt G_{0} a szabad Green (integrál) operátort jelöli.

Az egyes iterációs megoldások a Born sorozat elemeit állítják elő:

Φ_{k_{i}} ≡ Φ_{0} ≡ ψ_{B0},

Φ_{0} + G_{0}UΦ_{0} ≡ Φ_{0} + Φ_{1} ≡ ψ_{B1},

Φ_{0} + G_{0}UΦ_{0} + G_{0}UG_{0}UΦ_{0} ≡ Φ_{0} + Φ_{1} + Φ_{2} ≡ ψ_{B2},

és így tovább. Az index a potenciál előfordulásának legmagasabb fokú hatványát jelöli. Az Born sorozat n-dik eleme:

∑_{i=0}^{n} Φ_{i} ≡ ψ_{Bn},

míg a teljes megoldás a

ψ_{k_{i}}^{(+)} = ∑_{i=0}^{∞} Φ_{i} ≡ ψ_{B∞},

végtelen sor alakjában áll elő. Láthatjuk, hogy a Born sorozat konvergenciája akkor remélhető, ha gyenge a potenciál (U kicsi), vagy nagy az energia (G_{0} erősen oszcillál). Bizonyítható, hogy a Born sorozat konvergens, ha a potenciál kielégíti az ∫ r|U|dr < 1 feltételt.

A szórásamplitúdó Born sorozat alakban történő előállítása:

f = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} |U|ψ_{k_{i}}^{+}⟩ = −2π^{2} ∑_{n=0}^{∞}⟨Φ_{k_{f}} |U|ψ_{Bn}⟩ ≡ ∑_{n=1}^{∞} f_{Bn},

ahol az index ugyancsak a potenciál legmagasabb előfordulási hatványát jelöli.

A Born közelítés nem más, mint a Born sorozat megfelelő elemeinek használata az egzakt mennyiség helyett. Így például a szórásamplitúdó az elsőrendű Born közelítésben:

f_{B1} = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} |U|ψ_{B0}⟩ = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} |U|Φ_{k_{i}}⟩,

másodrendű Born közelítésben:

f_{B2} = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} |U|ψ_{B1}⟩ = −2π^{2}⟨Φ_{k_{f}} |U|Φ_{k_{i}} + GUΦ_{k_{i}}⟩,

és így tovább.

A Born közelítés előnye az, hogy könnyen számolható analitikus formulák nyerhetők általa. Az elsőrendű Born közelítés a szórásamplitúdóra az

f_{B1} = −2π^{2} \frac{1}{(2π)^{3}} ∫ e^{i(k_{i}−k_{f})r′}U(r′)dr′ = \frac{−1}{4π}U(q)  (2.16)

képletet szolgáltatja, amely nem más, mint a potenciál Fourier transzformáltja a q = k_{i} − k_{f} transzfer impulzus térben.

Centrális potenciál esetén ez még tovább egyszerűsödik:

f_{B1} = −\frac{1}{4π} ∫ e^{iqr}U(r)dr

= −\frac{2π}{4π} ∫_{0}^{∞} dr ∫_{−1}^{1} dx e^{iqrx}r^{2}U(r) = − ∫_{0}^{∞} dr r^{2}j_{0}(qr)U(r),

ahol |q| = 2k sin(θ/2) az impulzus transzfer abszolút értéke, és felhasználtuk az alábbi integrált:

∫_{−1}^{1} dx e^{iqrx} = 2j_{0}(qr) = 2 sin(qr)/qr.

A hatáskeresztmetszet elsőrendű Born közelítésben:

σ_{B1} = |f_{B1}|^{2} = σ_{B1}(k, θ).

Parciális hullámokra vonatkozó Lippmann-Schwinger egyenlet és a Born közelítés

Gömbszimmetrikus potenciálszórás esetén a Lippmann-Schwinger egyenletnek is van parciális hullámú megfelelője:

ψ_{l}(k; r) = j_{l}(kr) + ∫_{0}^{∞} G_{l}(r, r′)U(r′)ψ_{l}(k, r′)r′^{2}dr′,

ahol a parciális hullámú szabad Green-függvény

G_{l}(r, r′) = kj_{l}(kr_{<})n_{l}(kr_{>}),

tartalmazza az n_{l} szferikus Neumann-függvényt és a j_{l} szferikus Besselfüggvényt. Az r_{<}(r_{>}) változó a kisebbet (nagyobbat) jelenti az r, r′ változók közül. Elvégezve az r → ∞ határátmenetet, kapjuk az aszimptotikus alakot:

ψ_{l}(k; r → ∞) = j_{l}(kr) − tan δ_{l}n_{l}(kr),

és a fázistolás integrális reprezentációját

tan δ_{l} = −k ∫_{0}^{∞} j_{l}(kr)U(r)ψ_{l}(k; r)r^{2}dr.  (2.17)

A Born sorozatot a

ψ_{l}^{(n)} = j_{l} + G_{l}Uψ_{l}^{(n−1)}

rekurzióból állíthatjuk elő s így elsőrendű Born közelítésben

(tan δ_{l})_{B1} = −k ∫_{0}^{∞} (j_{l}(kr))^{2}U(r)r^{2}dr,  (2.18)

másodrendű Born közelítésben

(tan δ_{l})_{B2} = (tan δ_{l})_{B1}+
+ ∫_{0}^{∞} dr ∫_{0}^{∞} dr′j_{l}(kr)U(r)G_{l}(r, r′)U(r′)j_{l}(kr′)r^{2}r′^{2}.

A Bessel- és Neumann-függvények sorfejtéses alakját felhasználva argumentumaik kicsi (k → 0), illetve nagy (k → ∞) értékeire, bebizonyítható, hogy a Born sorozat akkor konvergens, ha a potenciálra teljesülnek az

∫_{0}^{∞} r|U(r)|dr < 2l + 1, (k → 0),

illetve az

∫_{0}^{1} |U(r)|dr < ∞  (k → ∞) és az  |∫_{0}^{∞} U(r)dr| < πk

feltételek.

U(r) = U_{0}ae^{−r/a}/r, Yukawa (árnyékolt Coulomb) potenciál esetén (|U_{0}|a/k)[log(ka)/π] < 1 egyenlőtlenség kell teljesüljön a konvergencia fennállásához (W. Kohn feltétele).

2.4. KVANTUMMECHANIKAI COULOMB PROBLÉMA

Coulomb szórás esetén az E = h̄^{2}k^{2}/2μ > 0 energia adott és V = C/r = ZZ′e^{2}/r Coulomb potenciál. A Schrödinger egyenlet a következő egyszerű formába alakítható át:

∇_{r}^{2}ψ(r) + (k^{2} − \frac{β}{r} ) ψ(r) = 0, β = \frac{2μ}{h̄^{2}}ZZ′e^{2}.

Meg fogjuk mutatni, hogy a ψ szórási hullámfüggvény r nagy értékeire a

ψ(|r| → ∞) ∼ I + Sf_{c}(θ)

asszimptotikus alakot ölti, ahol I a bejövő hullámot, S pedig a szórt hullámot reprezentálja. A kölcsönhatás végtelen hosszúhatótávolságából eredendően, mindkét hullám tartalmaz egy síkhullámot disztortáló faktort, így:

I = e^{ikz+iα ln k(r−z)},

és a szórás amplitúdó abszolút értéke

|f_{c}| = (\frac{ZZ′e^{2}}{2mv^{2}} ) \frac{1}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} = \frac{C}{4E_{r}} \frac{1}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} ,

pontosan a Rutherford szórásképlet amplitúdójával egyezik meg. Szokás mondani ezért, hogy a kvantummechanika ugyanazt a Coulomb szórási hatáskeresztmetszetet adja, mint a klasszikus leírás. Fogjuk azonban látni, hogy a kvantummechanikai leírás egy egységnyi abszolút értékű fázisfaktort is szolgáltat a szórásamplitúdóhoz, ami azonos részecskék szórása esetén mérésekkel is kimutatható interferenciát, és ezáltal oszcillácókat fog eredményezni a hatáskeresztmetszetben a klasszikus (Rutherford) érték körül a szórási szög függvényeként.

A kvantummechanikai Coulomb problémát kétféle módon, henger illetve gömbi koordináta rendszert használva oldhatjuk meg.

Megoldás vázolása henger koordináta rendszerben.

Válasszuk le szórási hullámfüggvényünkből a z-irányú (bejövő) síkhullámot:

ψ(r) = e^{ikz}F.

Behelyettesítés után a

∇_{r}^{2}F + 2ik \frac{∂F}{∂z} − \frac{β}{r} F = 0

differenciál egyenletre jutunk. [Az energia tag a Schrödinger egyenletből kiesett, mert ∂_{z}ψ = ikψ+exp(ikz)∂_{z}F, ∂_{z}^{2}ψ = −k^{2}ψ+2ik exp(ikz)∂_{z}F + exp(ikz)∂_{z}^{2}F.]

Ennek a parciális differenciálegyenletnek van F = F (r − z) alakú megoldása, amint arról a behelyettesítés azonnal meggyőz bennünket:

2 (1 − \frac{z}{r} ) F′′ + \frac{2}{r}F′ + 2ik (\frac{z}{r} − 1) F′ − \frac{β}{r} F = 0,

ahol a vessző a ξ ≡ r − z = r(1 − cos ϑ) argumentum szerinti deriválást jelenti. r/2-vel beszorozva kapjuk az ún. Kummer-Laplace egyenletet

ξF′′ + F′ − ikξF′ − \frac{β}{2} F = 0,

amely tényleg csak r − z = ξ-től függ (0 ≤ ξ ≤ ∞).

A Kummer-Laplace egyenletek megoldásai a differenciálegyenletek elméletében jól ismertek. Ezek az elsőfajú hipergeometrikus függvények,

1F_{1}(a; c; z) = 1 + \frac{a}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a(a + 1)}{c(c + 1)} \frac{z^{2}}{2!} + ...,

amelyek a

zF′′(z) + (b − z)F′(z) − aF = 0

típusú differenciálegyenletet elégítik ki F (0) = 1 kezdeti feltétel esetén (ld. Abramowitz). Esetünkre alkalmazva, a megoldás:

F (ξ) = _{1}F_{1}(−iα; 1; ikξ),

ahol α = β/2k = mZZ′e^{2}/h̄^{2}k = ZZ′e^{2}/h̄v a Sommerfeld paraméter. A hipergeometrikus függvények elméletéből ismeretes, hogy F aszimptotikusan két részre bontható (ld. Abramowitz):

F (ξ → ∞) = W_{1} + W_{2},

ahol

W_{1} = \frac{e^{\frac{1}{2} πα}}{Γ(1 + iα)} (1 + \frac{α^{2}}{ikξ} ) e^{iα ln kξ},

és

W_{2} = \frac{e^{\frac{1}{2} πα}}{Γ(−iα)} \frac{e^{ikξ}}{ikξ} e^{−iα ln kξ}.

Tehát, ha e^{ikz}-vel szorozzuk F -et, akkor W_{1} a bejövő, W_{2} pedig a kimenő szórt hullámot képviseli. Viszont egységnyi amplitúdójú beeső hullámra van szükségünk ahhoz, hogy az f_{c}(θ) szórásamplitúdót le tudjuk olvasni. Ezért a most kapott F -et még normálnunk kell (be kell szoroznunk e^{ikz}-n kívül még) az e^{− \frac{1}{2} πα}Γ(1 + iα) faktorral is. Az így nyert fizikai megoldás

ψ(r, θ) = e^{− \frac{1}{2} πα}Γ(1 + iα)_{1}F_{1}( − iα; 1; ikr(1 − cos θ))e^{ikz}

a kívánt aszimptotikát fogja mutatni:

ψ(r → ∞, θ) = I + Sf_{c}(θ),

ahol

I = (1 + \frac{α^{2}}{ik(r − z)}) e^{ikz+iα ln k(r−z)},

S = \frac{1}{r}e^{ikr−iα ln 2kr},

és

f_{c}(θ) = \frac{ZZ′e^{2}}{2mv^{2}} \frac{e^{−iα ln sin^{2} \frac{1}{2} θ+iπ+2iη_{0}}}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} =

= −\frac{α}{2k} e^{2iη_{0}} \frac{e^{−iα ln sin^{2} \frac{1}{2} θ}}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} .  (2.19)

Itt bevezettük a centrális ütközés okozta Coulomb fázistolást, az η_{0} = arg Γ(1 + iα) definícióval. (Megjegyzések a fenti átalakításokkal kapcsolatban: exp(2iη_{0}) = Γ(1 + iα)/Γ(1 − iα); a W_{2} nevezőjében szereplő ξ = r(1 − cos θ) = r 2 sin^{2} \frac{θ}{2} tényező elemei felismerhetők egyrészt az S, másrészt a szórásamplitúdó nevezőjében.)

A szórásamplitúdó első kifejezéséből világosan látható, hogy független a h̄ Planck állandótól. Ezért lehetsége az, hogy a kvantumos és a klasszikus levezetés azonos

σ_{c} = |f_{c}(θ)|^{2} = (\frac{ZZ′e^{2}}{2mv^{2}} )^{2} \frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ}

differenciális hatáskeresztmetszet értéket szolgáltat, amely szimmetrikus a θ = 90^{o} körül (ld. 2.4 ábra). Eltérést a klasszikus számolás eredményétől a (2.19)-ben megjelenő fázisfaktor jelenti, amely már függ – az α Sommerfeld paraméteren keresztül – a Planck állandótól, és azonos részecskék ütközése esetén mérésekkel kimutatható konzekvenciái vannak.

2.4. Ábra. Egyrészecske szórás esetén a kvantumos Coulomb szórási differenciális hatáskeresztmetszet megegyezik a klasszikussal.

Azonos részecskék ütközése

Azonos részecskék esetén a kvantummechanikában megkülönböztetünk feles spinű (fermion) részecskéket, illetve egész spinű (bozon) részecskéket. Két azonos fermion hullámfüggvénye antiszimmetrikus, két azonos bozon részecske hullámfüggvénye szimmetrikus a kétrészecske változók felcserélésével szemben. Ütközés esetén ez a szimmetria a szórásamplitúdóban jelentkezik. Zérus spinű bozonok (pl. alapállapotú oxigén atommagok) ütközése esetén a hatáskeresztmetszet

(\frac{dσ}{dΩ})_{q} = |f_{c}(θ)+f_{c}(π−θ)|^{2} = |f_{c}(θ)|^{2}+|f_{c}(π−θ)|^{2}+2ℜ[f_{c}(θ)f_{c}^{∗}(π−θ)],

mivel nem tudunk különbséget tenni a direkt és a (virtuálisan = zérus energiafelhasználás mellett) kicserélődött részecskék között. A klasszikus esethez képesti különbség itt az interferencia tag megjelenésében van, mert

(\frac{dσ}{dΩ})_{cl} = |f_{c}(θ)|^{2} + |f_{c}(π − θ)|^{2}.

Colulomb szórás esetén θ = π/2 szórási szögnél a kvantummechanika által jósolt hatáskeresztmetszet bozonokra tehát a klasszikus Rutherford érték kétszerese

(\frac{dσ}{dΩ})_{q} = 2 (\frac{dσ}{dΩ})_{cl} , θ = \frac{π}{2}

amit a mérések igazolnak. De nemcsak θ = π/2 szórásszög esetén van eltérés a klasszikus formulától, hanem általánosan is kiszámolhatjuk Coulomb szórásra bozonok ütközése esetén az ún. Mott-formulát:

(\frac{dσ}{dΩ})_{Mott} = (\frac{α}{2k} )^{2} [\frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} + \frac{1}{cos^{4} \frac{1}{2}θ} + \frac{2 cos (2α ln tan \frac{1}{2}θ)}{sin^{2} \frac{1}{2}θ cos^{2} \frac{1}{2}θ}]. (2.20)

Ebből látjuk, hogy a klasszikushoz (első két taghoz) képesti eltérést az interferencia tag nagy α Sommerfeld paraméter (alacsony energia, nagy töltések) esetén várható. A mérések minden esetben a kvantummechanikai Mott-formulát igazolják (ld. 2.5 ábra).

2.5 Ábra. Bozon ütközések differenciális hatáskeresztmetszete a szórásszög függvényében, α = 0.5 és 5 esetén. Folytonos vonal: klasszikus leírás. Szaggatott vonal: kvantumos leírás. A mérési értékeket pontok jelölik.

Fermionok esetén, pl. 1/2 spinű protonok üközése esetén a nempolarizált nyalábban 1/4 valószínűséggel található szinglett (S = 0), 3/4 valószínűséggel triplett (S = 1) állapot. Az előzőhöz szimmetrikus, az utóbbihoz antiszimmetrikus térszerű hullámfüggvény társul, így

(\frac{dσ}{dΩ})_{p−p,Mott} = \frac{1}{4} (\frac{dσ}{dΩ})_{S=0} + \frac{3}{4} (\frac{dσ}{dΩ})_{S=1} =

= \frac{1}{4}|f_{c}(θ) + f_{c}(π − θ)|^{2} + \frac{3}{4}|f_{c}(θ) − f_{c}(π − θ)|^{2} =

= |f_{c}(θ)|^{2} + |f_{c}(π − θ)|^{2} − 2ℜ[f_{c}(θ)f_{c}^{∗}(π − θ) =

= (\frac{α}{2k} )^{2} [\frac{1}{sin^{4} \frac{1}{2}θ} + \frac{1}{cos^{4} \frac{1}{2}θ} − \frac{cos (2α ln tan \frac{1}{2}θ)}{sin^{2} \frac{1}{2}θ cos^{2} \frac{1}{2}θ}].

Fermionok ütközése esetén θ = π/2 szórás szögre minimumot kapunk (ld. 2.6 ábra), ellentétben a bozon ütközéssel, ahol maximumot kaptunk.

2.6 Ábra. Proton ütközések differenciális hatáskeresztmetszete a szórásszög függvényében. Folytonos vonal: klasszikus leírás. Szaggatott vonal: kvantumos leírás. A mérési értékeket pontok jelölik.

Könnyen belátható, hogy S spinű azonos részecskék ütközése esetén

(\frac{dσ}{dΩ}) = |f(θ)|^{2} + |f(π − θ)|^{2} + \frac{(−1)^{S}}{2S + 1}ℜf(θ)f^{∗}(π − θ).

A Coulomb szórás tárgyalása parciális hullámok módszerével

Mivel a Coulomb potenciál csak |r|-től függ, a szórási hullámfüggvényt sorba fejthetjük impulzusmomentum sajátfüggvények (gömbfüggvények) szerint mind az r̂, mind a k̂_{i} irányok körül. Az gömbfüggvényekre vonatkozó addíciós tétel felhasználásával kapjuk a jól ismert parciális hullámok szerinti sorfejtést:

ψ = \frac{1}{r} ∑_{l=0}^{∞} w_{l}(k, r)P_{l}(cos θ) ≡ e^{ikz}F → I + Sf_{c}(θ).

Ezt behelyettesítve a

[−\frac{h̄^{2}}{2m} \frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} r + \frac{L̂^{2}(θ, φ)}{2mr^{2}}] ψ + \frac{ZZ′e^{2}}{r} ψ = \frac{h̄}{2m}k^{2}ψ

Schrödinger egyenletbe, kapjuk a radiális szórási fügvényre vonatkozó másodrendű közönséges differenciál egyenletet:

(\frac{d^{2}}{dr^{2}} + k^{2} − \frac{l(l + 1)}{r^{2}} − \frac{2αk}{r} ) w_{l}(k, r) = 0.

Ha most a radiális szórási függvényből leválasztjuk a bejövő gömbhullámot jelentő exp(ikr) faktort, valamint az origóbeli viselkedésre jellemző (kr)^{l+1} faktort,

w_{l}(k, r) = e^{ikr}(kr)^{l+1}f(ξ),

akkor a ξ ≡ −2ikr-től függő f_{l} függvény éppen egy Kummer-Laplace egyenletet fog kielégíteni:

ξf′′_{l} + (2l + 2 − ξ)f′_{l} − (l + 1 + iα)f_{l} = 0,

amelynek reguláris megoldása az alábbi hipergeometrikus függvény:

f_{l} = C_{l} _{1}F_{1}(l + 1 + iα; 2l + 2; −2ikr),

amely a C_{l} állandóval egyenlő az origóban.

Így a reguláris radiális szórási hullámfüggvények Coulomb szórás esetén az ún. szférikus Coulomb hullámfüggvények:

w_{l}^{reg}(k, r) ≡ F_{l}(kr) = C_{l}e^{ikr}(kr)^{l+1} _{1}F_{1}(l + 1 + iα; 2l + 2; −2ikr),

amelyek aszimptotikus viselkedése a hipergeometrikus függvények kézikönyveiből leolvasható:

w_{l}^{reg}(k, r → ∞) = F_{l}(kr → ∞)

= C_{l} \frac{e^{\frac{1}{2} πα+iη_{l}}(2l + 1)!}{2^{l}Γ(l + 1 + iα)} sin(kr − l \frac{π}{2} − α ln 2kr + η_{l}),

ahol bevezettük a Coulomb fázistolást az

η_{l} = arg Γ(l + 1 + iα)

definícióval.

A Kummer Lapalce egyenlet másik megoldása az origóban irreguláris. Ebből kapjuk az irreguláris Coulomb hullámfüggvényt,

w_{l}^{irreg}(k, r) ≡ G_{l}(kr) → − cos(kr − l \frac{π}{2} − α ln 2kr + η_{l}),

amely cos-os aszimptotikával rendelkezik a végtelenben.* Az aszimptotikus alakokat felhasználva, meghatározható a Coulomb szórásamplitúdó parciális hullámú kifejtése is:

* A Coulomb hullámfüggvényeket több kézikönyv részletesen tárgyalja. Az egyik legjobb

összefoglalás az ”Abramowitz”-ban található.

f_{c}(θ) = \frac{1}{2ik} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1) (e^{2iη_{l}} − 1) P_{l}(cos θ),

ahol megjelent a Coulomb S−matrix:

S_{l}^{c}(k) ≡ e^{2iη_{l}} = \frac{Γ(l + 1 + iα)}{Γ(l + 1 − iα)},

összhangban a Coulomb fázistolás előbbi definíciójával.

A Coulomb szórásamplitúdó parciális hullámok szerinti kifejtése birtokában most már kétféleképpen is fel tudjuk írni a Coulomb szórás végtelent adó teljes hatáskeresztmetszetét:

σ_{c}^{tot} = ∫ |f_{c}|^{2}dΩ = (\frac{ZZ′e^{2}}{4E} )^{2} 2π ∫_{0}^{π} dθ sin θ \frac{1}{sin^{4} θ/2} =

= \frac{1}{4k^{2}} ∑_{l}(2l + 1) sin^{2} η_{l} = ∞.

A transzport hatáskeresztmetszet is végtelen Coulomb szórás esetén

σ_{tr} = 2π ∫_{−1}^{1} dx|f_{c}(θ)|^{2}(1 − x) = \frac{2}{k^{2}} ∑_{l}(l + 1) sin^{2}(η_{l} − η_{l+1}) = ∞,

ugyanis vegyük figyelembe, hogy

arg Γ(z + 1) = arg Γ(z) + arctan \frac{y}{x}

s így

η_{l+1} = arg Γ(l + 2 + iα) = η_{l} + arctan \frac{α}{l + 1},

azaz

η_{l+1} − η_{l} = arctan \frac{α}{l + 1}.

Vegyük továbbá figyelembe, hogy

sin^{2} γ = \frac{tan^{2} γ}{1 + tan^{2} γ} .

Ezért

σ_{tr}^{c} = \frac{2}{k^{2}} ∑_{l}(l + 1)\frac{(\frac{α}{(l+1)})2}{(1 + \frac{α^{2}}{(l+1)^{2}} )} =

= \frac{2}{k^{2}} ∑_{l}(l + 1)\frac{α^{2}}{(l + 1)^{2} + α^{2}} → ∑_{l} \frac{1}{l} = ∞.

Megjegyzendő, hogy zérus töltés (zérus Sommerfeld paraméter) esetén a Coulomb hullámfüggvények átmennek a megfelelő Bessel, ill. Neumann hullámfüggvényekbe:

F_{l}(α = 0, kr) = krj_{l}(kr),
G_{l}(α = 0, kr) = krn_{l}(kr).

Módosított Coulomb szórás

Módosítsuk a Coulomb potenciált az r_{0} sugáron belüli tartományban V̂ (r) potenciállal:

V = V̂ + V_{c},  V̂ = 0, r > r_{0}.

Ilyen módosított Coulomb potenciállal találkozunk tipikusan atommagok, vagy nehéz ionok ütközése esetén.

Legyen a módosító potenciálunk olyan, ami kiküszöböli a Coulomb potenciál origóbeli szingularitását:

V̂ = −\frac{ZZ′e^{2}}{r} + \frac{ZZ′e^{2}}{r_{0}} , r ≤ r_{0}.

Az aszimptotikus hullámfüggvényben most meg fog jelenni a módosító potenciál hatása is az f̂ szórásamplitúdón keresztül:

ψ = \frac{1}{r} ∑_{l} w_{l}P_{l} → I + S(f_{c}(θ) + f̂(θ)).

Az r > r_{0} tartományban az általános megoldás kifejezhető a reguláris és irreguláris Coulomb hullámfüggvények szuperpozíciójaként:

w_{l}(k, r > r_{0}) = F_{l}(kr) + tan δ̂_{l}G_{l}(kr),

ahol δ̂_{l} a nukleáris potenciálból eredő fázistolás (a Coulomb potenciál jelenléte mellett!). A teljes fázistolás

δ_{l}^{tot} = δ̂_{l} + η_{l}.

Feladatunk a teljes szórásamplitúdó azon részének meghatározása, amely a módosító potenciálból ered.

f(θ) = f_{c}(θ) + f̂(θ) = \frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1) (e^{2i(η_{l}+δ̂_{l})} − 1) P_{l}(cos θ) =

= \frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1) (e^{2iη_{l}} − 1) P_{l}(cos θ)+

+\frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1)e^{2iη_{l}} (e^{2iδ̂_{l}} − 1) P_{l}(cos θ) =

= f_{c}(θ) + \frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1)e^{2iη_{l}} (e^{2iδ̂_{l}} − 1) P_{l}(cos θ).

Tehát

f̂(θ) = +\frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1)e^{2iη_{l}} (e^{2iδ̂_{l}} − 1) P_{l}(cos θ).

Összefüggés a fázistolások és a kötött állapoti energiák között

Ismeretes az, hogy az S−matrix pólusai a komplex k−sík pozitív imaginárius tengelyén a potenciál kötött állapoti energiáit adják meg. Potenciálszórásra S = exp 2iδ_{l}(k), ahol δ_{l}(k) a potenciál okozta fázistolás az l-edik parciális hullámban. Coulomb szórás esetén a fázistolás δ_{l}^{c} = arg Γ(l + 1 + iα), ahol α a Sommerfeld paraméter: α = ZZ′e^{2}/h̄v = (ZZ′e^{2}/h̄)\sqrt{m/2E}. A Coulomb S−matrixnak, *

S_{l}^{(c)} = e^{2iδ_{l}^{c}} = \frac{Γ(l + 1 + iα)}{Γ(l + 1 − iα)},

\frac{a}{a^{∗}} = e^{2i arg a}.

* a Coulomb S−matrix kiszámításánál figyelembe vesszük, hogy egy komplex szám és

adjungáltja a következőképpen írható: a = |a|ei arg a, a∗ = |a|e−i arg a s így

a gamma függvények tulajdonságai alapján ott van pólusa, ahol

l − iα = −n, n = 1, 2, ...

Tehát E = −|E|-t írva n + l = iα = (ZZ′e^{2}/h̄)\sqrt{m/2|E|}, s ebből

E_{nl} = −|E| = −\frac{1}{2} (\frac{ZZ′\sqrt{m}e^{2}}{h̄} )^{2} \frac{1}{(n + l)^{2}} ,

ami éppen a Rydberg sorozattal egyezik meg.

Ez az eredmény az S-matrix analitikus tulajdonságát tükrözi, és felhívja a figyelmet az S-matrix centrális szerepére.

2.5. KÉTDIMENZIÓS POTENCIÁLSZÓRÁS

Jóllehet környező világunk háromdimenziós, azonban a kísérleti szilártestfizika fejlődése, vékony rétegek, speciális mágneses felületek előállítása manapság szükségessé teszik az elmélet számára, hogy foglalkozzon a kétdimenziós szórással, és leszármaztassa a kísérletek kiértékeléséhez szükséges szóráselméleti alapformulákat.

A Schrödinger egyenlet kétdimenzióban:

−\frac{h̄^{2}}{2m}Δψ + V ψ = Eψ, ψ = ψ(x, y) → e^{ikx} + f(θ)\frac{e^{ikx}}{\sqrt{r}} .

Csak gömbszimmetrikus potenciál esetére szorítkozunk, ami két dimenzióban ”körszimmetrikus” potenciálnak felel meg (a potenciál csak az r körsugártól függ): V = V (r).

Ilyen esetben, csakúgy mint három dimenzióban, célszerű áttérni a (kétdimenziós) polár koordináta rendszerre (x = r cos θ, y = r sin θ), mert a hullámfüggvény ezekben a változókban szeparálható:

ψ(x, y) = R(r)T (θ), Δ = ∂_{x}^{2} + ∂_{y}^{2} = \frac{1}{r}∂_{r}r∂_{r} + \frac{1}{r^{2}} ∂_{θ}^{2}.

Átírva a Schrödinger egyenletet polár koordinátás alakra és osztva ψ-vel, kapjuk:

\frac{r^{2}}{R} (R′′ + \frac{1}{r}R′) + r^{2}(k^{2} − U(r)) = −\frac{1}{T} \frac{∂^{2}T}{∂θ^{2}} = m^{2} = áll.

Itt a szokásos E = h̄^{2}k^{2}/2m és U = 2mV/h̄^{2} jelölést alkalmaztuk.

A jobboldali egyenlőségből a szögmozgást jellemző T -re kapunk egyenletet:

\frac{d^{2}T}{dθ^{2}} + m^{2}T = 0,

amelynek megoldása

T = Ce^{imθ},

ahol C és m meghatározandó állandók. Mivel T (θ) = T (θ + 2π) azonos állapotokat kell jellemezzen, m = 0, 1, 2.... Másrészt a megoldás vagy páros vagy páratlan θ = 0-ra való tükrözés szempontjából. De a megoldásnak θ-ban szimmetrikusnak kell lennie, mivel ψ ≠ 0 θ = 0 esetén. Azaz

T (θ) = C cos mθ = T (−θ).

Kétdimenzióban a Jacobi determináns r, így a C normálási állandó

1 = |C|^{2} ∫_{0}^{2π} cos^{2} θdθ

egyenletből C = 1/\sqrt{π}-nek adódik. Tehát a kvantált szögmozgást leíró normált egyértékű megoldás:

T_{m} = \frac{1}{\sqrt{π}} cos mθ, m = 0, 1, 2, ..., 0 ≤ θ ≤ 2π.

Így azt kaptuk, hogy akárcsak a háromdimenziós esetben, a kétdimenziós potenciálszórás probléma is sorbafejthető ”parciális hullámok” szerint:

ψ = ∑_{m=0}^{∞} R_{m}(r)T_{m}(θ).

A radiális mozgást az

R′′_{m} + \frac{1}{r}R′_{m} + (k^{2} − U(r) − \frac{m^{2}}{r^{2}} ) R_{m} = 0

differenciálegyenlet megoldásai szolgáltatják. Zérus potenciál, U = 0 esetén ezen egyenlet megoldása a Bessel és Neumann-féle henger függvények, J_{m}(kr) és N_{m}(kr).

Mármost a szórási hullámfüggvény kétdimenzióban is egy beeső síkhullám és egy a szórócentrumról radiálisan kifelé haladó ”körhullám” szuperpozíciójából tevődik össze

ψ(r, θ) → e^{ikx} + f(θ)\frac{e^{ikr}}{\sqrt{r}} ,  (2.21)

ahol az f(θ) szórásamplitúdóból kaphatjuk meg a potenciálra jellemző differenciális szórási ”hatáshosszt”:

λ(θ) = |f(θ)|^{2},

ami hosszúság jellegű mennyiség.

A differenciális szóráshossz származtatása

Hasonlóan a háromdimenziós potenciálszórás esetéhez, itt is ki kell fejteni a síkhullámot Bessel függvények szerint, majd fel kell használni ezek aszimptotikus tulajdonságait.

Az ”Abramowitz” 9.1.44-45 egyenlete szerint

cos(z cos θ) = J_{0}(z) + 2 ∑_{m=1}^{∞}(−1)^{m}J_{2m}(z) cos(2mθ)

és

sin(z cos θ) = 2 ∑_{m=0}^{∞}(−1)^{m}J_{2m+1}(z) cos([2m + 1]θ).

Ezekből könnyen meghatározzuk a bejövő síkhullám Bessel függvények szerinti kifejtését (z = kr) :

e^{ikx} = e^{ikr cos θ} = cos(z cos θ) + i sin(z cos θ) =

= ∑_{m=0} ϵ_{m}i^{m} cos(mθ)J_{m}(kr), ahol ϵ_{m} = 2, ha m ≠ 0, ϵ_{0} = 1.

Szintén az Abramowitzból (vagy más kézikönyvből) kinézhetők az alábbi aszimptotikus alakok:

J_{m}(kr) → (\frac{2}{πkr} )^{1/2} cos (kr − π \frac{m + 1/2}{2})

és

N_{m}(kr) → (\frac{2}{πkr} )^{1/2} sin (kr − π \frac{m + 1/2}{2}) .

Abban a térrészben (síkrészben), ahol a potenciál már zérus, a radiális egyenlet legáltalánosabb megoldása a Bessel és Neumann-függvények lineárkombinációja:

R_{m}(kr) = A′_{m}J_{m}(kr) + B′_{m}N_{m}(kr) →

→ A_{m} \frac{1}{(kr)^{1/2}} cos (kr − π \frac{m + 1/2}{2} + δ_{m}) ,

ahol már vettük a végtelenbeli aszimptotikus alakot, és bevezettük az ismeretlen A′_{m} és B′_{m} normálási együtthatókkal kifejezhető, de végső soron a potenciállal kapcsolatos szórási alapmennyiséget, a δ_{m} fázistolást. (A fázistolás zérus V = 0 esetén, mivel ekkor R_{m} = J_{m}.) Tehát a teljes hullámfüggvény aszimptotikus alakja:

ψ(r → ∞, θ) = ∑_{m=0}^{∞} A_{m} \frac{1}{(πkr)^{1/2}} cos (kr − π \frac{m + 1/2}{2} + δ_{m}) cos(mθ),

amit összevetve a (2.21) alatt felírt kanonikus alakkal, meghatározhatjuk (egyenlővé téve az e^{ikr}, illetve az e^{−ikr} együtthatóit) az A_{m} normálási állandót:

A_{m} = 2ϵ_{m}i^{m} \frac{1}{(kr)^{1/2}} e^{iδ_{m}}

és a szórásamplitúdó kifejezését:

f(θ)^{(2d)} = \frac{1}{(2πik)^{1/2}} ∑_{m=0}^{∞} ϵ_{m} cos(mθ) (e^{2iδ_{m}} − 1) .

(Ez a képlet nagyon emlékeztet a háromdimenziós szórásamplitúdó

f^{(3d)}(θ) = \frac{1}{(2ik)} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)P_{l}(cos θ) (e^{2iδ_{l}} − 1)

kifejezésére.)

A teljes hatáshosszt megkapjuk abszolút érték képzéssel és a szögre vonatkozó integrál elvégzésével:

λ = ∫_{0}^{2π} dθ|f(θ|^{2} =

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 2. Direkt szóráselmélet

= \frac{1}{2πk} ∑_{m,m′} ϵ_{m}ϵ_{m′} (e^{2iδ_{m}} − 1)^{∗} (e^{2iδ_{m′}} − 1) ∫_{0}^{2π} dθ cos(mθ) cos(m′θ).

Most kihasználjuk, hogy

∫_{0}^{2π} dθ cos(mθ) cos(m′θ) = \{ \begin{matrix}πδ_{mm′} & ha & m ≠ 0 \\ 2πδ_{mm′} & ha & m = 0 \end{matrix} ,

és

(e^{2iδ_{m}} − 1)^{∗} (e^{2iδ_{m}} − 1) = 4 sin^{2} δ_{m}.

Így a hatáshossz kifejezése a következőképpen alakítható tovább:

λ = \frac{4}{k} ϵ_{0}^{2} sin^{2} δ_{0} + \frac{2}{k} ∑_{m=1} ϵ_{m}^{2} sin^{2} δ_{m} = \frac{4}{k} ∑_{m=0} ϵ_{m} sin^{2} δ_{m}.

(Ez a képlet összevetendő a háromdimenziós esetre kapott

σ_{tot}^{(3d)} = \frac{1}{4k^{2}} ∑_{l=0}(2l + 1) sin^{2} δ_{l}

kifejezéssel.) Példa. Szóródás merev körön. Merev kör esetén a potenciál:

V (r < a) = ∞,

V (r ≥ a) = 0.

Megoldás r > a térrészben:

R_{m}(kr) = A_{m}J_{m}(kr) + B_{m}N_{m}(kr).

A folytonosság miatt r = a határon a hullámfüggvény eltűnik:

0 = A_{m}J_{m}(ka) + B_{m}N_{m}(ka),

amiből

B_{m}/A_{m} = −J_{m}(ka)/N_{m}(ka).

A fázistolás az aszimptotikus radiális hullámfüggvényből olvasható le:

R(kr → ∞) = A_{m} (\frac{2}{πkr} )^{1/2} cos (kr − π \frac{m + 1/2}{2}) +

+B_{m} (\frac{2}{πkr} )^{1/2} sin (kr − π \frac{m + 1/2}{2})

= C_{m} (\frac{2}{πkr} )^{1/2} cos (kr − π \frac{m + 1/2}{2} + δ_{m}) ,

ahol C_{m}^{2} = A_{m}^{2} + B_{m}^{2}, és

tan δ_{m} = −\frac{B_{m}}{A_{m}} = \frac{J_{m}(ka)}{N_{m}(ka)}.

Háromdimenziós esetben

tan δ_{l} = \frac{j_{l}(ka)}{n_{l}(ka)}.

Born közelítés kétdimenziós szórás esetén.

Az alábbiakban r-en az (x, y) koordinátákat értjük.

A ψ hullámfüggvény felírható, mint a V = 0 esetén érvényes (beeső) szabad hullámfüggvény, ψ_{0}, valamint a kifutó aszimptotikát tartalmazó, a kölcsönhatás által modifikált Φ hullámfüggvény szuperpozíciója:

ψ(r) = ψ_{0}(r) + Φ(r) → ψ_{0} + \frac{e^{ikr}}{\sqrt{r}} f(θ).

Ez a hullámfüggvény valóban kielégíti a

(∇^{2} + k^{2} − U) ψ = 0,

Schrödinger egyenletet, ugyanis

(∇^{2} + k^{2}) ψ(r) = (∇^{2} + k^{2}) Φ(r) = U(ψ_{0} + Φ).

Bevezetve a kétdimenziós Green függvényt,

(∇^{2} + k^{2}) G_{0}(r, r′) = δ(r − r′),

a háromdimenziós eljárásoknál hasonló módon, kontúr integrálási technikával meghatározhatjuk analitikusan a kifutó aszimptotikát biztosító szabad Green függvényt:

G_{0}(r, r′) = iπH_{0}^{(1)}(kρ) → (\frac{2π}{kρ} )^{1/2} e^{ikρ+iπ/4},

ahol ρ^{2} = (r − r′)^{2} és az első fajú Hankel függvény kifejezhető a Bessel, illetve Neumann függvényekkel: H_{0}^{(1)} = J_{0} + iN_{0}. G_{0} valóban kifutó aszimptotikát biztosít, ugyanis

e^{ikρ} = e^{ik|r−r′|} = e^{ik\sqrt{r^{2}+r′^{2}−2rr′ cos θ}} = e^{ikr\sqrt{1+(r′/r)^{2}−2(r′/r) cos θ}}
→ e^{ikr}e^{−ikr′ cos θ} = e^{ikr}e^{−ik′r′}.

A Green függvény segítségével a Schrödinger egyenletet felírhatjuk a határfeltételeket is magába foglaló Lippmann-Schwinger integrálegyenlet formájában:

ψ(r) = ψ_{0}(r) + ∫ G_{0}(r, r′)U(r′)ψ(r′)dr′,

amely formailag teljesen azonos a háromdimenziós LS egyenlettel, és belőle ezért hasonló módon minden közelítés, illetve integrális szórást jellemző mennyiség leszármaztatható. Például, a szórásamplitúdó integrális alakja:

f(θ) = − (\frac{2π}{k} )^{1/2} e^{\frac{iπ}{4}} ∫ e^{−ik′r′}U(r′)ψ(r′)dr′,

Az elsőrendű Born közelítés formulák szintén hasonlóak a háromdimenziós esetéhez. Például

f_{B1}(θ) = − (\frac{2π}{k} )^{1/2} e^{\frac{iπ}{4}} ∫ e^{iqr′}U(r′)dr′,

ahol q = k − k′ az impulzus megváltozás.

Gömb(kör)szimmetrikus potenciál esetén,

f(θ)_{B1} = − (\frac{(2π)^{3}}{k} )^{1/2} e^{\frac{iπ}{4}} ∫ J_{0}(qr′)U(r′)r′dr′.

Coulomb szórás kétdimenzióban.

Ezek után könnyen el tudjuk képzelni, hogy sok matematikával hasonló formulák nyerhetők a kvantummechanikai kétdimenziós Coulomb szórásra is, mint amiket levezettünk háromdimenziós esetben. A számítások menete hasonló a háromdimenziós tárgyaláséhoz, ezért itt most csak a főbb képleteket közöljük levezetés nélkül, mindig összehasonlítva a háromdimenziós eset megfelelő formulájával.

A Coulomb szórásamplitúdók:

f_{c}^{(2d)} = \frac{α}{\sqrt{2k}} \sqrt{i}\frac{Γ(\frac{1}{2} + iα)}{Γ(1 − iα)} \frac{e^{−iα ln sin \frac{1}{2} θ}}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} ,

f_{c}^{(3d)} = \frac{α}{2k} (−1)\frac{Γ(1 + iα)}{Γ(1 − iα)} \frac{e^{−iα ln sin^{2} \frac{1}{2} θ}}{sin^{2} \frac{1}{2}θ} ,

ahol korábban e^{2iη_{0}} formában írtunk fel az S_{0} = \frac{Γ(1+iα)}{Γ(1−iα)} (háromdimenziós) Coulomb S-matrixot.

A Coulomb szórás differenciális hatáskeresztmetszetei:

\frac{dσ_{c}^{(2d)}}{dΩ} = |f_{c}^{(2d)}|^{2} = \frac{1}{2} \frac{α}{k} \frac{1}{sin^{2} \frac{θ}{2}} tanh πα → σ_{tot}^{c,2d} = ∞,

\frac{dσ_{c}^{(3d)}}{dΩ} = |f_{c}^{(3d)}|^{2} = \frac{1}{4} (\frac{α}{k})^{2} \frac{1}{sin^{4} \frac{θ}{2}} → σ_{tot}^{c,3d} = ∞.

Tehát kétdimenzióban is végtelen a hatáskeresztmetszet (hatáshossz).

A momentum transzfer hatáskeresztmetszet kétdimenziós Coulomb szórásra:

σ_{m}^{c,2d} = ∫_{0}^{2π} dθ(1 − cos θ) |f_{c}^{(2d)}|^{2} = \frac{1}{2} \frac{α}{k} tanh πα ∫_{0}^{2π} dθ \frac{(1 − cos θ)}{sin^{2} \frac{θ}{2}} =

= \frac{1}{2} \frac{α}{k} tanh πα ∫_{0}^{2π} dθ 2 = \frac{2πα}{k} tanh πα < ∞.

Látjuk, hogy itt lényeges különbség adódik a háromdimenziós szórás esetéhez képest, ahol a momentum transzport hatáskeresztmetszet végtelennek adódott. Ez mindenképpen rávilágít arra, hogy a jelenleg előtérbe kerülő kétdimenziós rendszerek vizsgálatában még több meglepetésre számíthatunk.

felhasználjuk a |Γ(\frac{1}{2} + iα)|^{2} = π/ cosh πα és |Γ(1 + iα)|^{2} = πα/ sinh πα 2.6. Függelék.

összefüggéseket

A transzport hatáskeresztmetszet kiszámítása fázistolások segítségével.

f(θ) = \frac{1}{2ik} ∑_{n=0}^{∞}(2n + 1) (e^{2iδ_{n}} − 1) P_{n}(x)

jelöléssel a szórásamplitúdóra, a transzport hatáskeresztmetszet a következő:

σ_{tr} = 2π ∫_{−1}^{1} dx|f(θ)|^{2}(1 − x)

= 2π \frac{1}{4k^{2}} ∫_{−1}^{1}(1 − x)[( ∑_{n}(2n + 1)(cos 2δ_{n} − 1)P_{n}(x))^{2}

+( ∑_{m}(2m + 1)(sin 2δ_{m})P_{m}(x))^{2}]dx

= 2π \frac{1}{4k^{2}} ∫_{−1}^{1}(1 − x) ∑_{n}(2n + 1)^{2}[(cos 2δ_{n} − 1)^{2} + sin^{2} 2δ_{n}]P_{n}^{2}(x)dx

+\frac{1}{4k^{2}} ∫_{−1}^{1}(1 − x) ∑_{n≠m}(2n + 1)(2m + 1)[(cos 2δ_{n} − 1)(cos 2δ_{m} − 1)

+ sin 2δ_{n} sin 2δ_{m}]P_{n}(x)P_{m}(x)dx

= 2π \frac{1}{4k^{2}} ∫_{−1}^{1} ∑_{n}(2n + 1)^{2}[(cos 2δ_{n} − 1)^{2} + sin^{2} 2δ_{n}]P_{n}^{2}(x)dx

+2π \frac{1}{4k^{2}} ∫_{−1}^{1}(−x) ∑_{n≠m}(2n + 1)(2m + 1)[(cos 2δ_{n} − 1)(cos 2δ_{m} − 1)

+ sin 2δ_{n} sin 2δ_{m}]P_{n}(x)P_{m}(x)dx,

mivel az első tagban az x-re vonatkozó integrálás az integrandus páratlan volta miatt, a második tagban az ’1’-re vonatkozó integrálás a Legendre-polinomok ortogonalitása miatt zérust ad. Most a szögletes zárójelekben álló kifejezéseket egyszerüsítjük, illetve átalakítjuk.

[(cos 2δ_{n} − 1)^{2} + sin^{2} 2δ_{n}] = 2 − 2 cos 2δ_{n} = 4 sin^{2} δ_{n},

és

[(cos 2δ_{n} − 1)(cos 2δ_{m} − 1) + sin 2δ_{n} sin 2δ_{m}] =

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 2. Direkt szóráselmélet

= 4 sin^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{m} + 4 sin δ_{n} sin δ_{m} cos δ_{n} cos δ_{m}.

Behelyettesítve és az egyszerűsítéseket elvégezve:

σ_{tr} = \frac{2π}{k^{2}} ∑_{n}(2n + 1) sin^{2} δ_{n} ∫_{−1}^{1} P_{n}^{2}(x)dx

−\frac{2π}{k^{2}} 2 ∑_{n<m}(2n + 1)(2m + 1)[ sin^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{m} + sin δ_{n} sin δ_{m} cos δ_{n} cos δ_{m}]

× ∫_{−1}^{1} xP_{n<m}(x)P_{m}(x)dx.

Felhasználva a Legendre polinomokra vonatkozó ismert összefüggéseket,

∫ P_{n}P_{m} = \frac{2}{2n + 1}δ_{nm},

xP_{n} = \frac{1}{2n + 1}(nP_{n−1} + (n + 1)P_{n+1}),

∫ xP_{n<m}P_{m}dx = \frac{1}{2n + 1}(nδ_{n−1,m} + (n + 1)δ_{n+1,m})\frac{2}{2m + 1}

= \frac{1}{2n + 1}(0 + (n + 1)δ_{n+1,m})\frac{2}{2m + 1},

elvégezzük az integrálásokat, és a második tagban összegzünk m-re:

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(2n + 1) sin^{2} δ_{n}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n} 2(n + 1)[ sin^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{n+1} + sin δ_{n} sin δ_{n+1} cos δ_{n} cos δ_{n+1}].

Most az első tagot kétfelé bontjuk, a második tagot pedig háromfelé:

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n} n sin^{2} δ_{n} + \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1)(1 − cos^{2} δ_{n}) sin^{2} δ_{n+1} − \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{n+1}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n} 2(n + 1) sin δ_{n} sin δ_{n+1} cos δ_{n} cos δ_{n+1}.

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 2. Direkt szóráselmélet

Itt az első tag kiesik a második sor első kifejezésének első tagjával, ugyanis

∑_{n} n sin^{2} δ_{n} − ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n+1} = 0.

Marad összesen négy tagunk:

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n} + \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) cos^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{n+1}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{n+1}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n} 2(n + 1) sin δ_{n} sin δ_{n+1} cos δ_{n} cos δ_{n+1},

amiből az első és a harmadik összevonható,

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2} δ_{n} cos^{2} δ_{n+1} + \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) cos^{2} δ_{n} sin^{2} δ_{n+1}

−\frac{4π}{k^{2}} ∑_{n} 2(n + 1) sin δ_{n} sin δ_{n+1} cos δ_{n} cos δ_{n+1},

és a maradék három tag egy teljes négyzetet ad:

σ_{tr} = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1)[ sin δ_{n} cos δ_{n+1} − cos δ_{n} sin δ_{n+1}]^{2}

= \frac{4π}{k^{2}} ∑_{n}(n + 1) sin^{2}(δ_{n} − δ_{n+1})

.

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 3. Inverz szóráselmélet

3. INVERZ SZÓRÁSELMÉLET

Az előző fejezetben megismerkedtünk a kvantummechanikai szóráselmélet alapjaival. Láttuk, hogy a centrális potenciál ismeretében a Schrödinger egyenlet egyértelműen meghatározza a szórásamplitúdót,

V (r) ⟹ f(E, ϑ) = \frac{1}{2ik} ∑_{l}(2l + 1)[S_{l}(E) − 1]P_{l}(cos ϑ),

amelynek abszolút érték négyzete a mérhető hatáskeresztmetszet:

\frac{dσ}{dΩ} = |f(E, ϑ)|^{2}.

Jelen fejezetben a fordított, az inverz folyamat lehetőségét tanulmányozzuk. Feltételezzük hogy a szórásamplitúdó, vagy az S−matrix elem (s így a fázistolás is), kísérleti adatokból már ismert, s azt vizsgáljuk, miként lehet ezen információból egy centrális kölcsönhatásra következtetni:

f(E, ϑ) ⟹ S_{l}(E) ⟹ V (r).  (3.1)

Rögtön észrevesszük, hogy az inverz probléma fizikailag túlhatározott. Az input információ két folytonos változótól függ, az E szórási energiától és a ϑ szórási szögtől (illetve, amennyiben S_{l}(E)−t használjuk input adatként, egy folytonos változótól és egy megszámlálhatóan végtelen sok diszkrét változótól), míg a keresett output csupán egy folytonos változót tartalmaz. Ezért kétféle inverz problémát ismerünk: rögzített energia melletti inverziót, amikor az input adat az összes S_{l=0,1,2,...}(E = fix), valamint a rögzített l melletti inverziót, amikor az input adat az S_{l=fix}(E = 0 − ∞) függvény (plusz a kötött állapoti energák és normálási állandók). Az első esetben egy V_{E=fix}(r), a másodikban pedig egy V_{l=fix}(r) potenciált határozhatunk meg az adatokból. Az E és l független V (r) potenciál meghatározásához a háromdimenziós inverz szórás elméletre lenne szükség, amely egyelőre nem ismeretes.

3.1. AZ INVERZ PROBLÉMA MEGOLDÁSA VÉGES ELEM MÓDSZERREL

A differenciálegyenletek nagy osztályának, így a Schrödinger egyenletnek is, általában nem ismeretes az egzakt analitikus megoldása. Numerikus eljárások esetén a megoldásokat a térváltozók diszkrét pontjaiban állítjuk elő véges elem módszerrel, azaz a differenciál egyenlet helyett a megfelelő differencia egyenletet oldjuk meg a folytonos változó x_{n} = nΔ diszkrét pontjaiban.

Tekintsük az egydimenziós differencia Schrödinger egyenletet a féltengelyen,

−\frac{h̄^{2}}{2m} \frac{ψ_{n+1} − 2ψ_{n} + ψ_{n−1}}{Δ^{2}} + [V_{n} − E]ψ_{n} = 0, n = 0, 1, ...,

amely Δ → 0 esetén megy át a Schrödinger egyenletbe. (Itt az f_{n} ≡ f(x_{n}) szokásos jelölést alkalmaztuk és Δ jelenti a lépésköz nagyságát.)

k^{2} = ε = E/h̄^{2}/2m és U_{n} = V_{n}/h̄^{2}/2m új jelölések bevezetésével, átrendezés után kapjuk a megoldás alapjául szolgáló rekurziós képletet

ψ_{n−1} = ψ_{n}[2 + (U_{n} − ε)Δ^{2}] − ψ_{n+1}.  (3.2)

Direkt probléma esetén ismerjük a potenciált, azaz az

U_{n}, U_{n−1}, ..., U_{0} (input)

számsorozatot.

Tekintsük az x_{n} > NΔ rácspontokban eltűnő potenciál esetét

U_{n} = 0, n > N.

Ekkor az aszimptotikus határfeltétel a

ψ_{n} ∼ e^{−iknΔ} − S(k)e^{iknΔ},  n > N  (3.3)

jól ismert módon írható, ahol S(k) a meghatározandó (output) mennyiség [neve: S−matrix; S = exp(2iδ), δ a fázistolás].

Direkt megoldásnál tehát a következő iterációs sémát alkalmazhatjuk: U_{n}, ψ_{n}, ψ_{n+1}, ⇒ ψ_{n−1},

U_{n−1}, ψ_{n−1}, ψ_{n}, ⇒ ψ_{n−2},
... .. ...
U_{1}, ψ_{1} ψ_{2}, ⇒ ψ_{0}.

A keresendő S−matrix elemet a megoldás origóbeli regularitása határozza meg:

ψ_{0} = 0.

Inverz probléma esetén az S−matrix (valamint az ε_{λ} sajátérték) ismert, és keressük az

U_{n}, U_{n−1}, ..., U_{0} (output)

potenciál számsorozatot. Minthogy a (3.2) alatti iterációs egyenletben a ψ_{n}−ek is ismeretlenek, további információra, még egy egyenletre van szükségünk az inverz probléma megoldásához. A plusz információt a teljességi összefüggés szolgáltatja, amely az ε_{λ}, λ = 1, 2, ... sajátértékekhez tartozó ψ(ε_{λ}) sajátfüggvényekre vonatkozik és differencia formában a következőképpen írható:

∑_{λ} ψ_{n}(ε_{λ})ψ_{m}^{∗}(ε_{λ}) = δ_{nm}/Δ.  (3.4)

(Amennyiben folytonos spektrumrész is van, a baloldalhoz még hozzá kell adni az

∫_{0}^{Emax} ψ_{n}(E)ψ_{m}^{∗}(E)dE

integrált.^{1})

∑_{λ} ψ_{n}−nel balról beszorozva a (3.2) alatti differencia Schrödinger egyenlet komplex konjugáltját, kapjuk a következő egyenletet (U_{n} = U_{n}^{∗}) :

∑_{λ} ψ_{n}(ε_{λ})ψ_{n−1}^{∗}(ε_{λ}) = ∑_{λ} ψ_{n}(ε_{λ})ψ_{n}^{∗}(ε_{λ})[2 + (U_{n} − ε_{λ})Δ^{2}]

1 A véges elem módszer érdekessége, hogy a folytonos spektrum korlátos: Emax =

2h̄2/mΔ2. Ez az eredmény a ψn = exp(iθn) szabad megoldás (3.2)-be való helyettesítésével kapható meg. A (3.4) alatti teljességi formula szintén (3.2) felhasználásával vezethető le, először az ortogonalitási összzefüggés bizonyítására, majd ebből a (3.4)-es formula származtatására.

− ∑_{λ} ψ_{n}(ε_{λ})ψ_{n+1}^{∗}(ε_{λ}).

A (3.4) teljességi összefüggés miatt a baloldal és a jobboldal második tagja eltűnik:

0 = ∑_{λ} ψ_{n}(ε_{λ})ψ_{n}^{∗}(ε_{λ})[2 + (U_{n} − ε_{λ})Δ^{2}]

és ebből kapjuk a potenciált az összes ψ_{n}(ε_{λ}) megoldás függvényeként az x_{n} = nΔ helyen:

U_{n} = Δ ∑_{λ} ε_{λ}|ψ_{n}(ε_{λ})|^{2} − \frac{2}{Δ^{2}} .  (3.5)

(Folytonos spektrumrész esetén ehhez kell még hozzáadni a Δ ∫_{0}^{Emax} E|ψ_{n}(E)|^{2}dE tagot.)

Tehát az energiafüggetlen U_{n} potenciál csak az összes ψ_{n}(ϵ_{λ}) megoldás ismeretében határozható meg. De ezek előállíthatók, hiszen ψ_{n}(ε_{λ}) ismert n > N esetén a rendelkezésre álló input S(k) adatok miatt.^{1} Ezért U_{n} kiszámolható és a fenti iterációs séma szerint ψ_{n−1} meghatározható (3.2)−ből minden egyes ϵ_{λ} energiaértékre. Ebből viszont U_{n−1} számolható ki (3.5) felhasználásával, majd újból a (3.2)- es iterációs Schrödinger egyenletből ψ_{n−2} határozható meg minden energiára. Ebből az U_{n−2} potenciál (3.5) segítségével, és így tovább, egészen U_{0}−ig.

3.2. FIX-L ESETE: GEL’FAND-LEVITAN-MARCHENKO EGYELETEK

Ebben a fejezetben Gel’fand és Levitan által az 50-es években, majd Marchenko által 1962-ben felállított integrálegyenletekhez fogunk eljutni az előző fejezetben már bevált véges elem módszer segítségével. ^{2} A módszer referencia potenciál módszernek is nevezhető. Tekintsük ugyanis a (3.2) differencia Schrödinger egyenletet a 0 ≤ r ≤ ∞ féltengelyen két potenciál, egy ismert Ŭ és a keresendő U potenciál esetén^{∗} (n = 0, 1, 2, ...) :

1 [egy cλ normálási állandótól eltekintve, ami meghatározható, vagy szintén bemenő adatként

szerepel.] 2 Az említett szerzők orosz matematikusok, jelenleg többnyire az Egyesült Államokban, ill.

Franciaországban dolgoznak. Marchenko és Levitan professzor részt vett a jegyzetírók által szervezett inverz szórás konferencián 1996-ban [ld. B. Apagyi, G. Endrédi, and P.

Lévay (eds): Inverse and Algebraic Quantum Scattering Theory, Lecture Notes in Physics, Springer, Vol 488, (1997)].

φ_{n+1} = φ_{n}[2+(U_{n} −ε)Δ^{2}]−φ_{n−1}  φ̆_{n+1} = φ̆_{n}[2+(Ŭ_{n} −ε)Δ^{2}]−φ̆_{n−1},

ahol a φ ill. φ̆ hullámfüggvények nemnormáltak.

Vegyük észre, hogy mindkét egyenletben azonos ε energia szerepel, amelyről feltesszük, hogy az U, tehát a megoldandó problémához tartozó sajátenergia (amely lehet diszkrét, vagy folytonos, vagy mindkettő; egy a lényeg, ez bemenő spektrális adatként fog szerepelni). Az általánosság megszorítása nélkül, az egyszerűség kedvéért vegyük a referencia potenciált zérusnak:

φ_{n+1} = φ_{n}[2 + (U_{n} − ε)Δ^{2}] − φ_{n−1}  φ̆_{n+1} = φ̆_{n}[2 + (0 − ε)Δ^{2}] − φ̆_{n−1}.

A módszer lényegét könnyen észrevehetjük: φ_{0} = φ̆_{0} = 0, φ_{1} = φ̆_{1} = Δ kezdeti feltételekből kiindulva a megoldás az n−dik helyen az energia (n − 1)−dik hatványaként áll elő,

φ_{0} = 0, φ_{1} = Δε^{0}, φ_{2} = c_{0}^{(2)}ε^{0} + c_{1}^{(2)}ε^{1}, φ_{3} = c_{0}^{(3)}ε^{0} + c_{1}^{(3)}ε^{1} + c_{2}^{(3)}ε^{2}, ...

φ̆_{0} = 0, φ̆_{1} = Δε^{0}, φ̆_{2} = c̆_{0}^{(2)}ε^{0} + c̆_{1}^{(2)}ε^{1}, φ̆_{3} = c̆_{0}^{(3)}ε^{0} + c̆_{1}^{(3)}ε^{1} + c̆_{2}^{(3)}ε^{2}, ...,

azaz

φ_{n} = ∑_{i=0}^{n−1} c_{i}^{(n)}ε^{i}  (n = 1, 2, ...)  φ̆_{n} = ∑_{i=0}^{n−1} c̆_{i}^{(n)}ε^{i}

s ezért az ismeretlen \underline{φ} megoldás az ismert \underline{φ̆} megoldás sorozattal kifejezhető:

\underline{φ} = cc̆^{−1}\underline{φ̆} ≡ Δ · K · \underline{φ̆}.

Itt mind c, mind c̆ (ill. az utóbbi inverze) N × N−es háromszög matrix, amelyek diagonális alatti része különbözik nullától. Szorzatuk, amely a K−matrixot definiálja, szintén háromszög matrix. A K−matrix a potenciált bonyolult módon tartalmazza, de energiafüggetlen. Általa az ismeretlen megoldás kifejezhető. Az n−ik pontban a megoldás nyilván a

∗ amelyekbe beleérthetjük az l(l + 1)/r2 centrifugális tagot

φ_{n}(ε) = Δ(K_{nn}φ̆_{n}(ε)+K_{n,n−1}φ̆_{n−1}(ε)+K_{n,n−2}φ̆_{n−2}(ε)+...+K_{n,1}φ̆_{1}(ε))

összegként áll elő.

Δ → 0 határátmenetben kapjuk a megoldás Povzner-Levitan reprezentációját,

φ(ε, r) = φ̆(ε, r) + ∫_{0}^{r} dr′K(r, r′)φ̆(ε, r′),  (3.6)

ahol K tehát egy energiafüggetlen, de az U potenciáltól nagyon is függő nemlokális operátor, amely a referencia hullámfüggvényre hat (amit viszont a ’valódi’, tehát nem a referencia sajátenergiáknál kell ismernünk, ill. előállítanunk).

A K_{nm} matrix elemek potenciálfüggését tanulmányozva, egy igen egyszerű reláció állapítható meg:

U_{n} = \frac{1}{Δ}[K_{n+1,n} − K_{n,n−1}].  (3.7a)

Δ → 0 esetben ez az összefüggés átmegy az

U(r) = 2\frac{d}{dr} K(r, r)  (3.7)

alakba, azaz a potenciál meghatározható lenne, ha valamilyen független forrásból (egyenletből) ismernénk a K operátort.

* * *

Mielőtt továbbmennénk, lássunk az eddigiekre egy példát. A hullámfüggvényt N = 4 pontban fogjuk előállítani (n = 0, 1, 2, 3) s ezekre végezzük el a fenti műveleteket. Először a c_{i}^{(n)} (i = 0, 1, .., n − 1) együtthatókat állítjuk elő:

φ_{0} = 0
φ_{1} = Δ · ε^{0} ≡ c_{0}^{(1)}ε^{0}
φ_{2} = Δ(2 + U_{1}Δ^{2}) · ε^{0} − Δ^{3}ε^{1} ≡ c_{0}^{(2)}ε^{0} + c_{1}^{(2)}ε^{1}

φ_{3} = [Δ(2+U_{1}Δ^{2})(2+U_{2}Δ^{2})−3]·ε^{0}−Δ^{3}[(2+U_{2}Δ^{2})+(2+U_{1}Δ^{2})]ε^{1}+Δ^{5}ε^{2}

≡ c_{0}^{(3)}ε^{0} + c_{1}^{(3)}ε^{1} + c_{2}^{(3)}ε^{2}

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 3. Inverz szóráselmélet

A kifejezések rohamosan bonyolódnak, továbbszámolni csak formula manipulációs program segítségével érdemes. A hullámfüggvényt vektor alakban írva:

( \begin{matrix}φ_{1} \\ φ_{2} \\ φ_{3} \\ ... \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c_{0}^{(1)} \\ c_{0}^{(2)} & c_{1}^{(2)} \\ c_{0}^{(3)} & c_{1}^{(3)} & c_{2}^{(3)} \\ & . & . & . \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}ε^{0} \\ ε^{1} \\ ε^{2} \\ ... \end{matrix} ) ,

ahol a c matrix az előbbiek szerint c = Δ×

( \begin{matrix}1 \\ 2 + U_{1}Δ^{2} & −Δ^{2} \\ (2 + U_{1}Δ^{2})(2 + U_{2}Δ^{2}) − 1 & −Δ^{2}[(2 + U_{2}Δ^{2}) + (2 + U_{1}Δ^{2})] & Δ^{4} \\ ... & ... & ... & ... \end{matrix} ) .

Ebből a c̆ matrix könnyen felírható (Ŭ_{n} = 0):

c̆ = Δ ( \begin{matrix}1 \\ 2 & −Δ^{2} \\ 3 & −4Δ^{2} & Δ^{4} \\ ... & ... & ... & ... \end{matrix} ) .

Inverze:

c̆^{−1} = Δ^{−1} ( \begin{matrix}1 \\ 2Δ^{−2} & −Δ^{−2} \\ 5Δ^{−4} & −4Δ^{−4} & Δ^{−4} \\ ... & ... & ... & ... \end{matrix} ) .

Így a K matrix

K = \frac{1}{Δ}cc̆^{−1} = Δ^{−1} ( \begin{matrix}1 \\ Δ^{2}U_{1} & 1 \\ Δ^{4}U_{1}U2 & Δ^{2}(U_{1} + U_{2}) & 1 \\ ... & ... & ... & ... \end{matrix} ) .

Most ellenőrizhetjük, hogy (7a) teljesül-e:

U_{2} = Δ^{−1}(K_{32} − K_{21}) = Δ^{−1}(Δ(U_{1} + U_{2}) − ΔU_{1}) = U_{2}.

* * *

Ezen kis példa után továbbfolytatjuk az inverz szórás alapegyenletének származtatását, de nem a részletekbe menően.^{∗} Az alapegyenlet a K−ra vonatkozik s csupán spektrális információ (S, ε) szükséges a megoldáshoz.

Ahhoz, hogy egy K−t meghatározó egyenletet nyerjünk, nyilvánvalóan plusz információra van szükség. Ez a plusz információ megint a teljesség összefüggése:

∑_{λ} c_{λ}^{2}φ_{m}(ε_{λ})φ_{n}(ε_{λ}) = δ_{mn}/Δ,

és

∑_{λ} c̆_{λ}^{2}φ̆_{m}(ε̆_{λ})φ̆_{n}(ε̆_{λ}) = δ_{mn}/Δ,

ahol c_{λ} és c̆_{λ} normálási állandókat jelölnek (nem tévesztendők össze az előző c kifejtési együtthatókkal). Felhasználva ezt a két egyeneletet és a két fenti iterációs egyenletet, az előző fejezetben ismertetett módszerrel (beszorzással és összegzéssel) kaphatunk egy meghatározó differencia egyenletet K_{n,m}−re.

Ebből Δ → 0 határátmenetben kapjuk a híres Gel’fand-Levitan integráelgyenletet:

K(r, r′) + g(r, r′) + ∫_{0}^{r} K(r, r′′)g(r′′, r′)dr′′ = 0,  (3.8)

ahol az ún. szimmetrikus (input) kernel definíciója:

g(r, r′) = ∑_{λ} c_{λ}^{2}φ̆(ε_{λ}, r)φ̆(ε_{λ}, r′) − ∑_{λ} c̆_{λ}^{2}φ̆(ε̆_{λ}, r)φ̆(ε̆_{λ}, r′) = g(r′, r).

(Folytonos spektrum esetén ehhez jön még egy járulék, ami az S(E)−matrixot tartalmazza.)

A szimmetrikus kernel csak spektrális (megfigyelési) adatokat (ε_{λ}, c_{λ}) tartalmaz inputként. Ismeretében megoldhatjuk a (3.8) alatti Gel’fand-Levitan egyenletet K-ra, amelynek diagonális elemének deriváltja adja (3.7) szerint a keresett inverz potenciált.

Marchenko egyenlete (3.8)-hoz teljesen hasonló, azzal ekvivalens. A különbség abból adódik, hogy Marchenko az iterációs megoldást az origóbeli kezdeti feltételek helyett az aszimptotikus információk figyelembevételével kezdte felépíteni, φ_{N}, φ_{N−1}, ... Ezért egyenlete

∗ A részletek megtalálhatók B. Zakhariev és A. Suzko, Direct and inverse problems (Springer,

1990) c. könyvben

K(r, r′) + g(r, r′) + ∫_{r}^{∞} K(r, r′′)g(r′′, r′)dr′′ = 0,  (3.9)

és a Marchenko-féle input szimmetrikus kernel is kicsit más.

Megjegyzendő, hogy a Gel’fand-Levitan egyenlet, ill. a Marchenko egyenlet szigorú bizonyításokon alapul és a Sturm-Liouville operátor spektrál elméletéből nőtt ki.

3.3. FIX-E ESETE: A NEWTON-SABATIER MÓDSZER

1962-ben R. G. Newton gondolt arra, hogy ha az integrálegyenletes inverz módszer sikeres volt fix impulzusmomentum esetére a félegyenesen (0 ≤ r ≤ ∞), akkor megoldható a fix-energia melletti inverz probléma is valamilyen Gel’fand-Levitan-Marchenko egyenlethez hasonló integrálegyenlet segítségével. Míg a fix-l inverzió esetén a bemenő spektrális adatok a kötött és/vagy folytonos sajátenergiák (plusz a normálási állandók), addig a fix−E melletti inverzió input adata E > 0 esetén az összes fázistolás {δ_{l}}, vagy az összes S−matrix elem, {S_{l}} lesz.

A Newton által felállított Gel’fand-Levitan típusú egyenlet a következő:

K(ρ, ρ′) = g(ρ, ρ′) − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ ρ′′^{−2}K(ρ, ρ′′)g(ρ′′, ρ′),  (3.10)

ahol a szimmetrikus input kernel egy ismert Ŭ referencia potenciálhoz tartozó összes sajátfüggvény szerinti kifejtéssel konstruálható meg:

g(ρ, ρ′) = ∑_{l=0}^{∞} c_{l}φ̆_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′) = g(ρ′, ρ).  (3.11)

A fenti egyenletekben ρ a szokásos dimenziótlan távolságot jelenti, ρ = kr, ahol k a hullámszám.

(3.10)-ben K az output kernel, amelyből az inverz potenciál kiszámolható a később megadott módon. (3.11)-ben az egyelőre ismeretlen c_{l} kifejtési együtthatókat majd a bemenő fázistolások határozzák meg, mint látni fogjuk.

A φ̆_{l} radiális hullámfüggvények egy referencia Schrödinger egyenletnek tesznek eleget, amelyet most célszerű módon a következő dimenziótlan formában írunk fel:

D̆(ρ)φ̆_{l}(ρ) = l(l + 1)φ̆_{l}(ρ),  (3.12)

ahol

D̆(ρ) ≡ ρ^{2} [\frac{d^{2}}{dρ^{2}} + 1 − Ŭ(ρ)] ,  (3.13)

és Ŭ = V̆ /E, E = h̄^{2}k^{2}/2μ, ρ = kr.

A szimmetrikus kernelnek nyilvánvalóak a következő tulajdonságai:

D̆(ρ)g(ρ, ρ′) = D̆(ρ′)g(ρ, ρ′)

és

g(0, ρ′) = g(ρ, 0) = 0,

mivel a referencia hullámfüggvények regulárisak az origóban (φ̆(0) = 0).

Newton 1962-ben bebizonyította^{∗}, hogy (3.10) egyértelműen megoldható K(ρ, ρ′)−ra, és a keresett inverz potenciál

U = Ŭ − \frac{2}{ρ} \frac{d}{dρ} \frac{K(ρ, ρ)}{ρ}.  (3.14)

[Az inverz probléma egzisztencia és egyértelműségi tételének bizonyítását a következő alfejezetben találhatjuk meg. Itt lényeges szerepet fog játszani a

ξ(ρ, ρ′) = D(ρ)K(ρ, ρ′) − D̆(ρ′)K(ρ, ρ′)

függvény, amelyről kimutatható, hogy kielégíti (10) homogén változatát. Mivel (3.10)-nek egyértelmű a megoldása K−ra, így a Fredholm alternatíva értelmében szükségképpen ξ ≡ 0 kell legyen, azaz

D(ρ)K(ρ, ρ′) = D̆(ρ′)K(ρ, ρ′).

A D(ρ) differenciáloperátor

D(ρ) = D̆(ρ) − ρ^{2}(U(ρ) − Ŭ(ρ))

∗ R. G. Newton, J. Math. Phys. 3, 75 (1962)

definíciójában szereplő ismeretlen U(ρ) azon feltételből határozható meg a (3.14) alatti módon, hogy ξ kielégíti a homogén integrálegyenletet.] A (3.14) alatti inverz potenciál ’mellesleg’ kielégíti a szórást leíró Schrödinger egyenletet,

D(ρ)φ_{l}(ρ) = l(l + 1)φ_{l}(ρ),  (3.15)

D(ρ) ≡ ρ^{2} [\frac{d^{2}}{dρ^{2}} + 1 − U(ρ)] ,  (3.16)

amely reguláris megoldásai a

φ_{l}(0) = 0,  φ_{l}(ρ → ∞) = A_{l}(k) sin(ρ − lπ/2 + δ_{l}(k))  (3.17)

határfeltételek által tartalmazza a kísérleti (spektrális) információt. Ez a mérhető hatáskeresztmetszetből kivonható információ, a {δ_{l}} fázistolás sorozat határozza meg a szimmetrikus input kernelben előforduló c_{l} kifejtési együtthatókat is, amit a következőképpen láthatunk be. Helyettesítsük (3.11)-et (3.10)-be és végezzük el a kínálkozó összevonásokat:

K(ρ, ρ′) = ∑_{l} c_{l}φ̆_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′) − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2}K(ρ, ρ′′) ∑_{l} c_{l}φ̆_{l}(ρ′′)φ̆_{l}(ρ′)

= ∑_{l} c_{l}φ̆_{l}(ρ′) [φ̆_{l}(ρ) − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2}K(ρ, ρ′′)φ̆_{l}(ρ′′)]

≡ ∑_{l} c_{l}φ̆_{l}(ρ′)φ_{l}(ρ).

Itt bevezettük a megoldási hullámfüggvények Povzner-Levitan reprezentációját,

φ_{l}(ρ) = φ̆_{l}(ρ) − ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}K(ρ, ρ′)φ̆_{l}(ρ′),  (3.18)

amelyről még meg kell mutatni, hogy kielégíti (3.15)-öt (ld. következő fejezet).

Az átalakítások révén tehát megkaptuk a potenciált megadó K(ρ, ρ′) output kernel spektrális előállítását:

K(ρ, ρ′) = ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′),  (3.19)

amit a Povzner-Levitan előállításba visszahelyettesítve, kapjuk a fix-energás inverz szórás probléma alapegyenletét, a Newton-Regge egyenletet:

φ_{l}(ρ) = φ̆_{l}(ρ) − ∑_{l′} c_{l′}L_{ll′}(ρ)φ_{l′}(ρ),  (3.20)

ahol L(ρ) a referencia függvényekből előállítható ismert matrix:

L_{ll′}(ρ) ≡ ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}φ̆_{l}(ρ′)φ̆_{l′}(ρ′).

Mármost az inverz probléma megoldási menete a következő.

(i) Az aszimptotikus tartományban (ρ → ∞) a bemenő kísérleti információ felhasználásával megoldjuk a Newton-Regge egyenleteket c_{l}−re. (Valójában c_{l} és A_{l} meghatározása történik az egyenletek valós és imaginárius részének szétválasztása segítségével);

(ii) c_{l}−ek ismeretében, újra a Newton-Regge egyenleteket használva, kiszámítjuk a megoldási függvényeket, φ_{l}(ρ)−ket, a kívánt tetszőleges ρ pontban;

(iii) K(ρ, ρ′) spektrális előállításából kiszámítjuk a transzformációs kernel diagonális részét, amelyből (14) szerint deriválással megkapjuk a keresett inverz potenciált.

Numerikus szempontból az inverz feladatok tipikusan rosszul kondícionáltak. Ezért fontos a kapott inverz potenciálok tesztelése oly módon, hogy elvégezzük velük a direkt szórás számolást is, azaz megoldjuk (15)-öt, s a kapott output fázistolásokat összehasonlítjuk az input fázistolásokkal. Ha egyezést kapunk, megnyugodhatunk: inverz potenciálunk valódi megoldása a feladatnak, és más potenciál nem létezik az egyértelműség miatt. Amennyiben nem kapunk egyezést, a megoldás numerikus pontosságán kell javítanunk, illetve meg kell vizsgálnunk, hogy a bemenő adatsorozatunk eleget tesz-e az egyértelműségi és egzisztencia kritériumoknak (pl. δ_{l} < Cl^{−3−ϵ} ld. később).

Megjegyzendő továbbá, hogy a 80-as évekig valós problémára nem volt használható a módszer. Scheid-nek^{∗} és munkatársainak köszönhető az, hogy manapság már rutinszerűen alkalmazható a (módosított) Newton-Sabatier módszer kísérleti adatok felhasználásával, pl. nehézion ütközésre, elektron atom/molekula ütközésre, s a szórást létrehozó effektív kölcsönhatási potenciál nagy biztonsággal történő meghatározására és elemzésére.

∗ M. Münchow and W. Scheid, Phys.Rev. Letters 44,1299 (1980)

3.4. EGZISZTENCIA ÉS EGYÉRTELMŰSÉG

1) megoldás létezése:

A (10)-es integrálegyenlet kernelje, ρ^{′′−2}g(ρ′′, ρ′) Fredholm osztályba tartozik (folytonos és korlátos), így, ha nincs nemtriviális megoldása a homogén egyenletnek, akkor (10)-nek van megoldása. A korlátosságra elegendő feltétel az, hogy a kernel a Hilbert-Schmidt osztályba tartozzon, azaz

∫_{0}^{R} dr r^{−2} ∫_{0}^{R} dr′ r′^{−2}[g(r, r′)]^{2} = ∑_{ll′} c_{l}c_{l′}[L_{ll′}(R)]^{2} < ∞.

2) egyértelműség:

Sabatier 1966-ben bebizonyította, hogy a Newton módszer egyértelmű megoldást ad, ha a fázistolásokra δ_{l} < Cl^{−3−ϵ} érvényes. (P.C. Sabatier további alapvető vizsgálatokat is végzett Newton fix-energiás inverz módszerével kapcsolatban, ezért nevezik a módszert az irodalomban Newton-Sabatier módszernek.)

A Fredholm alternatíva alkalmazható (vagy egy megoldás van csak és ekkor a homogén egyenletnek csak triviális megoldása van, vagy van több megoldás, de ilyenkor a homogén egyenletnek van nemtriviális megoldása is).

Elegendő tehát bizonyítani, hogy a homogén egyenletnek csak triviális megoldása van. A bizonyítás indirekt: feltesszük, hogy a homogén egyenletnek van nemtriviális megoldása → ellentmondásra jutunk.

Legyen tehát a

ξ(ρ, ρ′) = − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2}ξ(ρ, ρ′′)g(ρ′′, ρ′)  (HGL)

egyenletnek ξ(ρ, ρ′) ≠ 0 nemtriviális megoldása. Ekkor

ξ(ρ, ρ′) = − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2}ξ(ρ, ρ′′) ∑_{l} c_{l}φ̆_{l}(ρ′′)φ̆_{l}(ρ′)

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 3. Inverz szóráselmélet

= ∑_{l} c_{l}[ − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2}ξ(ρ, ρ′′)φ̆_{l}(ρ′′)]φ̆_{l}(ρ′) = ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′),

ahol

φ_{l}(ρ) = − ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}ξ(ρ, ρ′)φ̆_{l}(ρ′)  (∗)

a hullámfüggvény homogén egyenletnek megfelelő PL reprezentációja. Szorozzuk (*)-ot balról ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)−val:

∑_{l} c_{l}φ_{l}^{2}(ρ) = − ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}ξ(ρ, ρ′) ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′)

= − ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}ξ^{2}(ρ, ρ′)

Deriváljuk ezt az összefüggést ρ szerint.

\frac{d}{dρ} ∑_{l} c_{l}φ_{l}^{2}(ρ) = 2 ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ_{l}′(ρ)

= −ρ^{−2}ξ^{2}(ρ, ρ) − 2 ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}ξ(ρ, ρ′)\frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ}.  (′)

Másrészt deriváljuk (*)-ot, szorozzuk be 2c_{l}φ_{l}−lel és összegezzünk: φ_{l}′(ρ) = −ρ^{−2}ξ(ρ, ρ)φ̆_{l}(ρ)

− ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2} \frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ}φ̆_{l}(ρ′),

2 ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ_{l}′(ρ) = −2 ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ)ρ^{−2}ξ(ρ, ρ)

−2 ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2} \frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ} ∑_{l} c_{l}φ_{l}(ρ)φ̆_{l}(ρ′)

= −2ρ^{−2}ξ^{2}(ρ, ρ) − 2 ∫_{0}^{ρ} dρ′ρ′^{−2}ξ(ρ, ρ′)\frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ}.  (′′)

(′) és (′′) akkor lehet csak egyenlő, ha

ξ(ρ, ρ) ≡ 0.

Bizonyítottuk, hogy a megoldás a diagonális K(ρ, ρ)−ra egyértelmű.

Nemdiagonálisra való bizonyításhoz differenciáljuk (HGL)−t ρ szerint:

\frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ} = − ∫_{0}^{ρ} dρ′′ρ′′^{−2} \frac{∂ξ(ρ, ρ′′)}{∂ρ}g(ρ′′, ρ′),  (HGL)

azaz

\frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ}

is megoldása (HGL)−nek, amely ρ → ρ′ limeszben eltűnik az előzőek szerint:

lim_{ρ→ρ′} \frac{∂ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ} = 0.

Újbóli deriválások segítségével belátjuk, hogy az n−edik parciális deriváltja is eltűnik ξ(ρ, ρ′)−nak,

lim_{ρ→ρ′} \frac{∂^{n}ξ(ρ, ρ′)}{∂ρ^{n}} = 0,

amelyből következik a nemdiagonális homogén megoldás eltűnése,

ξ(ρ, ρ′) ≡ 0.

3) Az inverz potenciálra vonatkozó

U = Ŭ − \frac{2}{ρ} \frac{d}{dρ} \frac{K(ρ, ρ)}{ρ}

kifejezés bizonyítása azon alapul, hogy a

ξ(ρ, ρ′) ≡ D(ρ)K(ρ, ρ′) − D̆(ρ′)K(ρ, ρ′)

összefüggés kielégíti (10) homogén változatát, tehát a ξ ≡ 0 kell legyen, azaz

D(ρ)K(ρ, ρ′) = D̆(ρ′)K(ρ, ρ′)

összefüggés érvényes, amelyet ki kell használni a következő pontbeli bizonyításhoz is.

4) A (18) alatti Povzner-Levitan reprezentáció eleget tesz a Schrödinger egyenletnek.

Alkalmazzuk (16)-ot (18)-ra, differenciáljunk, és integráljunk parciálisan, valamint használjuk ki az előző összefüggést. Viszonylagosan egyszerű számolással belátható a tétel. (Részletek megtalálhatók Murányi Ferenc: ^{12}C − ^{12}C rugalmas ütközést leíró nehézion potenciál meghatározása kvantummechanikai inverz szórással c. TDK dolgozatában [BME, 1997].)

3.5. INVERZ KVANTUM SZÓRÁS ÉS A NEMLINEÁRIS EVOLÚCIÓS EGYENLETEK MEGOLDÁSA.

Ebben a fejezetben a nemlineáris parciális differenciálegyenletek egzakt megoldását lehetővé tevő inverz szórás transzformációval (IST) fogunk megismerkedni, amely a Fourier-transzformáció általánosításaként fogható fel.

A nemlineáris evolúciós (elsőrendű parciális időderiváltat tartalmazó) egyenletek analitikus megoldásainak nagy szerepe van a fizikai alkalmazásokban a fizika szinte minden területén. Míg az előző fejezetekben ismertetett inverz kvantum szórás elméletek ’csupán’ a kvantumos rendszerek tulajdonságainak megismeréséhez (ti. a működő effektív kölcsönhatások felderítéséhez) jelentenek eszközt, addig az IST a fizika, biofizika, optika, hidrofizika, hírközlés, távérzékelés, geológia, légkörfizika stb. területén tesz lehetővé fontos alkalmazásokat, ill. különleges jelenségek megértését. Teszi ezt azáltal, hogy segítségével a nemlineáris evolúciós parciális differenciálegyenleteknek olyan megoldásai kereshetők meg, amelyek részecskeszerű tulajdonságokkal rendelkeznek: térben és időben állandó az alakjuk, egyenletes sebességgel terjednek és ütközés után ezt a két tulajdonságukat megőrzik. Az ilyen típusú megoldásokat hívjuk szolitonoknak. A szolitonokat kiválóan lehet használni információ nagy távolsagokra történő gyors továbbítására (üvegszálas technika). Az árapályok által kiváltott, óriási energiát képviselő magányos tengerhullámok keletkezésének, természetének tanulmányozása nemcsak biztonsági szempontból, de gazdasági vonatkozásban is fontos lehet. Ezen hatalmas, akár száz méter magasságot is elérő magányos vízoszlopok erős mélytengeri áramlásokat okoznak, amelyek káros befolyással lehetnek pl. a mélytengeri olajfúrásokra.

Bár ebben a kis összefoglalóban nincs hely az IST alapján kiépíthető szisztematikus eljárás, az Ablowitz-Kaup-Newel-Segur (AKNS) séma ismertetésére, megjegyezzük, hogy ennek segítségével a nemlineáris evolúciós differenciálegyenletek nagy családjának szerkeszthető meg az állandó amplitúdójú haladóhullám megoldása (nemlineáris Schrödinger egyenlet, sine-Gordon egyenlet, Korteweg-deVries egyenlet, ld. fejezetvégi összefoglaló).

3.5.1. Felületi gravitációs (víz)hullámok felfedezése.

1834-ben J. Scott Russel skót hajómérnök érdekes megfigyelést tett. Egy sekély csatornán vontatott hajó hirtelen megállása után a hajó orránál keletkezett vízörvényből egy különös, mintegy 30 láb hosszúságú és 1 - 1 1/2 láb magas vízhullám vált ki és mintegy 8-9 mérföld/óra sebességgel mozgott tovább. Russel lovon követte a vízhullámot több mérföldön át, s annyira lenyűgözte az addig még soha meg nem figyelt jelenség, hogy saját kísérletezésbe kezdett. Több hasonló, állandó alakú hullámot sikerült előállítania. Kísérletezései során megállapította, hogy a vízhullám c sebessége a következő képletből számolható ki: c^{2} = g(h + η), ahol g a gravitációs gyorsulás, h a csatorna mélysége és η a hullám amplitúdója. A magasabb hullámok tehát gyorsabban haladnak.

Bár sokan próbálkoztak a jelenség megértésével (Airy 1845, Stokes 1847, Boussinesq 1871,1876, Rayleigh 1876), a magyarázó egyenlet felállítása csak 1895-ben sikerült D. J. Korteweg és G. de Vries fizikusoknak. Hosszadalmas levezetés után az η = η(x, t) amplitúdó tér és időfüggését illetően a következő parciális differenciálegyenletre jutottak (KdV egyenlet):

\frac{∂η}{dτ} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{h}} \frac{∂}{∂ξ} (\frac{1}{2}η^{2} + \frac{2}{3}αη + \frac{1}{3}σ \frac{∂^{2}η}{∂ξ^{2}} ) ,

ahol α egy egynél jóval kisebb állandó, σ pedig magába sűríti a fizikai állandókat: σ = h^{3}/3 − T h/(ρg), ahol h a csatorna mélysége, T a víz felületi feszültsége, ρ a víz sűrűsége. A fenti evolúciós egyenletben τ jelenti az időt, ξ pedig a helyváltozót. Korteweg és de Vries megmutatta, hogy egyenletüknek létezik haladó hullám (magányos hullám, solitary wave) megoldása, amely csak ξ − cτ kombinációban függ az időtől és helytől. Mielőtt ezt a megoldást felírnánk, célszerű a fenti evolúciós egyenletet dimenzió nélküli alakba átírni, ami a következő transzformációkkal érhető el: t = τ\sqrt{g/(hσ)}/2, x = −ξ/\sqrt{σ}, és u = η/2 + α/3. Ezen transzformációkat használva, kapjuk a KdV egyenletek kanonikus alakját,

u_{t} + 6uu_{x} + u_{xxx} = 0,  (3.21)

amely a legegyszerűbb nemlineáris parciális differenciálegyenlet. Az első tag az időfejlődéssel kapcsolatos, a középső tag felelős a nemlinearitásért, az utolsó tag pedig a diszperziót okozza.

A KdV egyenlet haladóhullámú megoldása a következőképpen írható fel:

u(x, t) = 2κ^{2}sech^{2}{κ(x − 4κ^{2}t − x_{0})},  (3.22)

ahol κ és x_{0} állandók.^{1} Ez tényleg egy állandó alakú, állandó sebességgel tovaterjedő megoldás, és a terjedés sebessége az amplitúdó nagyságával arányos.

A KdV egyenlet a 60-as években került újra előtérbe, amikor vele kapcsolatosan fontos új alkalmazások láttak napvilágot. Így például a réteges hullámok leírására, az ion-akusztikus hullámok természetének felderítésére, a magnetohidrodinamikai hullámok tanulmányozására, vagy a plazmafizika és a rácsdinamika területén alkalmazható a KdV egyenlet.

Réteges folyadékokban létrejövő hullámok leírására több egyenlet is született, s mindegyiknek van stacionárius hullám megoldása. Így ma már jól érthetők a tengereken létrejövő, s a műholdas felvételeken is jól kimutatható ’magányos’ felületi vízhullámok létrejötte, haladása és nagyfokú stabilitása. Apel és Holbrook 1980-ban két napon át mintegy 250 tengeri mérföldön követett egy száz méter magas hullámot a szöuli tengeren. Osborn és Burch a Science tudományos magazin 258-as kötetének 1980-as évfolyamában a 451-460. oldalakon leír száz kilométer hosszú, 5-10 km széles, barázdászerű, félnaponként megjelenő vízhullámokat a szumátrai beltengeren, amelyek kiváltó oka az árapályra vezethető vissza.

E fejezet összefoglalásaként elmondható tehát, hogy a KdV egyenlet alapján értjük ezen magányos hullámképződmények stabilitásának az okát: a nemlinearitási tag amplitúdó erősítő hatását ellensúlyozza a szétfolyást, diszperziót okozó harmadik tag.

3.5.2. Szolitonok felfedezése.

A nemlineáris egyenletek különlegesen stabil megoldásainak felfedezése visszanyúlik az ún. Fermi-Pasta-Ulum (FPU) probléma vizsgálatára. Fermiék 1955-ben szilárdtestek gerjesztéseinek tanulmányozására egy N figyelembe, hogy S ≡ sech(x) = 1/ cosh(x), S′ = − tanh(x)S, tanh′(x) = S^{2}. tömegpontból álló egydimenziós rácsot vettek, amelyben az egymástól h egyensúlyi távolságra levő m tömegű pontok kölcsönhatását az

1 Arról, hogy (3.22) kielégíti (3.21)-et, behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk. Vegyük

F (Δ) = −K(Δ + αΔ^{2})

anharmonikus erőtörvény szabja meg (K a rugóállandó, α egy kis szám, megfelelő dimenzióval, Δ a kitérés). Fermiék azt vizsgálták, miként oszlik el az energia az N darab, végpontokban rögzített (y_{0} = 0, y_{N} = 0) tömegpont között, ha az y(t) amplitúdókra (kitérésekre) vonatkozó kezdeti feltételek

y_{n}(0) = sin \frac{nπ}{N} ,  y_{n,τ} (0) = 0,  n = 0, 1, 2, ..., N.

Ez a kezdeti feltétel a potenciális energia (mω^{2}y^{2}/2) egy sima, de nem egyenletes elosztásnak felel meg. Azt várták, hogy az

mÿ_{n} = F (y_{n+1} − y_{n}) − F (y_{n} − y_{n−1}) =
= −K(y_{n+1} −2y_{n} +y_{n−1})(1+α(y_{n+1} −y_{n−1})),  n = 1, 2, ...N (3.23)

csatolt nemlineáris dinamikai egyenleteket megoldva a tömegpontok mẏ^{2}/2 + mω^{2}y^{2}/2 energiája egyenletesen oszlik el egy bizonyos idő után a nemlinearitást behozó anharmonicitási tag jelenléte miatt (ω = \sqrt{K/m} a sajátfrekvencia). Az N = 32 csatolt nemlineáris másodrendű közönséges differenciálegyenletet megoldva (amely feladathoz külön számítógépet építettek számukra) azonban azt találták, hogy nem osztódott szét az energia a tömegpontok között. Ellenkezőleg, időnként a teljes energia egy-egy rácspontra koncentrálódott, s ez a jelenség végigterjedt a teljes rácson.

A dolog tíz évig pihent, míg a sorozatban gyártott elektronikus számítógépek megjelenésével lehetőség nyílott a modell újraszámolására 1965-ben. Zabusky és Kruskal a FPU modell kontinuum változatát vizsgálta, amelyben a megoldást az y(x, t) amplitúdóra keressük. Dimenziótlan mennyiségekben az FPU probléma a következőképpen írható fel:

y_{tt} = y_{xx} + εy_{x}y_{xx} + \frac{1}{12}h^{2}y_{xxxx} + O(εh^{2}, h^{4}),  (3.24)

ahol ε = 2αh és x = n (most folytonos), t = t′ω (t′ a (3.23)-beli időváltozó, amely szerint a két ponttal jelölt deriválást végeztük). Mivel aszimptotikusan (nagy t−kre) egyirányba haladó hullámokat akartak kapni, megoldásként olyan ϕ(ξ, τ) hullámfüggvényt kerestek, amely csupán ξ = x − t és τ = εt/2 változóktól függ. A megfelelő egyenlet:

ϕ_{ξτ} + ϕ_{ξ}ϕ_{ξξ} + δ^{2}ϕ_{ξξξξ} + O(h^{2}, h^{4}ϵ^{−1}) = 0,

ahol δ^{2} = \frac{1}{12}h^{2}ε^{−1}.

Ez a differenciálegyenlet az u = ϕ_{ξ} transzformációval átmegy az

u_{τ} + uu_{ξ} + δ^{2}u_{ξξξ} = 0  (3.25)

differenciálegyenletbe, amely ekvivalens a KdV egyenlettel. A kezdeti feltétel most u(ξ, 0) = cos(πξ). A megoldás során azt tapasztalták, hogy δ = 0.022 esetén a u(ξ, τ) már majdnem (Dirac-δ–szerű) szingularitásba fejlődik, amikor a diszperziót okozó δ^{2}-es tag felerősödik és ez megakadályozza a szingularitás kifejlődését. Ehelyett u nyolc különálló magányos hullámra bomlik, melyek amplitúdója különböző. Amikor a gyorsabb haladású nagyobb amplitúdójú hullám utoléri a kisebb amplitúdójú hullámot, az áthaladás (ütközés) nem viseli meg a hullámokat, azok változatlan alakban jelennek meg az ütközés lefolyása után, legfeljebb egymástól való távolságukban különbözhetnek (fázistolás). Ezért, az ilyen egyedi, alakjukat megőrző hullámok megjelölésére vezette be Zabusky és Kruskal a szoliton megjelölést, emlékeztetve a részecskék rugalmas ütközéséhez hasonló jellegzetességekre.

A szolitonok tehát nemlineáris evolúciós parciális differenciálegyenletek olyan megoldásai, amelyek térben és időben stabilak, részecske tulajdonságokat mutatnak. Ezen első, meglepő szoliton megoldást követően a fizika számos területén sikerült a nemlineáris parciális differenciálegyenleteknek hasonló megoldásait megtalálni. Az a sejtés, hogy létezik egy ős (master) nemlineáris evolúciós egyenlet, amelyből az összes nemlineáris egyenlet ismert (és még nem ismert) szoliton típusú analitikus megoldása leszármaztatható. Jelenleg az önduális Yang-Mills egyenleteket sejtik az ősegyenlet reprezentánsának, amelyből tehát minden nemlineáris evolúciós differenciálegyenlet szoliton megoldása leszármaztatható lenne.

3.5.3. Fourier transzformáció.

Említettük, hogy a nemlineáris evolúciós differenciálegyenletek szoliton típusú megoldásait lehetővé tevő inverz szórás transzformáció (IST) a Fourier transzformáció nem triviális általánosításának tekinthető. Ezért előbb röviden összefoglaljuk a Fourier transzformáció lényegét, amely a lineáris evolúciós egyenletek kezdeti érték feladat típusú általános megoldási sémája.

Legyen ugyanis egy tetszőleges lineáris evolúciós egyenlet a következő formában megadva:

u_{t} = L(x, t, u(x, t), u_{x}(x, t), ...),  (3.26)

ahol az L lineáris operátor a független váltózóktól az u megoldástól és ezek deriváltjaitól függhet. A feladat az, hogy keressük meg a (3.26)-ot kielégítő u(x, t) megoldást, ha az u(x, 0) = f(x) kezdeti feltétel adott (feltesszük, hogy f(|x| → ∞) = 0).

A Fourier transzformációs módszer alapját az adja meg, hogy tetszőleges függvény Fourier sorba fejthető,

u(x, t) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} û(k, ω)e^{i(kx−ωt)}dkdω,  (3.27)

ahol a kifejtési együtthatókat az

û(k, ω) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} u(x, t)e^{−i(kx−ωt)}dxdt

képletekből számolhatjuk ki. Egymásba helyettesítéssel, és az integrálások felcserélésével Dirac-delta függvényeket kapunk, amelyekre a maradék integrálásokat elvégezve, azonosságot nyerünk.

Tekintsük most a keresett u(x, t) megoldás Fourier transzformáltját a következő formában

u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} û(k, t)e^{ikx}dk,  (3.28)

ahol

û(k, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} u(x, t)e^{−ikx}dx.

Vegyük most (3.26) Fourier transzformáltját:

û_{t}(k, t) = −iω(k)û(k, t),  (3.29)

ahol a jobboldalon felhasználtuk a diszperziós összefüggést, amely a lineáris differenciálegyenletet jellemzi (s megkaphatjuk (3.27) (3.26)-ba való helyettesítésével). Ez az egyenlet adja meg a transzformált térben (k-térben) a megoldás időfüggését:

û(k, t) = û(k, 0)e^{−iω(k)t},  (3.30)

ahol û(k, 0)-at a kezdeti feltétel egyértelműen meghatározza,

û(k, 0) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} f(x)e^{−ikx}dx ≡ f̂(k).  (3.31)

(30) és (31) (28)-ba való helyettesítésével kapjuk az általános megoldást:

u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} f̂(k)e^{i(kx−ω(k)t)}dk.  (3.32)

Láthatjuk tehát, hogy a megoldás menete a következő:

u(x, 0) = f(x)  \underrightarrow{F T}  û(k, 0) = f̂(k)

↓ û_{t} = −iω(k)û

u(x, t)  \underleftarrow{(F T)^{−1}}  û(k, t)

Fourier transzformáció: Lineáris evolúciós egyenletek megoldási sémája.

Lineáris probléma esetén a megoldást a diszperziós reláció egyértelműen meghatározza, ezért az ω = ω(k) összefüggés a lineáris evolúciós egyenletek legfontosabb jellemzője. Ennek segítségével definiáljuk a fázis sebességet: v_{ph} = \frac{ω(k)}{k}, valamint a csoport sebességet: v_{gr} = ω′(k). Amennyiben v_{ph} ≠ v_{gr}, a lineáris rendszer diszperzív, benne különböző sebességű elemi módusok léteznek. Ekkor a kezdetben lokalizált megoldás idővel szétfolyik, elenyészik, diszpergálódik.

Általános esetben a diszperziós reláció lehet komplex is: ω = ω_{R} + iω_{I}. Amennyiben ω_{I} = 0, a lineáris rendszer stabil (konzervatív). Amennyiben ω_{I} > 0, a lineáris rendszer instabil. Ha ω_{I} < 0, a lineáris rendszer disszipatív.

A hullámegyenlet

u_{tt} − u_{xx} = 0 ⟺ −ω^{2} + k^{2} = 0 → ω = ±k, v_{ph} = v_{gr} = ±1,

stabil, nem diszperzív.

A Schrödinger egyenlet, szabad mozgás esetén,

iu_{t} = −u_{xx} ⟺ ω = k^{2} → v_{ph} = k, v_{gr} = 2k,

stabil, diszperzív.

A diffúzió (hővezetés) egyenlete

u_{t} = u_{xx} ⟺ −iω = −k^{2} → ω = −ik^{2}, v_{ph} ≠ v_{gr},

diszperzív, disszipatív.

A linearizált KdV egyenlet

u_{t} + u_{xxx} = 0 ⟺ −iω + (ik)^{3} → ω = −k^{3}, v_{ph} ≠ v_{gr},

diszperzív, stabil.

3.5.4. Inverz szórás transzformáció.

Miután Kruskal és Zabusky oly szépen visszavezette a rácsrezgések problémáját a nemlineáris felületi hullámjelenségek problémájára, és a numerikus megoldás közben különlegesen stabil megoldás sorozatokat (szolitonokat) talált, szükségesnek mutatkozott eredményeik analitikus oldalról való alátámasztása is.

Ezt a munkát Gardner, Green, Kruskal és Miura végezte el 1967ben (Phys. Rev. Letters 19, p.1095). Eredményük egy olyan összefüggésen alapult, amely két differenciálegyenlet megoldásai között állt fenn. Ahhoz, hogy a két nemlineáris differenciálegyenlet a ψ(x, t) közös megoldással rendelkezzen, a közös megoldásnak kompatibilitási feltételnek kell eleget tenni, amely a parciális deriváltak felcserélhetőségét jelenti: ψ_{xxt} = ψ_{txx}. E feltétel kielégítése azt eredményezte, hogy a KdV egyenlet szétesett két lineáris differenciál egyenletre. Az egyik egyenlet az időfüggetlen Schrödinger sajátérték problémának felelt meg, a másik egyenlet az időfejlődést tartalmazta. Az első egyenletben, az időfüggetlen Schrödinger egyenletben az adott kezdeti feltétel, u(x, 0) játssza a potenciál szerepét, fix időparaméter mellett, a dinamikai változó az x koordináta. Ennek a ’potenciál’ problémának egyértelműen megfelelnek a sajátértékek, csak meg kell oldani a Schrödinger egyenletet (direkt szórás) a diszkrét és folytonos sajátértékekre. Ezt a spektrumot S(λ, 0)−val jelölve, felhasználhatjuk a másik egyenletet az x → ±∞ limitben arra, hogy időfejlődést adjunk a spektrál paramétereknek. Az így kapott S(λ, t) spektrál adatokat pedig a Gel’fand-Levitan-Marchenko egyenlettel inverz transzformáljuk az u(x, t) potenciállá, ami a keresett megoldás. Az egész eljárás hasonlít a Fourier transzformációs módszerre, de lényeges szerepe van a kvantummechanikai direkt és inverz szórás problémának, ezért nevezték Kruskalék eljárásukat inverz szórás transzformációnak (IST).

Láthatjuk tehát, hogy a nemlineáris evolúciós differenciálegyenletek megoldási menete a következő:

u(x, 0)  \underrightarrow{DS (Schr.egyenlet)}  S(λ, 0)

t − fejlesztés ↓

u(x, t)  \underleftarrow{IS (GLM egyenlet)}  S(λ, t)

IST: nemlineáris evolúciós egyenletek megoldási sémája (S ≡ {En, Rn = 0, Tn}).

Mivel a spektrál adatok időfejlesztését szolgáló egyenlet általában egyszerű, traszparens potenciál (reflexiós együttható=0) esetén a GLM egyenlet egyszerűvé válik, az IST probléma analitikusan is megoldható. A KdV egyenlet esetén azon megoldások, amelyekben a reflexiós együtthatót zérusnak választjuk, N szoliton megoldást mutatnak, amint t → ±∞ :

u_{n}(x, t) = 2κ_{n}^{2}sech^{2}{κ_{n}(x − 4κ_{n}^{2}t − x_{n})},  (3.33)

ahol κ_{n} a kötött állapotokkal van kapcsolatban, x_{n} pedig a kötött állapotok normálási állandóinak felelnek meg.

A szolitonok tehát olyan kezdeti feltétellel kapcsolatosak, amelyeket potenciálként betéve a Schrődinger egyenletbe, átlátszónak, transzparensnek bizonyulnak szórás szempontjából (zérus fázistolást produkálnak). A szolitonok száma egyértelmű kapcsolatban áll az u(x, 0) kezdeti feltétel (potenciál) által meghatározott kötött állapotok számával, az amplitúdó és sebesség pedig a kötött állapotok energiaértékével.

Pl. az általános két szoliton megoldása a KdV egyenletnek a következő:

u(x, t) = 12 \{\frac{3 + 4 cosh(2x − 8t) + cosh(4x − 64t)}{[3 cosh(x − 28t) + cosh(3x − 36t)]^{2}}\} .

Véve a t → ±∞ határátmenetet, kapjuk:

u(x, t) ∼ 2sech^{2}(η ± \frac{1}{2} ln 3) + 8sech^{2}(2ξ ∓ \frac{1}{2} ln 3),

ahol ξ = x − 16t és η = x − 4t.

Az IST matematikai tartalmát teljes mélységben Lax Péter tárta fel 1968-ban. Általánosítása utat mutatott egy későbbi séma felállítására (AKNS-eljárás, ld. fejezet eleje), amely segítségével végtelen sok nemlineáris evolúciós egyenlet megoldható analitikusan.

Lax Péter formalizmusa a következő (P. Lax, Comm. Pure and Appl. Math. 21,467 (1968)). Tekintsük az L és M lineáris operátorokat, amelyek közül L a spektrál probléma operátora, M pedig a sajátfüggvény időfejlődését irányítja:

Lv = λv,  (3.34)
v_{t} = Mv.  (3.35)

Vegyük (34) időderiváltját:

L_{t}v + Lv_{t} = λ_{t}v + λv_{t}.

Felhasználva (35)-öt, majd (34)-et, ez a következőképpen is írható:

L_{t}v + LMv = λ_{t}v + λMv
= λ_{t}v + Mλv
= λ_{t}v + MLv.

Azt kaptuk, hogy

[L_{t} + (LM − ML)]v = λ_{t}v,

s ezért, ahhoz, hogy nemtriviális v(x, t) sajátfüggvényt kapjunk megoldásként, szükséges az, hogy λ_{t} = 0 legyen, azaz

L_{t} = [M, L].  (3.36)

Ez a Lax egyenlet, az L és M operátorokat Lax-párnak hívjuk.

Az

L = ∂_{xx} + u, M = u_{x} − (4λ + 2u)∂_{x}

választással (36) a KdV egyenletre vezet. (Kihasználandó a v_{xxt} = v_{txx} kompatibilitási feltétel.) L és M más választásával más parciális differenciálegyenletre jutunk, amit az IST-vel megoldhatunk.

A fizikában alkalmazást nyert és IST-vel megoldható legfontosabb nemlineáris egyenletek a következők:

u_{t} + 6uu_{x} + u_{xxx} = 0,

a KdV egyenlet, amit a hidrodinamikában és plazmafizikában használnak (ld. Phys.Rev. Letters 17, 996 (1966));

u_{tt} − u_{xx} + κ sin(u) = 0, κ = konst.

a sine-Gordon egyenlet, amit az optikában [önindukált veszteség nélküli terjedés (ld. J.Math. Phys 9,1202 (1969), J. Quan. EI.IEEE, QE1, 169 (1965)), a szilárdtest fizikában és kvantumtérelméletben használnak (ld. Phys.Rev D 10, 4114; 11, 3424; 12, 2443 (1974,1975), Theoret. Mat.Phys 25, 1039 (1975)) használnak; és

iu_{t} + u_{xx} + κu^{2}u^{∗} = 0,

a nemlineáris Schrödinger egyenlet, amit az optikában (hullámvezető, ld. Hasegawa: Optical solitons in fibers (Springer, Berlin, 1989)), plazmafizikában (Zakharov, Zsetf. 62, 1745 (1972)), biológiában (Davydov-szolitonok, Physica 3D 1 & 2 , 1 (1981)), valamint a hidrodinamikában (Sov. Phys. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 4, 190 (1968)) alkalmaznak.

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 4. Tört statisztikák, bármionok

4. TÖRT STATISZTIKÁK, BÁRMIONOK

Kvantummechanikai és statisztikus mechanikai tanulmányaink során az azonos részecskék megkülönböztethetetlenségének elvét kizárólag kvantumrendszerek sajátosságaként vezettük be. Klasszikusan a részecskéket megkülönböztethetőknek tekintettük. A 70-es évek során azonban számos szerző [1] [2] hangsúlyozta, hogy az azonos részecskék megkülönböztethetetlenségének elvét már a klasszikus mechanika keretein belül is használnunk kellene. A fent említett szerzők a Gibbs-paradoxon [1–3] elemzése kapcsán kimutatták, hogy a fenti elv klasszikus mechanikában történő alkalmazása nélkülözhetetlen feltétele a sokrészecske rendszerek konzisztens leírásának. Ezek a munkák azonban észrevétlenek maradtak a 80-as évek derekáig, mikoris a fizikusok figyelme a kétdimenziós rendszerek statisztikus mechanikájára irányult. A fent említett és más szerzők munkáit újrafelfedezve kiderült, hogy a kétdimenziós kvantummechanikai sokrészecske rendszerek ”egzotikus” kvantumstatisztikákkal írhatók le. Ezen rendszereket alkotó részecskék se nem fermionok (Fermi- Dirac statisztika), se nem bozonok (Bose-Einstein statisztika). Frank Wilczek [4] ezeket a különc statisztikájú részecskéket bármionok-nak (angolul anyon) nevezte el.

Ebben a fejezetben újratárgyaljuk az azonos részecskék kvantummechanikai leírásával kapcsolatos ismereteinket. Az azonos részecskék megkülönböztethetetlenségének elvét már a megfelelő klasszikus rendszerre alkalmazzuk. Megvizsgáljuk ezen klasszikus rendszer konfigurációs terének nemtriviális topológiai tulajdonságait. Elvégezzük a klasszikus rendszer kvantálását. Ehhez meg kell találnunk a rendszer lehetséges állapotait jellemző ψ hullámfüggvényt. Kvantummechanikai tanulmányaink alapján azt várnánk, hogy ψ a teljes Q konfigurációs téren értelmezett komplex értékű reguláris függvény lesz, azaz ψ : Q → C, ψ ∈ H ahol H a reguláris függvények alkotta Hilbert tér. Ezt az elvárásunkat a szokásos klasszikus mechanikai rendszerek (harmonikus oszcillátor, H-atom stb.) kvantálása során szerzett tapasztalatunk is sugallja. Csakhogy mindezekben a példákban a konfigurációs tér R^{n} (n = 1, 3) volt, ami topológiai szempontból triviális. Q nemtriviális tulajdonságai esetén azonban a hullámfüggény naiv fogalmát általánosítanunk kell. Vizsgálataink során megmutatjuk, hogy az a tény, hogy kétdimenziós rendszerek esetén részecskéink egzotikus statisztikáknak (bármionok) is engedelmeskedhetnek, a Q-n létező nemtriviális kvantálásoknak köszönhető.

4.1. A KONFIGURÁCIÓS TÉR

Tekintsünk N darab R^{d}-ben mozgó szabad klasszikus részecskét! (d a tér dimenziója.) A konfigurációs tér ekkor

M ≡ R^{d} × R^{d} × … R^{d} = R^{dN}.  (4.1)

Legyen x a konfigurációs tér egy pontja, azaz x ∈ M, x ≡ (x_{1}, …, x_{N}). Itt x_{i} i = 1, …, N d komponensű vektorok. A bennünket érdeklő konfigurációs tér azonban nem ez, hanem N darab R^{d}-ben mozgó azonos részecske konfigurációs tere. Azonos részek esetén a fenti részecskeindexek bevezetése zavaró, hiszen azonos részecskék esetén ezek nem megfigyelhető mennyiségek. Más szavakkal: a részecskeindexeket bárhogyan is permutáljuk, ugyanazt a konfigurációt kapjuk. Legyen p az N elem egy permutációja. Természetesen p ∈ S_{N} ahol S_{N} az N! elemű permutációs csoport. Legyen továbbá p(x) ≡ (x_{p(1)}, …, x_{p(N)}), ahol x ∈ M. S_{N} ily módon mint M transzformációcsoportja is hat. Matematikai szempontból azonos részek bevezetése ekvivalens azzal, hogy M azon x és x′ pontjait azonosítjuk melyekre x′ = p(x).

A fenti azonosítás egy ekvivalenciareláció, képezhetjük tehát a megfelelő ekvivalenciaosztályokat melyeket az M/S_{N} szimbólummal fogunk jelölni. A konfigurációs tér Q tehát

Q ≡ M/S_{N} = R^{dN}/S_{N}.  (4.2)

Q tehát a valódi konfigurációs tér. Ezt a topológiai objektumot kell minden elméleti fejtegetésünk kiindulópontjául választani.

A konfigurációs tér szerkezetének illusztrálása céljából célszerű a tömegközéppont mozgását leválasztani. Legyen X ≡ \frac{1}{N} ∑_{i=1}^{N} x_{i} a tömegközéppont koordinátája. Ez a mennyiség a részecskeindexek permutálására nézve változatlan marad s így

Q = R^{d} × R^{d(N−1)}/S_{N} ≡ R^{d} × Q^{rel},  (4.3)

ahol Q^{rel} a relatív konfigurációs tér.

Tekintsük példaként két azonos részecske konfigurációs terét. Ekkor N = 2 és így Q^{rel} = R^{d}/S_{2}. A tömegközéppont koordinátája X = \frac{1}{2}(x_{1} +x_{2}), míg a relatív koordináta x = x_{1} − x_{2}.

4.1. ábra

A permutációs csoport (S_{2}) hatása R^{d}-n egyszerű: azonosítani kell x-et −x-szel. Természetesen az x = 0 pont speciális pont, itt a két részecske ”egybeesik”.

N = 2, d = 1, két részecske egy egyenesen. Könnyen láthatjuk (lásd 4.1. ábra), hogy Q^{rel} nem más mint a valós félegyenes.

N = 2, d = 2, két részecske egy síkban. Az átellenes pontok azonosításával beláthatjuk (4.2. ábra), hogy Q^{rel} = R^{2}/S_{2} egy forgáskúp 30 fokos félnyílásszöggel. Látható, hogy a kúp R^{2}/S_{2} globális tulajdonságai lényegesen különböznek R^{2} tulajdonságaitól.

4.2. ábra

Az előbbi megkülönböztethetetlen az utóbbi megkülönböztethető két részecske konfigurációs terét reprezentálja. Vegyük észre, hogy az x = 0 pont szinguláris pont a kúpon. A későbbiekben ez a tulajdonság fontos szerepet fog játszani.

N = 2, d = 3, két részecske egy síkban. Könnyen belátható, hogy

Q^{rel} = R^{3}/S_{2} = {x ≡ (x, y, z)|z ≥ 0,
(x, y, 0) ∼ (−x, −y, 0)} = R_{0}^{+} × P_{2},  (4.4)

ahol a ∼ jelölés arra utal, hogy a megfelelő pontokat azonosítanunk kell. Geometriai szempontból (lásd 4.3. ábra) R^{3}/S_{2} a következő módon kapható.

Mivel az átellenes pontokat ismét azonosítanunk kell, ezért elég csak a felső térrészre szorítkozni, azaz z ≥ 0. A felső térrészt felépíthetjük koncentrikus ”félgömbhéjakból”. Az egyes félgömbhéjakra a R_{0}^{+} × P_{2} kifejezésben szereplő ”radiális” R_{0}^{+} jelenléte utal. A félgömbhéj alján levő körív átellenes pontjait az (x, y, 0) ∼ (−x, −y, 0) szabály alapján azonosítani kell.

Így kapjuk a P_{2}-vel jelölt 2 dimenziós valós projektív teret. A későbbiek során látni fogjuk, hogy a két- és háromdimenziós konfigurációs terekre adott fenti két példa topológiai szempontból lényegesen különbözik. Ez a különbség a megfelelő klasszikus dinamikák kvantálásában fellelhető eltérésekben is tükröződni fog.

4.3. ábra

4.2. GLOBÁLIS TULAJDONSÁGOK FELTÉRKÉPEZÉSE PÁRHUZAMOS ELTOLÁSSAL.

Matematikai tanulmányainkból ismeretes, hogy görbült tereken definiálnunk kell azt, hogy mit értünk vektorok ”párhuzamos” eltolásán. Vegyük példaképp a kúpot, mely épp a relatív konfigurációs tér: R^{2}/S_{2}. A kúp egy görbült felület, a szinguláris pontot megközelítő ”intelligens” katicabogár számára ez egyre nyilvánvalóbb. Nem kell azonban a szinguláris pontot megközelítenünk ahhoz, hogy rájöjjünk: görbült felületen vagyunk. Ezt az alábbi módon láthatjuk be. Tudjuk már, hogy a kúp nem más mint R^{2}/S_{2}. Maradhatunk tehát a síkon R^{2}, ahol a vektorok párhuzamos eltolása a szokásos, feltéve ha észben tartjuk, hogy az ”átellenes pontokat” azonosnak kell tekintenünk. Ezért az x(t) és az y(t) = −x(t) görbe ugyanaz a görbe. Következésképp a sebességvektor, v = ẋ, az x pontban ugyanaz lesz mint a w = ẏ = −v a −x pontban. Mindaddig, amíg nem azonosítunk pontokat, a párhuzamos eltolás szabálya egy görbe mentén a szokásos, azonosítás során azonban v előjelet vált. Tehát a kúpon az x-ből −x be tartó út (ez egy zárt görbe) során a párhuzamos eltolás megfordítja a v irányát. Természetesen mindezek a megfontolások R^{d}/S_{2}-re is érvényesek.

Válasszunk most a kúpon egy tetszőleges v(x) vektormezőt. Mivel számításainkat mindig egy bizonyos koordinátarendszerben végezzük, szükségünk lesz a vektormező komponenseire minden x pontban. Bázist kell tehát választanunk. Ekkor

v(x) = ∑_{j=1}^{d} v_{j}(x)e_{j}(x).  (4.5)

Választhatunk például párhuzamosan eltolt bázist, ami az R^{d}-n nevelkedett fizikus számára egy természetes választás. Erről azonban tudjuk, hogy nem egyértékű bázis, hiszen egy zárt görbén körbemenve az e_{j} bázisvektor a görbétől függően vagy előjelet vált, vagy nem. Ez a bázis tehét kétértékű. Mivel v(x) egyértékű, ezért a v_{j}(x) komponensek sem egyértékűek. Választhatunk persze egyértékű bázist is, és ekkor a komponensek is egyértékűek lesznek, ami persze fizikai szempontból kevésbé indokolt. Ennek az alternatívának fontos szerepe lesz majd a későbbiek során, amikor nem vektormezőket, hanem hullámfüggvényeket fogunk a kúpon (vagy általában Q^{rel}-en) tekinteni. Ennek a fejezetnek a lezárásaként megjegyezzük, hogy N darab részecske esetén belátható, hogy a párhuzamosan eltolt bázis N! értékű bázis lesz R^{dN}/S_{N}-en.

4.3. A KONFIGURÁCIÓS TÉR FUNDAMENTÁLIS CSOPORTJA.

Kvantummechanikai tanulmányainkból tudjuk, hogy az azonosság elve olyan hullámfüggvények bevezetését teszi indokolttá, melyek vagy szimmetrikusak (bozonok), vagy antiszimmetrikusak (fermionok) a részecskekoordináták felcserélésével szemben. Mivel a részecskeindexek azonos részek esetén nem megfigyelhető mennyiségek, ezért a fenti (az indexek permutálásán alapuló) leírás redundáns. Ha azonban a valódi konfigurációs teret tekintjük kiindulópontnak, akkor a részecskeindexek cserélgetése helyett a konfigurációs téren tekintett zárt görbék tulajdonságainak vizsgálatát kell elvégeznünk.

Valóban, a kúpon (R^{2}/S_{2}) tekintett zárt görbének R^{2}-n egy olyan nyílt görbe is megfelelhet, mely az x és a −x pontokat köti össze. Mivel x épp a két részecske, relatív koordinátája, ezért x = x_{1} − x_{2} miatt ez a nyílt görbe a két részecske folytonosan végrehajtott cseréjének felel meg. Levonhatjuk tehát a következtetést a konfigurációs téren tekintett zárt görbék vizsgálata alapvető fontosságú szerepet játszik a részecske statisztikák értelmezésében.

A konfigurácios tér zárt görbéi valójában a kör (S^{1}) f : S^{1} → Q leképezései. Másszóval

f : [0, 1] → Q; f(0) = f(1).  (4.6)

Két zárt görbét homotópnak hívunk ha az egyiket folytonosan át tudjuk deformálni a másikba. Először egy rögzített alapponton átmenő görbét vizsgálunk. Vegyük észre, hogy ha a zárt görbénk parametrizálását folytonosan megváltoztatjuk, akkor már egy új görbét kapunk, mely természetesen homotóp az eredetivel. A homotópia a zárt görbék halmazán egy ekvivalenciarelációt definiál. Ez a reláció páronként diszjunkt ekvialencia osztályokra bontja a görbék halmazát. Ezeket az osztályokat rögzített q ∈ Q alapponton átmenő zárt görbék homotópia osztályai-nak nevezzük.

Két zárt görbe f és g szorzatát az alábbi módon definiáljuk

(f · g)(t) = \{ \begin{matrix}f(2t), & for 0 ≤ t ≤ \frac{1}{2}, \\ g(2t − 1), & for \frac{1}{2} ≤ t ≤ 1 \end{matrix} ,  (4.7)

azaz először f-en, majd pedig g-n megyünk végig. Görbénk inverzét az f^{−1}(t) = f(1 − t) egyenlőséggel definiáljuk, míg az egyetlen pontból álló triviális görbét az e(t) ≡ q ∀t módon értelmezzük. Azt gondolhatnánk, hogy a fent definiált szorzással egy csoport-struktúrát definiáltunk a zárt görbék halmazán. Ez azonban nem igaz, hiszen például f·f^{−1} ≠ f^{−1}·f, tekintettel arra, hogy a bal és jobb oldal parametrizálása különböző. Hasonló okok miatt nem teljesül a szorzás asszociativitása sem. Könnyen beláthatjuk azonban, hogy a homotópia osztályok halmazán az [f] · [g] ≡ [f · g] módon értelmezett osztályszorzás már egy csoport-struktúrát definiál. Itt [f] az f homotópiaosztályát jelöli. Az így definiált csoportot q-beli fundamentális csoportnak nevezzük, és a π_{1}(Q, q) szimbólummal jelöljük.

Ha Q ívszerűen összefüggő, akkor bármely két q_{1} és q_{2} pontra létezik egy őket összekötő c : [0, 1] → Q, c(0) = q_{1}, c(1) = q_{2} görbe, míg c^{−1} ugyanígy összeköti őket fordított sorrendben. Ha f egy zárt görbe q_{2}-n át, akkor c·f ·c^{−1} egy zárt görbe q_{1}-n át. A fenti c görbe felhasználásával megmutatható, hogy ∀q_{1}, q_{2}-re π_{1}(Q, q_{1}) izomorf π_{1}(Q, q_{2})-vel. Létezik tehát egyetlen olyan fundamentális csoport, melynek a ∀q ∈ Qbeli fundamentális csoportok izomorf kópiái. Ezt a csoportot Q első homotópia csoportjának, vagy fundamentális csoportjának nevezzük, és a π_{1}(Q) szimbólummal jelöljük. Azt a topológikus teret, melyre π_{1}(Q) = 0 (minden zárt görbe Q-n egy pontba húzható össze), egyszeresen összefüggőnek nevezzük. (A 0 szimbólum itt most arra utal, hogy a csoport csak az identitás elemből áll.)

Mindezek után minden készen áll arra, hogy a Q = R^{dN}/S_{N} (vagy a Q^{rel} = R^{d(N−1)}/S_{N}) konfigurációs tér fundamentális csoportját megvizsgáljuk. d = N = 2 esetén (kúp) a 4.4. ábrán látható C_{1} görbe ugyan átdeformálható a C_{2} görbébe, de ennek a során a szinguláris ponton át kell mennünk. Mivel a C_{1} görbe mentén történő parallel transzport során a v vektor nem vált előjelet, míg a C_{2} mentén igen, ezért a szinguláris pontban a párhuzamos eltolás nem egyértelmű. A természetes megoldás az, hogy ezt a szinguláris pontot egyszerűen kizárjuk a konfigurációs térből.

4.4. ábra

Ezáltal Q többszörösen összefüggővé vált, a kúp körül különböző csavarodási számú zárt görbék ugyanis már nem deformálhatók folytonosan egymásba.

Hasonló érvelés mutatja, hogy R^{dN}/S_{N} a szinguláris pontok kizárása után többszörösen összefüggő lesz. Tekintsük ugyanis R^{dN}- et. Szinguláris pontok akkor keletkeznek, ha két részecske koordinátái megegyeznek. Jelöljük ezen pontok halmazát D-vel! Ezeket a pontokat célszerű már az azonosítás előtt kivágnunk R^{dN}-ből. Az így kapott tér R^{dN} − D. Ha S_{N} segítségével elvégezzük az azonosításokat Q ≡ (R^{dN} − D)/S_{N}-et kapjuk, mely épp a konfigurációs tér a szinguláris pontok kizárása után. Meg kell tehát mutatnunk, hogy π_{1}(Q) ≠ 0, illetve meg szeretnénk tudni azt is, hogy mi ez a csoport. Látni fogjuk, hogy π_{1}(Q), lényegesen más ha d = 2, illetve ha d > 2. Ez az a tulajdonság mely lehetővé teszi azt, hogy két dimenzióban egzotikus statisztikák is létezhessenek. Visszatérve R^{dN} −D-re, könnyen beláthatjuk, hogy az d > 2-re egyszeresen összefüggő, míg d = 2-re nem az! Ehhez csak azt kell meggondolnunk, hogy R^{dN} − D létrehozásakor csak pontokat hagytunk ki R^{dN}-ből. Kétdimenzióban ezen pontok körüli zárt görbék nem, ennél nagyobb dimenziókban viszont már összehúzhatók egy pontba folytonos deformációval. Tekintsük először a d > 2 esetet. Minden Q-beli zárt görbét R^{dN} − D-beli görbékből kaphatunk meg. Ezek lehetnek nyíltak és zártak. (Gondoljunk R^{2} −Dre és a ”csúcsától megfosztott” kúpra (R^{2} − D)/S_{2}-re. Itt egy adott x ponton átmenő zárt görbe és az ebből −x be tartó nyílt görbe a kúpon zárt görbéknek felel meg.) Nézzük először azon Q-beli zárt görbéket, melyek R^{dN} − D-beli zárt görbékből kaphatók meg. Mivel d > 2 esetén ezek egy pontba folytonos deformációval összehúzhatók, ezért a megfelelő Q-beli zárt görbék úgyszintén. Ezért Q-n minden nemtriviális homotópiaosztályba tartozó zárt görbét már csak R^{dN} − Dbeli nyílt görbékből kaphatunk meg. Vegyük észre továbbá, hogy S_{N} R^{dN} − D-en effektíven hat (ez azt jelenti, hogy az egység elemen kívül nincsen olyan S_{N}-beli elem, mely R^{dN} − D minden pontját békén hagyja). Ebből az következik, hogy R^{dN} − D azon pontjai, melyek Q ugyanazon pontjainak felelnek meg, egy-egy értelmű megfeleltetésben vannak S_{N} elemeivel. Ez azt jelenti, hogy azon különböző végpontú nyílt görbék, melyek ugyanazon kezdőpontból indulnak ki, Q-ban különböző homotópiaosztályokba tartozó zárt görbéknek felelnek meg. Ezeket az osztályokat továbbá egy-egy értelműen megfeleltethetjük S_{N} elemeinek. Azt kaptuk tehát, hogy

π_{1}(Q) ≡ π_{1}((R^{dN} − D)/S_{N}) = S_{N}, ha d > 2,  (4.8)

tehát π_{1}(Q) egy véges (N! elemű) diszkrét csoport. Például a 3. ábrán látható C és C′ görbék különböző homotópiaosztályokba tartoznak. Több osztály nincs is, hiszen C^{2} homotópiaosztálya triviális, ez a görbe ugyanis folytonosan egy pontba összehúzható. (Az egy pontba történő folytonos deformáció egy közbülső állomását a C^{2}-vel homotóp C_{3} görbe szemlélteti.) Azt kaptuk tehát, hogy π_{1}(R^{3}/S_{2}) = Z_{2} ≡ S_{2}, ahogy ennek lennie is kell. (Z_{2} a másodrendű ciklikus csoport.)

Mi a helyzet kétdimenzióban? Ekkor R^{dN} − D nem egyszeresen összefüggő és π_{1}(Q) egy végtelen elemű diszkrét csoport, melyet az irodalomban fonatcsoportnak nevezünk. Ezt a csoportot az alábbi módon jellemezhetjük. N darab részecske esetén tekintsünk N görbét a háromdimenziós térben (két térdimenzió egy pedig a görbék parametrizálásával kapcsolatos, gondolhatunk például az időre melynek során a részecskék cseréje megtörténik). Elképzelhetünk például egy olyan N rugóból álló expandert, melynek rugói nem feltétlenül párhuzamosak, hanem ”összekuszáltak” is lehetnek (4. 5. ábra). Ha az időt szimbolizáló paraméter az ábra aljától a felső része ”irányába” telik, akkor a végállapot a részecskék egy lehetséges permutációjának felel meg. Egy ilyen ”expander”-t a továbbiakban fonatnak fogunk nevezni.

A fonatokat azonosaknak tekintjük, ha őket egymásba folytonos deformációval átvihetjük. (Az expander rugóit addig rendezgetjük, amíg a másik expanderrel tökéletesen azonos elrendezést nem kapunk.) Két fonatot össze is szorozhatunk, az alábbi módon.

4. 5. ábra

Az első fonat végpontját a másik kezdőpontjához illesztve a két fonatot ”összevarrjuk” (4. 6. ábra).

(A két expanderből egyet csinálunk olymódon, hogy a megfelelő rugókat összecsatlakoztatjuk.) A csoportstruktúra definiálásához szükséges egységelem az a fonat, mely a közönséges expanderre emlékeztet, párhuzamosan álló rugókkal (4. 7. ábra).

4. 6. ábra

Az inverz definíciója is kézenfekvő, ez ugyanis az a fonat melyet az eredeti

fonattal történő összevarrás után folytonosan az egységelembe deformálhatunk. Nyilván a fentiekben értelmezett szorzás asszociatív is (teljesen mindegy, milyen sorrendben kombinálunk össze három expandert),

4. 7. ábra

tehát tényleg egy csoport-struktúrát kaptunk. A fentiekben bevezetett fonatcsoport egy hasznos és rövid jellemzését kaphatjuk a σ_{i}, i = 1, 2 … N − 1 szomszédcserék fogalmának bevezetésével.

σ_{i} az expander i-edik rugójának végpontját megcseréli az i + 1-dik végpontjával olymódon, hogy az iedik rugó az i + 1-dik fölött marad (4. 8. ábra).

4. 8. ábra

σ_{i}^{−1} ugyanezt a cserét végzi el, de úgy, hogy az i-edik rugó most az i + 1-dik alatt marad (4 9. ábra). Minden fonat előállítható szomszédcserék egymást követő sorozataként.

4. 9. ábra

Tekintsük a σ_{i}σ_{i+1}σ_{i} és a σ_{i+1}σ_{i}σ_{i+1} fonatokat (4. 10. ábra). Könnyen belátható, hogy ez a két fonat egymásba deformálható, tehát σ_{i}σ_{i+1}σ_{i} = σ_{i+1}σ_{i}σ_{i+1}. Megmutatható [5], hogy a fonatcsoportot az e, σ_{1}, σ_{2}, … σ_{N−1} generátorok megadásával (e az egységelem), és az azok közötti

4. 10. ábra

σ_{i}σ_{i+1}σ_{i} = σ_{i+1}σ_{i}σ_{i+1},  (4.9a)
σ_{i}σ_{j} = σ_{j}σ_{i}, |i − j| ≥ 2  (4.9b)

relációkkal kimerítően jellemezhetjük. A továbbiakban az N ”rugóból” álló fonatcsoportot B_{N}-nel fogjuk jelölni.

Hátra van még a fonatcsoport (B_{N}) és a permutációcsoport (S_{N}) közötti különbség tisztázása. Könnyen belátható ugyanis, hogy ha most e, σ_{1}, σ_{2}, … σ_{N−1} N egymást követő elem közönséges szomszédcseréit jelenti, akkor a (4.9a,b) relációk ismét teljesülnek. Mivel minden permutáció felírható egymást követő szomszédcserék szorzataként, azt várnánk, hogy a (4.9a,b) relációk S_{N}-et is jellemzik. Természetesen nem ez a helyzet, ugyanis a permutációkra tudjuk, hogy két egymást követő σ_{i} szomszédcsere az egységelemet adja, azaz

σ_{i}^{2} = e.  (4.10)

Ez a reláció fonatokra természetesen nem teljesül amint ezt a 4. 11. ábra is mutatja. (Az egymásba gubancolódott rugókat nem tudjuk a rugók elszakítása nélkül kibogózni!)

Összefoglalva: B_{N}-t a (4.9a,b), S_{N}- t a (4.9a,b) és a (4.10) relációk jellemzik. Ez az ”apró” eltérés drámai különbségekre vezet. S_{N} egy véges (N!) míg B_{N} egy végtelen elemű diszkrét csoport.

4. 11. ábra

Tisztáztuk már, hogy a részecskeindexek permutálásán alapuló szemlélet helyett célszerű a Q konfigurációs tér homotópiacsoportjának a vizsgálatán alapuló szemléletet elsajátítanunk. Ez a szemlélet arra tanított meg bennünket, hogy kétdimenzióban π_{1}(Q) szerkezete gyökeresen más. Nevezetesen

π_{1}(Q) = \{ \begin{matrix}B_{N}, & ha d = 2, \\ S_{N}, & ha d > 2. \end{matrix}  (4.11)

Láttuk azt is, hogy a B_{N} és S_{N} közötti különbség a (4.10) relációban rejlik. Ha a részecskék cseréjén alapuló képben gondolkodunk akkor σ_{i} az i-dik és az i + 1-dik részecske az óramutató járásával ellentétes, σ_{i}^{−1} pedig az óramutató járásával azonos körüljárási irányú cseréjének, felel meg. A megfelelő két zárt görbét a 4. 12. ábrán láthatjuk. Ha D > 2, akkor nyilván

σ_{i}^{−1} ∼ σ_{i} (σ_{i}^{2} ∼ e), hiszen a két görbét egymásba tudjuk deformálni azáltal, hogy az egyiket a lap síkjából 180 fokkal kifordítjuk, és ezzel a körüljárási irányt megváltoztatjuk. Ha D = 2 akkor az ”extra” harmadik dimenzió híján ezt a kiforgatást nem tudjuk megtenni, ezért a (4.10) reláció nem teljesül.

4. 12. ábra

4.4. KVANTÁLÁS

Az előző fejezetek során láttuk, hogy Q nemtriviális globális tulajdonságokkal rendelkező (nem egyszeresen összefüggő) görbült tér. Az ilyen tulajdonságú tereken a fizikai rendszer állapotait leíró hullámfüggvények definiálása nem triviális feladat. Ahhoz, hogy ezt belássuk szeretnénk emlékeztetni arra, hogy a fizikai információ nem a hullámfüggvényben, hanem annak abszolútérték négyzetében |ψ(q)|^{2} (q ∈ Q) van elrejtve. Más szóval ψ-t módosíthatjuk egy helytől függő fázisfaktorral anélkül, hogy a fizikai leírást megváltoztatnánk,

ψ(q) → ψ(q)e^{iα(q)}, q ∈ Q.  (4.12)

(Ne keverjük azonban ezt a fázist össze a lineáris szuperpozícióban szereplő hullámfüggvények relatív fázisával.) A ψ komplex hullámfüggvény tehát redundáns módon írja le a Q konfigurációs térrel rendelkező fizikai rendszer állapotait. Felmerül azonban a kérdés: nem lehet-e a ”lötyögő” fázisfaktort egyszer s mindenkorra globálisan (Q minden pontjában) lerögzíteni? Ezt a problémát a kvantumelmélet megszületése óta vizsgálják. A kérdésre adott válasz a következő: mindaddig, amíg a Q egyszeresen összefüggő (π_{1}(Q) = 0), addig a fázis globális definíciója lehetséges [6]. Esetünkben azonban (4.11) alapján tudjuk, hogy Q nem egyszeresen összefüggő. Ennek a következménye az lesz, hogy a hullámfüggvény fázisát nem értelmezhetjük úgy, mint egy Q-n értelmezett jól definiált ( egyértékű) függvényt.

A helyzet emlékeztet a Q-n értelmezett vektorok komponenseinek definiálásakor fellépő problémára. (Lásd a (4.5) egyenlettel kapcsolatos fejtegetéseket.) A komponenseket egy bizonyos bázisra kell vonatkoztatnunk, a fizikai szempontból természetes bázis azonban nem mindig egyértékű, következésképp a vektormező komponensei sem egyértékűek. A fizikai állapotokat reprezentáló geometriai mennyiség (a vektormező) azonban már egyértékű.

Hasonlóan, definiáljuk a fizikai állapotokat reprezentáló geometriai mennyiséget (jelöljük ezt Ψ(q)-val) az alábbi módon

Ψ(q) = ψ(q)e(q), q ∈ Q.  (4.13)

Nyilván (4.13) a (4.5) egyenlet megfelelője j = 1 esetén, továbbá most ψ(q) és e(q), |e(q)| = 1, komplex értékű függvények. Ha ψ-t a (4.12) módon transzformáljuk, akkor Ψ(q) a bázis

e(q) → e(q)e^{−iα(q)}, q ∈ Q  (4.14)

transzformációja esetén nem változik. Most megismételhetjük mindazokat a fejtegetéseket, amelyeket a (4.2) fejezetben a vektorok párhuzamos eltolása kapcsán már megtettünk. Nevezetesen, nem meglepő, hogy a fizikai szempontból indokolt párhuzamosan eltolt bázis választása esetén ψ(q) nem lesz egyértékű. Próbáljuk meg a párhuzamos eltolás fogalmát egy kicsit precízebben megfogalmazni! Válasszunk Qn egy egyértékű e(q) bázist! Infinitezimális párhuzamos eltolás esetén megköveteljük, hogy a q-ból q + dq-ba e(q)-t eltoló P (q + dq, q) operátor elégítse ki a

P (q + dq, q)e(q) = (1 + idq^{μ}a_{μ}(q))e(q + dq)  (4.15)

egyenletet, ahol

f_{μν} ≡ ∂_{μ}a_{ν} − ∂_{ν}a_{μ} = 0.  (4.16)

Itt q^{μ} (μ, ν = 1, 2, … dN) lokális koordináták Q-n. Bevezettük továbbá az a_{μ}(q) vektormezőt, ez fogja nekünk jellemezni a párhuzamos eltolást Q-n. Vegyük észre, hogy a (4.15) szabály egy lineáris unitér transzformáció infinitezimális változata. Azaz egy C görbe menti párhuzamos eltolásra

P_{C}(q_{2}, q_{1})e(q_{1}) = e^{i ∫_{C} dq^{μ}a_{μ}}e(q_{2}).  (4.17)

Fontos arra is felfigyelnünk, hogy a bevezetett a_{μ}(q) igen speciális. A (4.16) egyenlet bevezetésének szükségességét az alábbiakban részletesen tárgyaljuk. Elöljáróban elégedjünk meg annyival, hogy a részecskék cseréjével kapcsolatos (a statisztikát tükröző), a hullámfüggvényben történő változásokat egy vektormező (a_{μ}) segítségével szeretnénk leírni. Ez a vektorpotenciál-szerű mennyiség (az ún. statisztikus vektorpotenciál) lehetővé teszi majd számunkra, hogy az egzotikus statisztikákat dinamikai módon tudjuk tárgyalni. (a_{μ} a Hamilton operátorban fog szerepelni.) Ahhoz, hogy ezt a feladatot megvalósíthassuk szükségünk van a (4.16) feltételre.

Most pedig mélyedjünk el kicsit jobban a (4.16) egyenlet jelentésében! Először is emlékeztetünk arra, hogy f_{μν} ≡ 0 akkor és csak akkor, ha a_{μ} = ∂_{μ}α valamilyen α függvényre. Fontos azt is felidéznünk, hogy az α függvény csak akkor egyértékű, ha Q egyszeresen összefüggő. Esetünkben tehát α nem egyértékű. Ha μ, ν = 1, 2, 3 akkor (4.16) azt mondja, hogy a rotációja zérus. Ekkor a fenti állítás épp az I. gradienstétel nem egyszeresen összefüggő tartományok esetén! (Lásd Jánossy-Gnädig-Tasnádi: Vektorszámítás III. 56. oldal.)

Kicsit precízebbé tehetjük ezt az állítást, ha tekintjük adott a_{μ} esetén az a_{μ} = ∂_{μ}α egyenlet

α(q_{2}) = α(q_{1}) + ∫_{C} dq^{μ}a_{μ}(q)  (4.18)

formális megoldását. Itt C egy a q_{1} és q_{2} pontokat összekötő görbe. α(q_{1})-et tetszőlegesen lerögzítve (4.18) alapján α(q_{2})-t is megkaphatjuk tetszőleges q_{2} esetén. Mivel f_{μν} = 0 ezért a vonalintegrál értéke nem fog változni mindazon C_{1}, C_{2}, … görbékre melyeket C-ből folytonos deformációval megkaphatunk. α(q_{2}) értéke tehát csak a C homotópiaosztályától fog függeni. Ha Q egyszeresen összefüggő, akkor csak egy homotópiaosztály van (a triviális osztály), ekkor α egyértékű.

Válasszunk most Q-n egy egyértékű e(q) bázist! Ez azt jelenti, hogy minden q ∈ Q pontban egy bázisvektort állítunk. Másrészt, korábban megtanultuk már, hogy a párhuzamosan eltolt bázis nem egyértékű bázis. Valóban, (4.17) alapján látjuk, hogy amennyiben e(q) egyértékű, P (q_{2}, q_{1})e(q_{1}) már függ az úttól s így nem egyértékű. Ha e(q) egyértékű akkor (4.13) alapján ψ(q) is az. Az előző bekezdés alapján tudjuk azonban azt, hogy létezik olyan mértéktranszformáció, hogy a transzformált mértékpotenciál zérus, azaz a′_{μ} = a_{μ} − ∂_{μ}α ≡ 0. Ez a mértéktranszformáció (4.12) alakú, és most már azt is tudjuk, hogy a kapott ψ′(q) ≡ ψ(q)e^{iα(q)} már nem egyértékű, ha π_{1}(Q) ≠ 0.

Mindezek alapján a következő választási lehetőségeink vannak f_{μν} ≡ 0 esetén: vagy egyértékű hullámfüggvénnyel dolgozunk s ekkor a_{μ} ≠ 0, vagy többértékű hullámfüggvénnyel dolgozunk s ekkor a_{μ} = 0.

Ha (4.17)-ben q_{1} = q_{2} ≡ q (azaz a C görbe egy zárt görbe), akkor kapjuk, hogy

P_{C}(q, q) = e^{i ∮_{C} dq^{μ}a_{μ}(q)}.  (4.19)

Ez a fázisfaktor nyilván mértékinvariáns, hiszen a körintegrál értéke nem változik az a_{μ}(q) ↦ a_{μ}(q) − ∂_{μ}f(q) egyértékű mértéktranszformáció során. Igaz továbbá az is, hogy az ismételt párhuzamos eltolás a C_{1}, majd a C_{2} zárt görbék mentén eleget tesz a

P_{C_{1}C_{2}}(q, q) = P_{C_{1}}(q, q)P_{C_{2}}(q, q),  (4.20)

tulajdonságnak. Tekintsünk most egy olyan C′ zárt görbét mely ugyanabba a homotópiaosztályba esik mint C! A CC′^{−1} görbére (4.20) alapján kapjuk, hogy

P_{CC′^{−1}}(q, q) = P_{C}(q, q)P_{C′}^{−1}(q, q).  (4.21)

Az egyenlet baloldalán álló ∮_{CC′^{−1}} dq^{μ}a_{μ}(q) körintegrált a Stokes tétel segítségével átírhatjuk az f_{μν}-nek a CC′^{−1} által határolt területre való felületi integráljává. Mivel azonban f_{μν}(q) ≡ 0 ezért a baloldal is zérus. Azt kaptuk tehát, hogy

P_{C}(q, q) = P_{C′}(q, q), ha C ∼ C′.  (4.22)

Könnyen belátható az is, hogy a P (q, q) fázisfaktor értéke nem változik akkor sem, ha C-t folytonosan úgy deformáljuk, hogy q-t is mozgatjuk. Levonhatjuk tehát a következtetést: a mértékinvariáns fázisfaktor csak a C görbe homotópiaosztályától függ, azaz P_{[C]}. (Itt [C] a C görbe homotópiaosztályát jelöli.) Tekintettel arra, hogy komplex fázisfaktorunk egy 1 × 1-es unitér mátrix, (4.20) alapján triviálisan következik, hogy a hullámfüggvény párhuzamos eltolását definiáló fázisfaktor egy egydimenziós unitér ábrázolását adja a π_{1}(Q) fundamentális csoportnak.

Tekintsük most a Q konfigurációs teret ha d > 2. Ekkor (4.11) alapján tudjuk, hogy π_{1}(Q) = S_{N}. Kíváncsiak vagyunk arra, hogy két részecske valódi megcserélése esetén a hullámfüggvénnyel mi történik. Tudjuk már, hogy a részecskék cseréjének a Q konfigurációs térben egy zárt C görbe fog megfelelni. Továbbá [C] ∈ S_{N}. A fentiekben azt is beláttuk, hogy a hullámfüggvény egy fázisfaktort fog felszedni, mely S_{N} egydimenziós unitér ábrázolását fogja adni. Mivel S_{N}-t az e egységelem és a σ_{j}, j = 1, 2, … N − 1 szomszédcserék generálják, ezért elég, ha ezekhez a generátorokhoz rendelünk fázisfaktorokat. Legyen ez a hozzárendelés D (ábrázolás) az alábbi alakú

D : e ↦ 1, D : σ_{j} ↦ e^{iθ_{j}}, j = 1, 2, … N − 1.  (4.23)

Most kihasználjuk az S_{N}-t definiáló (4.9a,b) és (4.10) relációkat. Mivel a fázisfaktorok felcserélhetők egymással, ezért (4.9b) triviálisan teljesül (ráadásul most minden i, j-re), (4.9a)-ból pedig a θ_{j} = θ_{j+1} összefüggést kapjuk. Marad még a (4.10) reláció, ebből kapjuk, hogy e^{2iθ} = 1 azaz θ ≡ 0, π mod 2π. Az ábrázolás tehát σ_{j} ↦ ±1 minden j-re. A részecskék valódi fizikai felcserélésekor tehát a hullámfüggvény vagy előjelet vált (fermionok), vagy nem vált előjelet (bozonok).

Kétdimenzióban a helyzet sokkal izgalmasabb. Ekkor π_{1}(Q) = B_{N}, tehát a részecskék statisztikájának megállapításához a fonatcsoport egydimenziós unitér ábrázolásai kellenek. Ekkor (4.10) teljesülését már nem kell megkövetelnünk s így a szomszédcserékhez tetszőleges θ statisztikus paraméterrel jellemzett fázisfaktorokat rendelhetünk, azaz

D : σ_{j} ↦ e^{iθ}.  (4.24)

A θ statisztikus paraméter minden értéke (mod 2π) egy lehetséges ábrázolását adja π_{1}(Q)-nak. Ezek a statisztikus paraméterek a bozonok (θ = 0) és a fermionok (θ = π) között interpoláló statisztikájú részecskéket írnak le. θ ≠ {0, π} esetén a megfelelő részecskék se nem fermionok, se nem bozonok. Frank Wilczek szavaival élve bármionok, vagy az angol kifejezést a magyar nyelvbe ültetve anyonok. Szokásos még a (kicsit félrevezető) tört statisztikák elnevezés is, tekintettel arra, hogy a θ statisztikus paraméter π-nek nemcsak egész, hanem tetszőleges valós ( így például racionális ) többszöröse is lehet.

4.5. TÖRT STATISZTIKÁJÚ RÉSZECSKÉK DINAMIKÁJA

Miután beláttuk, hogy kétdimenzióban egzotikus statisztikáknak engedelmeskedő részecskék is létezhetnek, megvizsgáljuk ezeknek a részecskéknek a dinamikáját. Első lépésként N darab szabad anyon dinamikáját tanulmányozzuk. A Hamilton operátor N darab m tömegű szabad részecske esetén \frac{−h̄^{2}}{2m} ∑_{j=1}^{N} △_{j}, ahol △_{j} a j-dik részecske Laplace operátora d dimenzióban. Itt d a Q konfigurációs tér dimenziója. Az első probléma természetesen az, hogy hogyan definiáljuk a Laplace operátort egy nemtriviális topológiai tulajdonságokkal rendelkező téren. Azaz: hogyan kvantáljunk Q-n? Az előző fejezet alapján ezt a kérdést megválaszolhatjuk. Vegyük először is észre, hogy Q lényegében a dN dimenziós Euklideszi tér, melyben bizonyos pontokat azonosítottunk. Használjuk tehát a továbbiakban a q^{μ} ∈ Q lokális koordináták helyett az x^{μ} euklideszi koordinátákat, és ugyanakkor tartsuk észben, hogy bizonyos pontokat azonosítottunk. A Laplace operátor tehát a szokásos ∑_{μ=1}^{dN} \frac{∂^{2}}{∂x^{μ}^{2}} marad, de az azonosítások miatt a hullámfüggvénynek speciális határfeltételeket kell majd kielégítenie. Mik ezek a határfeltételek? Két nem azonos R^{dN}-beli pontot akkor azonosítunk, ha az őket összekötő nyílt görbének Q-ban egy π_{1}(Q)-beli zárt görbe felel meg. Tudjuk továbbá azt is, hogy ha a hullámfüggvényt egy Q-beli zárt görbén körbevisszük, akkor az egy olyan fázisfaktort szed fel, ami épp π_{1}(Q) egydimenziós unitér ábrázolása. Ha tehát g ∈ π_{1}(Q), akkor a határfeltétel R^{dN}-en

ψ(gx) = D(g)ψ(x).  (4.25)

Itt a gx szimbólum azt jelöli, hogy g x-et abba a gx ≡ x′ pontba viszi, melyet R^{dN}-ben x-vel olyan nyílt görbékkel köthetünk össze, hogy azok Q-ban a g által meghatározott g ≡ [C] zárt görbék homotópiaosztályának feleljenek meg. (x és gx nyilván az a két pont, amit azonosítanunk kell.) Fontos azt is látnunk, hogy a (4.25) egyenletben megjelenő fázisfaktor éppen a párhuzamos eltolás kapcsán bevezetett

D(g) = e^{−i ∫_{Γ} dx^{μ}a_{μ}(x)}  (4.26)

fázisfaktor, ahol Γ az a nyílt R^{dN} görbe, ami a g osztálybeli zárt görbének felel meg.

Példaképp tekintsük a d = 2 N = 2 esetet. Ekkor a tömegközéppont leválasztása után kapott Q^{rel} konfigurációs tér nem más mint, a jólismert ”csúcsától megfosztott kúp” 30 fokos fél nyílásszöggel. Másrészt tudjuk azt is, hogy Q^{rel} = (R^{2} − {0})/S_{2}. Könnyen látható az is, hogy π_{1}(Q) = Z. (Z az egész számok additív csoportját jelöli.) Valóban a kúp csúcsa körüli különböző csavarodási számú görbék nem deformálhatók folytonosan egymásba. Az egy pontba összehúzható görbének a 0, a pozitív kürüljárású görbéknek a pozitív, a negatív körüljárásúaknak a negatív egészek felelnek meg. Vezessük be az (x_{1}, x_{2}) ≡ (r cos ϕ, r sin ϕ) polárkoordinátákat R^{2}-n. r, és ϕ a két részecske relatív koordinátáit jellemzi. Ha a ϕ koordinátát π-vel folytonosan megváltoztatjuk, akkor egy olyan görbét kapunk, melynek a kúpon egy olyan zárt görbe felel meg, melyre a csavarodási szám egy. A párhuzamos eltolás ezen görbe mentén az e(r, ϕ) bázisvektort az e^{−iθ}e(r, ϕ) bázisvektorba viszi. Mivel Ψ(r, ϕ) egyértékű, ezért ψ(r, ϕ + π) = e^{iθ}ψ(r, ϕ). Tetszőleges Q ∈ Z ≡ π_{1}(Q^{rel}) csavarodási számú görbére pedig kapjuk, hogy

ψ(r, ϕ + Qπ) = e^{iQθ}ψ(r, ϕ).  (4.27)

Ez az egyenlet az általános (4.25) egyenlet speciális esete. A (4.27) egyenletet Q-n értelmezve látjuk, hogy a párhuzamosan eltolt ψ nem egyértékű. Ekkor választhatunk olyan mértéket (lásd a (4.19) előtti vastag betűs részt), ahol a_{μ} = 0, μ = 1, 2. Összefoglalva: a Hamilton operátor a szokásos, az egzotikus statisztikák csak a határfeltétel (4.27) alakjában jelennek meg.

Választhatjuk azonban a másik alternatívát is. Ekkor tekintsük az alábbi egyértékű hullámfüggvényt

ψ′(r, ϕ) = e^{−i \frac{θ}{π} ϕ}ψ(r, ϕ).  (4.28)

Ez a transzformáció azonban megváltoztatja a parciális deriváltakat

∂_{r} ↦ ∂_{r}, ∂_{ϕ} ↦ ∂_{ϕ} + i\frac{θ}{π} .  (4.29)

Eredményünk: ha a Hamilton operátorba bevezetjük az a_{r} = 0 a_{ϕ} = −\frac{θ}{π} statisztikus vektorpotenciált, akkor egyértékű hullámfüggvényt használhatunk.

Most meghatározzuk a Hamilton operátor alakját derékszögű koordinátákban. Ehhez szükségünk van a \frac{∂}{∂x} és a \frac{∂}{∂y} parciális deriváltakra. Mivel

\frac{∂f}{∂x} = \frac{∂f}{∂r} \frac{∂r}{∂x} + \frac{∂f}{∂ϕ} \frac{∂ϕ}{∂x} \frac{∂f}{∂y} = \frac{∂f}{∂r} \frac{∂r}{∂y} + \frac{∂f}{∂ϕ} \frac{∂ϕ}{∂y}

és r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, ϕ = arctan \frac{y}{x}, ezért

\frac{∂}{∂x} = cos ϕ\frac{∂}{∂r} − \frac{sin ϕ}{r} \frac{∂}{∂ϕ}  \frac{∂}{∂y} = sin ϕ\frac{∂}{∂r} + \frac{cos ϕ}{r} \frac{∂}{∂ϕ}.  (4.30)

Vezessük be a kovariáns derivált komponenseit az alábbi módon

D_{x} ≡ ∂_{x} − ia_{x},  D_{y} ≡ ∂_{y} − ia_{y}.  (4.31)

(4.29) alapján tudjuk, hogy D_{r} = ∂_{r} és D_{ϕ} = ∂_{ϕ} + i\frac{θ}{π}. (4.30-31) felhasználásával tehát

a_{x} = \frac{θ/π}{r^{2}} y,  a_{y} = −\frac{θ/π}{r^{2}} x.  (4.32)

Ezek tehát a statisztikus vektorpotenciál relatív koordináták szerinti komponensei. Nyilván (4.3) alapján az X és Y tömegközépponti koordináták szerinti komponensek zérusok. Figyelembe véve, hogy

x = x_{1} − x_{2}, y = y_{1} − y_{2}, X = \frac{1}{2}(x_{1} + x_{2}) Y = \frac{1}{2}(y_{1} + y_{2}), (4.33)

és

\frac{∂f}{∂x_{1}} = \frac{∂f}{∂x} \frac{∂x}{∂x_{1}} + \frac{∂f}{∂X} \frac{∂X}{∂x_{1}} \frac{∂f}{∂x_{2}} = \frac{∂f}{∂x} \frac{∂x}{∂x_{2}} + \frac{∂f}{∂X} \frac{∂X}{∂x_{2}} ,

illetve hasonlóan eljárva az y_{1} y_{2} szerinti parciális deriváltakra is kapjuk, hogy

\frac{∂}{∂x_{1}} = \frac{1}{2} \frac{∂f}{∂X} + \frac{∂f}{∂x} \frac{∂}{∂y_{1}} = \frac{1}{2} \frac{∂f}{∂Y} + \frac{∂f}{∂y} ,  (4.34)

az első részecskére. A másodikra pedig

\frac{∂}{∂x_{2}} = \frac{1}{2} \frac{∂f}{∂X} − \frac{∂f}{∂x} \frac{∂}{∂y_{2}} = \frac{1}{2} \frac{∂f}{∂Y} − \frac{∂f}{∂y} .  (4.35)

Tekintettel arra, hogy a_{X} = 0 és a_{Y} = 0 a végeredmény,

a_{x_{1}} = −a_{x_{2}} = a_{x} = k \frac{y_{1} − y_{2}}{r^{2}} , a_{y_{1}} = −a_{y_{2}} = a_{y} = −k \frac{x_{1} − x_{2}}{r^{2}} , (4.36)

ahol r^{2} = \sqrt{(x_{1} − x_{2})^{2} + (y_{1} − y_{2})^{2}} és

k ≡ \frac{θ}{π} .  (4.37)

A következő feladatunk a (4.36) statisztikus vektorpotenciál fizikai jelentésének tisztázása. Tekintsünk egy részecskét a tetszőleges x ∈ R^{2} pontban! Természetes feltételeznünk, hogy ez a részecske egy bizonyos A(x) vektorpotenciált észlel. Ez a részecske nem érzékeli a saját maga által keltett teret, hanem csak a másik részecske által keltettet. Tehát az x_{1} ≡ (x_{1}, y_{1}) pontban lévő 1. részecske olyan vektorpotenciált generál, melynek komponensei

A_{x}(x) = k \frac{y − y_{1}}{(x − x_{1})^{2} + (y − y_{1})^{2}} ,

A_{y}(x) = −k \frac{x − x_{1}}{(x − x_{1})^{2} + (y − y_{1})^{2}} .  (4.38)

Az x_{2} ≡ (x_{2}, y_{2}) pontban lévő 2. részecske tehát az a_{2} = A(x_{2}) vektorpotenciált észleli. A fent definiált A vektorpotenciálhoz természetesen a B = ∂_{x}A_{y} − ∂_{y}A_{x} térerősség tartozik. [Kétdimenzióban ez egy (pszeudo)skalártér.] Számítsuk ki a fenti térerősség fluxusát egy olyan Ω felületen keresztül, melyet egy Γ zárt görbe határol. Nyilván két esetet kell megkülönböztetni aszerint, hogy x_{1} ∈ Ω, vagy pedig x_{1} ∉ Ω. Feladatunk tehát a

∫_{Ω} d^{2}xB = ∮_{Γ} dxA(x),  (4.39)

körintegrál kiszámítása. Az integrálási kontúrt folytonosan deformálhatjuk mindaddig, amíg az x_{1} ponton át nem megyünk. Legyen Γ először egy x_{1} középpontú kör! Mivel A(x)dx = A_{ϕ}dϕ = −kdϕ, és a z = re^{iϕ}, dz = irdϕe^{iϕ} komplex jelöléssel ez az ik \frac{dz}{z} alakba írható át, Cauchy formulája alapján (∮_{Γ} \frac{dz}{z} = 2πi) kapjuk, hogy az integrál értéke −2πk. Ha Ω nem tartalmazza x_{1}-et akkor Cauchy tétele miatt az integrál zérust ad. Végeredményül tehát azt kaptuk, hogy

∫_{Ω} d^{2}xB = \{ \begin{matrix}−2πk, & ha x_{1} ∈ Ω \\ 0, & különben. \end{matrix}  (4.40)

A (4.40) formula alapján látjuk, hogy az 1. részecske által létesített tér alakja

B = −2πkδ(x − x_{1}),  (4.41)

azaz a fluxus az 1. részecske tartózkodási helyére lokalizált. A bármionokra tehát úgy is gondolhatunk, mint olyan részecskékre, melyeket töltésükön és tömegükön kívül a −2θ fluxus értéke is jellemez. A (4.16) egyenlet jelentése (4.41) segítségével most már tisztázható. Mivel a részecskék nem hatolhatnak egymásba (az ezeknek megfelelő pontok a vektorpotenciál szinguláris pontjai, ráadásul ezeket a pontokat ki is vágtuk a konfigurációs térből), ezért rájuk Lorentz erő nem hat (B ≡ 0). A részecskék közötti kölcsönhatás, akárcsak az Aharonov-Bohm effektus esetén, kizárólag a statisztikus vektorpotenciálnak köszönhető. (Pontosabban az ebből

képzett e^{i ∮_{Γ} A(x)dx} fázisfaktornak.) Ezek a részecskék ha úgy tetszik egy-egy Aharonov-Bohm ”fluxusfonalat” is cipelnek magukkal. Ezeknek a fluxusfonalaknak a kölcsönhatása nemtriviális ”fonatstatisztika” megjelenésére vezet.

A fenti két részecskén alapuló fejtegetés könnyen általánosítható N részecskére. A statisztikus vektorpotenciál ekkor

a_{x_{j}} = k ∑_{i≠j}^{N} \frac{y_{j} − y_{i}}{\sqrt{(x_{j} − x_{i})^{2} + (y_{j} − y_{i})^{2}}} ,

a_{y_{j}} = −k ∑_{i≠j}^{N} \frac{x_{j} − x_{i}}{\sqrt{(x_{j} − x_{i})^{2} + (y_{j} − y_{i})^{2}}} ,  (4.42)

ahol j = 1, 2, … N. Vegyük észre, hogy a komponensei többértéküek R^{dN}-en, de egyértéküek R^{dN}/S_{N}-en. Az a-ból képezett

A_{x}(x) = k ∑_{i≠j}^{N} \frac{y − y_{i}}{\sqrt{(x − x_{i})^{2} + (y − y_{i})^{2}}} ,

A_{y}(y) = −k ∑_{i≠j}^{N} \frac{x − x_{i}}{\sqrt{(x − x_{i})^{2} + (y − y_{i})^{2}}} ,  (4.43)

vektormező jelentése világos: ez az x_{i} ∈ R^{2}-ben lévő j ≠ i részecskék által létrehozott statisztikus vektorpotenciál. A j-edik részecske természetesen az a_{j} ≡ A(x_{j}) potenciált érzi. A az alábbi téregyenletnek tesz eleget

∂_{x}A_{y} − ∂_{y}A_{x} = −2πkϱ,  (4.44)

ahol

ϱ(x) = ∑_{i≠j}^{N} δ(x − x_{i}).  (4.45)

Látjuk tehát, hogy a nemtriviális fonatstatisztikát a (4.42) statisztikus vektorpotenciál bevezetésével írhatjuk le. A Hamilton operátor alakja

H = \frac{1}{2m}(p − h̄a)^{2} = \frac{1}{2m} ∑_{j=1}^{N}(p_{j} − h̄a_{j})^{2},  (4.46)

ahol p_{j} = \frac{h̄}{i}(∂_{x_{j}}, ∂_{y_{j}}). Vegyük észre, hogy ez N darab szabad bármion Hamilton operátora. A kölcsönhatás a bármionok között tisztán topológiai természetű. Érdemes még megjegyezni, hogy a Hamiltoniban jelenlévő a^{2} = ∑_{j} a_{j}^{2} tag háromrészecske tagok megjelenésére vezet. H-hoz természetesen további V (x_{1}, …, x_{N}) kölcsönhatási tagot is adhatunk.

4.6. ÖSSZEFOGLALÁS

Ebben a fejezetben felülvizsgáltuk az azonos részecskék kvantummechanikájával kapcsolatos ismereteinket. A részecskéket már klasszikusan is azonosaknak tekintettük. Megmutattuk, hogy N darab d dimenzióban lévő részecske Q konfigurációs tere topológiai szempontból lényegesen eltér R^{dN}-től. A részecskeindexek permutálásán alapuló régi szemlélet helyett egy új topológiai szemléletet vezettünk be. Ennek a lényege: a Q-n tekintett zárt görbék tulajdonságainak vizsgálata. A részecskék R^{dN}-ben történő valódi megcserélését ugyanis Q-beli zárt görbékkel reprezentálhatjuk. A Q-beli zárt görbék ekvivalenciaosztályokba sorolhatók, ezen osztályok egy alkalmasan választott szorzásra nézve csoportot alkotnak. Ez a csoport, π_{1}(Q), Q első homotópia, vagy fundamentális csoportja. Megmutattuk, hogy π_{1}(Q) szerkezete N részecske esetén lényegesen más kettő, illetve három (vagy ennél nagyobb) dimenzióban. Kétdimenzióban π_{1}(Q) egy végtelen elemű diszkrét csoport, az úgynevezett fonatcsoport, míg ennél nagyobb dimenziókban ez a véges (N! elemű) diszkrét permutációs csoport. A klasszikus konfigurációs tér tanulmányozása után figyelmünket a megfelelő klasszikus dinamika kvantálásának problémája felé fordítottuk. Célunk a kvantumrendszer állapotait reprezentáló ψ : Q → C hullámfüggvény, és az N darab szabad, azonos részecske dinamikáját leíró H Hamilton operátor megtalálása volt. A fenti probléma megoldására eredményül az alábbi alternatívát kaptuk.

1. A dinamikát jellemző Hamilton operátor nem más mint, a szokásos N szabad részecskéket leíró \frac{1}{2m} ∑_{i=1}^{N} p_{i}^{2}, a ψ hullámfüggvény azonban R^{dN}-en nemtriviális határfeltételnek kell, hogy eleget tegyen. Ez a határfeltétel Q-n értelmezett nem egyértékű hullámfüggvény bevezetésének felel meg. Ha ψ-t egy Q-beli zárt görbén körbevisszük (ez a részecskék R^{dN}-beli folytonos cseréjének felel meg), az egy statisztikus fázisfaktort szed fel. Ez a fázisfaktor π_{1}(Q) egydimenziós unitér ábrázolását adja. Három vagy ennél magasabb dimenzióban ez a fázisfaktor +1 (Bose-Einstein statisztika), vagy ±1 (Fermi-Dirac statisztika) lehet. Kétdimenzióban egzotikus fonat-statisztikákat (tört statisztikákat) is kaphatunk. Ezekre a fázisfaktor e^{iθ} ahol θ ∈ [0, 2π) az úgynevezett statisztikus paraméter.

2. A ψ hullámfüggvény Q-n egyértékű úgy, ahogy ezt korábbi kvantummechanikai tanulmányaink alapján megszoktuk, viszont a Hamilton operátor alakja \frac{1}{2m} ∑_{i=1}^{N}(p_{i} − h̄a_{i})^{2} lesz. Itt a_{i} két dimenzióban a (4.42) statisztikus vektorpotenciál. Ebben a képben a nemtriviális fonat-statisztikák megjelenését az a speciális tulajdonságaira vezettük vissza. Ennek alapján a részecskékhez Aharonov-Bohm fluxusfonalakat rendelhetünk −2θ fluxussal, a statisztikát tükröző kölcsönhatás topológiai természetű.

Befejezésül kitérünk annak a fontos kérdésnek a rövid megvitatására, hogy milyen kísérleti bizonyítékaink vannak arra nézve, hogy fonat-statisztikáknak engedelmeskedő részecskék valóban léteznek a természetben. Az első felmerülő kérdés az, hogy mi értelme van két dimenziós kísérleti fizikáról beszélni a mi három dimenziós világunkban? Fowler, Fang, Howard és Stiles 1966-os kísérlete óta tudjuk, hogy az elektronok mozgását valóban korlátozhatjuk egy két dimenziós felületre [7]. Az elektronok mozgását ők egy erős mágneses térbe helyezett félvezető felületére korlátozták. A felületen az elektronok szabadon mozogtak, míg erre merőlegesen a △E gerjesztési energia néhány meV volt. T = 1K hőmérsékleten kT ∼ 0.1meV, így például △E = 10meV esetén e^{− \frac{△E}{kT}} = e^{−100} ∼ 10^{−44}, ami gyakorlatilag zérus. Elektrongázunk tehát valóban kétdimenziós. A kétdimenziós kísérleti fizika 1980-óta már egyáltalán nem számít egzotikus területnek. Kitzling, Dorda és Pepper [8] ekkor fedezte fel ugyanis a kvantált Hall-effektust. Eszerint a Hall ellenállása egy kétdimenziós elektron gáznak az alábbi módon kvantált

R_{H} = \frac{h}{νe^{2}} = \frac{25812.807Ω}{ν},

ahol ν egy egész szám. 1982-ben Tsui, Stormer and Gossard [9] felfedezte a tört kvantum Hall-effektust. Ezek a szerzők megmutatták, hogy ν már bizonyos racionális értékeket is felvehet. A tört kvantum Hall-effektus Laughlin [10], Halperin [11], Arovas, Schrieffer és Wilczek [12] által kidolgozott elmélete alapján tudjuk, hogy az effektus az anyag egy új állapotának, az összenyomhatatlan kvantumfolyadék megjelenésének köszönhető. Ennek a ”folyadéknak” az elemi gerjesztéseit olyan kvázirészecskékkel írhatjuk le, melyek tört töltésűek, és fonat-statisztikáknak engedelmeskednek. Három lényegesen különböző [13-15] kísérlet igazolta azt, hogy bármionokat valóban megfigyelhetünk a természetben.

Az 1986-ban felfedezett magas hőmérsékletű szupravezetők képviselik a kísérletileg elérhető kétdimenziós rendszerek másik izgalmas családját. Az effektus bármionok segítségével történő elméleti magyarázatára tett erőfeszítések mindezidáig kísérleti szempontból megalapozatlanok.

4.7 REFERENCIÁK A 4. FEJEZETHEZ

[1] R. Mirman: Nuovo Cimento, B18, 110 (1973)

[2] J. M. Leinaas and J. Myrheim: Nuovo Cimento, B37, 1 (1977)

[3] T. H. Boyer: Am. J. Phys, 38, 840 (1970)

[4] F. Wilczek: Phys. Rev. Lett.48, 1144 (1982)

[5] E. Artin: Ann. Math. 48, 101, 643 (1947)

[6] G. Morandi: ”The role of topology in classical and quantum physics” Springer-Verlag 1992.

[7] A. B. Fowler, F. F. Fang, W. E. Howard, and P. J. Stiles: Phys. Rev. Lett. 16, 901 (1966).

[8] K. von Kitzling, G. Dorda, and M. Pepper: Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).

[9] D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard: Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).

[10] R. B. Laughlin: Phys. Rev. Lett. 50, 1395 (1983)

[11] B. I. Halperin: Phys. Rev. Lett. 52, 1583 (1984)

[12] D. Arovas, J. R. Schrieffer and F. Wilczek:Phys. Rev. Lett. 53, 722 (1984)

[13] R. G. Clark, J. R. Mallett, S. R. Haynes, J. J. Harris and C. T.Foxon Phys. Rev. Lett. 60, 1747 (1988)

[14] J. A. Simmons, H. P. Wei, L. W. Engel, D. C. Tsui, and M. Shayegan: Phys. Rev. Lett. 63, 1731 (1989)

[15] A. M. Chang and J. E. Cunninghamn: Solid State Commun. 72, 651 (1989)

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 5. Geometriai fázisfaktorok

5. GEOMETRIAI FÁZISFAKTOROK.

A XX. század fizikájának két kiemelkedő alkotása az Einstein nevével fémjelzett általános relativitáselmélet, és a Heisenberg, Schrödinger, Dirac és mások által kifejlesztett kvantumelmélet. Az egyik elmélet a makroszkópikus objektumokkal (csillagok, galaxisok, és az Univerzum egésze), a másik (főként)^{⋆} a mikroszkópikus objektumokkal (atomok, molekulák, elemi részecskék) kapcsolatos jelenségek leírását teszi lehetővé. Az általános relativitáselmélet a téridő geometriájával és az abban történő (geodetikus) mozgással foglalkozik. Ez a gravitációs kölcsönhatás elmélete. Kulcsfogalma a geometria, az elmélet matematikai szerkezetét pedig a differenciálgeometria illetve a topológia segítségével lehet megragadni. A kvantumelmélet véges vagy végtelen szabadsági fokokkal rendelkező mikrofizikai^{⋆} rendszerek időfejlődésével, vagy stacionárius állapotok esetén a rendszerek lehetséges állapotainak meghatározásával foglalkozik. Kulcsfogalma a ”határozatlanság” melyet a Heisenberg-féle határozatlansági reláció fogalmaz meg. Az elmélet matematikai szerkezetét a funkcionálanalízis, a matematikai logika, az algebra és a csoportelmélet tárja fel.

Megszületésük óta a fizikai és a matematikai kutatások homlokterében olyan próbálkozások állnak melyek a fenti két elmélet egyesítését tűzik ki célul. A kvantumgravitáció elméletére az első konzisztens jelölt napjaink un. szuperhúr elmélete. Ez az elmélet a téridő geometriai, és a kvantálás határozatlansági reláción alapuló tulajdonságainak egyesítését kínálja. A húrelmélet a matematika teljes fegyvertárát felvonultatja a számelmélettől az algebrai geometriáig. Az elmélet hallatlanul bonyolult matematikai szerkezetének tisztázása, vagy ami még fontosabb alapvető elvek segítségével történő megfogalmazása még várat magára. A húrelmélet nagy érdeme az, hogy a kvantálás geometriai vonatkozásaira irányította a figyelmet. Nagyon fontos feladat az, hogy a kvantálás és a geometria összefüggéseit minnél egyszerűbb modellrendszerekre tisztázzuk.

Ebben a fejezetben egyszerű kvantummechanikai rendszerek időfejlődésének geometriai és topológiai vonatkozásait tárgyaljuk. Vizsgálataink tárgyát képező rendszerek ideális ”gyakorlóterül” szolgálnak mindazok számára akik a kvantumelméletet alaposabban meg szeretnék érteni.

⋆ Itt jegyezzük meg azt, hogy léteznek makroszkópikus kvantumjelenségek is. Lásd például:

mezoszkópikus effektusok a szilárdtestfizikában.

Az itt ismertetett módszerek csak tört részét képezik mindazoknak az eljárásoknak melyeket a matematikusok és a fizikusok a végtelen szabadsági fokú kvantumrendszerek (kvantumtérelméletek) tanulmányozására kifejlesztettek. Fontos hangsulyoznunk, hogy az egzotikusnak tűnő topológiai elvek működése már a kvantummechanika keretein belül is tetten érhető. Ami azonban még ennél is fontosabb az az, hogy a tanulmányozandó rendszerek kísérletileg is megvalósíthatóknak bizonyultak. Ezek a kísérletek egyértelműen bebizonyították a geometriai módszerek hatékonyságát. Ezekkel a fizikai rendszerekkel kapcsolatos jelenségek: a kvantum Hall-effektus, a Berryféle fázis és ezek általánosításai, az egzotikus statisztikák megjelenése két dimenziós rendszerekben, indukált mértékterek felbukkanása effektív molekulafizikai rendszerekben, az Aharonov-Bohm effektus.

Ebben a fejezetben a Berry-féle fázisfaktorral és ennek különféle általánosításaival fogunk foglalkozni.

5.1. A KVANTUM ADIABATIKUS TÉTEL ÉS A BERRY-FÁZIS

Ebben a fejezetben olyan kvantummechanikai rendszereket fogunk vizsgálni melyek Hamilton operátora időfüggő: H(t). Feltesszük továbbá azt is, hogy ez az időfüggés bizonyos X ∈ M paraméterek lassú időbeli változásával kapcsolatos, ahol M-vel jelöltük a paraméterek terét. Hamilton operátorunk alakja tehát H(X(t)). Legyen H a fizikai állapotok Hilbert tere. H minden rögzített X ∈ M-re a ψ : Q → C hullámfüggvényekből áll, ahol Q a vizsgált kvantummechanikai rendszer konfigurációs tere, q ∈ Q pedig annak egy pontja. X időbeli változásával ψ(t) ≡ ψ(q, X(t)) hullámfüggvények seregét kapjuk. Hangsúlyozzuk, hogy a továbbiakban ⟨ϕ(t)|ψ(t)⟩ alatt mindig a

⟨ϕ(t)|ψ(t)⟩ = ∫ dq\overline{ϕ(q, X(t))}ψ(q, X(t)),  (5.1)

integrált fogjuk érteni.

Természetesen meg kellene tudnunk fogalmazni azt, hogy mit is értünk a paraméterek lassú időbeli változásán. A továbbiakban megállapodunk abban, hogy ebben az alfejezetben olyan rendszerekkel foglalkozunk melyekre H(t/τ) ahol τ → ∞. A változás tehát végtelenül lassú. Az ilyen adiabatikus időfejlődést leíró időtől függő Schrödinger egyenlet alakja

ih̄∂_{t}ψ(t) = H(t/τ)ψ(t)  (5.2)

ahol |ψ(0)⟩ megadása lerögzíti a kezdőfeltételeket.

Tekintsük most a H(X(t)) Hamilton operátor sajátértékproblémáját minden lehetséges X(t) paraméterértékre

H(X(t))|n, X(t)⟩ = E_{n}(X(t))|n, X(t)⟩,  (5.3)

ahol E_{n}(X(t)) jelöli az energiasajátértékeket illetve |n, X(t)⟩ a megfelelő sajátfüggvényeket. Feltesszük, hogy a sajátértékek nem degeneráltak. Figyeljük meg, hogy így sajátértékek és sajátfüggvények (egydimenziós sajátalterek) parametrizált seregét kapjuk. E_{n}(X) minden n-re egy vektorváltozós skalárfüggvény M-en, |n, X⟩ pedig minden n-re egy M → H leképezés. Feltesszük továbbá azt is, hogy |n, X⟩ egyértékű függvénye X-nek. Nyílván X változtatásával a sajátfüggvények egydimenziós alterei H-ban nemtriviális módon elfordulhatnak. Előfordulhat az is, hogy az E_{n}(X) ”potenciálfelületek” bizonyos X^{⋆} értékeknél metszik egymást. Az ilyen esetek hatását később fogjuk megvizsgálni, egyenlőre feltesszük azt is, hogy a vizsgálataink tárgyát képező E_{n}(X) potenciálfelületek a vizsgált időfejlődés során jól elkülönülnek a spektrum többi részétől (gap-feltétel). Ezt a feltételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a külső X(t) paraméterek változása olyan lassú, hogy a változási sebességgel kapcsolatos kinetikus energia jóval kisebb a vizsgált E_{n}(X)-et a spektrum többi részétől elkülönítő energiakülönbségnél. Az n → m, n ≠ m kvantumátmenetek valószínűségét tehát a vizsgált adiabatikus evolúció során zérusnak vesszük.

A kvantum adiabatikus tétel azt mondja ki [1], hogy amenynyiben t = 0-ban (5.3)-nak egy a fenti feltételeknek eleget tevő |n, X(0)⟩ sajátfüggvényéből indulunk ki, akkor az (5.2) időfüggő Schrödinger egyenlet ezt egy fázisfaktor erejéig (5.3) ugyanahhoz az n-hez tartozó |n, X(t)⟩ sajátfüggvényébe fogja vinni. Röviden: (5.2) adiabatikus evolúció esetén sajátállapotot sajátállapotba visz. Feladatunk tehát: a tételben felbukkanó misztikus ”fázisfaktor” mibenlétének tisztázása.

Az (5.2) egyenletet megoldó |ψ(t)⟩ sjátfüggvényt kifejthetjük minden t időpillanatban az (5.3) megoldásainak teljes függvényrendszere szerint

|ψ(t)⟩ = ∑_{m=1}^{∞} c_{m}(t)|m, X(t)⟩.  (5.4)

Induljunk ki t = 0-ban az adiabatikus tétel feltételeinek eleget tevő m = n n-dik sajátállapotbol azaz legyen |ψ(0)⟩ ≡ |n, X(0)⟩. Mivel adiabatikus evolució során továbbra is az n-dik sajátaltérben maradunk ezért az (5.4) általános megoldást tovább egyszerüsíthetjük a

|ψ(t)⟩ = c_{n}(t)|n, X(t)⟩  (5.5)

alakba, ahol c_{n}(t), |ψ⟩ és |n⟩ normáltsága miatt egy egységnyi abszolútértékű fázisfaktor, |c_{n}(t)| = 1. Behelyettesítve (5.5)-öt az (5.2) Schrödinger egyenletbe kapjuk, hogy ih̄(ċ|n⟩ + c|ṅ⟩) = cE_{n}|n⟩. Megszorozva ezt balról ⟨n|-vel és kihasználva a normáltságot, c-vel való osztás után kapjuk

ih̄ (\frac{d}{dt}(log c(t)) + ⟨n, X(t)|\frac{d}{dt}|n, X(t)⟩) = E_{n}(X(t)).  (5.6)

Az (5.6) egyenletet könnyen kielégíthetjük ha c(t)-t a c(t) = a(t)b(t) alakba faktorizáljuk. Igy az a^{−1}ȧ = −\frac{i}{h̄}E_{n} és a b^{−1}ḃ = −⟨n|ṅ⟩ differenciálegyenleteket kapjuk. Az egyenleteket megoldva

c(t) = e^{− \frac{i}{h̄} ∫_{0}^{t} E_{n}(X(t′))dt′}e^{− ∫_{0}^{t}⟨n,X(t′)| \frac{d}{dt′} |n,X(t′)⟩dt′}.  (5.7)

Ezt a kifejezést kell használnunk (5.5)-ben. Figyeljük meg, hogy ⟨n|n⟩ = 1 miatt ⟨ṅ|n⟩ + ⟨n|ṅ⟩ = 0. Mivel ⟨ṅ|n⟩ = \overline{⟨n|ṅ⟩} , ezért az ⟨n|ṅ⟩ mennyiség tiszta képzetes. Tehát az (5.7)-ben álló második kifejezés is egy fázisfaktor ahogyan annak lennie is kell.

Tekintsük most az adiabatikus időfejlődésnek egy fontos speciális esetét! Tegyük fel, hogy 0 ≤ t ≤ T és X(T) = X(0), azaz a rendszert az M paramétertérben adiabatikusan körbevisszük egy zárt görbén. Mivel az (5.3) sajátértékegyenleteknek az egyértékű megoldásait vesszük ezért |n, X(T)⟩ = |n, X(0)⟩. Ha t = 0-ban |n, X(0)⟩ -val indulunk akkor T idő eltelte után a

|ψ(T)⟩ = e^{− \frac{i}{h̄} ∫_{0}^{T} E_{n}(X(t))dt}e^{− ∫_{0}^{T} ⟨n,X(t)| \frac{d}{dt} |n,X(t)⟩dt}|n, X(0)⟩,  (5.8)

állapotba jutunk. Az első fázisfaktort a továbbiakban dinamikai fázisfaktornak fogjuk nevezni, tekintettel arra, hogy a kvantummechanikai rendszerünk dinamikáját H(t) határozza meg, és E_{n}(t) pedig ennek egy sajátértéke.

Fordítsuk most figyelmünket a másik fázisfaktor felé! Vegyük észre, hogy |n⟩ az időfüggést implicit módon X(t)-n keresztül tartalmazza. Mivel

\frac{d}{dt}|n, X(t)⟩ = ∇_{X}|n, X(t)⟩Ẋ(t),  (5.9)

a t-re történő integrálást átírhatjuk egy M-beli körintegrállá. Legyen ϕ_{n}(q, X(t)) ≡ ⟨q|n, X(t)⟩! Bevezetve a

A^{(n)}(X) ≡ i⟨n, X|∇_{X}|n, X⟩ = i ∫ dq\overline{ϕ_{n}(q, X)}∇_{X}ϕ_{n}(q, X) (5.10)

jelölést végeredményünket az alábbi alakba írhatjuk

|ψ(T)⟩ = e^{− \frac{i}{h̄} ∫_{0}^{T} E_{n}(X(t))dt}e^{i ∮_{C} A^{(n)}(X)dX}|n, X(0)⟩.  (5.11)

A (5.10) mennyiség neve az n-dik sajátaltérhez tartozó Berryféle vektorpotenciál. Az elnevezés jogosultságának bizonyítására megmutatjuk, hogy A^{(n)} csak egy skalárfüggvény gradiense erejéig meghatározott. Ennek bizonyításához vegyük észre, hogy az (5.3) egyenlet által definiált egyértékű |n, X⟩ sajátfüggvények csak egy helytől függő fázisfaktor erejéig meghatározottak. Azaz, alkalmazzuk az

|n, X⟩ → e^{iα(X)}|n, X⟩  (5.12)

transzformációt, ahol most a fázisfaktorról is feltesszük , hogy egyértékű függvénye X-nek. Ekkor A^{(n)} = i⟨n|∇|n⟩ transzformációs szabálya

A^{(n)}(X) → A^{(n)}(X) − ∇_{X}α(X),  (5.13)

ahogyan azt vártuk. Az (5.11)-ben szereplő körintegrál természetesen változatlan marad hiszen ∮_{C} ∇_{X}α(X)dX = 0. Megjegyezzük, hogy e^{iα(X)} egy M → U(1) leképezés, hiszen a fázisfaktorral való szorzás felfogható úgy mint egy 1 × 1-es unitér mátrix-val való szorzás. Az (5.12) és (5.13) transzformációs szabályt U(1) mértéktranszformációnak nevezzük. A Berry-féle vektorpotenciál tehát nem más mint egy az M paramétertéren ”élő” U(1) mértéktér.

Az (5.11)-ben kapott eredményünket ezek után az alábbi módon értelmezhetjük. A zárt görbén T idő alatt történő adiabatikus időfejlődés során az |n, X(0)⟩ hullámfüggvény egy olyan fázisfaktort szed fel mely két részből áll. Az egyik a már fent említett dinamikai fázisfaktor. A másik fázisfaktort (e^{i ∮_{C} A^{(n)}(X)dX}) Berry-féle fázisfaktornak fogjuk nevezni. Ez a fázisfaktor, melynek fontosságára M. V. Berry [2] irányította a fizikusok figyelmét, speciális esete mindazoknak a geometriai fázisfaktoroknak melyeket a fizikusok a későbbiekeben találtak. A

γ^{(n)}(C) ≡ ∮_{C} A^{(n)}(X)dX  (5.14)

fázis geometriai jellegű, hiszen csak a C görbétől függ, nem függ attól a sebességtől (mindaddig mig az adiabatikus tétel diktálta lassú sebességtartományban maradunk) mellyel a C-t körüljárjuk. A dinamikai fázis esetén a helyes kérdes: Mennyi ideig tartott az utazás? A geometriai fázis esetén pedig: Merre jártál?

Az (5.14) Berry-fázis további tulajdonságainak vizsgálatához egy kis matematikai kitérőt kell tennünk. Az M paramétertér szerkezetéről nem sokat mondtunk. A továbbiakban feltesszük, hogy vizsgálatainkat egy olyan U ⊂ M nyílt halmazon belül végezzük mely diffeomorf módon leképezhető R^{D} egy megfelelő nyílt halmazára. (A megfelelő egy-egyértelmű leképezés diffeomorf ha a leképezés és az inverze is (akárhányszor) differenciálható.) Ez azt jelenti, hogy az U ⊂ Mbeli pontokat X^{μ}, μ = 1, 2 …, D lokális koordinátákkal írhatjuk le. Másképp szólva az M paramétertérre lokálisan úgy gondolhatunk mint R^{D}-re. Persze M-nek létezhetnek nagyon fontos globális tulajdonságai is. (Gondoljunk az előző fejezetben megismert R^{2}/Z^{2} kúpra!) Ebben a fejezetben azonban feltesszük, hogy M nem tartalmaz szinguláris pontokat (mint például a kúp). Matematikailag ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy M előáll olyan U_{α}, α = 1, 2 … nyilt halmazok uniójaként melyek mind diffeomorfak R^{D} valamely nyílt halmazával. Az U_{α}-k lokális koordináták különböző választásának felelnek meg. Feltesszük, hogy az egyik X^{μ} lokális koordinátáról a másik X′^{ν} koordinátára való áttérésért felelős X′^{ν}(X) függvények végtelenszer differenciálhatóak. Az ilyen tulajdonságokkal rendelkező M-et differenciálható sokaságnak nevezzük. A kúp nyílván nem differenciálható sokaság. A továbbiakban lokálisan fogunk dolgozni, tehát M-re úgy fogunk gondolni mint R^{D}-re. Ahol a globális tulajdonságokat is szeretnénk hangsúlyozni (például a következő három alfejezetben ahol M = S^{2} a kétdimenziós gömbfelület) ott a különböző lokális koordináták választásával kapcsolatos kérdésekre is kitérünk.

Használjuk tehát M leírására a továbbiakban az X^{μ}, μ = 1, 2, …, D lokális koordinátákat! Ekkor ∇_{X} helyett a \frac{∂}{∂X^{μ}} ≡ ∂_{μ} jelölést használhatjuk. Ezzel a jelöléssel A_{μ}^{(n)}(X) = i⟨n, X|∂_{μ}|n, X⟩. Vezessük be továbbá az

A^{(n)} ≡ A_{μ}^{(n)}(X)dX^{μ}  (5.15)

jelölést. Tegyük fel, hogy a dX^{μ} koordinátadifferenciálok antiszimmetrikus módon szorzódnak. Vezessük be a koordinátadifferenciálok antiszimmetrikus szorzására a ∧ jelet. Például dX^{1}∧dX^{2} = −dX^{2}∧dX^{1}. Nyílván a feltételezett antiszimmetria miatt dX^{1}∧dX^{1} = −dX^{1}∧dX^{1} = 0. Hasonlóan írhatunk több dX^{μ}-ből álló szorzatokat is. Például dX^{1} ∧ dX^{4} ∧ dX^{5} = dX^{4} ∧ dX^{5} ∧ dX^{1}, hiszen kétszer kellet dX^{1}-et átemelni.

Az (5.15)-ben szereplő A^{(n)} egyetlen dX-t tartalmazó tagok összege. Nevezzük az ilyen A-t egy-formá-nak. Hasonlóan definiálhatunk kétformát,… k-formát is. Például az

F = \frac{1}{2}F_{μν}(X)dX^{μ} ∧ dX^{ν}  (5.16)

mennyiség egy két-forma. Mivel F_{μν} = \frac{1}{2}(F_{μν} + F_{νμ}) + \frac{1}{2}(F_{μν} − F_{νμ}), dX^{μ} ∧ dX^{ν} = −dX^{ν} ∧ dX^{μ} miatt láthatjuk,hogy (5.16)-ban csak F_{μν} antiszimmetrikus része szerepelhet. Feltesszük tehát, hogy az (5.16)- ban szereplő F_{μν} antiszimmetrikus tenzor. Látjuk tehát, hogy míg egy egy-formának egy kovarians vektor A_{μ} addig egy két-formának egy kétindexes antiszimmetrikus kovariáns tenzor F_{μν} felel meg. Hasonlóan építhetünk fel k-formákat melyeknek mind a k indexében teljesen antiszimmetrikus kovariáns tenzorok felelnek meg

ω = \frac{1}{k!}ω_{μ_{1}μ_{2}...μ_{k}}dX^{μ_{1}} ∧ dX^{μ_{2}} ∧ … ∧ dX^{μ_{k}}.  (5.17)

Könnyen megmutathatjuk D-dimenzióban a k formák lineáris teret alkotnak melynek dimenziója \binom{D}{k}. Egy ω p-formát és egy η q-formát összeszorozhatunk az alábbi módon

ω∧η = ω_{μ_{1}...μ_{p}}η_{ν_{1}...ν_{q}} \frac{1}{p!q!}dX^{μ_{1}}∧…∧dX^{μ_{p}}dX^{ν_{1}}∧…∧dX^{ν_{q}} = (−1)^{pq}η∧ω,

melynek eredménye láthatóan egy p + q-forma.

Egy k-formából k + 1-formát képezhetünk az u.n. külső deriválás segítségével. Ezt az operátort d-vel jelöljük és hatását az ω k-formára az alábbi módon értelmezzük

dω = \frac{1}{k!}(∂_{ν}ω_{μ_{1}μ_{2}...μ_{k}})dX^{ν} ∧ dX^{μ_{1}} ∧ dX^{μ_{2}} ∧ … ∧ dX^{μ_{k}}.  (5.18)

Könnyen megmutatható, hogy

d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)^{p}ω ∧ dη.

Egy f(X) függvény (nulla-forma) külső deriváltja a df = ∂_{μ}f(X)dX^{μ} egy-forma. A külső deriválás fontos tulajdonsága,hogy d^{2} = 0. Ennek bizonyításához alkalmazzuk a d operációt mégegyszer (5.18)-ra, így d^{2}ω = \frac{1}{k!}(∂_{μ}∂_{ν}ω_{μ_{1}μ_{2}...μ_{k}})dX^{μ} ∧ dX^{ν} ∧ dX^{μ_{1}} ∧ dX^{μ_{2}} ∧ … ∧ dX^{μ_{k}}, ami zérus tekintettel arra, hogy ∂_{μ}∂_{ν} egy szimmetrikus mátrix (Young-tétel), míg a dX^{μ} ∧ dX^{ν} mátrix antiszimmetrikus.

Ezek után készítsük el az (5.15) Berry-féle egy-forma külső deriváltját!

F^{(n)} ≡ dA^{(n)} = ∂_{ν}A_{μ}^{(n)}dX^{ν} ∧ dX^{μ} = \frac{1}{2}(∂_{ν}A_{μ}^{(n)} − ∂_{μ}A_{ν}^{(n)})dX^{ν} ∧ dX^{μ},

(5.19)

tehát (5.16) alpján az F_{μν}^{(n)} tenzor alakja F_{μν}^{(n)} = ∂_{μ}A_{ν}^{(n)} − ∂_{ν}A_{μ}^{(n)}. F^{(n)} neve Berry-féle görbületi két-forma, F_{μν}^{(n)} pedig a megfelelő görbületi tenzor.

Tekintsük most azt a fontos speciális esetet amikor D = 3, azaz a paramétertér lokálisan R^{3}, a három dimenziós Euklideszi tér! Ekkor F_{ij}^{(n)} = ε_{ijk}ε_{klm}∂_{l}A_{m}^{(n)} ahol i, j, k, lm = 1, 2, 3. Tehát F_{ij}^{(n)} = ε_{ijk}(∇ × A^{(n)})_{k}, ahol ∇ × A^{(n)} az A^{(n)} vektormező rotációját jelenti.

Könnyen megmutatható, hogy a külső deriválás d^{2} = 0 tulajdonsága az f nulla-formán a rot(gradf) = 0, A = A_{μ}dX^{μ} egy-formákon pedig a div(rotA) = 0 kifejezésekkel ekvivalens. Legyen B^{(n)} = ∇ × A^{(n)}, ekkor

F^{(n)} = \frac{1}{2}B_{k}^{(n)}ε_{kij}dX^{i} ∧ dX^{j} = B^{(n)}dS,  (5.20)

ahol kihasználtuk azt, hogy ε_{ijk} \frac{1}{2}dX^{i} ∧ dX^{j} = ε_{ijk}dX^{i}dX^{j} ez pedig éppen az irányított felületelem k-dik komponense dS_{k}.

Visszatérve az (5.14) Berry-fázishoz, ha D = 3 akkor a Stokes-tétel felhasználásával azt kapjuk

γ^{(n)}(C) = ∫_{S} B^{(n)}(X)dS,  (5.21)

azaz a Berry-fázis nem más mint az B^{(n)} = ∇ × A^{(n)} vektormező fluxusa azon az S felületen keresztül melyet C határol.

Ezt az eredményt differenciálformákkal az alábbi rövid alakban fogalmazhatjuk meg

γ^{(n)}(C) = ∫_{∂S=C} A^{(n)} = ∫_{S} dA^{(n)} = ∫_{S} F^{(n)},  (5.22)

ahol a ∂S = C jelölés arra utal, hogy az A^{(n)} egy-formát az S-et határoló zárt C görbére kell integrálni. Ebben a kompakt írásmódban ∫_{∂S=C} A^{(n)} tetszőleges dimenzióban történő vonalintegrált jelent (lásd (5.14)), míg ∫_{S} F^{(n)} egy D dimenziós felületi integrált. Az (5.22)-ben szereplő második egyenlőség a Stokes tétel D dimenziós általánosítása. Ennek a tételnek a bizonyítását és a differenciálformák integrálásával kapcsolatos bővebb információt lásd például [3]-ben. Összefoglalva: a Berry-fázis az (5.19) görbületi két-forma fluxusa a C görbét határoló S felületen át.

Ennek az alfejezetnek a lezárásaként az F^{(n)} Berry-féle két-formára néhány alternatív összeföggést vezetünk le. Kényelmi okokból vezessük be a |dn⟩ ≡ d|n, X⟩ = ∂_{μ}|n, X⟩dX^{μ} jelölést! A jelölés egy kicsit félrevezető hiszen nem az n-et deriváljuk X szerint hanem az n-vel indexelt implicit módon X-től is függő sajátfüggvényeket. Ekkor

F^{(n)} = dA^{(n)} = id⟨n|dn⟩ = i⟨dn| ∧ |dn⟩ = −ℑ⟨dn| ∧ |dn⟩.  (5.23)

Itt kihasználtuk, hogy ⟨n|d^{2}n⟩ = 0 illetve azt, hogy ⟨n|dn⟩ tiszta képzetes tehát ⟨dn| ∧ |dn⟩ is az. ℑ a z komplex szám képzetes részét jelenti,azaz z = ℜz + iℑz. Alkalmazzuk most a d operációt a H|n⟩ = E_{n}|n⟩ sajátértékegyenletre (lásd még (5.3)). Azt kapjuk, hogy

dH|n⟩ + H|dn⟩ = dE_{n}|n⟩ + E_{n}|dn⟩.  (5.24)

Szorozzuk meg ezt balról ⟨m|-vel ahol m ≠ n! Ekkor az ortonormáltságot kihasználva és a ⟨m|Hdn⟩ = ⟨Hm|dn⟩ = E_{m}⟨m|dn⟩ átalakítás után az

⟨m|dn⟩ = \frac{⟨m|dH|n⟩}{E_{n} − E_{m}},  (5.25)

összefüggésre jutunk. Mivel az {|m⟩}_{m=1}^{∞} rendszer teljes az I = ∑_{m=1}^{∞} |m⟩⟨m| egységoperátort ”beszúrhatjuk” F^{(n)} (5.23) összefüggésébe. Az eredmény F^{(n)} = −ℑ ∑_{m=1}^{∞}⟨dn|m⟩ ∧ ⟨m|dn⟩. Kihasználva az (5.25) összefüggést és a komplex konjugáltját az alábbi végeredményre jutunk

F^{(n)} = −ℑ ∑_{m≠n} \frac{⟨n|dH|m⟩ ∧ ⟨m|dH|n⟩}{(E_{n} − E_{m})^{2}},  (5.26)

ahol az n = m tag nem szerepel a szummában hiszen ⟨dn|n⟩ ∧ ⟨n|dn⟩ valós lévén ez két tiszta képzetes mennyiség szorzata. Az (5.26) formula igen fontos a gyakorlati számolások szempontjából hiszen a sajátfüggvények paraméterek szerinti deriváltjait nem tartalmazza.

F^{(n)} egy másik hasznos alakját vezethetjük le a P^{(n)} = |n⟩⟨n| spektrális projektorok bevezetésével. Ezekre P^{(n)}^{2} = P^{(n)}, T rP^{(n)} = ⟨n|n⟩ = 1. Mivel dP^{(n)} = |dn⟩⟨n| + |n⟩⟨dn| könnyen megmutathatjuk, hogy

F^{(n)} = −ℑT r(P^{(n)}dP^{(n)} ∧ dP^{(n)}P^{(n)}) = −ℑT r(P^{(n)}dP^{(n)} ∧ dP^{(n)}), (5.27)

ahol az utolsó egyenlőségnél kihasználtuk a T r(ABC) = T r(CAB) tulajdonságot.

5.2. DEGENERANCIÁK Ebben az alfejezetben megvizsgáljuk mi történik ha két szomszédos potenciálfelület E_{n}(X) ≡ E_{−}(X) és E_{n+1}(X) = E_{+}(X) valamely X = X^{⋆} értéknél egybeesik, azaz E_{+}(X^{⋆}) = E_{−}(X^{⋆}). Az egyszerűség kedvéert feltesszük azt is, hogy D = 3 tehát X egy közönséges három komponensű vektor. Legyen továbbá E_{+}(X) ≥ E_{−}(X). Használjuk fel az (5.26) formulát, ekkor (5.21) alapján γ^{(n)}(C) Berry-fázishoz a szummából az a tag fogja a legnagyobb járulékot adni melyre az energianevező a legkisebb. Ha X X^{⋆} környezetében marad akkor H(X)- et első rendig sorbafejthetjük X − X^{⋆}-ban, s így,

B^{(+)}(X) = −ℑ\frac{⟨+(X|∇H(X^{⋆})| − (X)⟩ × ⟨−(X|∇H(X^{⋆})| + (X)⟩}{(E_{+}(X) − E_{−}(X))^{2}},

(5.28)

ahol | ± (X)⟩ az E_{±}(X)-hez tartozó sajátfüggvények. Nyilvánvaló, hogy B^{(+)} = −B^{(−)}, ezért γ^{(+)}(C) = −γ^{(−)}(C). Szorítkozzunk arra a legegyszerűbb esetre amikor E_{±}(X^{⋆}) = 0 és X^{⋆} = 0. Ezt elérhetjük a koordinátarendszer origójának alkalmas eltolásával és a Hamilton operátor megfelelő konstanssal való eltolásával. A két (|±⟩) állapotot összecsatoló H(X)-et egy 2×2 Hermitikus mátrixszal reprezentálhatjuk. A legáltalánosabb ilyen mátrix kifejthető a három Pauli mátrix és az egységmátrix szerint: H = a_{i}σ_{i} + bI. A b konstans megválasztása csak az energia zérusszintjét tolja el, ezért az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy a_{i} = \frac{1}{2}X_{i}. Tehát H(X) = \frac{1}{2}X_{i}σ_{i}, i = 1, 2, 3. Ekkor E_{+}(X) = −E_{−}(X) = \frac{1}{2}R = \sqrt{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2}}. Tehát a degenerancia egy olyan izolált pontban történik ahol három paraméter egyszerre tűnik el. A Hamilton operátor konkrét alakjából következik, hogy ∇H = \frac{1}{2}σ.

A B^{(n)} kiszámítását jelentősen megkönnyíthetjük, ha a koordinátarendszerünket úgy forgatjuk el, hogy az X vektor a z tengely irányába mutasson. Ekkor |±(X)⟩ = |±⟩, ahol |±⟩ a szokásos spin sajátfüggvények melyekre

σ_{1}|±⟩ = |∓⟩, σ_{2}|±⟩ = ±i|∓⟩, σ_{3}|±⟩ = ±|±⟩.  (5.29)

Az (5.28)-ban lévő vektoriális szorzat első és második komponense nyilván zérus lesz hiszen ezek mindegyikében szerepel szorzóként a ⟨±|σ_{3}|∓⟩ = 0 mátrixelem. A harmadik komponensre kapjuk,hogy

B_{3}^{(+)} = −\frac{1}{2R^{2}} Im⟨+|σ_{1}|−⟩⟨−|σ_{2}|+⟩.  (5.30)

Azt kaptuk tehát, hogy B^{(+)} = (B_{1}^{(+)}, B_{2}^{(+)}, B_{3}^{(+)}) = −\frac{1}{2R^{2}} (0, 0, 1). Ezekután a koordinátatengelyeinket tetszőleges állásba visszaforgatva az eredmény

B^{(+)} = −\frac{1}{2} \frac{X}{R^{3}} .  (5.31)

Ez pedig egy a paramétertér origójában lévő −\frac{1}{2} póluserősségű mágneses monopólus mágneses térerőssége. Továbbá,ha az R^{3} pontjaival parametrizált kvantummechanikai rendszerünket egy X^{⋆} közelében lévő S-et határoló C zárt görbén adiabatikusan körbevisszük , akkor a | + (X)⟩ által felszedett Berry-fázis egy a X^{⋆} pontban lévő −\frac{1}{2} póluserősségű mágneses monopólus S-en átmenő fluxusával lesz egyenlő. Mivel dS = nR^{2}dΩ (n = X/R), ezért γ^{(±)}(C) = ∓\frac{1}{2}Ω(C) ahol Ω(C) az a térszög amely alatt a C görbét látjuk a degenerancia X^{⋆} pontjából.

Ez az igen fontos eredmény azt mutatja, hogy azok a paramétertérben lévő pontok melyekre két potenciálfelület metszi egymást bizonyos értelemben szingulárisak. Itt B^{(n)} divergenciája nem zérus (dF^{(n)} ≠ 0 jóllehet F^{(n)} = dA^{(n)}). Ezek azok a pontok melyeknél az adiabatikus tétel már nem alkalmazható, hiszen ezek közelében a gap feltétel már nem teljesül. Ezeket a pontokat topológiai szempontból konzisztens módon figyelembe vehetjuk ha egyszerűen kivágjuk őket M-ből. Például az előző esetben ekkor M = R^{3} − {0} lenne, amelyben ugyan minden görbe még összehúzható egy pontba, de minden gömbfelület már nem. (Például az origót is magábafoglaló gömbfelület.) A Berry-fázist felfoghatjuk tehát egy olyan globális detektornak is melynek segítségével feltérképezhetjük M topológiai szerkezetét.

5.3. SPIN MÁGNESES TÉRBEN

Tekintsünk egy m mágneses momentummal rendelkező részecskét. Ekkor a mágneses momentum

m = \frac{h̄e}{2mc}gS.  (5.32)

ahol S az s spinű részecske impulzusmomentum operátora, g a Landéféle g faktor ,\frac{eh̄}{2mc} a Bohr-magneton. Helyezzük ezt a részecskét lassan változó mágneses B(t) térbe. Hogy ne keverjük össze B-t mely most valódi mágneses teret jelöl az (5.20)-ban definiált B^{(n)}-vel ami három dimenziós paramétertér esetén épp a Berry-féle görbületi két-forma komponenseivel kapcsolatos, legyen X(t) ≡ B(t).

A mágneses momentum és a mágneses tér kölcsönhatását leíró Hamilton operátor

H(X(t)) = g \frac{eh̄}{2mc}XS ≡ bXS.  (5.33)

Az (5.33) Hamiltoni sajátértékei

E_{n}(X) = bnX, n = −s, … + s, X ≡ |X|  (5.34)

Ugyanis X-t a z-tengely irányába forgatva éppen S_{3} ≡ S_{z} sajátértékproblámáját kapjuk. Ez pedig a fenti 2s + 1 sajátértékhez vezet.

Tegyük fel, hogy a mágneses teret adiabatikusan változtatjuk. Induljunk ki az (5.33) Hamiltoni egyik |n, X(0)⟩ sajátállapotából. A kérdés: ha T idő eltelte és egy C zárt görbe bejárása után a mágneses tér iránya visszatér a kiindulópontba mekkora Berry-fázist szed fel a hullámfüggvény?

Az (5.21), (5.22) és (5.26)-os összefüggéseket felhasználva a Berry-fázis az alábbi háromkomponensű vektor fluxusa lesz azon felületen keresztül melynek határa C,

B^{(n)}(X) = −ℑ ∑_{m≠n} \frac{⟨n|S|m⟩ × ⟨m|S|n⟩}{X^{2}(n − m)^{2}},  (5.35)

B^{(n)}(X) kiszámításához X-et ismét a z-tengely irányába forgatjuk és kihasználjuk az alábbi összefüggéseket

(S_{1} ± iS_{2})|n, s⟩ = \sqrt{s(s + 1) − n(n ± 1)}|n ± 1, s⟩ S_{3}|n, s⟩ = n|n, s⟩. (5.36)

Ennek alapján láthatjuk, hogy a szummába csak olyan állapotok adnak járulékot melyekre m = n ± 1. Továbbá B_{1}^{(n)} és B_{2}^{(n)} kifejezésében a vektoriális szorzás miatt S_{3} offdiagonális mátrixelemei is szerepelnek. Ezért B_{1} = B_{2} = 0. Marad tehát B_{3}^{(n)}.

B_{3}^{(n)} = −\frac{1}{X^{2}} ℑ\{⟨n|S_{1}|n + 1⟩⟨n + 1|S_{2}|n⟩ − ⟨n|S_{2}|n + 1⟩⟨n + 1|S_{1}⟩

+ ⟨n|S_{1}|n − 1⟩⟨n − 1|S_{2}|n⟩ − ⟨n|S_{2}|n − 1⟩⟨n − 1|S_{1}⟩}

= −\frac{n}{X^{2}} .

(5.37)

Visszaforgatva a koordinátarendszert kapjuk, hogy

B^{(n)}(X) = −n\frac{X}{X^{3}} .  (5.38)

Az (5.21) Berry-fázis tehát egy −n póluserősségű mágneses monopólus azon felületen átmenő fluxusával egyenlő melyet a C görbe határol. A Berry-féle fázisfaktor pedig

e^{iγ^{(n)}(C)} = e^{−inΩ(C)},  (5.39)

ahol Ω(C) az a térszög amely alatt az origóból a C görbét látjuk. n = 1 esetén például ha B-t egy 60 fokos félnyílásszögű kúp mentén változtatjuk, akkor γ = π, így a hullámfüggvény előjelet vált. Vegyük észre, hogy a probléma s = 1/2 esetén matematikai szempontból ugyanaz mint az előző alfejezetben szereplő. (Ott X egy tetszőleges paraméter volt itt pedig X a változó mágneses téret jelenti.) Figyeljük meg azt is, hogy az X = 0 pont az M = R^{3} paramétertérben speciális pont. Ebben a pontban ugyanis az E = 0 sajátérték 2s + 1szeresen degenerált. Ennek a pontnak a közelében az adiabatikus tétel érvényét veszti. Ennek a pontnak a környezetét egy alkalmas G gömbbel kizárhatjuk a paramétertérből. Az így kapott új paramétertér R^{3} − G. Ez fordul elő akkor is amikor a mágneses térnek csak az iránya változik. Ekkor a paramétertér M = S^{2} a kétdimenziós gömbfelület. A fentiekben levezetett Berry-fázis jelenlétét kísérletileg is igazolták [4].

5.4. AZ AHARONOV-ANANDAN FÁZIS

Az eddigiek során olyan kvantummechanikai időfejlődést tekintettünk melyet adiabatikusnak gondoltunk el. Ennek a lényege az volt, hogy ha t = 0-ban a Hamilton operátor E_{n}(0)-hoz tartozó M dimenziós sajátalteréből indulunk ki^{⋆} , akkor az időtől függő Schrödinger egyenlet ezt az alteret egy későbbi t ≠ 0 időpontbeli, de ugyanehhez a sajátértékhez tartozó sajátaltérbe viszi. A különböző sajátértékekhez tartozó alterek közötti kvantumátmenetek valószínűségét tehát elhanyagoltuk.

Ebben a fejezetben általánosabb időfejlődést fogunk vizsgálni. Ehhez azonban előbb tisztáznunk kell a kvantummechanikai állapotok terének fogalmát. Egy kvantumrendszer lehetséges állapotait a H Hilbert tér vektorai reprezentálják. Kísérleti szempontból azonban a rendszer fizikai állapotát bármely időpillanatban mérésekkel határozhatjuk meg. Méréskor olyan megfigyelhető fizikai menynyiségeknek megfelelő Hermitikus operátorok sajátértékeit kapjuk, melyek egymás között kommutálnak. A rendszer állapota a mérés után a megfelelő közös sajátvektor lesz. A sarkallatos pont az, hogy a rendszer állapota így egy komplex számmal való szorzás erejéig határozatlan lesz. Valóban, az operátorok komplex linearitása miatt sajátvektoraink komplex számszorosa is sajátvektor lesz. A kvantumrendszer állapotait tehát valójában a Hilbert tér egydimenziós alterei (sugarai) adják. Jelöljük az így értelmezett állapotok terét P-vel. P pontos definícióját az alábbi módon adhatjuk meg

P = H/∼, ahol |ψ⟩ ∼ |ψ′⟩ ha |ψ⟩ = c|ψ′⟩, c ∈ C, |ψ⟩, |ψ′⟩ ∈ H. (5.40)

Másszóval a H Hilbert tér mindazon vektorait azonosítjuk melyek egymás komplex számszorosai. P másik szokásos neve projektív Hilbert tér. Nyílván P ugyanaz a tér mint a H egydimenziós altereire vetítő projekciós operátorainak tere. Legyen ugyanis P = |Φ⟩⟨Φ|. Ekkor P^{2}|ψ⟩ = ⟨Φ|Φ⟩P |ψ⟩. Ha |Φ⟩ egyre normált akkor |Φ⟩ és e^{iα}|Φ⟩ ugyanazt a normált fizikai állapotot írják le, hiszen a |Φ⟩ → e^{iα}|Φ⟩ transzformációra a P = |Φ⟩⟨Φ| érzéketlen.

⋆ Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban legyen M = 1.

Tekintsük példaként a spint leíró 2 dimenziós Hilbert teret. Ekkor H = C^{2}, azaz a két komplex számmal jellemezhető spinorok tere. |ψ⟩ tehát a (z_{1}, z_{2}) alakba írható. Tegyük fel továbbá, hogy z_{1} ≠ 0. A |ψ⟩ vektor és tetszőleges komplex számszorosa is ugyanazt az állapotot írja le P-ben. Tehát a c(z_{1}, z_{2}) alakú vektorok ∼-re nézve ugyanabba az ekvivalenciaosztályba esnek. Minden ekvivalenciaosztályból válasszunk egy reprezentánst. Legyen például c = (z_{1})^{−1}. P elemeit így az (1, w) alakba írhatjuk, ahol w = (z_{1})^{−1}z_{2} ∈ C. Az állapotok terét tehát egy w ∈ C komplex számmal indexelhetjük. Ha a z_{1} = 0 esetet is megengedjük akkor az állapotok terére a Riemann-féle gömböt (w ∈ C ∪ ∞) kapjuk. Ezt legegyszerűbben sztereografikus projekcióval láthatjuk be (lásd 5.1 ábra). Azt kaptuk tehát, hogy P = S^{2}, míg H = C^{2}. Hangsúlyozzuk, hogy a fizikai állapotok tere P és nem pedig a H Hilbert tér. Ebből a példából azt is látjuk, hogy P geometriai szempontból sokkal érdekesebb tér mint H.

5.1 ábra

Tekintsük most a Hilbert térnek az alábbi alakú egydimenziós projekciós operátorait.

Λ(t) ≡ |ψ(t)⟩⟨ψ(t)|,  (5.41)

ahol |ψ(t)⟩ kielégíti az ih̄ψ̇(t) = H(t)ψ(t) Schrödinger egyenletet. Mialatt a vizsgált fizikai rendszerünk az időben változik, Λ egy C görbét ír le P-ben

C : t → Λ(t).  (5.42)

A továbbiakban bennünket érdeklő időfejlődés nem stacionárius, azaz nem |ψ(t)⟩ = e^{iα(t)}|ψ(0)⟩ alakú. Az ilyen időfejlődésre ugyanis az (5.42) görbe egy ponttá degenerálódik. Irányítsuk figyelmünket ebben a fejezetben olyan időfejlődésre melyre létezik olyan T > 0, hogy

Λ(T) = Λ(0), amint C : t → Λ(t), 0 ≤ t ≤ T.  (5.43)

Azaz, az időfejlődés során állapotunk P-ben egy zárt görbét ír le. Az ilyen típusú evolúciót ciklikus evolúciónak nevezzük. Példánkban ahol H = C^{2} volt, a ciklikus evolúció a P = S^{2} Riemann-féle gömbön egy zárt görbét határoz meg. Vegyük észre, hogy H-ban a ciklikus evolúciót leíró |ψ(t)⟩-re

|ψ(T)⟩ = e^{iα_{ψ}}|ψ(0)⟩,  (5.44)

azaz |ψ(t)⟩ általában nem zárt görbét ír le. α_{ψ} egy ψ-től függő fázis (lásd 5.2 ábra).

Könnyen megmutatható, hogy az előző fejezetekben vizsgált erősen idealizált adiabatikus evolúció melynek során feltettük, hogy

Λ(t) = P_{n}(t) ≡ |n, X(t)⟩⟨n, X(t)|,  (5.45)

nem kompatibilis a Schrödinger egyenlettel. Tudva ugyanis, hogy P_{n}^{2}(t) = P_{n}(t) és

H(t)P_{n}(T) = P_{n}(t)H(t) = E_{n}(t)P_{n}(t), azaz [H(t), P_{n}(t)] = 0,
(5.46)

ennek az operátornak az időfejlődését a

ih̄Ṗ = [H, P] ≡ 0.  (5.47)

egyenlet írja le. Ebből viszont az következik, hogy |n, X(t)⟩ = e^{iα(t)} |n, X(0)⟩ minden t-re , azaz az állapot stacionárius. Ez pedig nem kompatibilis az (5.45) megszorítással. (5.45) ugyanis általában egy nem degenerált görbét ír le, míg a fent bebizonyított stacionaritás csak egy ponttá degenerálódott ”görbét” enged meg. Mi teszi mégis lehetővé a tétel gyakorlati alkalmazhatóságát? Az, hogy az (5.45) egyenlőséget nem egzaktul követeljük meg. Ez a kissé ”pongyola” megfogalmazás azt takarja , hogy találhatunk olyan ”közel fekvő” |ψ(0)⟩ ≠ |n, X(0)⟩ kezdőállapotot melyre az evolúció mindvégig ”közel” marad |n, X(t)⟩⟨n, X(t)|-hez.

Feladatunk tehát a ciklikus evolúció geometriájának a tisztázása. Ehhez olyan paraméterektől függő H(X(t)) Hamiltonit kell találnunk melyre a Schrödinger egyenlet megoldásából képezett (5.41) projektor kielégíti (5.43)-et. Tudjuk már, hogy az (5.45) adiabatikus evolúció a ciklikus evolúció degenerált esetét tudja csak megvalósítani. C ekkor csak egy pont. A ciklikus evolúció megvalósítására más utat kell tehát találnunk. Feltesszük ezért, hogy létezik egy olyan g diffeomorfizmus , hogy rögzített n esetén

Λ(t) = |n, g(X(t))⟩⟨n, g(X(t))|,  (5.48)

Ez a következőt jelenti. Legyen X(t) egy M paramétertérbeli C zárt görbe. A g : M → M diffeomorfizmus ehhez egy Y(t) zárt g(C) görbét rendel. (Lásd 5.2 ábra.)

Tekintsük most az

f^{(n)} : M → P, X ↦ P_{n}(X)  (5.49)

leképezést. Az f^{(n)} ∘ g leképezés az M-beli zárt C görbét a P-beli zárt C görbébe viszi.

5.2 ábra

Másoljuk most P minden pontja fölé mindazokat a H beli elemeket melyek ennek a pontnak megfelelő ekvivalenciaosztályba esnek. Normált H-beli elemek esetén ezek épp azok az elemek melyek e^{iα}|ψ⟩ alakúak, azaz csak egy fázisfaktorban különböznek. Legyen Π az a természetes Π : H → P projekció, mely az ”egymás fölött” elhelyezkedő e^{iα}|ψ⟩ alakú H-beli vektorokat a megfelelő P-beli pontba vetíti. Végtelen sok olyan különböző H-beli görbe létezik (ezek között lehetnek nyíltak is zártak is) , melyeknek az ”árnyéka” ugyanaz a P-beli zárt görbe. Például az ábrán feltüntettük a ciklikus evolúciót reprezentáló (5.44) tulajdonságú nyílt görbét, melynek P-ben a fázisfaktorral való szorzásra érzéketlen (5.43)-nek eleget tevő (5.41) kifejezés felel meg. Másrészt tudjuk azt is, hogy az (5.3)-nak eleget tevő |n, X⟩-t egyértékű-nek választottuk, ezért |n, g(X)⟩ is az. Az (5.48) feltevés tehát azt jelenti, hogy |n, g(X)⟩ egy olyan H-beli zárt görbe, (ábránkon ezt is feltüntettük) melynek az árnyéka ugyanaz a P-beli zárt görbe. (Az adiabatikus evolúciónak megfelelő f^{(n)}(C), P-beli görbét szaggatott vonallal tüntettük fel. Amint azt már tudjuk ez a görbe nem lehet azonos C-vel, jóllehet ez C közelében marad). Az (5.48) egyenlőséget másképp is értelmezhetjük. H -hoz található egy olyan H̃ melyre H̃(X) = H(g(X)). Ennek az új Hamilton operátornak az egyértékű sajátvektorai ciklikus állapotokat definiálnak. Persze ez a megközelítés mindaddig fából vaskarika amíg az ilyen tulajdonságú g-t meg nem találjuk. Egyáltalán nem biztos az sem, hogy g létezik az adott H(X(t)) Hamiltonira. A következő fejezetben olyan példát fogunk tekinteni melyre az ilyen tulajdonságú g létezik. Most azonban térjünk vissza a ciklikus evolúció geometriai vonatkozásainak vizsgálatához.

Tegyük fel tehát, hogy a fent megbeszélt tulajdonságú g leképezés létezik. Ekkor az ábra alapján látható, hogy |ψ(t)⟩-t az adiabatikus evolúcióra emlékeztető (5.5) alakba írhatjuk

|ψ(t)⟩ = c_{n}(t)|n, g(X(t))⟩  (5.50)

ahol |c_{n}(t)| = 1, és c_{n}(0) = 1. Ismételten hangsúlyozzuk, hogy |n, g(X(t))⟩ a H̃(X) = H(g(X)) Hamiltoninak a sajátfüggvénye, nem pedig a fizikai H(X)-nek. H(X)-nek és H̃(X)-nek nem lehet közös sajátfüggvényrendszere, hiszen adiabatikus ciklikus evolúció nincsen. (A degenerált esetet leszámítva.) Ebből következik, hogy [H(X), H̃(X)] ≠ 0.

Mivel (5.50) formailag ugyanolyan alakú mint (5.5), a Schrödinger egyenletet felhasználva és (5.50)-et balról ⟨n, g(X(t))| -vel megszorozva az (5.6) egyenlethez hasonló

ih̄ (\frac{d}{dt}(log c(t)) + ⟨n, g(t)|\frac{d}{dt}|n, g(t)⟩) = ⟨n, g(t)|H(t)|n, g(t)⟩ (5.51)

egyenletet kapjuk. Figyeljük meg azonban, hogy [H(X), H̃(X)] ≠ 0 miatt az egyenlet jobboldalán nem a megfelelő energiasajátérték áll.

Ismét megpróbálkozhatunk c(t)-nek a c(t) = a(t)b(t) alakba történő szeparálásával. A végeredmény

|ψ(T)⟩ = e^{− \frac{i}{h̄} ∫_{0}^{T} ⟨n,g(t)|H(t)|n,g(t)⟩dt}e^{− ∫_{0}^{T} ⟨n,g(t)| \frac{d}{dt} |n,g(t)⟩dt}|n(0)⟩. (5.52)

Vizsgáljuk meg a kapott eredmény fizikai jelentését! Vezessük be először a

|ψ̃(t)⟩ ≡ e^{\frac{i}{h̄} ∫_{0}^{t}⟨n,g(X(t′))|H(X(t′))|n,g(X(t′))⟩dt′}|ψ(t)⟩  (5.53)

vektort (lásd 5.2 ábra). Ez a vektor lényegében a |ψ(t)⟩ vektornak az a része mely nem tartalmazza a dinamikai fázisfaktort. Könnyen megmutathatjuk, hogy

⟨ψ̃|dψ̃⟩ = ⟨ψ|dψ̃⟩ = 0,  (5.54)

azaz |ψ̃⟩ úgy változik az időben, hogy a megváltozása mindig ortogonális marad H-ban |ψ⟩-re. Ez a tulajdonság emlékeztet az előző fejezetben megtárgyalt vektorok görbült terekben történő párhuzamos eltolására. (5.54) valóban a |ψ(0)⟩ Hilbert térbeli vektornak a P-ben lévő zárt C görbe mentén történő párhuzamos eltolását fejezi ki. Ezt az állítást az alábbiakban a vektorok gömb (S^{2}) felületén történő párhuzamos eltolásának vizsgálatával illusztráljuk.

Legyen r a gömb egy tetszőleges pontjába mutató egységvektor (rr = 1). Tekintsünk egy erre merőleges e egységvektort (er = 0, ee = 1.) Tekintsünk továbbá a gömbön egy C zárt görbét. Ezt az r(t) módon parametrizálhatjuk. Kérdésünk: hogyan definiálhatjuk e(t) párhuzamos eltolását? Definíciónk legyen az alábbi: megköveteljük, hogy e az eltolás során lokálisan nem fordulhat el r körül. Ennek a feltételnek a precíz megfogalmazásához tekintsük az ω pillanatnyi forgástengely irányába mutató szögsebesség vektort. Ezt kifejthetjük az ω = ar + bṙ + cr × ṙ, módon. Mivel e nem fordulhat el r körül ezért a = 0. Továbbá ė = ω × e, ezért

ė = bṙ × e + c(r × ṙ) × e = bṙ × e − c(eṙ)r,  (5.55)

ahol kihasználtuk a hármas vektoriális szorzat kifejtését és az er = 0 feltételt. Az er = 0 további felhasználásával megmutatható, hogy ṙ = ω × r, ezért c = 1, és b = 0, így ω = r × ṙ. Ezt ė = ω × e-be helyettesítve kapjuk a párhuzamos eltolás feltételét: ė = −(eṙ)r. Ezt az er = 0 feltétel deriválásával kapott rė = −eṙ feltétel felhasználásával az

(I − r ∘ r)ė = 0,  (5.56)

alakba írhatjuk, ahol r ∘ r két vektor diadikus szorzatát jelöli. A Λ ≡ I −r∘r 3×3-as mátrix kielégíti a Λ^{2} = Λ feltételt. Λ nem más mint a mindenkori r vektorra merőleges kétdimenziós altérre vetítő mátrix. Ez a kétdimenziós altér épp a gömb megfelelő pontbeli érintőtere. (5.56) tehát azt mondja: az e akkor parallel transzlált, ha lokális megváltozásának érintőtér irányú vetülete zérus, azaz Λde = 0. Ha (5.54)-et a Λ ≡ |ψ⟩⟨ψ| bevezetésével a Λd|ψ̃⟩ = 0 alakba írjuk akkor a fentiekkel való analógia nyílvánvaló.

Vizsgáljuk most meg az (5.52)-ben szereplő geometriai fázisfaktort. Ezt az (5.11)-hez hasonló

e^{i ∮_{C} Ã^{(n)}(X)dX}  (5.57)

alakba írhatjuk, ahol Ã_{μ}^{(n)}(X) = i⟨ñ, X|∂_{μ}|ñ, X⟩ , és az |ñ, X⟩ ≡ |n, Y (X)⟩ vektorok a H̃(X) = H(Y (X)) operátor sajátvektorai. Itt bevezettük a g-t reprezentáló Y^{μ} lokális koordinátákat melyek megadása a megszokott X^{ν} koordinátákkal kapcsolatos Y^{μ} ≡ Y^{μ}(X^{ν}) síma függvények megadásával ekvivalens (Y = g(X)).

Látható továbbá, hogy (5.57) nem függ attól hogy milyen sebességgel járjuk körül a C M-beli görbénket. Természetesen ismét bevezethetjük az (5.19)-nek megfelelő Aharonov-Anandan-féle görbületi kétformát. Ennek segítségével az Aharonov-Anandan (AA) fázis az alábbi alakot ölti

γ_{AA}^{(n)}(C) = ∫_{S} F̃^{(n)},  (5.59)

Azonban még további igen fontos ”felfedezéseket” tehetünk. (5.54) alapján láthatjuk, hogy a párhuzamos eltolás szabályát a paramétertér megemlítése nélkül is tudjuk definiálni. Valóban, az (5.54)-ben szereplő d operációt fogjuk fel csak annak, hogy a |ψ⟩ ∈ H Hilbert tér-beli vektort infinitezimális módon megváltoztatjuk. Ez természetesen történhet úgy is mint eddig, hogy a ψ ”hasában” lévő külső paramétereket változtatjuk. Előfordulhat az is, hogy ψ megváltozását valahogyan máshogy biztosítjuk. Ez történhet például úgy is, hogy a kvantumrendszerünket valamilyen mérőapparátussal hozzuk kapcsolatba. Itt most azonban elégedjünk meg azzal, hogy |ψ⟩ megváltozását nem csak egy paraméterektől függő unitér evoluciót biztosító Hamiltonival tudjuk jellemezni. Ami bennünket érdekel most az az, hogy amennyiben a nemtriviális geometriával rendelkező P állapotok terén egy zárt C görbét tudunk definiálni, az (5.54) szabály felhasználásával módunk van arra, hogy értelmezzük a |ψ⟩ ∈ H vektor C mentén történő párhuzamos eltolását. Az (5.54) szabály nem integrálható: lokálisan ugyan teljesíthető, globálisan azonban nem. (A gömbön például az (5.56) szabállyal lokálisan tudjuk biztosítani azt, hogy az e vektor ne forduljon el a gömb pillanatnyi normálisa körül, globálisan azonban nem. Ennek illusztrálására tekinthetjük az 5.3 ábrán látható zárt görbét, melyre e 90 fokot fordul el, annak ellenére, hogy azt lokálisan mindvégig párhuzamosan transzláltunk.)

5.3 ábra

Úgy tűnik tehát, hogy lehetőségünk van olyan nemintegrálható fázisfaktorok bevezetésére melyek P nemtriviális geometriáját tükrözik. Ezeket a fázisfaktorokat az M paramétertér megemlítése nélkül is be tudjuk vezetni. A továbbiakban ezeket a legáltalánosabb fázisfaktorokat geometriai fázisfaktoroknak fogjuk nevezni.

P egy megszámlálhatóan végtelen dimenziós sokaság. (A spin esetében véges dimenziós sokaság.) Bevezethetünk tehát megszámlálható lokális koordinátát: xμ̂, μ̂ = 1.2, … ∞. Formálisan definiálhatjuk a

A ≡ i⟨ψ|d|ψ⟩ = i⟨ψ(x)|∂μ̂|ψ(x)⟩dxμ̂, μ̂ = 1, 2, … ∞  (5.60)

differenciálformát, ahol a végtelen szumma konvergenciáját a Hilbert tér jól ismert tulajdonságai biztosítják. Ebben a képben az (5.54) szabály azt mondja, hogy lokálisan mindig található olyan |ψ⟩ → |ψ⟩e^{iα} U(1) mértéktranszformáció, melynek segítségével A = 0. Az A = 0 feltételt azonban globálisan nem tudjuk teljesíteni mindaddig amíg F = dA ≠ 0. F-ről pedig belátható, hogy általában nem zérus.

Térjünk most vissza az Aharonov-Anandan fázishoz mely a fent bevezetett geometriai fázisfaktorok speciális esete. Nyílván az Aharonov-Anandan egy-forma Ã^{(n)} is valamilyen értelemben speciális esete a teljesen általános A egy-formának. Az előbbi az M paramétertéren, az utóbbi a P projektív Hilbert téren él. Mi a két mennyiség kapcsolata? Az 5.4 ábra alapján láthatjuk, hogy f^{(n)} ∘ g egy leképezést definiál M-ből P-be. Lokális koordinátákkal f^{(n)} megadása az xμ̂(X) megszámlálhatóan végtelen darab síma függvény megadását jelenti. Legyen most f̃^{(n)} ≡ f^{(n)} ∘ g. Könnyen beláthatjuk (lásd 5.4 ábra), hogy

Ã^{(n)} = f̃^{(n)⋆}A = Aμ̂(x(X))\frac{∂xμ̂}{∂X^{μ}} dX^{μ}, μ̂ = 1, … ∞, μ = 1 … dimM.

(5.61)

5.4 ábra

A fentiekben definiált f̃^{(n)⋆} leképezés jelentése nyilvánvaló. Legyen X lokális koordináta U ⊂ M-en, és x lokális koordináta f̃^{(n)}(U) ⊂ Pn. Ha f̃^{(n)} az U-t f̃^{(n)}(U)-ba képezi, akkor f̃^{(n)⋆} az f̃^{(n)}(U)- beli A egy-formát ”visszahúzza” az U-beli f̃^{(n)⋆}A egy-formába. f^{(n)}^{⋆}A az A ”visszahúzottja” (angolul pull-back-je). Ennek alapján az Aharonov-Anandan fázist kétféleképpen is kiszámíthatjuk. Vagy Anak a P-beli f̃^{(n)}(C), vagy pedig Ã^{(n)}-nek az M-beli C görbére vett vonalintegráljaként,

γ_{AA}^{(n)}(C) = ∮_{C} Ã^{(n)} = ∮_{C} f̃^{(n)⋆}A = ∮_{f̃^{(n)}(C)} A.  (5.62)

Teljesen hasonlóan értelmezhetjük a Berry-fázist is. Ekkor A-t az f^{(n)} leképezés segítségével húzzuk vissza

γ_{B}^{(n)}(C) = ∮_{C} A^{(n)} = ∮_{C} f^{(n)⋆}A = ∮_{f^{(n)}(C)} A,  (5.63)

ahol A^{(n)}-t a szokásos (5.10) és (5.15) formulák definiálják.

Ezzel megmutattuk, hogy az alpvető geometriai struktúrát a (H, Π, P) hármas határozza meg. Ezen megadható egy szabály mely megmondja, hogyan kell a H-beli vektorokat a P-beli görbék mentén párhuzamosan eltolni. Ez a szabály egy kapcsolatot (idegen szóval konnexiót) ad meg a különböző P-beli állapotokat reprezentáló hullámfüggvények fázisa között. Az A egy-forma differenciálgeometriai elnevezése univerzális konnexió-forma. A A konnexióformán keresztül a kvantálás geometriai vonatkozásairól szerezhetünk ismereteket. Az Aharonov-Anandan és Berry-féle egy-formák tehát az univerzális konnexióforma f̃^{(n)} illetve f^{(n)} leképezések általi ”visszahúzottjai”.

5.5. SPIN MÁGNESES TÉRBEN. CIKLIKUS EVOLÚCIÓ.

Tekintsük a már jól ismert (5.33) Hamiltonit. Legyen C az alábbi M = S^{2} beli zárt görbe.

C : [0, T] → S^{2}, t ↦ X(t) = (sin θ cos(φ + ωt), sin θ sin(φ + ωt), cos θ). (5.64)

Itt θ(t) = θ és φ(t) = φ + ωt az időben változó gömbi polárkoordináták, θ és φ a görbe kezdőpontjának koordinátái. C tehát a gömb egyik szélességi körének felel meg. Az X(t) paraméterek időbeli változására most nem teszünk semmiféle megszorítást. Az ih̄∂_{t}ψ(t) = H(t)ψ(t) időtől függő Schrödinger egyenlet ebben az esetben egzaktul megoldható. A trükk az alábbi. A (5.64) görbét nyílván generálhatjuk a z-tengely körüli ωt szögű elforgatással. Ezt a forgáscsoport S_{3} operátora generálja. Az

e^{A}Be^{−A} = B + [A, B] + \frac{1}{2}[A, [A, B]] + \frac{1}{3!}[A, [A, [A, B]]] + … (5.65)

összefüggés és a [S_{k}, S_{l}] = ih̄ϵ_{klm}S_{m} kommutációs relációk felhasználásával belátható, hogy H(t) az alábbi alakba írható

H(t) = U^{†}(t)H_{0}U(t), ahol U(t) = e^{\frac{i}{h̄} ωtS_{3}}  (5.66a)

és

H_{0} = ω_{0}(sin θ cos φS_{1} + sin θ sin φS_{2} + cos θS_{3}) ≡ ω_{0}eS.  (5.66b)

Itt H_{0} már időfüggetlen. Következő lépésként írjuk ψ-t a ψ = U^{†}ψ′ alakba. Ekkor a Schrödinger egyenlet alapján

ih̄∂_{t}|ψ′⟩ = (UHU^{†} − ih̄U∂_{t}U^{†})|ψ′⟩ ≡ H_{0}′|ψ′⟩.  (5.67)

Könnyen megmutatható, hogy

H_{0}′ = H_{0}−ωS_{3} = ω_{0}[sin θ cos φS_{1}+sin θ sin φS_{2}+(cos θ−ω/ω_{0})S_{3}] = ΩẽS, (5.68)

ahol

ẽ = sin θ̃cos φ̃e_{1} + sin θ̃sin φ̃e_{2} + cos θ̃e_{3}, Ω =ω_{0}\sqrt{1 + \frac{ω}{ω_{0}} (\frac{ω}{ω_{0}} − 2 cos θ)} ,  (5.69a)

cos θ̃ = \frac{ω_{0}}{Ω} (cos θ − \frac{ω}{ω_{0}} ), sin θ̃ = \frac{ω_{0}}{Ω} sin θ, φ̃ = φ.  (5.69b)

H_{0}′ időfüggetlen, ezért (5.67) integrálható

|ψ′(t)⟩ = e^{− \frac{i}{h̄} tH_{0}′}|ψ′(0)⟩,  (5.70)

a teljes megoldás tehát

|ψ(t)⟩ = e^{− \frac{i}{h̄} tωS_{3}}e^{− \frac{i}{h̄} tH_{0}′}|ψ(0)⟩.  (5.71)

A következő lépésként megmutatjuk, hogy |ψ(0)⟩ ciklikus ha ez az (5.68)-beli H_{0}′ Hamiltoni sajátvektora. Legyen T ω = 2π. Ekkor

|ψ(T)⟩ = e^{−2π \frac{i}{h̄} S_{3}}e^{− \frac{i}{h̄} T H_{0}′}|ψ(0)⟩.  (5.72)

A bennünket érdeklő |ψ(0)⟩ ciklikus állapotok kielégítik (5.44)-öt (s így (5.43)-et is). Tehát

e^{−2π \frac{i}{h̄} S_{3}}e^{− \frac{i}{h̄} T H_{0}′}|ψ(0)⟩ ≡ U(T)|ψ(0)⟩ = e^{iα_{ψ}}|ψ(0)⟩.  (5.73)

Megmutatjuk, hogy [U(T), H_{0}′] = 0, ezért a ciklikus állapotok egyúttal H_{0}′ sajátvektorai is ahogyan azt beharangoztuk. Lássuk tehát a bizonyítást!

U(T)H_{0}′U^{†}(T) = ω_{0} sin θU^{†}(T)(cos φS_{1} + sin φS_{2})U(T)

+ ω_{0}(cos θ − ω/ω_{0})S_{3}, (5.74)

ahol U(T)-t (5.66)-ben definiáltuk. Ne keverjük ezt össze U(T)-vel ami az ”időfejlesztő” operátor. (5.65) segítségével megmutathatjuk, hogy U^{†}(T)S_{1}U(T) = cos(φ+2π)S_{1}+sin(φ+2π)S_{2}, így U^{†}(T)H_{0}′U(T) = H_{0}′. Ezt kellett bizonyítani. Fontos észbentartanunk azt is, hogy [H_{0}′, H_{0}] ≠ 0, tehát az adiabatikus evolúcóval ellentétben a |ψ(0)⟩ ciklikus vektor nem energiasajátvektor.

Most pedig definiáljuk az előző fejezetben bevezetett g leképezést az alábbi módon.

g : S^{2} → S^{2}, g : (θ, φ) ↦ (θ̃, φ̃).  (5.75)

Vezessük be az s = \frac{ω}{ω_{0}} mennyiséget, és az u ≡ cos θ, ũ = cos θ̃ koordinátatranszformációt. Ekkor az X ∈ S^{2} pont koordinátái: (u, φ). Az s mutatja meg, hogy a mágneses tér z tengely körüli precessziójának ω frekvenciája, hogyan aránylik a Larmor frekvenciához. s különböző értékeihez, különböző g_{s} : S^{2} → S^{2}, ∀s ∈ R_{0}^{+}, leképezéseket kapunk. Az (u, φ) koordinátákban a g_{s} leképezés alakja

g_{s} : (u, φ) ↦ (\frac{u − s}{\sqrt{s^{2} − 2us + 1}}, φ).  (5.76)

Könnyű belátni, hogy g_{s} egy síma függvény ∀(s, X) ∈ R_{0}^{+}×S^{2}-re, kivéve az (s, X) = (1, 1) pontot. Ekkor g_{1} az északi sarkpontot az Egyenlítőbe képezi (a θ = 0 azaz u = 1 pontban φ határozatlan), ezért g_{1} nem egyértékű. Megmutatható az is, hogy g_{s} 0 ≤ s < 1 esetén folytonos függvénye u-nak és s-nek is. Ebben az esetben g_{s} diffeomorfizmus. Mivel az s = 0 eset az identitás leképezésnek felel meg, ezért ekkor az f^{(n)} és az f̃^{(n)} leképezések folytonosan egymásbadeformálhatók. A homotópia előzőekből ismert fogalmát felidézve tehát azt mondhatjuk, hogy

f^{(n)} ∼ f̃^{(n)}, ha , 0 ≤ s < 1.  (5.77)

Szorítkozzunk a továbbiakban a (6.76)-ben definiált g_{s} leképezésekre, ekkor ugyanis az s → 0 esetén folytonosan éppen az adiabatikus limeszt kaphatjuk vissza. Definiáljuk a H̃(X) operátort az alábbi módon.

H̃(X) = \frac{ω_{0}}{Ω} H_{0}′(X).  (5.78)

Ekkor H̃(θ, φ) = H(g(θ, φ) = H(θ̃, φ̃). Nyílván H̃-nak és H_{0}′(X)- nek ugyanazok a sajátvektorai, tehát H̃ sajátvektorai is ciklikus vektorok. Ezzel megmutattuk, hogy a példánkul szolgáló rendszerhez g megkonstruálható.

Hátra van még az Aharonov-Anandan fázis kiszámítása. Legyen |ψ(0)⟩ = |ñ(0)⟩ = |n, θ̃, φ̃⟩. Ekkor (6.71) alapján belátható, hogy

|ψ(t)⟩ = e^{− \frac{i}{h̄} Ωnt}|ñ(t)⟩  (5.79)

.

ahol |ñ(t)⟩ = |n, g(t)⟩ = |n, θ̃(t), φ̃(t))⟩, és θ̃(t) = θ̃, φ̃(t) = φ̃ + ωt.

Az (5.68) és a (5.69b) kifejezésekből láthatjuk, hogy H̃ éppen a (5.33) Hamiltoni, egységnyi abszolútértékű mágneses térben, ahol most a mágneses tér irányát θ̃ és φ̃ paraméterezi. Az Aharonov-Anandan kétforma tehát továbbra is a szokásos (5.38) alakú, a fontos különbség az, hogy X helyett g(X)-et kell használnunk:

F̃^{(n)} = B̃^{(n)}dS̃ = −nẽdS̃ = −n sin θ̃dθ̃ ∧ dφ,  (5.80)

hiszen φ̃ = φ. Ezt kifejezhetjük az eredeti (θ, φ) koordinátákkal is

F̃^{(n)} = −n(\frac{ω_{0}}{Ω} )^{3} (1 − \frac{ω}{ω_{0}} cos θ) dθ ∧ dφ.  (5.81)

Az Aharonov-Anandan fázis tehát

γ_{AA}^{(n)} = ∫_{S} F̃^{(n)},  (5.82)

ahol S a C görbét (mely éppen egy szélességi kör volt) határoló felület. Felmerül azonban a kérdés: melyik felület? C-t ugyanis az 5.5 ábrán látható S és S′ felület is határolja.

5.5 ábra

Az e^{iγ_{AA}^{(n)}} fázisfaktor nyílván nem függhet S választásától. Ez azt jelenti, hogy

e^{i ∫_{S} F̃^{(n)}} = e^{i(∫_{S′} F̃^{(n)}+2πQ)}, Q ∈ Z,  (5.83)

azaz

Q = \frac{1}{2π} ∫_{S^{2}} F̃^{(n)} ∈ Z.  (5.84)

Azaz: F̃^{(n)}-nek a teljes paramétertér szerinti integrálja 2π-vel lenormálva egész szám kell hogy legyen. Mutassuk meg, hogy ez tényleg így van! Ehhez F̃^{(n)} (5.81) kifejezését az u = cos θ (ũ = cos θ̃) koordinátákkal írjuk fel.

Q = \frac{1}{2π} ∫_{S^{2}} F̃^{(n)} = −\frac{1}{2π} n ∫_{S^{2}} dũ∧φ̃ = −n ∫_{−1}^{1} \frac{1 − su}{(1 − 2su + s^{2})^{\frac{3}{2}}} du = −2n.

(5.85)

Mivel n a részecske spinjének a z tengelyre vett vetülete ezért Q egész szám ahogy annak lennie is kell. Figyeljük meg, hogy a (5.85)-ben szereplő integrál nem függ a folytonosan változó s paraméter értékétől. Speciálisan választhatjuk s-et zérusnak, ekkor g az identitás leképezés, a megfelelő fázis a Berry-fázis, de a Q továbbra is −2n marad. Mindaddig amig 0 ≤ s < 1, Q értéke tehát változatlan.

Vezessük be az F_{ξ}^{(n)} : M → P leképezések egyparaméteres családját úgy, hogy

F_{0}^{(n)} = f^{(n)}, F_{s}^{(n)} = f̃^{(n)}, 0 ≤ ξ < 1.  (5.86)

Most M = S^{2} és P = S^{2}. F_{ξ}^{(n)} tehét a kétdimenziós gömbfelületek közötti leképezések folytonosan egymásbadeformálható családja. Azt kaptuk, hogy a Berry fázissal kapcsolatos f^{(n)} , és az Aharonov-Anandan fázissal kapcsolatos f̃^{(n)} leképezések homotópak. A folytonos deformációkra érzéketlen Q tehát az F : S^{2} → S^{2} leképezést jellemző topológikus invariáns.

Mi történik ha most (6.77)-vel ellentétben 1 < s ≤ ∞? Vezessük be a q = 1/s mennyiséget. Ekkor

Q = \frac{1}{2π} ∫_{S^{2}} F̃^{(n)} = −n ∫_{−1}^{1} \frac{q^{3} − q^{2}u}{(1 − 2qu + q^{2})^{3/2}} du = 0,  (5.87)

amint azt az integrálok explicit kiszámolásával ellenőrizhetjük. Amint azt beláthatjuk q = 0 esetén g_{∞} a gömb minden pontját a déli pólusba képezi. Ekkor a megfelelő F_{∞}^{(n)} leképezés a paramétertér minden pontját a projektiv Hilbert tér egy pontjába fogja leképezni. Minden egyéb F_{ξ}^{(n)} , 1 < ξ ≤ ∞ leképezés homotóp ezzel a leképezéssel. Ezt tükrözi a Q = 0 eredményünk is.

(5.62) és (5.63) alapján már tudjuk, hogy az Aharonov-Anandan és a Berry-féle fázisfaktorok H egydimenziós sajátaltereinek M feletti elhelyezkedésével kapcsolatosak. Ekkor az ábra alapján az f^{(n)} és f̃^{(n)} leképezések segítségével minden M-beli pont ”fölé” is odamásolhatjuk a Hilbert tér fázisfaktorokban különböző elemeit (sugarait).

5.6. ábra

Az így kapott E és Ẽ sokaságok lokálisan az M és az egydimenziós sugarak direkt szorzatára hasonlítanak. Globálisan azonban általában nem hiszen a sugarak nemtriviális módon elfordulhatnak H-ban ahogyan M pontjait változtatjuk. Az algebrai geometria egy fontos tétele szerint E és Ẽ topológiája akkor és csak akkor ugyanaz, ha az f^{(n)} és f̃^{(n)} leképezések homotópak. Ekkor E és Ẽ topológiai szerkezete azonos lesz. Nemtriviális Berry-fázis esetén az Aharonov-Anandan fázis sem lesz triviális és viszont. s > 1 esetén azonban láttuk, hogy Ẽ topológiája különbözni fog E topológiájától, hiszen a megfelelő S^{2} → S^{2} leképezések nem homotópak. Ekkor megmutatható, hogy Ẽ nemcsak lokálisan hanem globálisan is direkt szorzata lesz S^{2}-nek és az egydimenziós sugarak terének. Azt mondjuk ilyenkor Ẽ triviális. Az Aharonov-Anandan fázis ebben az esetben kitranszformálható. Ekkor ugyanis lehetőségünk van arra, hogy a |ñ, X⟩ vektorainkat S^{2} felett globálisan értelmezzük. A Q = 0 feltétel tehát azt jelöli, hogy ekkor az Ã^{(n)} egyformát egy alkalmas mértéktranszformációval a paramétertér minden pontjában kitranszformálhatjuk.

Összefoglalva tehát azt mondhatjuk, hogy nemtriviális Berry, vagy Aharonov-Anandan fázist csak akkor kaphatunk, ha a megfelelő spektrális projektorok által definiált f^{(n)} és f̃^{(n)} : M → P leképezések nemtriviális homotópiaosztályba tartoznak. Ez azt jelenti, hogy a Hamiltoniban szereplő egyéb paraméterek folytonos változtatásával nem érhető el az , hogy ezek a triviális (konstans) leképezésbe deformálódjanak. Az itt bemutatott esetben az Aharonov-Anandan fázis felléptét kísérletileg is igazolták [5].

5.5. REFERENCIÁK A 4. FEJEZETHEZ

[1] A. Messiah, Quantum Mechanics North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1961)

[2] M. V. Berry, Peoc. R. Soc. London Ser. A392, 45 (1984).

[3] H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences Academic Press New York-London (1963).

[4] R. Tycko, Phys. Rev. Lett. 58 2281 (1987).

[5] D. Suter, K. T. Mueller and A. Pines, Phys. Rev. Lett. 60 1218 (1988).

Válogatott fejezetek a kvantummechanikából – 6. Dinamikai szimmetriák

6. DINAMIKAI SZIMMETRIÁK.

Kvantummechanikai tanulmányainkból tudjuk, hogy ha egy kvantumrendszer meghatározott szimmetriatulajdonságokkal rendelkezik, akkor ez a szimmetria a rendszer állapotainak degeneráltságában nyílvánul meg. Például, forgásszimmetrikus rendszerek az impulzusmomentum egy meghatározott komponensének a sajátértékei (általában J_{z}) szerint degeneráltak. (Kivételt képez a J = 0 eset.) A továbbiakban mindazokat a szimmetriákat melyek eredetüket tekintve geometriaiak geometriai szimmetriáknak fogjuk nevezni. Ilyenek például az eltolások, forgatások, tükrözések. Ebben a fejezetben a figyelmünket a szimmetriák olyan formáira fogjuk irányítani melyek nem geometriai eredetüek, hanem az erőtörvény vagy a Schrödinger egyenlet konkrét alakjával kapcsolatosak. Ezeket a szimmetriákat dinamikai szimmetriáknak fogjuk nevezni. Példaként a hidrogénatom dinamikai szimmetriacsoportjának mibenlétét fogjuk tisztázni. Megmutatjuk, hogy kötöttállapotok esetén ez a négydimenziós forgáscsoport (SO(4)), mig szórásállapotok esetén izomorf a (valódi) Lorentz-csoporttal (SO(3, 1)). Ezután tisztán csoportelméleti megfontolások segítségével leszármaztatjuk a hidrogénatom jólismert spektrumát, magyarázatot adunk az állapotok n^{2} szeres degeneráltságára (a spintől most eltekintünk). Ugyancsak a csoportelmélet alkalmazásával meghatározzuk a Coulomb szórás Smátrixát. Befejezésül az SO(2, 1) csoport példáján keresztül vázoljuk az un. algebrai szóráselmélet alapgondolatait.

6.1. A HIDROGÉNATOM DINAMIKAI SZIMMETRIACSOPORTJA

6.1.1 A Runge-Lenz vektor

A hidrogénatom E_{n} = \frac{m(ke^{2})^{2}}{2h̄^{2}} \frac{1}{n^{2}} energiasajátértékei (U(r) = ke^{2}/r), mint tudjuk, kizárólag az n főkvantumszámtól függenek (n = 1, 2, …). A probléma forgásszimmetriája miatt [L^{2}, H] = [L_{z}, H] = 0 így azt várjuk, hogy az energia független az m mágneses kvantumszámtól és az állapotok 2l + 1 szeresen degeneráltak (l a mellékkvantumszám).

Jóllehet az energiaértékek tényleg nem függenek m-től, azonban a degenerancia nem 2l+1 hanem ∑_{l=0}^{n−1}(2l+1) = n^{2}-szeres. Erre a meglepő extra degeneranciára szeretnénk magyarázatot találni. A problémára már 1926-ban Pauli [1] majd később Fock [2] és Bargmann [3] is felfigyeltek. Ötletük az volt, hogy a hidrogénatomot leíró Schrödinger egyenletnek kell, hogy legyen egy olyan G szimmetriacsoporttal jellemzett szimmetriája mely tartalmazza a szokásos forgáscsoportot.

Klasszikus mechanikából megtanultuk, hogy a Kepler probléma H = \frac{p^{2}}{2m} − \frac{α}{r} Hamilton függvénye nem függ az időtől, ezért a teljes energia E mozgásállandó. A probléma forgásszimmetriájából következően az impulzusmomentum is megmarad, és a pálya egy rögzített síkban fekszik. Az impulzusmomentum vektor L egy az erre a síkra merőleges axiálvektor. A klasszikus probléma kötöttállapoti megoldásai ellipszisek. Mindezek a megmaradási törvények azonban még nem garantálják, hogy a síkban fekvő pálya még zárt is legyen. Egy kicsi eltérés a potenciál U(r) = −\frac{α}{r} szokásos alakjától már azt vonná maga után, hogy az ellipszis nagytengelye lassan elfordul s így a pálya már nem lesz zárt. Ennek alapján azt várjuk, hogy H-n és L-en kívül létezik egy olyan mennyiség mely az U(r) = −\frac{α}{r} potenciálra mozgásállandó. Ez a mozgásállandó fogja rögzíteni az ellipszis nagytengelyének irányát.

A keresett mennyiséget a fizikusok régóta ismerik ez pedig a Runge-Lenz vektor

K = \frac{1}{m}p × L − α\frac{r}{r}.  (6.1)

Felhasználva a ṗ = −αr/r^{3} (p = mṙ) Newton egyenletet, és a ṗ×(r×p) hármas vektoriális szorzat kifejtését könnyen megmutathatjuk, hogy K̇ = 0, tehát K tényleg mozgásállandó. (L̇ = 0.)

Tekintsünk most egy ellipszis pályát! Az ellipszis nagy és kistengelyei a és b a fókusztávolság c. A pálya fókuszhoz legközelebbi (legtávolabbi) pontja a perihélium (afélium) az ennek megfelelő távolság r_{p} (r_{a}). A megfelelő pontokba mutató vektorok r_{p} és r_{a}. Nyilvánvaló, hogy r_{p} + r_{a} = 2a, továbbá r_{a} = a + c illetve r_{p} = a − c. Tudjuk továbbá azt is, hogy a^{2} = b^{2} + c^{2} és az ellipszis excentricitása ϵ = c/a, így

r_{p} = a(1 − ϵ).  (6.2)

Mivel K megmaradó mennyiség, ezért értékét a pálya tetszőleges pontjában kiszámíthatjuk. Legyen ez a pont r_{p}! Itt r és p merőlegesek egymásra ezért p × L = p × (r × p) = rp^{2} − p(rp) miatt

p × L|_{p} = r_{p}p^{2} = r_{p}(L^{2}/r_{p}^{2}).  (6.3)

Ebben a formulában L^{2} egy megmaradó mennyiség tehát értékét kifejezhetjük az ellipszis adataival. Ahhoz hogy ezt megtegyük az energia kifejezését gömbi koordinátákban (lásd klasszikus mechanika kurzus) írjuk fel

E = \frac{p_{r}^{2}}{2m} + \frac{L^{2}}{2mr^{2}} − \frac{α}{r}.  (6.4)

Perihéliumban és aféliumban a p_{r} radiális impulzus zérus így

E = \frac{L^{2}}{2mr_{p}^{2}} − \frac{α}{r_{p}}  (6.5a)

E = \frac{L^{2}}{2mr_{a}^{2}} − \frac{α}{r_{a}} .  (6.5b)

A két egyenletet egymásból kivonva kapjuk, hogy L^{2}(r_{p} + r_{a}) = 2mα(r_{p}r_{a}). Mivel r_{p}r_{a} = b^{2}, ezért

L^{2} = mα\frac{b^{2}}{a} = mαa(1 − ϵ^{2}).  (6.6)

Ezt a (6.3) kifejezésbe helyettesítve és felhasználva a (6.2) összefüggést és K (6.1) definicióját kapjuk, hogy

K = αϵ\frac{r_{p}}{r_{p}} .  (6.7)

Láthatóan K egy rögzített irányba mutató αϵ nagyságú vektor. Könnyen megmutatható, hogy K még az alábbi összefüggéseknek is eleget tesz

LK = 0, K^{2} = \frac{2}{m}HL^{2} + α^{2}.  (6.8)

Következő feladatunk a fent vázolt klasszikus probléma kvantálása. Ehhez értelmeznünk kell a (6.1) Runge-Lenz vektornak megfelelő K̂ Hermitikus operátort. Paulit követve az alábbi választás kézenfekvőnek tűnik

K̂ = \frac{1}{2m}(p̂ × L̂ − L̂ × p̂) − α\frac{r}{r}.  (6.9)

A (6.9) kombináció nyílván Hermitikus hiszen

(p̂ × L̂)_{j}^{†} = (ϵ_{jmn}p̂_{m}L̂_{n})^{†} = (ϵ_{jmn}L̂_{n}p̂_{m}) = −(L̂ × p̂)_{j}.  (6.10)

Az [r̂_{j}, p̂_{k}] = ih̄δ_{jk}Î kommutációs reláció, és az [Â, B̂Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ] összefüggés felhasználásával hosszadalmas számolás után belátható ,hogy

[K̂, Ĥ] = 0,  (6.11a)

K̂L̂ = L̂K̂ = 0, K̂^{2} = \frac{2}{m}Ĥ(L̂^{2} + h̄^{2}) + α^{2}.  (6.11b)

A (6.11a) összefüggés azt fejezi ki, hogy a K̂ operátorral reprezentált fizikai menynyiség megmarad, (6.11b) pedig (6.8) kvantummechanikai analogonja.

Mivel L̂ és K̂ is kommutál a hidrogénatom Hamilton operátorával, kézenfekvő a feltevés, hogy ez a hat operátor egy szimmetriacsoport hat generátorát reprezentálja. A csoport Lie-algebrájának szerkezetét ezen hat operátor kommutációs relációinak vizsgálatával deríthetjük fel. További fáradtságos számolások után az alábbi kommutációs relációkat kapjuk

[L̂_{m}, L̂_{n}] = ih̄ε_{mnj}L̂_{j},  (6.12a)

[L̂_{m}, K̂_{n}] = ih̄ε_{mnj}K̂_{j},  (6.12b)

[K̂_{m}, K̂_{n}] = ih̄ (−\frac{2}{m}Ĥ) ε_{mnj}L̂_{j}.  (6.12c)

A (6.12) formulákból látható, hogy az L̂ operátorok egy zárt algebrát feszítenek ki mely éppen az SO(3) algebra. Az K̂ operátorokat is hozzávéve az algebra azonban nem záródik hiszen a kommutációs relációkban megjelenik a Ĥ operátor is. Mivel azonban Ĥ kommutál mind a hat operátorral, és független az időtől, ezért a továbbiakban a Hilbert tér rögzített energiájú alterére szűkítjük le az operátorainkat. Ekkor a Ĥ operátor helyett a konstans E energiát írhatjuk formuláinkba. A továbbiakban két fontos esetet különböztetünk meg. Ha E < 0 (E > 0) akkor a generátorainkat újranormálva

M̂ ≡ \sqrt{∓\frac{m}{2E}} K̂,  (6.13)

kapjuk, hogy

[L̂_{k}, L̂_{n}] = ih̄ε_{knj}L̂_{j},  (6.14a)

[L̂_{k}, M̂_{n}] = ih̄ε_{knj}M̂_{j},  (6.14b)

[M̂_{k}, M̂_{n}] = ±ih̄ε_{knj}L̂_{j}.  (6.14c)

A (6.14c) relációban E < 0 (E > 0) esetén a pozitív (negatív) előjel értendő. Kötött és szórásállapotok esetén láthatóan két különböző Liealgebrát kaptunk. A következő alfejezetben megmutatjuk, hogy a két megfelelő algebra az SO(4) illetve az SO(3, 1) csoportok Lie-algebrája.

6.1.2 Az SO(4) és SO(3, 1) csoportok Lie algebrája

Ebben az alfejezetben rövid matematikai kitérőt teszünk, és megmutatjuk, hogy a (6.14) Lie-algebra izomorf az SO(4) (SO(3, 1)) algebrával ha (6.14c)-ben a felső (alsó) előjelet választjuk. Tekintsük azt a 4 × 4-es diagonális g mátrixot melynek elemei g_{11} = g_{22} = g_{33} = 1, g_{44} = ±1, g_{ij} = 0, ha i ≠ j. Ezekután definiáljuk két x, y ∈ R^{4}-beli vektor skaláris szorzatát az alábbi módon

⟨x, y⟩ ≡ x_{i}g_{ij}y_{j}, i, j = 1, … 4.  (6.15)

Nyilván g a metrikus tenzor szerepét tölti be. Legyen A az alábbi tulajdonságu valós 4 × 4-es egységnyi determinánsú mátrix (detA = 1)

⟨Ax, Ay⟩ = ⟨x, y⟩.  (6.16)

Az ilyen tulajdonságu mátrixok az SO(4) (SO(3, 1)) csoportot alkotják g_{44} pozitív (negatív) előjelválasztása esetén. (6.16) baloldalát komponensenként kiírva kapjuk, hogy

A^{T} gA = g,  (6.17)

ahol A^{T} az A matrix transzponáltját jelenti. A fenti csoportok Liealgebrájának jellemzéséhez meg kell vizsgálnunk , a csoport viselkedését az egységelem környezetében. Legyen A = I + ω ahol ω egy infinitezimális 4 × 4-es mátrix, I pedig az egységmátrix. Az A = I + ω kifejezést (6.17)-be helyettesítve ω-ban elsőrendben kapjuk, hogy

ω^{T} g + gω = 0.  (6.18)

Vegyük fel az ω mátrixot az ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) alakban, ahol a egy 3 × 3-as,

b 1 × 3-es, c 3 × 1-es mátrix, d pedig egy valós szám. ω fenti alakját (6.18)-ba helyettesítve kapjuk, hogy

ω = ( \begin{matrix}a & b \\ ∓b^{T} & 0 \end{matrix} ) , a^{T} = −a,  (6.19)

azaz a egy 3 × 3-as antiszimmetrikus mátrix. (SO(4) esetében ω egy 4×4-es antiszimmetrikus mátrix.Ekkor ugyanis (6.19)-ben a felső előjelet kell választani.) Az ω mátrixnak hat független eleme van, csoportunk tehát egy hat paraméteres Lie-csoport, az infinitezimális generátorok száma is hat. Ne felejtsük el, hogy az a és b mátrixok is infinitezimálisak, ezért ω-t célszerű az alábbi alakba írni

ω ≡ \frac{i}{h̄}β_{a}(T_{a})_{jk}, a = 1, … 6, j, k = 1, … 4.  (6.20)

A (6.20)-ban megjelenő jelölések még magyarázatra szorulnak. Kvantummechanikai tanulmányainkból tudjuk, hogy a szimmetriákat Û unitér operátorokkal reprezentáljuk melyek Ô generátorai Hermitikus operátorok. Û és Ô kapcsolata mint tudjuk

U = e^{^{\frac{i}{h̄}} Ô} = Î+ \frac{i}{h̄}Ô + ….  (6.21)

Infinitezimális Ô esetén a ”…” magasabbrendű tagokat elhanyagolhatjuk. Ezekután érthető, hogy az \frac{i}{h̄} faktort a kvantummechanikai analógia kedvéért ”húztuk ki” ω-ból. A hat β_{a} paraméter infinitezimális, ezek a forgáscsoportnál megismert Eulerszögek infinitezimális analogonjai. A hat T_{a} extra jk indexei azt jelzik, hogy ezek az infinitezimális generátorok még 4×4-es mátrixok is. Ezeket a mátrixokat az alábbi alakuaknak választjuk

T_{1} = h̄ ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , T_{2} = h̄ ( \begin{matrix}0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ −i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ,

T_{3} = h̄ ( \begin{matrix}0 & −i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , T_{4} = h̄ ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & −i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ ±i & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ,

T_{5} = h̄ ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ±i & 0 & 0 \end{matrix} ) , T_{6} = h̄ ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −i \\ 0 & 0 & ±i & 0 \end{matrix} ) .  (6.22)

Legyen most L̃ = (L̃_{1}, L̃_{2}, L̃_{3}) ≡ (T_{1}, T_{2}, T_{3}),és M̃ = (M̃_{1}, M̃_{2}, M̃_{3}) ≡ (T_{3}, T_{4}, T_{5}). Egy kis számolás után meggyőződhetünk arról, hogy ez a hat mátrix ugyanazokat a (6.14) kommutációs relációkat elégíti ki mint a hat (L̂ M̂) operátor. Ezzel megmutattuk azt, hogy a (6.14) Lie-algebra izomorf az SO(4) (SO(3, 1)) Lie-algebrával.

6.1.3 Kötött állapotok.

Most végre visszatérhetünk az eredeti problémánkhoz nevezetesen a hidrogénatom sajátállapotainak n^{2}-szeres degeneráltságához. A probléma megoldásához fontos lépést tettünk előre azzal, hogy tisztáztuk a szerepet játszó szimmetriacsoport természetét. Csoportunk az SO(4) azonban még tartogat számunkra némi meglepetést. Ez a csoport az SO(N) (N dimenziós forgáscsoport) csoportok között speciális szerepet tölt be. Tekintsük ugyanis a generátoraink alábbi lineáris kombinációját

Ĵ^{(1)} ≡ \frac{1}{2}(L̂ + M̂), Ĵ^{(2)} ≡ \frac{1}{2}(L̂ − M̂).  (6.23)

Mivel Lie-algebránk egyben egy hat dimenziós vektortér, ez egy másik bázis választásának felel meg. Ezek az új operátorok továbbra is kommutálnak Ĥ-val és az alábbi kommutációs relációknak tesznek eleget

[Ĵ_{k}^{(1)}, Ĵ_{l}^{(1)}] = ih̄ε_{klm}Ĵ_{m}^{(1)},  (6.24a)

[Ĵ_{k}^{(2)}, Ĵ_{l}^{(2)}] = ih̄ε_{klm}Ĵ_{m}^{(2)},  (6.24b)

[Ĵ_{k}^{(1)}, Ĵ_{l}^{(2)}] = 0.  (6.24c)

azt tapasztaltuk tehát, hogy az so(4) algebra (ezentúl a Lie-csoport algebráját kis betűvel fogjuk megkülönböztetni a megfelelő Liecsoporttól, SO(4) utal a csoportra so(4) pedig a csoport algebrájára) szétesik két független so(3) algebrára. Matematikai szempontból ez azt jelenti, hogy so(4) két darab so(3) direkt összege, azaz so(4) = so(3) ⊕ so(3). Mivel az so(3) éppen az impulzusmomentum algebra, és ennek az ábrázolásait már korábbi kvantummechanikai tanulmányainkból már ismerjük, ezért az so(4) algebra ábrázolásait is könnyűszerrel megkonstruálhatjuk.

Frissítsük fel az so(3) algebra ábrázolásairől szerzett ismereteinket! A különböző unitér irreducibilis ábrázolásokat egy pozitív egész vagy félegész szám indexeli. Jelöljük ezeket a számokat j_{1} (j_{2})-vel a Ĵ^{(1)} (Ĵ^{(2)}) generálta so(3) algebrára. A lehetséges értékek tehát: j_{1} = 0, \frac{1}{2}, 1, …, j_{2} = 0, \frac{1}{2}, 1, . . .. Tudjuk továbbá azt is , hogy

(Ĵ^{(1)})^{2}|j_{1}m_{1}⟩ = h̄^{2}j_{1}(j_{1} + 1)|j_{1}m_{1}⟩, Ĵ_{3}^{(1)}|j_{1}m_{1}⟩ = h̄m_{1}|j_{1}m_{1}⟩. (6.25a)

(Ĵ^{(2)})^{2}|j_{2}m_{2}⟩ = h̄^{2}j_{2}(j_{2} + 1)|j_{2}m_{2}⟩, Ĵ_{3}^{(2)}|j_{2}m_{2}⟩ = h̄m_{2}|j_{2}m_{2}⟩. (6.25b)

A (6.11b), (6.13) és (6.23) formulákból tudjuk, hogy L̂M̂ = (Ĵ^{(1)})^{2} − (Ĵ^{(2)})^{2} = 0. Ebből következik, hogy j_{1} = j_{2} ≡ j = 0, \frac{1}{2}, 1 . . ..

Definiáljuk most a következő operátort!

Ĉ ≡ (Ĵ^{(1)})^{2} + (Ĵ^{(2)})^{2} = \frac{1}{2}(L̂^{2} + M̂^{2}) = \frac{1}{2}(L̂^{2} − \frac{m}{2E} K̂^{2}).  (6.26)

Ez az operátor az so(4) algebra minden generátorával felcserélhető. Az ilyen tulajdonságú operátort Casimir operátornak nevezünk. Az so(4) bennünket érdeklő ábrázolásait tehát jellemezhetjük ennek az operátornak a sajátértékeivel. Mivel j_{1} = j_{2} = j ez a sajátérték

C = 2h̄^{2}j(j + 1).  (6.27)

Figyeljük meg, hogy (6.27)-ben Ĉ-ről a ”kalapot” elhagytuk ezzel utaltunk arra, hogy C egy szám amit úgy kapunk, hogy Ĉ-t a megfelelő konstans energiáju, j_{1} = j_{2} tulajdonságú sajátaltéren ”értékeltük ki”. Számoljuk most ki ugyanezen az altéren (6.26) jobb oldalát. (6.11b) felhasználásával kapjuk, hogy

C = \frac{1}{2} (−h̄^{2} − \frac{m}{2E} α^{2}) .  (6.28)

(6.27)-et és (6.28)-at egyenlővé téve és E-t kifejezve kapjuk

E = −\frac{mα^{2}}{2h̄^{2}} \frac{1}{(2j + 1)^{2}} , j = 0, \frac{1}{2}, 1 …,  (6.29)

ami az n ≡ 2j + 1 = 1, 2, 3 …, α = ke^{2} szereposztással épp a hidrogénatom ismert sajátenergiáit adja.

Mi a helyzet a degeneranciával? Ennek vizsgálatához vegyük észre, hogy L̂ = Ĵ^{(1)} + Ĵ^{(2)} (lásd (6.23)). Az impulzusmomentum összeadás szabályából l lehetséges értékei

l = |j_{1} − j_{2}| = 0, 1, 2, …, j_{1} + j_{2} = 2j = n − 1.  (6.30)

l tehát a 0, 1, 2, … n − 1 értékeket veheti fel ahogy annak lennie is kell. A degenerancia meghatározásához vegyük észre, hogy Ĥ, J_{3}^{(1)}, J_{3}^{(2)} páronként kommutálnak így választható közös sajátfüggvényrendszerük. (6.25a,b) alapján j_{1} = j_{2} = j ismételt figyelembe vételével kapjuk, hogy a rögzített energiájú állapotok száma megegyezik a |jm_{1}⟩ ⊗ |jm_{2}⟩ tenzorszorzatbeli állapotok számával. Mivel m_{1} és m_{2} egyaránt a −j, −j + 1, … j értékeket veheti fel ezért a degenerancia (2j + 1)^{2} = n^{2} ahogy annak lennie is kell.

6.1.4 A Wigner-Eckart tétel, és az so(3, 1) algebra unitér irreducibilis ábrázolásai.

Mielőtt a szórásállapotok tárgyalásába fognánk, szükséges egy kis csoportelméleti kitérőt tennünk. Tudjuk, hogy szórásállapotokra E > 0 így a (6.13) M̂ operátorok alakja

M̂ = \frac{m}{h̄k} K̂, E ≡ \frac{h̄^{2}k^{2}}{2m} .  (6.31)

Ezek az operátorok a (6.14) SO(3, 1) felcserélési relációknak tesznek eleget. ((6.14c)-ben a negatív előjelet kell vennünk.) A szórásmátrix csoportelméleti meghatározásához szükségünk lesz az so(3, 1) algebra unitér irreducibilis ábrázolásainak ismeretére. (Pontosabban a Hermitikus M̂_{3} operátor bizonyos mátrixelemeire.) Mivel ez a feladat meglehetősen bonyolult ezért ebben a fejezetben csak az alapvető matematikai lépéseket vázoljuk, a részletesebb tárgyalást lásd például A. Bohm kitünő könyvében [4].

Az so(3, 1) unitér irreducibilis ábrázolásainak meghatározásához hasonló stratégiát követünk mint az so(3) algebra esetén. Itt az L_{1}, L_{2}, L_{3} operátorok mátrixelemeit az L_{3} operátorok sajátvektorai által kifeszített bázisban határoztuk meg, ahol L_{3} egy so(2) részalgebrát generált. A végeredmény mint tudjuk

L_{3}|lm⟩ = h̄m|lm⟩,  (6.32a)
L_{±}|lm⟩ = h̄\sqrt{l(l + 1) − m(m ± 1)}|lm ± 1⟩,  (6.32b)
L_{±} ≡ L_{1} ± iL_{2}, l = 0, \frac{1}{2}, 1, … m = −l, …, l.  (6.32c)

Mivel az so(3) algebra az so(3, 1) részalgebrája és az so(3) algebra (6.32) irreducibilis ábrázolásai már ismertek, feladatunk a fentiek alapján az K_{1}, K_{2}, K_{3} operátorok |lm⟩ bázisbeli mátrixelemeinek meghatározása. Jelöljük az |lm⟩ bázisvektorok által kifeszített vektorteret R_{l}-vel. Feladatunk az R = ∑_{l} ⨁ R_{l} ábrázolási tér megkonstruálása az R_{l} vektorterek segítségével. Meg kell tehát határoznunk, hogy a lehetséges (l = 0, \frac{1}{2}, 1, …) értékek közül a R = ∑_{l} ⨁ R_{l} szummába milyen l értékek kerülhetnek be. Kössük ki továbbá azt is, hogy a szummában minden megengedett l érték csak egyszer fordulhat elő. Továbbá bennünket csak az unitér ábrázolások érdekelnek, ezért az R ábrázolási téren ”dolgozó” K_{1}, K_{2}, K_{3} operátorok Hermitikusak kell hogy legyenek.

Tekintsük most a (6.14b) kommutációs relációt. Ez a reláció azt fejezi ki, hogy a M̂ a forgáscsoporttal szemben vektorként viselkedik. (Könnyű belátni, hogy r̂_{j} és p̂_{j} is M̂-hez hasonlóan viselkedik.) Az ilyen tulajdonságú operátorokat vektoroperátoroknak nevezünk. Legyen most V̂_{j}, j = 1, 2, 3 egy vektoroperátor. Ezen (Descartes-féle) komponensek helyett célszerű bevezetni az un. szférikus komponenseket

V_{0} = V_{3}, V_{±1} = ∓\frac{1}{\sqrt{2}}(V_{1} ± iV_{2}).  (6.33)

A V_{κ}-k, κ = −1, 0, +1 az alábbi csererelációkat elégítik ki

[L_{±}, V_{∓1}] = h̄\sqrt{2}V_{0}, [L_{±}, V_{0}] = h̄\sqrt{2}V_{±1}, [L_{0}, V_{κ}] = h̄κV_{κ}, (6.34)

a többi kommutátor zérus. A (6.34) relációk az általánosabb

[L_{±}, T_{κ}^{(j)}] = h̄\sqrt{j(j + 1) − κ(κ ± 1)}T_{κ±1}^{(j)}, [L_{0}, T_{κ}^{(j)}] = h̄κT_{κ}^{(j)}, (6.35)

relációk speciális esetei a j = 1, κ = −j, …, j választás esetén. Az ilyen tulajdonságú T_{κ}^{(j)} operátorokat j-ed rangú tenzoroperátoroknak nevezzük. Legyen most T_{κ}^{(j)} egy tenzoroperátor. Ekkor a Wigner-Eckart tétel szerint

⟨l′m′|T_{κ}^{(j)}|lm⟩ = ⟨lmjκ|l′m′⟩⟨l′||T^{(j)}||l⟩,  (6.35)

ahol ⟨lmjκ|l′m′⟩ a kvantummechanika tanulmányainkból már ismert Clebsch-Gordan koefficiens, és ⟨l′||T^{(j)}||l⟩ az m′, m és κ-tól független úgynevezett redukált mátrixelem. (A Clebsch-Gordan koefficensek értékeit táblázatok tartalmazzák, lásd például [4].) A tétel bizonyítása meghaladja ezen jegyzet kereteit. Mi a továbbiakban csupán a tétel M̂_{κ} vektoroperátorra (j = 1, κ = −1, 0, +1) vonatkozó alakját fogjuk használni.

Alkalmazzuk a M̂_{κ} vektoroperátort az |lm⟩ bázisvektorokra! Ekkor

M̂_{κ}|lm⟩ = ∑_{l′m′} |l′m′⟩⟨l′m′|M̂_{κ}|lm⟩ = ∑_{l′m′} |l′m′⟩⟨lm1κ|l′m′⟩⟨l′||M̂||l⟩,

(6.36)

ahol az utolsó egyenlőségnél felhasználtuk a Wigner-Eckart tételt.

A Clebsch-Gordan koefficensek tulajdonságaiból következik [4], hogy a zérustól különböző tagok azok melyekre l′ = l + 1, l, l − 1, és m′ = m + κ. Vezessük be az

a_{l} = −\frac{⟨l||M̂||l⟩}{\sqrt{l(l + 1)}}, c_{l} = −\frac{⟨l − 1||M̂||l⟩}{\sqrt{l(2l + 1)}}, d_{l} = −\frac{⟨l + 1||M̂||l⟩}{\sqrt{(l + 1)(2l + 1)}}, (6.37)

jelöléseket. Ekkor a Clebsch-ek konkrét kifejezéseit felhasználva kapjuk, hogy

M̂_{0}|lm⟩ = \sqrt{l^{2} − m^{2}}c_{l}|l − 1m⟩ − ma_{l}|lm⟩ − \sqrt{(l + 1)^{2} − m^{2}}d_{l}|l + 1m⟩. (6.38)

A M̂_{±1}|lm⟩ hasonló kifejtését az olvasóra bízzuk.

Megmutatható [4], hogy a |lm⟩ bázist újradefiniálhatjuk olymódon, hogy az új bázisban d_{l} = c_{l+1}. Ekkor (6.38) alakja m = 0 esetén (erre a későbbiekben szükségünk lesz)

M̂_{0}|l0⟩ = lc_{l}|l − 10⟩ − (l + 1)c_{l+1}|l + 10⟩.  (6.39)

Mindezidáig csak azt használtuk ki, hogy M̂_{κ} egy vektoroperátor. Ez a fontos tulajdonság vezetett a (6.38) formulára. Ez a formula azonban tartalmazza az ismeretlen a_{l} és c_{l} mennyiségeket. Szerencsére M̂_{κ} nemcsak egy vektoroperátor, hanem (6.14c) alapján kielégíti még a

[M̂_{0}, M̂_{±1}] = ∓h̄L̂_{±1}, [M̂_{+1}, M̂_{−1}] = −2h̄L̂_{0},  (6.40)

összefüggéseket is. Elegendő ezek közül csupán egyet választanunk, hiszen a másik kettőt ez a reláció és a (6.34) relációk már meghatározzák. Legyen ez a kiválasztott reláció a

[M̂_{+1}, M̂_{0}] = h̄L̂_{+1},  (6.41)

reláció. (6.41)-vel az |lm⟩ bázisra hatva és felhasználva a (6.32b), (6.38) összefüggéseket, majd egyenlővé téve a lineárisan független bázisvektorok együtthatóit egy rekurziós relációrendszert kapunk az ismeretlen a_{l} és c_{l} mennyiségekre. A relációrendszer megoldását lásd [4]-ben, mi itt csak a végeredményt idézzük

a_{l} = h̄\frac{ij_{0}j_{1}}{l(l + 1)}, c_{l} = h̄\frac{i}{l}\sqrt{\frac{(l^{2} − j_{0}^{2})(l^{2} − j_{1}^{2})}{4l^{2} − 1}}, l ≥ j_{0}, l ≥ 1. (6.42)

Itt j_{1} egy tetszőleges komplex szám j_{0} pedig az a legkisebb l érték mely az ábrázolásban előfordulhat, azaz R = ∑_{l=j_{0},j_{0}+1,...} ⨁ R_{l}. Nyílván ilyen érték kell, hogy létezzen hiszen l > 0 és a M̂_{κ} operátorok nem csak m-ben hanem l-ben is léptetnek.

Az so(3, 1) algebra irreducibilis ábrázolásait tehát két szám indexeli (j_{0}, j_{1}) ahol j_{0} egész vagy félegész j_{1} pedig komplex. Az R ábrázolási terünket célszerű tehát az R(j_{0}, j_{1}) módon jelölni. Kitűzött feladatunkat azonban még nem értük el ugyanis bennünket az unitér irreducibilis ábrázolások érdekelnek. Az unitér ábrázolások megkonstruálásához egy skalárszorzatot kell R(j_{0}, j_{1})-n bevezetnünk, és meg kell követelnünk azt, hogy az L̂ és az M̂ operátorok Hermitikusak legyenek erre a skalárszorzatra nézve. Rendelkezzen a skalárszorzat a szokásos

⟨l′m′|lm⟩ = δ_{l′l}δ_{m′m}  (6.43)

tulajdonsággal! Ekkor (6.38) alapján

⟨M̂_{0}l−1m|lm⟩ = −\sqrt{l^{2} − m^{2}}c̄, ⟨l−1m|M̂_{0}lm⟩ = \sqrt{l^{2} − m^{2}}c_{l}, (6.44a)

⟨M̂_{0}lm|lm⟩ = −mā_{l}, ⟨lm|M̂_{0}lm⟩ = −ma_{l}.  (6.44b)

Innen látható, hogy M̂_{0} = M̂_{3} akkor lesz hermitikus ha

a_{l} = ā_{l}, c_{l} = −c̄_{l}.  (6.45)

Hasonlóan megmutatható, hogy az M̂_{1} és M̂_{2} Hermiticitásának megköveteléséből adodó M̂_{±1}^{†} = M̂_{∓1} reláció is (6.45)-re vezet. (6.45)- ből látható, hogy az ábrázolás unitaritásához j_{1} = if f ∈ R tiszta képzetes kell hogy legyen és j_{0} = 0, \frac{1}{2}, . . .. A másik lehetőség 0 ≤ j_{1} < 1 és j_{0} = 0. Az

R(j_{0}, j_{1}) = ∑_{l=j_{0},j_{0}+1,...}^{∞} ⨁ R_{l}  (6.46)

ábrázolási tér végtelen dimenziós.

Az so(3, 1 algebrát kifeszítő L̂ és M̂ operátorok amennyiben L̂ az impulzusmomentum és M̂ a megfelelően normált Runge-Lenz vektor operátora természetesen az so(3, 1) egy speciális ábrázolását adják. A kérdés: milyen j_{0} és j_{1} értékekkel jellemezhető ez az ábrázolás? Vegyük észre, hogy a Ĉ_{1} = L̂^{2} − M̂^{2} és a Ĉ_{2} = M̂L̂ operátorok az L̂ és a M̂ operátorok mindegyikével felcserélhetők. Az ilyen tulajdonságú operátorokat Casimir operátoroknak nevezzük. Jelöljük |j_{0}j_{1}, lm⟩-vel az R(j_{0}, j_{1}) ábrázolási teret kifeszítő bázisvektorokat! Megmutatható [4] (fejezzük ki Ĉ_{1}-et és Ĉ_{2}-t az L̂_{±},M̂_{±}, L̂_{0} és M̂_{0} operátorokkal majd hattassuk a |j_{0}j_{1}, lm⟩ bázisra), hogy

Ĉ_{1}|j_{0}j_{1}, lm⟩ = h̄^{2}(j_{0}^{2} + j_{1}^{2} − 1)|j_{0}j_{1}, lm⟩,  (6.46a)

Ĉ_{2}|j_{0}j_{1}, lm⟩ = −ih̄^{2}j_{0}j_{1}|j_{0}j_{1}, lm⟩.  (6.46b)

6.1.5 A szórásmátrix meghatározása

A fenti matematikai kitérő után minden keszen áll arra, hogy a szórásmátrixot meghatározzuk. Mivel (6.11b) alapján Ĉ_{2} = 0 és Ĉ_{1} + h̄^{2} = −(\frac{mα}{h̄k})^{2}, ezért (6.46)-ból látható, hogy vagy j_{1} = 0, vagy j_{0} = 0. Ha j_{1} = 0 akkor (\frac{mα}{h̄k})^{2} = −j_{0}^{2}h̄^{2} < 0 lenne ami nincsen összhangban az energia pozitivitásával. Marad tehát a j_{0} = 0 eset. Ekkor j_{1}^{2}h̄^{2} = −(\frac{mα}{h̄k})^{2}, azaz j_{1} tiszta képzetes. Ábrázolási terünk tehát a R(0, i\frac{mα}{h̄^{2}k}) ≡ R(0, iη) tér, ahol

η ≡ \frac{mα}{h̄^{2}k} ,  (6.47)

az un. Sommerfeld paraméter. A R(0, iη) téren az so(3, 1) algebra egy unitér ábrázolása valósul meg. Az ábrázolási tér végtelen dimenziós.

Következő feladatunk a be és kijövő szórásállapotok algebrai jellemzése. A bejövő (kimenő) szórásállapotok +z tengely irányában terjedő bejövő ( kijövő) síkhullámoknak felelnek meg. Mivel L̂_{3} és M̂_{3} kommutálnak, ezért sajátértékeikkel a teljes szórásfolyamat során jellemezhetjük az |in⟩ és |out⟩ állapotokat. Mivel L̂_{3}e^{ikz} = 0 ezért

L̂_{3}|kẑ_{out}^{in}⟩ = 0.  (6.48)

Könnyen belátható, hogy \frac{1}{2}(p × L − L × p) = rp^{2} − p(rp) . Ebből (6.31) felhasználásával kapjuk, hogy M̂_{3}e^{ikz} = h̄(i − η)e^{ikz} azaz

M̂_{3}|kẑ_{out}^{in}⟩ = h̄(i ± η)|kẑ_{out}^{in}⟩.  (6.49)

A (6.48) és (6.49) egyenleteknek eleget tevő |kẑ_{out}^{in}⟩ állapotokat kifejthetjük az R(0, iη) tér |0η, lm⟩ bázisvektorai szerint (η (6.47) miatt függ k-tól). (6.48) miatt m = 0 ezért a felhasználható bázisvektorok alakja |0η, l0⟩. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért ezeket a vektorokat röviden |l0⟩ alakban fogjuk használni. A kifejtés alakja legyen ezután az alábbi

|kẑ_{out}^{in}⟩ = ∑_{l} \sqrt{2l + 1}a_{l}_{out}^{in}|l0⟩.  (6.50)

Most felidézzük a (6.39)-ből kapott (j_{0} = 0, j_{1}^{2} = −η^{2})

M̂_{3}|l0⟩ = ilh̄\sqrt{\frac{l^{2} + η^{2}}{4l^{2} − 1}}|l − 10⟩ − ih̄(l + 1)\sqrt{\frac{(l + 1)^{2} + η^{2}}{4(l + 1)^{2} − 1}}|l + 10⟩ (6.51)

összefüggést. M̂_{3} hatását a |kẑ_{out}^{in}⟩ állapotokra kétféleképpen is kiszámítottuk, (6.49) alapján illetve (6.51) alapján. (6.49) alapján a_{l} csak az (i ± η) faktorral szorzódik. (6.51) pedig az l értékeit ±1vel eltolva megfelelő faktorokkal szorozza az a_{l±1} együtthatókat. A számításokat elvégezve az alábbi rekurziós relációt kapjuk

(l + 1)\sqrt{(l + 1)^{2} + η^{2}}a_{l+1} = (2l + 1)(1 − iη)a_{l} + l\sqrt{l^{2} + η^{2}}a_{l−1}, (6.52)

ahol az a_{l} mennyisegekről az ”in” indexet most elhagytuk. A fenti relációból l = 0 helyettesítéssel kapjuk, hogy

a_{1}^{in} = \sqrt{\frac{1 − iη}{1 + iη}} a_{0}^{in}.  (6.53)

A rekurzió felhasználásával indukcióval könnyen belátható, hogy

a_{l}^{in} = \sqrt{\frac{(l − iη)!}{(l + iη)!}}\sqrt{\frac{iη!}{−iη!}}a_{0}^{in}.  (6.54)

Az a_{0} = \sqrt{\frac{−iη!}{iη!}} választással kapjuk, hogy

a_{l}^{∓} = \sqrt{\frac{Γ(l + 1 ∓ iη)}{Γ(l + 1 ± iη)!}},  (6.55)

ahol a_{l}^{∓} ≡ a_{l}^{in/out}, és kihasználtuk, hogy az ”in” állapotról az ”out” állapotra való áttérés során η ↦ −η. Az S mátrixot az alábbi módon definiáljuk.

S(k′, k) = ⟨k′^{out}|k^{in}⟩ = ⟨k′^{out}|S|k^{out}⟩,  (6.56)

így |k^{in}⟩ = S|k^{out}⟩. Ezt (6.50)-be helyettesítve és kihasználva, hogy [S, L] = 0 kapjuk hogy a_{l}^{in} = S_{l}a_{l}^{out}, ahol S|l, m⟩ = S_{l}|l, m⟩. Az s mátrixra tehát azt kapjuk, hogy

S_{l}(k) = \frac{Γ(l + 1 − iη)}{Γ(l + 1 + iη)}, ahol η = \frac{mα}{h̄^{2}k} .  (6.57)

6.2. AZ ALGEBRAI SZÓRÁSELMÉLET

Az előző fejezetben láttuk, hogy a H-atom kötött állapotait a kompakt SO(4) csoporttal, míg a szórásállapotait a nemkompakt SO(3, 1) csoporttal írhattuk le. A kompakt SO(4) irreducibilis unitér ábrázolásait diszkrét számértékekkel (egész vagy félegész számokkal), míg a nemkompakt SO(3, 1) csoport esetén az unitér irrepeket folytonosan változó értékekkel is jellemezhettük. Azt találtuk továbbá, hogy (lásd (6.47) egyenlet) ezek a folytonosan változó jellemzők a szórási energiával hozhatók kapcsolatba. Ezek után természetesnek tűnik az az ötlet, hogy tetszőleges nemkompakt félegyszerű Liecsoportot használjunk kvantummechanikai szórásproblémák leírására. Tudjuk már, hogy az SO(3, 1) csoport a Coulomb potenciálon történő három dimenziós szórást írja le. Felmerül tehát a kérdés melyek azok az egzaktul megoldható szórásproblémák melyek egy adott G nemkompakt csoporttal kapcsolatosak. Természetes azt várnunk, hogy a G csoport g Lie-algebráját különbözőképp realizálva, különböző szórásproblémákat kapunk. Az SO(3, 1) csoport algebrájára például egy ilyen realizációt az impulzusmomentum operátor és a Runge-Lenz vektor operátorának három -három komponense adott. Ez a realizáció a Coulomb problémára vezetett. Továbbá ezek az operátorok differenciáloperátorok voltak. Az so(3, 1) algebrát azonban mátrixokkal is kielégíthetjük. Választhatunk tehát akár mátrix-értékű differenciáloperátorokat is. Sok különböző realizáció képzelhető el, a G-t jellemző lokális koordináták különféle megválasztásának megfelelően is. Ezek után természetes azt kérdeznünk: elképzelhető-e , hogy a szórásmátrix funkcionális alakja, független marad a realizációk konkrét alakjától, és kizárólag a csoport bizonyos globális jellemzőitől függ?

Ezalatt az alábbiakat értjük. A Lie-algebra a csoport egységeleme körüli viselkedését írja le. Ez tehát a csoportot lokálisan jellemzi. A realizációk a lokális koordináták választásán keresztül tehát lokális tulajdonságokat tükröznek. Ezzel szemben a G csoport globális tulajdonságai, (összefüggőség, alcsoport szerkezet ) G topológiai szerkezetével kapcsolatosak. Az Algebrai Szóráselmélet alapgondolata az, hogy konkrét realizációk felhasználása nélkül próbáljuk a szórásmátrix általános szerkezetét meghatározni.

A következő két fejezetben a legegyszerűbb nemkompakt csoport az SO(2, 1) példáján keresztül illusztráljuk az elmondottakat. Az első alfejezetben az so(2, 1) algebrára egy realizációt tekintünk. A kvadratikus Casimir operátor kiszámolásával egy egydimenziós szórásproblémát kapunk. A megfelelő szórásmátrixot (reflexiós koefficens) explicit módon meghatározzuk. A második alfejezetben a csoportkontrakciók elméletét felhasználva tisztán algebrai módon meghatározzuk a szórásmátrix algebrai szerkezetét. Levezetjük a szórásmátrix funkcionális alakját. Megmutatjuk , hogy az előző alfejezetben kapott szórásmátrix funkcionális alakja megegyezik az a realizációfüggetlen számolással kapottal.

6.2.1 Realizáció az SO(2, 1) csoportra

Tekintsük az X_{1}^{2} + X_{2}^{2} − X_{3}^{2} = 1 egyköpenyű hiperboloidot. Az SO(2, 1) csoport a hiperboloid egyik pontját a hiperboloid egy másik pontjába viszi. Hasonlóan a SO(3) forgáscsoporthoz, mely az X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2} = 1 egységgömb pontjait transzformálja. Megmutatható, hogy a hiperboloidon ható SO(2, 1) transzformáció infinitezimális generátorai az alábbiak.

J_{1} = −i(X_{2}∂_{3} + X_{3}∂_{2}), J_{2} = i(X_{1}∂_{3} + X_{3}∂_{1}), J_{3} = −i(X_{1}∂_{2} − X_{2}∂_{1}) (6.58)

Bevezetve az (X_{1}, X_{2}, X_{3}) ≡ (cosh ρ cos ϕ, cosh ρ sin ϕ, sinh ρ) −∞ < ρ < +∞, 0 ≤ ϕ < 2π transzformációt, és a szokásos J_{±} = J_{1} ± iJ_{2} operátorokat az alábbi formulákat kapjuk

J_{±} = e^{±iϕ}(∂_{ρ} − i tanh ρ∂_{ϕ}), J_{3} = −i∂_{ϕ}.  (6.59)

Mivel a felületelem a hiperboloidon dA = cosh ρdρdϕ, az operátorokat célszerű az O ↦ T^{−1}OT hasonlósági transzformációnak alávetni, ahol T (ρ) ≡ cosh^{−1/2}ρ . Ezzel a Ψ(ρ, ϕ) hullámfüggvények terén a ⟨|⟩ skalárszorzat definiciójában az integrálási mérték egyszerűen dρdϕ lesz. Ezen transzformáció után

T^{−1}J_{±}T = e^{±iϕ}(∂_{ρ} + tanh ρ(±1/2 − i∂_{ϕ})), T^{−1}J_{3}T = −i∂_{ϕ}. (6.60)

Számítsuk most ki az SO(2, 1) csoport kvadratikus Casimir operátorát ebben a realizációban! Ez a C operátor az so(2, 1) algebra valamennyi generátorával kommutál. A kommutációs relációk alapján könnyen belátható, hogy C = J_{1}^{2} + J_{2}^{2} − J_{3}^{2} = −J_{+}J_{−} + J_{3}(J_{3} + 1). (6.60) felhasználásával könnyen megmutatható, hogy

T^{−1}CT = (\frac{d^{2}}{dρ^{2}} − \frac{\frac{d^{2}}{dϕ^{2}} + 1/4}{cosh^{2}ρ} − \frac{1}{4}) .  (6.61)

Következő lépésként megmutatjuk, hogy a kvadratikus Casimir sajátértékproblémája egy egzaktul megoldható szórásproblémára vezet. Ehhez tisztáznunk kell az so(2, 1) Lie-algebra unitér ábrázolásainak természetét. A kommutációs relációk alapján látható, hogy az so(2, 1) algebra egy előjeltől eltekintve épp a jólismert so(3) algebra, melynek az ábrázoláselméletét már alaposan ismerjük. A két algebra közötti hasonlatosság alapján a szimultán diagonalizálható C és J_{3} operátorok közös sajátfüggvényeit a

T^{−1}CY |jm⟩ = j(j + 1)|jm⟩, T^{−1}J_{3}T |jm⟩ = m|jm⟩  (6.62)

egyenletekkel definiáljuk, ahol az m és j lehetséges értékeivel még adósak maradtunk. Definiáljuk a (ρ ϕ) reprezentációban a megfelelő sajátfüggvényeket a ⟨ρϕ|jm⟩ ≡ u_{jm}(ρ, ϕ) = R_{jm}(ρ)e^{imϕ} módon! Ekkor a (6.61) operátor sajátértékegyenletéből kapjuk, hogy

(−\frac{d^{2}}{dρ^{2}} − \frac{m^{2} − 1/4}{cosh^{2}ρ}) R_{jm}(ρ) = − (j + \frac{1}{2})^{2} R_{jm}(ρ).  (6.63)

Melyek a megengedett j és m értékek? Az SO(3, 1) csoport ábrázoláselmélete alapján azt várjuk, hogy a szórásállapotokat egy bizonyos folytonosan változó j ∈ C komplex számmal jellemezhetjük. Unitér ábrázolásokat keresünk, ez azt jelenti hogy a C és J_{3} operátorok ábrázolási mátrixelemei hermitikusak. A j(j + 1) szám tehát valós kell, hogy legyen. A j(j + 1) ∈ R feltételből j = a + ib behelyettesítésével kapjuk, hogy j = −\frac{1}{2} + if(k), ahol az SO(3, 1) esetből okulva most feltesszük, hogy f a folytonosan változó k hullámszám függvénye. Legyen f(k) ≡ k! Ekkor j = −\frac{1}{2} + ik értékét (6.63)-be helyettesítve a

(−\frac{d^{2}}{dρ^{2}} − \frac{m^{2} − 1/4}{cosh^{2}ρ}) R_{jm}(ρ) = k^{2}R_{jm}(ρ),  (6.64)

Schrödinger egyenletet kapjuk (E ≡ k^{2}). Ez egy V_{m}(ρ) = −(m^{2} − 1/4)/cosh^{2}ρ Pöschl-Teller potenciálon történő egy dimenziós szórásproblémát ír le. Láthatjuk azt is, hogy a Hamilton operátor H = −(T^{−1}CT + \frac{1}{4}).

Adósok vagyunk még az m lehetséges értékeivel. Alaposabb analizis segítségével megmutatható, hogy m = m_{0}, m_{0} ± 1, m_{0} ± 2, … ahol 0 ≤ m_{0} < 1. Az m_{0} = 0 és m_{0} = 1/2 választás az so(2, 1) algebra jólismert ábrázolásait adja. m_{0} többi lehetséges értéke az az un. projektív ábrázolások megjelenésére vezet. Ezek az SO(2, 1) univerzális fedőcsoportjának egyértékű ábrázolásait. A helyzet hasonló az SO(3) csoporthoz. Ott a j félegész értékei az SO(3) többértékű ábrázolásait adták. Ezek az ábrázolások azonban az univerzális fedőcsoport (az SU(2)) egyértékű ábrázolásainak feleltek meg. Mindebből azt tanultuk, hogy a projektív ábrázolások segítségével tetszőleges valós m potenciálerősséggel jellemzett Pöschl-Teller potenciálon történő szórást csoportelméleti módon tárgyalhatunk.

A (6.64) Schrödinger egyenlet megoldása ismert. Mivel a későbbiekben a szórásmátrix funkcionális alakját tisztán csoportelméleti megfontolások segítségével úgyis levezetjük, ezért itt csak a végeredményeket idézzük.

Hosszadalmas számolással leellenőrizhetjük, hogy egyenletünk két lineárisan független megoldása az alábbi alakú.

F_{1} = (cosh ρ)^{\frac{1}{2} −m}F (\frac{1}{2} − m − ik, 1 − m, \frac{1 + i sinh ρ}{2}),  (6.65a)

F_{2} = (cosh ρ)^{\frac{1}{2} −m} (\frac{1}{2}(1 + i sinh ρ))^{m} F (\frac{1}{2}−ik, \frac{1}{2}+ik, 1+m, \frac{1 + i sinh ρ}{2}),

(6.65b)

ahol F a hipergeometrikus függvény. A hipergeometrikus függvény ismert aszimptotikus viselkedése alapján

lim_{ρ↦±∞} F_{j}(ρ) = A_{j±}e^{ikρ} + B_{j±}e^{−ikρ}. j = 1, 2  (6.66)

A reflexiós és transzmissziós koefficenseket pedig az alábbi képletek segítségével számíthatjuk.

R = \frac{B_{1+}B_{2−} − B_{1−}B_{2+}}{A_{2−}B_{1+} − A_{1−}B_{2+}} , T = \frac{A_{2+}B_{1+} − A_{1+}B_{2+}}{A_{2−}B_{1+} − A_{1−}B_{2+}} .  (6.67)

Az aszimptotikus viselkedés meghatározása után, a fenti képletbe helyettesítve kapjuk, hogy

T (k, m) = \frac{sin iπk}{sin π(1/2 − m − ik)}Q(k, m),

R(k, m) = \frac{sin π(1/2 − m)}{sin π(1/2 − m − ik)}Q(k, m),  (6.68a)

ahol

Q(k, m) = \frac{Γ(ik)}{Γ(−ik)} \frac{Γ(1/2 + m − ik)}{Γ(1/2 + m + ik)}.  (6.68b)

A (sin x + sin y)(sin x − sin y) = sin(x − y) sin(x + y) képlet segítségével könnyen belátható, hogy |T |^{2} + |R|^{2} = 1 ahogyan annak lennie is kell.

6.2.2 Az Algebrai S matrix

Ebben az alfejezetben megmutatjuk, hogy a (6.68a) reflexiós koefficens funkcionális alakja realizációfüggetlen módon is meghatározható. Ez alatt azt értjük, hogy már az SO(2, 1) csoport realizációfüggetlen tulajdonságai is lehetővé teszik az S mátrix (1D-ben a reflexiós koefficens) néhány tetszőleges függvény erejéig történő meghatározását.

A szóráselmélet alapvető feladata : a hullámfüggvány aszimptotikus viselkedéséből leolvasni a szórást jellemző S matrixot. Ha ezt a feladatot tisztán csoportelméleti módszerek segítségével szeretnénk végrehajtani, akkor tudnunk kell csoportelméleti módszerekkel jellemezni a hullámfüggvény aszimptotikus alakját.

A következőkben bevezetjük az aszimptotikus algebra fogalmát. Tudjuk, hogy az SO(2, 1) csoportnak az SO(2) kétdimenziós forgáscsoport a részcsoportja. SO(2)-t a J_{3} generátor generálja. Az SO(2, 1) kommutációs relációk alakja

[J_{1}, J_{2}] = −iJ_{3}, [J_{2}, J_{3}] = iJ_{1}, [J_{3}, J_{1}] = iJ_{2}.  (6.69)

Egy SO(2, 1) dinamikai szimmetriával jellemzett kvantummechanikai rendszer szórásállapotait a |j, m⟩ absztrakt Hilbert-térbeli vektorral repreentálhatjuk, ahol

C|jm⟩ = j(j + 1)|jm⟩, J_{3}|jm⟩ = m|jm⟩.  (6.70)

Itt C = −J_{1}^{2} −J_{2}^{2} +J_{3}^{2} a kvadratikus Casimir. Az Algebrai Szóráselmélet alapfelteváse az, hogy a szórást jellemző Hamilton operátor a kvadratikus Casimir operátornak valamilyen funkcionálja. Mivel az előző alfejezetből már tudjuk, hogy a szórásállapotokat a j = −\frac{1}{2} + if alaku komplex számok indexelik. Azt is tudjuk , hogy ezek az SO(2, 1) nemkompakt csoport egy unitér ábrázolását adják. Itt f egy valós szám. Mivel a C sajátértékei a j(j + 1) = −\frac{1}{4} − f^{2} valós számok ezért a zavarónak tűnő \frac{1}{4} faktort a C-hez adjuk. A C + \frac{1}{4} operátor folytonos spektruma tehát az f^{2} alakú valós számokból áll ahol f indexeli az irreducibilis unitér ábrázolásokat. Ha tehát H a C + \frac{1}{4} mennyiség valamilyen függvénye akkor fltehetően f a szórási energia valamely függvénye! Tegyük fel tehát, hogy

H = h(C + 1/4), j = −\frac{1}{2} + if(k).  (6.71)

Mivel E = k^{2}, (h̄ = 2m ≡ 1), ezért

k^{2} = h(−f(k)^{2}).  (6.72)

Mivel realizációtól függetlenül dolgozunk nem sokat tudunk az |j, m⟩ ≡ |f, m⟩ szórásállapot aszimptotikus alakjáról. Legyen ez |f, m⟩^{∞}. Egydimenzióban az aszimptotikus állapotok a be és kifutó síkhullámok. Jelöljük ezeket a | ± k, m⟩^{∞} vektorokkal, ahol − utal a bejövő és + a kimenő hullámokra. Hogyan lehetne ezeket a vektorokat csoportelméleti szempontból jellemezni?

Ahhoz, hogy ezt kiderítsük, tekintsük a (6.60) generátorok aszimptotikus alakját, azaz legyen ϱ → ∞. A generátorok aszimptotikus alakja tehát (most a T hasonlósági trafóktól eltekintünk)

J_{±}^{∞} = e^{±iϕ}(∂_{ρ} + (±1/2 − i∂_{ϕ})), J_{3}^{∞} = −i∂_{ϕ}.  (6.73)

Ezek a generátorok az alab́bi kommutációs relációkat elégítik ki,

[J_{+}^{∞}, J_{−}^{∞}] = −2J_{3}^{∞}, [J_{3}^{∞}, J_{±}^{∞}] = ±J_{±}^{∞}  (6.74)

, ebben a realizációban | ± k, m⟩^{∞} = e^{±ikϱ}e^{imΦ}. Tehát

|j, m⟩^{∞} = A_{m}| − k, m⟩^{∞} + B_{m}|k, m⟩^{∞}.  (6.75)

Ahhoz, hogy a (6.75) egyenletet realizációfüggetlenül le tudjuk írni algebrai módon kellene az | ± k, m⟩^{∞} állapotokat jellemezni. Ezt megtehetjük ha bevezetjük az un. kétdimenziós Euklideszi algebrát , E(2)-t. E(2)-t a P_{1}, P_{2}, és L operátorok generálják, melyek az alábbi relációknak tesznek eleget

[P_{+}, P_{−}] = 0, [L, P_{±}] = ±P_{±},  (6.76)

ahol P_{±} = P_{1} ± iP_{2}.

A mi konkrét realizációnkban nyilván P_{1} = P_{x} = −i∂_{x} és P_{2} = P_{y} = −i∂_{y} ahol x = ϱ cos ϕ és y = ϱ sin ϕ, továbbá L = xP_{y} − yP_{x}.

Ahhoz, hogy az E(2) algebra ábrázolásairól képet alkothassunk, térjünk vissza ismét a konkrét realizációnkhoz! A (ϱ, ϕ) koordinátákkal kifejezve egy ϱ^{1/2}-nel történő hasonlósági transzformáció után azt kapjuk, hogy

P_{±} = −ie^{±iϕ} (\frac{∂}{∂ϱ} ∓ \frac{1}{ϱ} (±\frac{1}{2} − i\frac{∂}{∂ϕ})) , L = −i\frac{∂}{∂ϕ}.  (6.77)

Az E(2) Casimir operátor C′ = P_{1}^{2} + P_{2}^{2} alakja

C′ = −\frac{∂^{2}}{∂ϱ^{2}} + (−\frac{∂^{2}}{∂ϕ^{2}} − \frac{1}{4}) ϱ^{−2}.  (6.78)

A C′, L = J_{3}, operátorok közös sajátfüggványeim kielégítik a

C′|k, m⟩ = k^{2}|k, m⟩, L|k, m⟩ = m|k, m⟩,  (6.79)

egyenleteket. Ebben a realizációban |k, m⟩ = v_{m}^{k}(ϱ)e^{imϕ}. Ha k-t −k-ra változtatjuk akkor semmi nem változik tehát írható, hogy | ± k, m⟩ = v_{m}^{±k}(ϱ)e^{imϕ}. (A megfelelő differenciálegyenlet vizsgálatával könnyen kideríthető, hogy a megfelelő függvények a h_{m−1/2}^{±}(kϱ) Hankel függvények.) Legyen most P_{i}^{∞} = lim_{ϱ→∞} P_{i}, ahol i = 1, 2. Könnyen megmutatható, hogy

P_{±}^{∞}|k, m⟩^{∞} = k|k, m⟩^{∞}, P_{±}^{∞}| − k, m⟩^{∞} = −k| − k, m⟩^{∞}. (6.80)

A mi realizációnkban

P_{±}^{∞} = −ie^{±iϕ} \frac{∂}{∂ϱ}, L^{∞} = −i\frac{∂}{∂ϕ}.  (6.81)

A be és kimenő | ± k, m⟩^{∞} hullámokat tehát csoportelméleti szempontból úgy tekinthetjük , mint az aszimptotikus E(2) algebra ábrázolásait.

A fenti realizációfüggő megfigyeléseinket most általánosítjuk. Ez az általánosítás már realizációfüggetlen lesz. A fentiekből azt tanultuk, hogy a szórásfeladat algebrai megoldásához kapcsolatot kel találnunk az E(2) és az SO(2, 1) csoport algebráinak generátorai közott. Ezt a kapcsolatot Euklideszi kapcsolatnak nevzzük. Próbáljuk meg a J_{±}^{∞} és J_{3}^{∞} SO(2, 1) generátorokat kifejezni a P_{+}^{∞}, P_{−}^{∞}L^{∞}, L^{∞},^{2}, L^{∞}P_{+}^{∞}, P_{−}^{∞}L^{∞}, P_{+}^{∞}^{2}, P_{−}^{∞}^{2} lineáris és kvadratikus kombinációk segítségével! Nyilván J_{3}^{∞} = L^{∞}, ugyanakkor az ábrázolás unataritása miatt J_{+}^{∞}^{†} = J_{−}^{∞} Ahhoz, hogy kielégítsük a (6.74) kommutációs relációk közül a másodikat könnyen belátható, hogy

J_{+}^{∞} = αP_{+}^{∞} + βL^{∞}P_{+}^{∞},  (6.82)

ahol α és β k-függő komplex függványek. Továbbá, ahhoz hogy (6.74)- ből az első relációt kielégítsük teljesülnie kell a

ββ^{∗} = \frac{1}{k^{2}} , αβ^{∗} + α^{∗}β + ββ^{∗} = 0,  (6.83)

egyenleteknek. Ezeknek az egyenleteknek a megoldása

β = \frac{e^{iγ}}{k} , α = (−\frac{1}{2} + iδ) β,  (6.84)

ahol γ, δ valós k-tól függő függvények. Könnyen belátható, hogy az aszimptotikus Casimir invariáns alakja

C = J_{3}^{∞} − J_{3}^{∞}^{2} − J_{+}^{∞}J_{−}^{∞} = −\frac{1}{4} − δ^{2}.  (6.85)

Mivel azt már tudjuk, hogy C = −\frac{1}{4} − f^{2}(k) ezért azt kapjuk hogy

δ(k) = ±f(k).  (6.86)

A legáltalánosabb kapcsolat tehát

J_{±}^{∞}(±k) = \frac{e^{iγ_{±}(k)}}{±k} [(−\frac{1}{2} ∓ if(k)) P_{+}^{∞} + L^{∞}P_{+}^{∞}] .  (6.87)

Itt a ±k jelölés utal arra, hogy a megfelelő operátorokkal a | ± k, m⟩^{∞} vektorokra kell hatnunk. (A helyzet hasonló a H-atom dinamikai szimmetriájánál találthoz. A generátorokat ott is a Hilbert tér egy rogzített energiájú alterén kellet érteni.) A (6.87) Euklideszi kapcsolat formulájában γ_{±}(k) két tetszőleges valós függvény, f(k)-t pedig (6.71-72) definiálja. Az eddigiek alapján megmutatható, hogy a mi speciális realizációnkban f(k) = k, és γ_{±}(k) = 0.

Következő feladatunk az algebrai S-mátrix meghatározása. Tujuk már, hogy

|j, m⟩^{∞} = A_{m}| − k, m⟩^{∞} + B_{m}| = k, m⟩^{∞}.  (6.88)
Nem  nehéz  azt  sem  belátni  (az  SO(3)

csoport algebrájának ábrázolásainak megkonstruálásakor használt érvek SO(2, 1) csoportalgebrára valo alkalmazásával) ,hogy

\begin{aligned}J_{±}^{∞}|j, m⟩^{∞} & = \sqrt{(m ∓ j)(m ± j ± 1)}|j, m ± 1⟩^{∞}, \\ J_{3}^{∞}|j, m⟩^{∞} & = m|j, m⟩^{∞} \end{aligned} .  (6.89)

Vegyük még ehhez hozzá az E(2) generátorok (6.80) hatását. Hassunk a (6.88) egyenletre balról a J_{+}^{∞} operátorral kihasználva (6.89)-et, illetve jobbról a (6.87) kifejezéssel kihasználva (6.80)-at. Ekkor azt kapjuk, hogy

\begin{matrix}\sqrt{(m − j)(m + j + 1)} & |j, m + 1⟩ & ∞ \\ = A_{m} \frac{e^{−iγ_{−}(k)}}{(−k)} [(−\frac{1}{2} + if(k)) (−k) + (m + 1)(−k)] | − k, m + 1⟩^{∞} \\ + B_{m} \frac{e^{iγ_{+}(k)}}{(−k)} [(−\frac{1}{2} − if(k)) (+k) + (m + 1)(+k)] | + k, m + 1⟩^{∞} \end{matrix} .

(6.90)

Mivel

|j, m + 1⟩^{∞} = A_{m+1}| − k, m + 1⟩^{∞} + B_{m+1}|k, m + 1⟩^{∞}.  (6.91)

az alábbi rekurziós relációkat kapjuk

\begin{aligned}\sqrt{(m − j)(m + j + 1)}A_{m+1} & = e^{iγ_{−}(k)}(m + 1/2 + if(k))A_{m}, \\ \sqrt{(m − j)(m + j + 1)}B_{m+1} & = e^{iγ_{+}(k)}(m + 1/2 − if(k))B_{m}, \end{aligned} . (6.92)

Ebből az R_{m} = B_{m}/A_{m} reflexiós együtthatóra az alábbi összefüggést kapjuk

R_{m+1}(k) = e^{i[γ_{+}(k)−γ_{−}(k)]} (\frac{m + \frac{1}{2} − if(k)}{m + \frac{1}{2} + if(k)}) R_{m}(k).  (6.93)

Ahhoz, hogy az algebrai S mátrix funkcionális alakját teljes egészében meghatározhassuk egy kis matematikai kitérőt kell tennünk. Meg kell tárgyalnunk ugyanis az előző alfejezetből már ismert un. projektív ábrázolások szerepét. Csoportelméleti tanulmányainkból emlékeztetünk arra, hogy az SO(3) forgáscsoport unitér irreducibilis ábrázolásainak meghatározásakor fontos szerepet játszott az SU(2) csoport. Ennek a két csoportnak ugyanaz volt a Lie-algebrája. Az algebra irreducibilis unitér ábrázolásait a j = 0, \frac{1}{2}, 1, … egész és félegész számok indexelték, ekkor az m értékei a 2j + 1 darab −j, −j + 1, … j számokon futottak végig. Jóllehet az algebrák izomorfak voltak a megfelelő Lie-csoportok nem azok. Ennek megfelelően az SU(2) csoport azon unitér irreducibilis ábrázolásai melyeket félegész számok indexeltek nem írtak le valódi forgatásokat. Például egy \frac{1}{2} spinü részecske hullámfüggvénye 360 fokos forgatás után előjelet vált. Ez az ábrázolás tehát az SO(3) forgáscsoportnak nem egyértékű ábrázolása. Hasonló a helyzet az SO(2, 1) csoporttal is. Ennek a csoportnak az unitér irreducibilis ábrázolásai között is vannak többértékű ábrázolások. Részletesebb analízissel megmutatható, hogy itt nem csak kétértékű, hanem ”végtelen-sok” értékű ábrázolások is vannak [5]. Ezeket az ábrázolásokat projektív ábrázolásoknak nevezzük. Az előző alfejezetből már tudjuk, hogy ezeket az ábrázolásokat az 0 ≤ m_{0} < 1 valós számok indexelik. Az előző alfejezetből ismert hullámfg̈gvény ekkor a ψ(ϱ, ϕ + 2π) = e^{2πim_{0}}ψ(ϱ, ϕ) tulajdonsággal rendelkezik. A bennünket érdeklő projektív ábrázolások az alábbiak. 1. Projektív diszkrét ábrázolások, ahol j negatív valós szám és m = −j − j + 1, −j + 2, . . ..

2. Projektív folytonos ábrázolások, ahol j = −\frac{1}{2} + if, ahol f valós, és m = m_{0}, m_{0} ± 1, …. Az általunk tanulmányozott realizációban H = −(C + 1/4), mivel C sajátértéke j(j + 1) ezért az 1. diszkrét ábrázolások az E_{j} = −(j + 1/2)^{2} energiájú kötött állapotokat írják le, ahol j = −m_{0}, −m_{0} − 1, …, −m, ahol az m_{0} az m tört-része. A 2. szórásállapotokat a j = −\frac{1}{2} + ik, és a m = m_{0}, m_{0} ± 1, … számok indexelik. A Ps̈chl-Teller potenciálban szereplő m potenciálerősség most tetszőleges valós szám.

Hasonlóan , visszatérve most már a realizációfüggetlen megfontolásainkhoz, a projektív ábrázolások tetszőleges valós m-vel rendelkező potenciáerősségekett írnak le. Ezért a (6.93) rekurziós összefüggés megoldása

R_{m}(k) = e^{i[γ_{+}(k)−γ_{−}(k)]} (\frac{Γ(m + \frac{1}{2} − if(k))}{Γ(m + \frac{1}{2} + if(k))}) Δ(k).  (6.94)

Láthatóan a f(k) = k, és γ_{±}(k) = 0 választással ez éppen a (6.68a) alakú reflexiós koefficenst adja. A Δ(k) függvény értékét a csoportelmélet nem rögzíti le. Ezzel az SO(2, 1) dinamikai szimmetriával rendelkező egydimenziós szórásproblémák S-mátrixának funkcionális alakját meghatároztuk.

5.3. REFERENCIÁK A 6. FEJEZETHEZ

[1] W. Pauli, Z. Phys. 36 336 (1926).

[2] V. A. Fock, Z. Phys. 98 145 (1935).

[3] V. Bargmann, Z. Phys. 99 576 (1936).

[4] A. Bohm, Quantum Mechanics, Springer-Verlag (1993).

[5] V. Bargmann, Ann. of Math. 48 568 (1947).