6. SZÓRÁSI ÁLLAPOTOK

Ebben a fejezetben a stacionárius Schrödinger egyenlet pozitív energiákhoz tartozó megoldásait, az ún. szórási állapotokat vizsgáljuk. (Az energiaskála nulla pontját általában a nemkölcsönható rendszer alapállapoti energiaértékével definiáljuk.) Jóllehet egy szórásfolyamat tipikusan időben lejátszódó jelenség, mégis, amennyiben a szóródó objektumok alkotórészei közti kölcsönhatás független az időtől (azaz a potenciál konzervatív), a szórást jellemző és kísérletileg is megfigyelhető mennyiségek az időtől független Schrödinger egyenletből származtathatók.

Kizárólag olyan ütközésekkel foglalkozunk, amelyekben két szóródó partner, vagy egy részecske és egy szórócentrum vesz részt, mivel a három-, ill. többtest ütközések kvantummechanikai elmélete meghaladja célkitűzéseinket. (A háromtest ütközések leírására az 1965-ben felállított Fagyejev-, ill. az ezzel ekvivalens, és 1969-ben felírt Alt-Grassberger-Sandhas egyenletek szolgálnak; négyrészecske szórás a Yakubovski-egyenlet segítségével tárgyalható, míg az általános n−test szórási egyenletek elmélete jelenleg is kutatás tárgyát képezi; erre alkalmas egyenletet elsőként Bencze és Redish írt fel 1974-ben.)

Míg az előző fejezetben vizsgált, negatív energiákhoz tartozó megoldások – azaz a kötött állapotok – a tér egy bizonyos tartományára lokalizálódnak [ti. a kötött részecske(rendszer) által elfoglalt térrészre], addig a szórási állapotok nyilvánvalóan nem lokalizálhatók a térben. A szórási állapotok tehát másféle határfeltételeknek tesznek eleget, mint a kötött állapotok. A szórási határfeltételek rendkívül változatos formában való megfogalmazásának lehetősége teszi a kvantummechanikai szóráselméletet olyan gazdaggá és szerteágazóvá. Közös gyökere azonban mindegyik megfogalmazásnak az, hogy a szórócentrumtól (a kölcsönhatási tartománytól) távol a hullámfüggvény a

(H_{0} − E)S(r, E) = 0, (H_{0} − E)C(r, E) = 0

ún. ”szabad” Schrödinger egyenletet kielégítő két független megoldás, a reguláris (S) és az irreguláris (C) megoldás lineárkombinációjaként írható fel:

ψ(r → ∞, E) = a(E)S(r, E) + b(E)C(r, E),

ahol az E > 0 energiától függő a és b együtthatók közvetlen kapcsolatban állnak a mérhető hatáskeresztmetszettel. (A szükséges másik határfeltétel általában az origóbeli regularitás: ψ = véges, ha r → 0.)

6.1. EGYDIMENZIÓS SZABAD MOZGÁS

Egyik célja minden szóráskísérletnek az, hogy általuk a mikrorészecskék kölcsönhatásáról, a köztük lévő V potenciálról információt szerezzünk. A szórásfolyamat a bombázó lövedék (projektil) és a céltárgy (target) részecskéi között zajlik. Az ütközés lehet rugalmas, amikor nincs energiacsere, a kijövő részecske (ejektil) kinetikus energiája megegyezik a projektil kinetikus energiájával, lehet rugalmatlan, amikor a projektil kinetikus energiája részben az ütköző partner(ek) gerjesztésére fordítódik, s végül, a szórásfolyamat eredményeként megváltozhat az ütköző partnerek anyagi összetétele, amikor is reakcióról beszélünk.

Az ütközési folyamat során a lövedék kezdetben makroszkópikus távolságra van a céltárgytól, s az ütközés lezajlása után, a detektáláskor, szintén makroszkópikus távolságra távolodik az ütközés színhelyétől.

Ezért első lépésként azt tisztázzuk, hogy a kvantummechanika szerint hogyan képzelhetjük el egy lövedék mozgását távol a kölcsönhatási tartománytól, ahol V = 0.

Az

iℏ\frac{∂}{∂t}Ψ(x, t) = −\frac{ℏ^{2}}{2m} \frac{d^{2}}{dx^{2}} Ψ(x, t)

Schrödinger egyenlet egy m tömegű szabad részecske mozgását írja le térben és időben.

Ennek az egyenletnek van síkhullám megoldása:

Ψ_{p}(x, t) = A(p)e^{\frac{i}{ℏ} (px−Et)},

amely egy élesen meghatározott p impulzussal és E = p^{2}/2m energiával rendelkező részecske pozitív x−irányba haladó mozgásának felel meg. Azonban ez a részecske a térben mindenütt egyforma valószínűséggel található meg, hiszen |Ψ_{p}|^{2} = |A(p)|^{2} =állandó (x-ben és t-ben). Ez természetes is, mivel egy síkhullám kiterjedt objektum, nem lokalizálható csupán a tér egy tartományára. Ebből következően a fenti megoldás nem is normálható.

Könnyen belátjuk, hogy

(Δx)^{2} = ⟨(x − ⟨x⟩)^{2}⟩ = ∞, és (Δp)^{2} = ⟨(p − ⟨p⟩)^{2}⟩ = 0,

összhangban az előbb elmondottakkal.

Egy ilyen idealizált részecske(hullám) sebességét fázis sebességnek hívjuk, amit könnyen kiszámíthatunk a λ = h/p hullámhossz és a T = h/E periódusidő hányadosaként:

v_{f} = \frac{λ}{T} = \frac{E}{p} = \frac{p}{2m}.

Térben lokalizált megoldást kapunk, ha nem egyetlen p impulzus-komponensből állítjuk elő a megoldást, hanem sok különböző impulzusú síkhullám megoldást összegzünk (integrálunk) össze (E = p^{2}/2m):

Ψ(x, t) = ∫_{−∞}^{∞} A(p)e^{\frac{i}{ℏ} (px−Et)}dp.

Ez a hullámfüggvény nyilván kielégíti a szabad Schrödinger egyenletet. Kimutatjuk, hogy ez a hullámcsomagnak nevezett megoldás térben lokalizált szabad részecskét ír le.

Legyen az egyes síkhullám komponensek amplitúdója pl.

A(p) = Qe^{−(p−p_{0})^{2}d^{2}/ℏ^{2}}.

Ezt behelyettesítve és felhasználva az

∫_{−∞}^{∞} dx e^{−ax^{2}+2bx} = \sqrt{\frac{π}{a}} e^{b^{2}/a}

Gauss-integrál értékét, kapjuk:

Ψ(x, t) = \frac{Q}{2πℏ}\sqrt{\frac{π}{a}} e^{b^{2}/a−c},

ahol

a = \frac{d^{2}}{ℏ^{2}} + i\frac{t}{2mℏ}, b = \frac{d^{2}}{ℏ^{2}} p_{0} + i\frac{x}{2ℏ}, c = \frac{d^{2}}{ℏ^{2}} p_{0}^{2}.

A Q normalizációs tényezőt Q = (8πd^{2})^{1/4}−nek választva, kapjuk a következő normált hullámcsomag megoldást a tartózkodási valószínűségsűrűségre:

|Ψ(x, t)|^{2} = \frac{1}{d\sqrt{2π(1 + Δ^{2})}}e^{−(x−vt)^{2}/2d^{2}(1+Δ^{2})},

ahol bevezettük a hullámcsomag v = v_{cs} csoportsebességét és Δ szélességét jellemző mennyiségeket a

v = v_{cs} ≡ \frac{∂E}{∂p} |_{p=p_{0}} = \frac{∂ω}{∂k} |_{p=p_{0}} = \frac{p_{0}}{m} , és Δ = \frac{tℏ}{2md^{2}}

definíciókkal.

Látjuk, hogy az amplitúdókra Gauss eloszlást véve az impulzus-térben, a hullámcsomag maga is Gauss eloszlású lesz az x-térben. Maximuma az x_{0} = vt pontban lesz.

Így a hullámcsomag megoldás már felhasználható a szóráskísérletekben alkalmazott lövedék részecskék kvantummechanikai jellemzésére. Mégis, az egyszerűség kedvéért, a szóráselméleti tárgyalásokban általában nem az integrális hullámcsomag megoldás szerepel kiindulásként (kezdeti, kölcsönhatásmentes állapotként), hanem annak csak egyik komponense, a síkhullám megoldás. Mi is ezt az egyszerűsítő utat követjük.

Megjegyzendő még, hogy a hullámcsomag sebessége, a csoportsebesség, kétszerese a p_{0} impulzusú síkhullám fázissebességének. Ennek fizikai oka az, hogy a hullámcsomag különböző impulzusú síkhullámok szuperpozíciója s ezek diszperziója, dω/dk = dE/dp adja meg az átlagos sebességet. Ebből rögtön következik, hogy a hullámcsomag alakja időben nem állandó, vannak benne ”gyorsabb” és ”lassabb” komponensek: a hullámcsomag szétfolyik. Ezt a jelenséget, amely a klasszikus fizikában ismeretlen és a hullámmechanikai leírás sajátossága, kvantummechanikai szétfolyás jelenségének hívjuk.

A fenti megoldás jól szemlélteti a szétfolyás jelenségét: a részecske megtalálási valószínűségét jellemző |Ψ|^{2} haranggörbe függvény maximuma vt sebességgel halad a pozitív x−irányba, míg a félérték szélessége időben nő, maximuma pedig csökken (ld. 29. ábra).

Számítsuk most ki az x operátor várható értékét!

⟨x⟩ = ∫_{−∞}^{∞} |Ψ|^{2} x dx = ∫_{−∞}^{∞} |Ψ|^{2} (x − vt) dx + ∫_{−∞}^{∞} |Ψ|^{2} vt dx = vt,

mivel a második egyenlőség után álló első tag zérus, lévén (x − vt) páratlan függvénye.

Hasonló módon adódik:

(Δx)^{2} = ⟨(x − ⟨x⟩)^{2}⟩ = d^{2}(1 + Δ^{2}), Δ = \frac{ℏ}{2md^{2}} t.

Példák:

1) Makroszkópikus méretek tartományában a szétfolyás jelensége nem számottevő. Legyen ui. a lövedék hullámcsomagunk tömege m = 10^{23} × 10^{−24}g= 10^{−1}g. Ehhez Δ = 10^{−26}t/d^{2} félérték szélesség tartozik. A helybizonytalanság: Δx = d\sqrt{1 + Δ^{2}}. Legyen lokalizálva a részecskénk kezdetben, t = 0s esetén, Δx = d = 10^{−8}cm tartományra. t = 10^{10}s múlva nő a félérték szélesség Δ = 1−re, s így az elmosódottság \sqrt{2}−szeresére: Δx = \sqrt{2}×10^{−8}, ami nem számottevő. Ráadásul ilyen sokáig nem szokott tartani egy kísérlet sem.

2) Mikroszkópikus részecskével, pl. α−részecskével elvégzendő kísérlet esetén Δ = (10^{−27}/2 × 4 × 1, 6 × 10^{−24})t/d^{2} ≈ 10^{−4}t/d^{2}. Az α−részecske kiterjedése t = 0s esetén: Δx = d = 10^{−11}cm. Ezért már t = 10^{−18}s alatt válik Δ egységgé, s így Δx = \sqrt{2}d-szeresé. A kvantummechanikai tárgyalás itt már elkerülhetetlen. Hasonló nagyságrendek adódnak, ha egy elektron lokalizáltságát vizsgájuk az atomon belül. Egy elektron-hullámcsomag mérhetetlenül rövid időn belül delokalizálódik az atom teljes tartományára, s így a klasszikus tárgyalás nem lehetséges.

6.2. EGYDIMENZIÓS SZÓRÁS

Ez az eset akkor valósul meg, amikor a szórási (=pozitív energiájú) állapotban levő részecske számára a mozgás csak egy dimenzióban lehetséges (pl. elektron vékony vezetőben). Első példaként azt az esetet vizsgájuk, amikor a részecske mozgása során egyetlen potenciálon szóródik, amin részben áthalad, részben visszaverődik. Ilyen eset valósul meg közelítőleg egy s−állapotú (ℓ = 0) α-részecskének az atommagból való kiszabadulásakor (α-bomlás). Más esetben, pl. fémek v. egyéb szilárd anyagok esetén az anyagban levő, nem helyhez kötött (delokalizált) elektronoknak nagyszámú hasonló, periódikusan elhelyezkedő szórócentrumot kell leküzdeniük mozgásuk során, s ezzel magyarázható többek között a szilárd anyagok különféle tulajdonságai.

Példáinkban a potenciálokra speciális (derékszögű) alakot tételezünk fel, mivel erre az esetre a Schrödinger egyenlet megoldásai analitikus alakban megadhatók.

6.2.1. SZÓRÓDÁS EGYDIMENZIÓS POTENCIÁLGÁTON

Legyen a derékszögű potenciál magassága V_{0},

Figure 1: 30. ábra. Potenciálgát. szélessége a (30. ábra):

V (x) = \begin{cases}V_{0}  − a ≤ x ≤ 0 \\ 0  egyébként. \end{cases}  (58a)

Klasszikus esetben egy m tömegű, E kinetikus energiájú részecske mindenképpen visszapattan a gátról, ha E < V_{0}, máskülönben áthalad felette.

A kvantummechanika (s így a természet is) megengedi azonban, hogy véges valószínűsége legyen egy E < V_{0} áthaladásnak, ill. egy E > V_{0} visszaverődésnek. Ezt a következőképpen láthatjuk be.

A szórást (visszaverődést és áthaladást) a Schrödinger egyenlet írja le:

−\frac{ℏ^{2}}{2m} \frac{d^{2}}{dx^{2}} ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x).  (58b)

A potenciálmentes térrészekben a pozitív energiájú részecske p = ℏk = \sqrt{2mE} impulzus sajátállapotban van s így az aszimptotikus megoldások a következők:

ψ_{I} = Ae^{ikx} + Be^{−ikx}, x ≤ −a
ψ_{III} = Ce^{ikx}  x > 0.  (58c)

Az 1. fejezet 1.3.b/ pontja alapján tudjuk, hogy a ψ_{I} hullámfüggvény A amplitúdójú része (a 30. ábrán nyíllal jelölt) balról jobbra haladó (beeső) részecske-hullámnak felel meg, a B amplitúdójú része pedig a visszavert részecske-hullámnak. Hasonlóképpen, ψ_{III} a potenciálgáton áthaladt részecskehullámnak felel meg. Az A, B, C amplitúdók további fizikai jelentésének megállapítása céljából képezzük az áramsűrűséget az I-es és a III-as térrészben. Felhasználva a (15b) képletet:

J_{x} = \frac{iℏ}{2m}(Ψ∇_{x}Ψ^{∗} − Ψ^{∗}∇_{x}Ψ),

az áramsűrűségekre a

J_{I}(x) = v(|A|^{2} − |B|^{2}) ≡ J_{be} − J_{vissza}, x ≤ −a,

J_{III}(x) = v|C|^{2} ≡ J_{át}, x > 0

képleteket nyerjük, ahol v = ℏk/m a részecske sebességét jelenti. Mivel a fenti áramsűrűségek x−től függetlenek, ezeket az egyes térrészekben levő nettó részecskefluxusként interpretálhatjuk, ami jól összeegyeztethető avval a fenti megállapítással, hogy A a beeső, B a visszvert, C pedig az áthaladt részecske amplitúdója. Így a visszaverődési (reflexiós) együtthatót az

R = \frac{J_{vissza}}{J_{be}} = \frac{|B|^{2}}{|A|^{2}} ,

az áthaladási (transzmissziós) tényezőt a

T = \frac{J_{át}}{J_{be}} = \frac{|C|^{2}}{|A|^{2}}

képlet definiálja. Megmaradás miatt J_{be} = J_{át} + J_{vissza}, amiből R + T = 1 következik.

R és T meghatározása érdekében szükségünk van a potenciálgáton belüli megoldásra, ψ_{II}−re, amely kapcsolatot teremt ψ_{I} és ψ_{III} között. Minthogy a középső tartományban (−a ≤ x ≤ 0) a potenciál konstans, a részecske erőmentes térben mozog, következésképpen szintén impulzussajátállapotban van. A megoldás ezért az előzőekhez hasonlóan (formálisan) szabad síkhullám:

ψ_{II} = F e^{iαx} + Ge^{−iαx}, −a ≤ x ≤ 0,

ahol most az α = \sqrt{2m(E − V_{0})}/ℏ impulzus attól függően valós, vagy imaginárius, hogy E − V_{0} értéke pozitív, vagy negatív.

Kapcsolatot a különböző térrészbeli megoldások és amplitúdóik között azon regularitási követelmény szolgáltat, miszerint a megoldásoknak és első deriváltjaiknak a potenciál véges szakadási helyein meg kell egyezniük (ld. 2.2/b fejezet):

ψ_{I}(−a) = ψ_{II}(−a), ill. ψ′_{I}(−a) = ψ′_{II}(−a)

és

ψ_{II}(0) = ψ_{III}(0), ill. ψ′_{II}(0) = ψ′_{III}(0),

azaz

Ae^{−ika} + Be^{ika} = F e^{−iαa} + Ge^{iαa},  ill.  k(Ae^{−ika} − Be^{ika}) = α(F e^{−iαa} − Ge^{iαa}),

és

F + G = C,  ill.  α(F − G) = kC.

F és G eliminálása után egyszerű számolással a következő két egyenletet nyerjük a számunkra érdekes C/A, ill. B/A amplitúdó arányokra:

\frac{C}{A} = e^{−ia(k∓α)} + \frac{B}{A} \frac{α ∓ k}{α ± k} e^{ia(k±α)},  (59)

amelyekből

\frac{B}{A} = \frac{(k^{2} − α^{2})(1 − e^{i2αa})}{(k + α)^{2} − (k − α)^{2}e^{i2αa}} e^{−i2ak},

illetve

\frac{C}{A} = \frac{4kαe^{i(α−k)a}}{(k + α)^{2} − (k − α)^{2}e^{i2αa}}

adódik. Így a szórásra jellemző R és T mennyiségek:

R = |\frac{B}{A} |^{2} = [1 + \frac{4k^{2}α^{2}}{(k^{2} − α^{2})^{2} sin^{2} αa}]^{−1} = [1 + \frac{4E(E − V_{0})}{V_{0}^{2} sin^{2} αa}]^{−1}  (60a)

és

T = |\frac{C}{A} |^{2} = [1 + \frac{(k^{2} − α^{2})^{2} sin^{2} αa}{4k^{2}α^{2}}]^{−1} = [1 + \frac{V_{0}^{2} sin^{2} αa}{4E(E − V_{0})}]^{−1} .  (60b)

Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy R + T = 1, ami a részecske(áramsűrűség) megmaradást fejezi ki.

E → V_{0}, azaz α → 0 esetén a sin αa ∼ αa sorfejtéssel az áthaladási valószínűség a potenciál átlátszóságára jellemző

T (E → V_{0}) = [1 + \frac{mV_{0}a^{2}}{2ℏ^{2}} ]^{−1}

képlettel adható meg, ami egy véges, 0 és 1 közötti értéket szolgáltat. (Látjuk, hogy fizikai várakozásunkkal összhangban egy részecske nem tud áthatolni a falon, ha m → ∞, V_{0} → ∞, ill. a → ∞.)

Az E > V_{0} tartományban, növekvő E esetén T oszcillál az egység és egy alulról ehhez közelítő burkoló görbe között (31. ábra). Tökéletes áthaladást (zérus visszaverődést) csak αa = π, 2π, ... esetén kapunk. Minthogy ez a megállapítás V_{0} előjelétől független, vonzó potenciálvölgy esetén is van visszaverődés.

A transzmissziós együttható 0 < E < V_{0} tartománybeli viselkedésének megállapítása céljából alkalmazzuk az α = iβ helyettesítést, ahol β = \sqrt{2m(V_{0} − E)/ℏ^{2}}. Ekkor

T = |\frac{C}{A} |^{2} = [1 + \frac{V_{0}^{2} sinh^{2} βa}{4E(V_{0} − E)}]^{−1} (E < V_{0}).

Ez a képlet monoton csökkenést jósol az áthaladás valószínűségére T (E → V_{0}) fenti értékétől zérusig, amit E = 0 esetén ér el (ld. 31. ábra, ahol a transzmissziós viszonyokat tüntettük fel egy meglehetősen ”homályos” potenciálra, amelynél mV_{0}a^{2}/ℏ^{2} = 8).

Amennyiben βa >> 1, azaz a barrier széles és/vagy magas E−hez viszonyítva, a fenti képlet (a sinh x = [exp(x) − exp(−x)]/2 definíció miatt) a következő egyszerűbb és gyakorta használt formában írható:

T ≈ \frac{16E(V_{0} − E)}{V_{0}^{2}}e^{−2βa}  (E << V_{0} és/vagy βa >> 1).  (61)

Az, hogy E < V_{0} esetén is van véges valószínűsége a részecske áthaladásának a potenciálgáton, tisztán kvantummechanikai effektus és a részecskék hullámtermészetéből következik. Ennek az alagúteffektus néven ismeretes jelenségnek fontos szerep jut a szilárdtestek, molekulák és atommagok tulajdonságainak megértésében (hidegemisszió, spontán ionizáció, molekuláris reakciók, α−bomlás, maghasadás, stb.)

6.2.2. POTENCIÁLCSAPDA, VIRTUÁLIS ENERGIASZINTEK

Amennyiben a C amplitúdójú részecskeáram egy (végtelen magasságú) potenciálfallal találja szembe magát az x = c helyen (ld 32. ábra), akkor erről a falról is történik visszaverődés, amely hullám amplitúdóját D-vel fogjuk jelölni. A (58c) egyenlet ezért így módosul:

ψ_{I}(x) = Ae^{ikx} + Be^{−ikx}, −a ≤ 0
ψ_{III}(x) = Ce^{ikx} + De^{−ikx}, c ≥ x > 0  (62a)

a folytonossági feltételből kapott (59) alatti két egyenlet pedig a következő lesz [kihasználjuk, hogy ψ_{III}(c) ≡ 0]:

\frac{B}{A} = \frac{C}{A} e^{−ia(k±α)}[\frac{α ± k}{α ∓ k} − e^{i2kc}] − e^{−i2ak} \frac{α ± k}{α ∓ k} ,  (62b)

s ebből az áthatolásra jellemző amplitúdó a következőnek adódik:

\frac{C}{A} = \frac{2kαe^{−iak}}{i sin aα[(α^{2} − k^{2})e^{i2kc} − (α^{2} + k^{2})] + 2kα cos aα}.  (62c)

Amennyiben E < V_{0}, érdemes áttérni a korábbi α = iβ = i\sqrt{2m(V_{0} − E)}/ℏ jelölésre, és felhasználva az i sin ix = − sinh x = (e^{−x} − e^{x})/2, cos ix = cosh x = (e^{−x} + e^{x})/2 azonosságokat, aβ >> 1 esetén a

\frac{C}{A} = \frac{i4kβe^{−iak}e^{−aβ}}{(β^{2} + k^{2})e^{i2kc} + (k^{2} − β^{2}) + 2ikβ}

összefüggés adódik. Az áthaladó hullám amplitúdója tehát általában kicsi a beesőéhez viszonyítva. Azonban, ha a beeső hullám energiája történetesen olyan, hogy a fenti kifejezés nevezője kis értéket vesz fel, akkor az áthaladó hullám amplitúdója, ebben a különleges esetben, nagyobb is lehet a beesőénél. Ilyen speciális k hullámszám értékeknél a részecske csapdába kerül: nagyobb valószínűséggel tartózkodik a potenciálgáton belül, mint kívül. Az olyan speciális energiaszinteket, amelyeknél ez a jelenség bekövetkezik, virtuális energiaszinteknek nevezzük. A 32. ábrán bemutatott potenciálgátnak megfelelő virtuális energiaszintek a

(β^{2} + k^{2})e^{i2kc} + (k^{2} − β^{2}) + 2ikβ = 0 + i0

feltételből a következőknek adódnak:

(k^{2} − β^{2}) + (k^{2} + β^{2}) cos 2kc = 0,  (63a)

2kβ + (k^{2} + β^{2}) sin 2kc = 0.  (63b)

Egy megoldását ennek az egyenletrendszernek azonnal megadhatjuk, ha 2kc−t (4n − 1)π/2−nek választjuk (n = 1, 2, ...), mivel ekkor cos 2kc = 0, sin 2kc = −1 és így a további k = β feltétellel kielégíthető a fenti egyenlet. Ez utóbbi feltétel az energiára az E = V_{0}/2 megszorítást jelenti. Végeredményben tehát, ha

k = \sqrt{mV_{0}} = \frac{π}{c} (n − \frac{1}{4}), n = 1, 2, ...

teljesül, a részecske csapdába kerül. A (63) alatti egyenleteknek több megoldása is lehet fix V_{0} és c mellett. Érdekes, hogy a potenciálgát a szélességétől látszólag független az itt megadott virtuális energiaszint értéke. Viszont tudjuk azt, hogy eredményünk csak az aβ = ak >> 1 feltétel teljesülése esetén érvényes.

6.2.3. SZÓRÓDÁS PERIÓDIKUS POTENCIÁLGÁTON. (FÉMEK, FÉLVEZETŐK, SZIGETELŐK MODELLEZÉSE.)

Előző meggondolásainkat kiterjeszthetjük arra az esetre is, amikor nem egyetlen potenciálgát van az x− térben, hanem végtelen sok, egymástól d = c + a periódus távolságra elhelyezkedve (ld. 33. ábra).

Az ilyen periódikus potenciált a

V (x + d) = V (x)  (64)

eltolási szimmetria jellemzi, amiből az következik, hogy a Schrödinger egyenlet x helyen vett megoldása, φ(x), legfeljebb egy γ = állandó faktor erejéig különbözhet az az x + d helyen vett megoldástól:

φ(x + d) = γφ(x).

Az n−edik periódusra

φ(x + nd) = γ^{n}φ(x)

adódik, amiből a hullámfüggvényre vonatkozó korlátossági feltétel miatt

|γ| = 1, γ = e^{iKd}

következik. Végeredményben tehát, periódikus potenciálokhoz a

φ(x + nd) = e^{iKnd}φ(x), n = 0, 1, 2, …  (65)

ún. modulált síkhullám megoldások tartoznak (K valós!).

A lehetséges energiaértékeket – úgyanúgy mint mindig – a határfeltételek (itt: folytonossági kritériumok) kielégítése révén kapjuk meg. A 33. ábra II. és III. térrészében a megoldások a

φ_{II} = F e^{βx} + Ge^{−βx}  (66a)
φ_{III} = Ce^{ikx} + De^{−ikx}  (66b)

formában írhatók. A két zóna határán a megoldásoknak és deriváltjainak meg kell egyezniük:

φ_{II}(0) = φ_{III}(0)
φ′_{II}(0) = φ′_{III}(0)

azaz

F + G = C + D  (67a)
β(F − G) = ik(C − D)  (67b)

A következő periódus, a IV+V zóna megoldásai – (65) miatt – kifejezhetők az előzővel:

φ_{IV} (x) = e^{iKd}φ_{II}(x − d) = e^{iKd} [F e^{β(x−d)} + Ge^{−β(x−d)}]  (68a)
φ_{V} (x) = e^{iKd}φ_{III}(x − d) = e^{iKd} [Ce^{ik(x−d)} + De^{−ik(x−d)}]  (68b)

A két megoldás illesztése a

φ_{III}(c) = φ_{IV} (c)
φ′_{III}(c) = φ′_{IV} (c)

egyenleteket szolgáltatja, amelyek a (c − d = −a)

Ce^{ikc} + De^{−ikc} = e^{iKd} [F e^{β(−a)} + Ge^{−β(−a)}]  (69a)
ik (Ce^{ikc} − De^{−ikc}) = e^{iKd}β [F e^{β(−a)} − Ge^{−β(−a)}]  (69b)

formában írhatók fel. Ez négy (valós) egyenletet szolgáltat a négy (valós) együttható (F, G, C, D) meghatározására. Triviálistól különböző megoldást akkor kapunk, ha az együtthatókból képezett determináns eltűnik, azaz

| \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ β & −β & −ik & ik \\ e^{iKd−βa} & e^{iKd+βa} & −e^{ikc} & −e^{−ikc} \\ βe^{iKd−βa} & −βe^{iKd+βa} & −ike^{ikc} & ike^{−ikc} \end{matrix} | = 0,  (70)

amiből egy kötelező egyenlőség fennállását nyerjük a k hullámszám különböző értékei mellett a K ”effektív” hullámszámra:

2 cos Kd = e^{−βa} [cos kc + \frac{k^{2} − β^{2}}{2βk} sin kc] + e^{βa} [cos kc − \frac{k^{2} − β^{2}}{2βk} sin kc] ≡ f(k).  (71)

Mármost nyilvánvaló, hogy f(k) csak −2 és +2 közötti értékeket vehet fel:

−2 ≤ f(k) = 2 cos Kd ≤ 2,

ez a feltétel viszont bármely k érték esetén nem teljesül. Pl., k = nπ/c, (n = 0, 1, 2, ...) esetén biztosan nem elégül ki a fenti egyenlőtlenség. Azt kaptuk tehát, hogy periódikus potenciálok esetén (is) vannak megengedett E = ℏ^{2}k^{2}/2m_{e} energiaértékek, amelyeknek megfelelő k értékek (71)-et kielégítik, és vannak tiltott értékek, amelyek esetén (71) nem teljesül.

Ez az eredmény rögtön megengedi azt, hogy kvalitatíve értelmezzük a fémek, szigetelők mibenlétét. Képzeljünk el egy igen ”híg” fémet, amelyben az egyes atomtörzsek nagyon nagy R távolságra helyezkednek el egymástól. Az atomtörzs potenciáljában kialakulnak az elfajult ε_{1}, ε_{2}, .. energiaállapotok (vegyértéknívók), amelyeket elfoglalhatnak elektronok (ld. 35. ábra). Közelítve egymáshoz az atomokat, a valenciaszintek felhasadnak a többi atom perturbáló hatására, és egy optimális d rácsállandó esetén, amely mellett az atomtörzsekből és ezeken kívüli elektronokból álló rendszer energiája a legkisebb, kialakulnak a periódikus potenciálokra jellemző tiltott és megengedett (Δε_{1}, Δε_{2}) energiasávok (ld. 35. ábra).

Mármost, ha a Δε_{1} sáv teljesen be van töltve elektronokkal, a Δε_{2}−höz tartozó sáv pedig üres, továbbá a két sáv közti távolság (”gap”) nagy, akkor az elektronok számára a mozgási lehetőség nyilvánvalóan korlátozott. Az ilyen anyagok rossz elektromos és hővezetők, azaz szigetelők (ld 36. ábra). Amennyiben a két megengedett sáv közti tiltott zóna (gap) kicsi, az alsó betöltött sávból könnyebben gerjeszthetők az elektronok az üresbe, amely által aktív, vezetésre képes elektronokat nyerünk – ezek a félvezetők. Fémek esetén pedig megkülönböztetünk egy-, ill. kétvegyértékű fémeket. Egyvegyétékű fémek esetén az első nívó csak félig van betöltve elektronokkal s ezért már kis elektromos tér hatására kapunk aktív elektronokat. Kétvegyértékű atomokból akkor lesznek jó vezetők (fémek), ha a két sáv átfedi egymást, azaz a két sáv között nincs tiltott zóna és így az elektronok az ε_{1}−es sávból könnyen átkerülhetnek a ”mozgékony” ε_{2}−es sávba (36. ábra).

36. ábra. Szilárdtestekben kialakuló tiltott zónák szemléltetése.

A szilárdtestfizikában kiterjedten használják az ún. ”effektív tömeg” fogalmát. Ennek bevezetése azon alapul, hogy a periódicitás miatt fennálló exp(iKnd) φ(x) = φ(x + nd) feltétel miatt a K mennyiség a csillapítatlanul transzmittálódó elektron effektív hullámszámával azonosítható (az impulzus az eltolás operátor generátora). Az effektív hullámszám nem feltétlenül egyenlő a k fizikai hullámszámmal. Formálisan azonban felírhatunk egy összefüggést köztük az m^{∗}(k) effektív tömeg bevezetésével a következő módon:

E = \frac{ℏ^{2}k^{2}}{2m_{e}} = \frac{ℏ^{2}K^{2}(k)}{2m^{∗}(k)}.

Minthogy K(k) = arccos(f(k)/2)/d értékei −∞ és ∞ közé eshetnek, az effektív tömeg értékei is erősen vátozhatnak k függvényében.

6.3. HÁROMDIMENZIÓS SZÓRÁS

Világunk három térdimenzióval rendelkezik, így az ütközési folyamatok valójában mindig három dimenzióban játszódnak le. Az ütközéseket legkényelmesebben tömegközépponti koordináta rendszerben írhatjuk le. Mivel kéttest ütközésekkel foglalkozunk, és az 5.3.1. fejezetben láttuk, hogy a kéttest probléma visszavezethető olyan egytest problémára, ahol egy (redukált) tömeggel rendelkező részecske E (tömegközépponti) energiával mozog a (két részecske kölcsönhatását leíró) V (r) potenciálban, ezért a kétrészecske ütközéseket gyakran potenciálszórásnak is nevezzük.

A szóráskísérletek tanulmányozásának nyilvánvaló szükségességét az adja meg, hogy ezen az úton szerezhetünk (közvetett) információt a mikrorészecskék (rendszerek) között működő erőkről. Ez az igény különösen nyilvánvaló abban az esetben, amikor a részecskerendszerek (pl. atommagok, atomok, molekulák, klaszterek) alkotórészei közötti elemi kölcsönhatás nem ismeretes (mint pl. a nukleonok között). De hasonló igény támasztható olyan esetben is, amikor a rendszerek alkotórészei közti erők ”egzaktul” ismeretesek, mint pl. az atombeli elektronok között, ugyanis az összetett rendszerek közötti effektív kölcsönhatás elméleti meghatározása a kötött állapoti probléma egzakt megoldását igényli, ami a gyakorlatban kivitelezhetetlen feladat. Így tehát szükségképpen közelítésekre (modell feltevésekre, különböző módszerek bevezetésére) vagyunk utalva, és ahhoz, hogy az egyes közelítések jóságát ellenőrizhessük, kísérleti tapasztalatokhoz kell fordulnunk.

Megjegyzendő, hogy gömbszimmetrikus potenciálok esetére ki van dolgozva a kvantummechanikai szórás inverz elmélete. Az R. G. Newton-, ill. Gel’fand-Levitan- és Marchenko-egyenletek segítségével a megfigyelt szórási adatokból meghatározhatjuk a potenciált minden modell-előfeltevés nélkül. A kvantummechanikai szórás inverz elméletével felsőbb éves tanulmányainkban foglalkozunk, jelenlegi célunk a szóráselmélet alapfogalmainak megismerése.

6.3.1. SZÓRÁSI HATÁSKERESZTMETSZET Egy szóráskísérletben a V (r) kölcsönhatásról szolgáltatott alapvető információ a szóródó részecskék különböző szögtartományba való intenzitás-eloszlásának megfigyeléséből, az ún. szögeloszlásból nyerhető ki.

Egy fixált erőcentrumon, vagy egy másik részecskén (ún. céltárgyon, targeton) szóródó részecskék (lövedékek, projektilek) irány szerinti eloszlását (szögeloszlását) a szórási hatáskeresztmetszet fogalmának bevezetésével értelmezhetjük. Tegyük fel, hogy a szórócentrumra J_{0} áramsűrűségű bombázó részecskenyaláb esik be és a beesési irányhoz képest ϑ és φ polárszögekkel jellemzett dΩ = sin ϑdϑdϕ kúpszögben időegység alatt dN részecskét detektálunk. A dΩ térszögben szóródó részecskék dN másodpercenkénti száma arányos J_{0}−lal, és dΩ−val:

dN = σ(ϑ, ϕ)J_{0}dΩ,  (72a)
ahol  az  arányossági  tényezőt

a szórás differenciális hatáskeresztmetszetének nevezzük. Ebbe a mennyiségbe sűrűsödik bele minden információ a tanulmányozni kívánt kölcsönhatásról, V (r)−ről.

(72a) teljes térre vett integrálja a részecskék teljes számát adja másodpercenként

N = J_{0} ∫ σ(ϑ, ϕ)dΩ ≡ J_{0}σ_{tot},  (72b)

ahol bevezettük a teljes hatáskeresztmetszet fogalmát,

σ_{tot} = ∫ σ(ϑ, ϕ)dΩ = \frac{N}{J_{0}} ,  (72c)

mint a differenciális hatáskeresztmetszet teljes térre vett integrálját, ami tehát az időegység alatt szóródó részecskék számának és a beeső részecske-nyaláb áramsűrűségének a hányadosa. A differenciális hatáskeresztmetszet szokásos jelölése:

σ(ϑ, ϕ) = \frac{dσ(ϑ, ϕ)}{dΩ} = \frac{dN}{J_{0}dΩ},

szokásos egységei: a_{0}^{2} = 2.80 × 10^{−17}cm^{2} (atomfizikában), ill. 1barn = 10^{2}fm^{2} = 10^{−24}cm^{2} (magfizikában).

Megjegyzendő, hogy magfizikában fontos szerep jut a hatáskeresztmetszet labor rendszerből tömegközépponti rendszerbe való átszámolásnak. Elektron-atom ütközés esetén a két rendszer gyakorlatilag megegyezik a tömegviszonyok miatt.

6.3.2. SZÓRÁSAMPLITÚDÓ A (14) stacionárius Schrödinger egyenletet rövidhatótávolságú (lim_{r→∞} V = r^{−1−ε}) potenciál esetén kielégíti a következő határfeltétel:

lim_{r→∞} ψ_{k_{i}}^{(+)} = A (e^{ik_{i}r} + f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} ) ≡ Φ_{be}(r) + ψ_{sz}^{(+)}(r, k),  (73)

ahol A ≠ A(r) egy – csak energiától függő – normálási állandó, f(ϑ, ϕ) pedig az ún. szórásamplitúdó. Könnyen belátható, hogy a (73) alatti határfeltétel tetszőleges f(ϑ, ϕ) szórásamplitúdó mellett kielégíti a Schrödinger egyenletet O (\frac{1}{r}) rendben [az egyszerűség kedvéért foglalkozzunk csak rugalmas szórásokkal, amelyekre |k_{i}| = k; továbbá használjuk fel a következő összefüggéseket: U = V/(ℏ^{2}/2μ), Δ_{r} = ∇^{2} = \frac{1}{r} \frac{d^{2}}{dr^{2}} r − \frac{L^{2}/ℏ^{2}}{r^{2}} , E = (ℏk)^{2}/2m]:

lim_{r→∞} [Δ_{r} + k^{2} − U(r)]ψ_{k_{i}}^{(+)} = [Δ_{r} + k^{2} − Cr^{−1−ϵ}]A (e^{ik_{i}r} + f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} )

= A[ − k^{2}e^{ik_{i}r} + k^{2}e^{ik_{i}r} − Cr^{−1−ϵ}e^{ik_{i}r} + Δ_{r}f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} + k^{2}f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} −

−Cr^{−1−ε}f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} ] = A[ − Cr^{−1−ϵ}e^{ik_{i}r} + f(ϑ, ϕ)\frac{1}{r} \frac{d^{2}}{dr^{2}} r \frac{e^{ikr}}{r} − \frac{e^{ikr}}{r} \frac{L^{2}/ℏ^{2}}{r^{2}} f(ϑ, ϕ)+

+k^{2}f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} − Cr^{−1−ε}f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} ] = A[ − Cr^{−1−ϵ} (e^{ik_{i}r} + f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} ) −

−k^{2}f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} + k^{2}f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} ] + O(\frac{1}{r^{3}} ) = −ACr^{−1−ϵ} (e^{ik_{i}r} + f(ϑ, ϕ)\frac{e^{ikr}}{r} ) =

= 0 + O (\frac{1}{r}) .

Így tehát (73) a lehető legáltalánosabb határfeltétel, amelyhez a következő szemléltetés fűződik. (73) két hullám szuperpozíciójából áll. Mindkettő kielégíti a Schrödinger egyenletet r → ∞−ben O(1/r) rendben, rövidhatótávolságú potenciál esetén.

(73) első tagja egy beeső végtelen síkhullámot (impulzus sajátállapotot) ír le, ami a bombázó részecskehullámmal azonosítható. (73) második tagja egy olyan radiális szórt hullámot reprezentál, amely a szórás centrumától kifelé mozog, amplitúdója irányfüggő, intenzitása r^{2}−tel fordítottan arányos (kifutó gömbhullámnak nevezzük; 37. ábra). Ez felel meg a detektálandó részecske-hullámnak.

Az egyenlő fázisú felületek egyenletei:

a) beeső hullám esetén

k_{i}r − ωt = |k_{i}|r cos ϑ − ωt = kz − ωt = const = a(z, t);

az egyenlő fázisú pontok összessége z−re merőleges felületeket alkot, amely felületek λ = 2π/k távolságra vannak egymástól, amennyiben a maximumokat, vagy minimumokat tekintjük egy rögzített t időpillanat esetén. E felületek v_{f} = ω/k fázissebességgel haladnak a pozitív z irányba;

b) rugalmasan szórt hullám esetén

kr − ωt = const = b(r, t);

ez egy olyan gömbfelület egyenlete, amely ω/k = λ/T = v_{f} (fázis)sebességgel r̂ irányba terjed 2π/k hullámhosszal.

Magyarázat: Stacionárius esetben a fázisokhoz mindig hozzáadandó a leszeparált exp(−\frac{i}{ℏ}Et) tényező fázisa. További elemi összefüggések: E = ℏω = p^{2}/2m = ℏ^{2}k^{2}/2m → ω = ℏk^{2}/2m. Fázissebesség: dr/dt = d(const/k + ωt/k)/dt = ω/k = ℏk/2m = v/2, ahol v a csoportsebesség, amit dω/dk definiál.

Az A együttható és az f szórásamplitúdó fizikai jelentésének megállapítása céljából kiszámítjuk a differenciális hatáskeresztmetszetet mint a detektornál (r → ∞−ben) ϑ, ϕ = r̂ irányban mérhető fluxus és a beeső hullámból származó, szintén mérhető fluxus hányadosát. A detektornál észlelt fluxus a ψ_{sz} szórt hullámból, valamint a bejövő és szórt hullám interferenciájából ered. Megmutatjuk, hogy az interferencia tagból eredő részecske-hullám fluxusa elhanyagolható r → ∞−ben ϑ ≠ 0 esetén.

Az egységnyi felületre eső fluxust a valószínűségi áramsűrűség képlete

j(r) = \frac{ℏ}{2mi}[ψ^{∗}∇_{r}ψ − ψ∇_{r}ψ^{∗}] = ℜ (\frac{ℏ}{mi}ψ^{∗}∇_{r}ψ) = j_{be} + j_{sz} + j_{int}

szolgáltatja (dimenziója: \frac{rmv}{mr} \frac{1}{r^{3}} = \frac{1}{s cm^{2}} ). Figyelembe vesszük továbbá, hogy

lim_{r→∞} ∇_{r} = lim_{r→∞} (\frac{∂}{∂r} r̂, \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ϑ}ϑ̂, \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂ϕ}ϕ̂) = \frac{∂}{∂r} r̂.

A beeső részecske-hullám áramsűrűség vektora a Φ_{k_{i}}(r) = Ae^{ik_{i}r} beeső hullámból [(73) első tagja] számolható:

j_{be} = ℜ (\frac{ℏ}{mi}Φ_{be}^{∗}∇_{r}Φ_{be}) .

A bejövő fluxus, amit k_{i}-ra merőleges egységnyi felületen detektálunk (és amivel osztani fogjuk a detektornál mérhető részecske fluxust) a következő:

J_{0} ≡ j_{be} = j_{be}k̂_{i} = k̂_{i}ℜ (\frac{ℏ}{mi}|A|^{2}e^{−ik_{i}r}ik_{i}e^{ik_{i}r}) = |A|^{2} \frac{ℏk}{m} = |A|^{2}v.

A kifutó szórt hullám (ψ_{sz}) áramsűrűség vektora

j_{sz} = ℜ (\frac{ℏ}{mi}ψ_{sz}^{∗}∇_{r}ψ_{sz})

Ebből r̂ irányba a detektorhoz

j_{sz} = r̂j_{sz} = ℜ (|A|^{2} \frac{ℏ}{mi}f^{∗}(Ω)\frac{e^{−ikr}}{r} \frac{∂}{∂r} (f(Ω)\frac{e^{ikr}}{r} ))

= |A|^{2} \frac{ℏk}{m} \frac{1}{r^{2}} |f(Ω)|^{2} + O(\frac{1}{r^{3}} ) = |A|^{2}v \frac{1}{r^{2}} |f(Ω)|^{2} + O(\frac{1}{r^{3}} )

egységnyi felületre eső fluxus érkezik.

Vizsgáljuk most az interferencia tagból adódó radiális áramsűrűséget (fluxust).

j_{int} = j_{int}r̂ = ℜ \{|A|^{2} \frac{ℏ}{mi} [e^{−ikr cos ϑ} \frac{∂}{∂r} (f(Ω)\frac{e^{ikr}}{r} ) + f^{∗}(Ω)\frac{e^{−ikr}}{r} \frac{∂}{∂r} e^{ikr cos ϑ} ]\}

= ℜ \{|A|^{2} \frac{ℏ}{mi} [ik \frac{1}{r}f(Ω)e^{ikr(1−cos ϑ)} + ik cos ϑ\frac{1}{r}f^{∗}(Ω)e^{−ikr(1−cos ϑ)}] + O (\frac{1}{r^{2}} )\} ≈ 0,

mivel (hacsak ϑ ≠ 0, előreszórás esete, amelyet később külön megvizsgálunk) igen gyorsan oszcillál, mint r függvénye, amikor r → ∞. Továbbá, vegyük figyelembe, hogy a bejövő hullám k_{i} vektorának mindig van szórása (Δk). Ebben az esetben az oszcillációs tagok elhanyagolhatók ϑ ≠ 0−ra, mivel

lim_{r→∞} ∫_{k}^{k+Δk} ke^{ikr(1−cos ϑ)}dk

= lim_{r→∞} \frac{1}{ir(1 − cos ϑ)} \{[ke^{ikr(1−cos ϑ)}]_{k}^{k+Δk} − ∫_{k}^{k+Δk} e^{ikr(1−cos ϑ)}dk\}

= lim_{r→∞} \frac{1}{ir(1 − cos ϑ)} [(k − 1)e^{ikr(1−cos ϑ)}]_{k}^{k+Δk}

= lim_{r→∞} \frac{1}{ir(1 − cos ϑ)} [(k + Δk − 1)e^{i(k+Δk)(r−z)} − (k − 1)e^{ik(r−z)}]

= lim_{r→∞} \frac{1}{i(r − z)}e^{ik(r−z)} [(k + Δk − 1)e^{iΔkz} − k + 1] = 0.

Végeredményben tehát, ahhoz, hogy megkapjuk a differenciális hatáskeresztmetszetet, (72a) értelmében a szórt részecskék dN = j_{sz} × r^{2} × dΩ számát el kell osztani a beeső részecskék J_{0} = j_{be} fluxusával és dΩ−val:

σ(ϑ, ϕ) = \frac{dσ}{dΩ} = \frac{dN}{J_{0}dΩ} = \frac{dΩr^{2}j_{sz}}{j_{be}dΩ} = \frac{r^{2}|A|^{2}v \frac{1}{r^{2}} |f|^{2}}{|A|^{2}v} = |f(ϑ, ϕ)|^{2}.

Azt kaptuk, hogy a szórásamplitúdó abszolút érték négyzete megegyezik a differenciális hatáskeresztmetszettel:

\frac{dσ}{dΩ} = |f(ϑ, ϕ)|^{2}.  (74)

Ez az a fundamentális összefüggés, amely kapcsolatot teremt a tapasztalat és az elmélet között.

Mint látjuk, a differenciális hatáskeresztmetszet független az A amplitúdótól mivel csak ”relatív” valószínűség iránt érdeklődünk mindenkor. Ezért a szórási hullámfüggvényt különbözőképpen lehet ”normálni”, attól függően, hogy miként választjuk meg az A ”normálási” együtthatót. Ha A = 1 normálást választunk, akkor a bejövő hullám megtalálási valószínűségi sűrűsége 1 az r-térben. Ha A = 1/\sqrt{v} = 1/\sqrt{ℏk}, akor a szórási hullámfüggvényt egységnyi bejövő fluxusra normáltuk. Φ_{be}-re választhatunk hullámcsomag megoldást is, a feladathoz illeszkedő A(p) normálási amplitúdó rögzítésével együtt.

6.3.3. OPTIKAI TÉTEL.

ϑ ≈ 0 esetén az interferencia tag nem hanyagolható el. Számítsuk ki e tagból jövő áramsűrűséget, amelyet egy δθ nyílásszögű kúpfelületen r távolságban detektálunk (38. ábra).

A δθ nyílásszögű r^{2}δΩ területű kúpfelületen áthaladó részecskék száma O(\frac{1}{r^{2}} ) rendben:

j_{int}(δθ ≈ 0) = r^{2} ∫_{δΩ} dΩj_{int}r̂ = r^{2} ∫_{0}^{2π} dϕ ∫_{0}^{δθ} dϑ sin ϑ

×ℜ \{|A|^{2} \frac{ℏ}{mi} [ik \frac{1}{r}f(Ω)e^{ikr(1−cos ϑ)} + ik cos ϑ\frac{1}{r}f^{∗}(Ω)e^{−ikr(1−cos ϑ)}]\} .

Az integrál kiértékeléséhez figyelembe vesszük, hogy f(Ω) lassan változó függvénye ϑ−nak s ezért a nulla helyen felvett értékével helyettesíthető. Vezessük be az x = cos ϑ változót. Ekkor dx = − sin ϑdϑ. Vegyük figyelembe, hogy

∫_{0}^{δθ} dϑ sin ϑe^{ikr(1−cos ϑ)} = − ∫_{1}^{cos δθ} dxe^{ikr(1−x)} = −e^{ikr} ∫_{1}^{cos δθ} dxe^{−ikrx}

= −e^{ikr} \frac{1}{−ikr} [e^{−ikrx}]_{1}^{cos δθ} = \frac{e^{ikr}}{ikr} [e^{−ikr cos δθ} − e^{−ikr}]

= \frac{1}{ikr} e^{ikr(1−cos δθ)} + \frac{i}{kr} = oszc. + \frac{i}{kr} ,

ahol az oszcilláló rész elhagyható a nem oszcilláló mellet. Így, folytatva az interferencia tagból jövő áramsűrűség kiértékelését (cos ϑ ≈ 1 miatt),

j_{int}(0) = lim_{δθ→0} j_{int}(δθ) = 2πr^{2}|A|^{2} \frac{ℏk}{mr} ℜ [f(0)\frac{i}{kr} + f^{∗}(0)\frac{i^{∗}}{kr} ]

= 2π|A|^{2} \frac{ℏ}{m}ℜ [if(0) + i^{∗}f^{∗}(0)] = −4π \frac{ℏ}{m}|A|^{2}ℑf(0).

Az interferencia tagból adódó részecske-hullám járulék ϑ ≈ 0 esetén tehát arányos a szórásamplitúdó imaginárius részével (ϑ ≠ 0 esetén az ebből a tagból adódó áramsűrűség zérus, mint korábban láttuk.)

Ha a teljes r → ∞ sugarú gömbfelületere integráljuk a teljes radiális áramot, j_{r} = jr̂−t, fluxus megmaradást kapunk a Gauss tétel kihasználásával. Legyen df = r̂r^{2}dΩ a felületelem, ekkor

r^{2} ∫ dΩjr̂ ≡ ∫_{F} df j = ∫_{V} d^{3}r∇j = 0,

ami a

∇j + ∂ρ/∂t = 0

kontinuitási egyenlet integrális alakjából az ∫ d^{3}rρ(r, t) = ∫ d^{3}r|Ψ(r, t)|^{2} = 1 norma miatt következik. Mármost, a teljes áramsűrűség három részből tevődik össze: j = j_{be} + j_{sz} + j_{int} és a bejövő részecskehullám áramsűrűsége nem ad járulékot a teljes radiális fluxushoz, ugyanis:

r^{2} ∫ dΩj_{be}r̂ = r^{2}2π ∫_{0}^{π} dϑ sin ϑ|A|^{2}v cos ϑ = 2πr^{2}|A|^{2}v ∫_{−1}^{1} dx x = 0,

ahol a szokásos x = cos ϑ, dx = −dϑ sin θ helyettesítést alkalmaztuk.

Ezért a teljes fluxushoz csak j_{sz} és j_{int} ad járulékot, az utóbbi csak θ ≈ 0 esetén, mint láttuk, az előbbi pedig a (differenciális) hatáskeresztmetszettel kapcsolatos. Írható tehát

0 = r^{2} ∫ dΩ(j_{sz} + j_{int})r̂ = r^{2} ∫ dΩ|A|^{2}v \frac{1}{r^{2}} |f(Ω)|^{2} − 4π|A|^{2} \frac{ℏ}{m}ℑf(0)

= |A|^{2} (vσ_{tot} − 4π \frac{ℏ}{m}ℑf(0)) = 0,

amiből nyerjük a nevezetes optikai tételt:

σ_{tot} = \frac{4π}{k} ℑf(0).  (75)

Az optikai tétel rendkívül fontos mind elméleti, mind gyakorlati szempontból. Kapcsolatot teremt kísérlet és elmélet között. Lehetővé teszi a nem teljes (ϑ, ϕ) szögtartományban végrehajtott mérésekből történő teljes hatáskeresztmetszet meghatározását. Ezenkívül az elméleti modellek, illetve közelítések számára is támpontot jelent a (75) alatti egzakt összefüggés.

6.4. SZÓRÓDÁS GÖMBSZIMMETRIKUS POTENCIÁLON.

PARCIÁLIS HULLÁMOK MÓDSZERE.

Tekintsük a

[−\frac{ℏ^{2}}{2μ} \frac{1}{r} \frac{d^{2}}{dr^{2}} r + \frac{L^{2}}{2μr^{2}} + V (r) − E] ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = 0

Schrödinger egyenletet, ahol a potenciál csak |r| = r abszolút értékétől függ [|k_{i}| = k, E = (ℏk)^{2}/2μ > 0, μ a redukált tömeg].

Mármost, tetszőleges ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) reguláris függvény sorbafejthető az impulzusmomentum sajátfüggvényei, a gömbfüggvények szerint

ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = ∑_{l=0}^{∞} ∑_{m=−l}^{l} c_{lm}(k_{i})u_{lm}(k_{i}, r)Y_{l}^{m}(r̂) = ∑_{l=0}^{∞} c′_{l}(k)u_{l}(k, r)P_{l}(cos ϑ),  (76a)

ahol a második egyenlőség jel utáni átalakításban kihasználtuk, hogy a potenciál csak r-től függ, és ezért — a z−tengelyt a beesés k̂_{i} irányával párhuzamosnak választva, valamint a

∑_{m} Y_{l}^{m}(r̂)Y_{l}^{m∗}(k̂_{i}) = \frac{2l + 1}{4π}P_{l}(cos ϑ)

összegzési tételre figyelemmel, — a mágneses kvantumszámra vonatkozó összegzés elvégezhető, és a hullámfüggvény csak r−től és ϑ−tól függő formára egyszerűsödik. A szórási hullámfüggvény (73) aszimptotikus alakjában fellépő f szórásamplitúdó ezért szintén csak ϑ függvénye lesz. Így az aszimptotikus alak gömbszimmetrikus potenciál esetén

lim_{r→∞} ψ_{k_{i}}^{(+)} = A (e^{ik_{i}r} + f(ϑ)\frac{e^{ikr}}{r} ) .  (76b)

Behelyettesítve a (76a) alatti kifejtést a Schrödinger egyenletbe, kapjuk a ”parciális” (azaz: rész) hullámokra felírt Schrödinger egyenletet:

[−\frac{ℏ^{2}}{2μ} \frac{1}{r} \frac{d^{2}}{dr^{2}} r + \frac{ℏ^{2}}{2μ} \frac{l(l + 1)}{r^{2}} + V (r) − E] u_{l}(r) = 0,  (76c)

amelyből az

u_{l}(r) = \frac{1}{kr} R_{l}(r)

helyettesítés útján nyerjük az ún. radiális szórási Schrödinger egyenletet

[−\frac{ℏ^{2}}{2m} \frac{d^{2}}{dr^{2}} + \frac{ℏ^{2}}{2m} \frac{l(l + 1)}{r^{2}} + V (r) − E] R_{l}(r) = 0,  (76d)

az R_{l}(r) radiális hullámfüggvényre. (Figyeljük meg, hogy R_{l} most nem függ a kötött állapotokra jellemző n kvantumszámtól, hiszen folytonos spektrum esetében vagyunk; n a hullámfüggvény nódusaival, csomópontjaival is kapcsolatos volt – egy szórási hullámfüggvény végtelen sok nódussal rendelkezik, hiszen térben nem lokalizált.)

(76d) megoldásához ismernünk kell u_{l}(r)−t két pontban. Ez r = 0 és r = ∞ lesz.

A hidrogénatom tárgyalásánál láttuk, hogy amennyiben a V (r) potenciál nem szingulárisabb 1/r−nél, akkor az ún. indiciális (az origóbeli megoldások hatványkitevőire vonatkozó) egyenletek vizsgálatából

u_{l}(r → 0) ∝ \begin{cases}r^{l} & reg \\ r^{−l−1} & irreg \end{cases}

következett, ami az R_{l}(r) = kr u_{l}(r) radiális függvényre a

R_{l}(r → 0) ∝ \begin{cases}r^{l+1} & reg \\ r^{−l} & irreg \end{cases}

határfeltételt szolgáltatja. A hullámfüggvényre vonatkozó regularitási követelmény miatt tehát az origóbeli határfeltétel

u_{l}(0) = \begin{cases}konst., & ha l=0, \\ 0 & egyébként, \end{cases}  illetve R_{l}(0) = 0, l = 0, 1, ...  (77)

Az r → ∞−beli határfeltétel megállapítása céljából válasszuk először (76d)–ben r−et olyan nagynak, hogy mind V (r), mind a centrifugális tag, l(l + 1)/r^{2}, elhanyagolható legyen. Ekkor

R_{l}(r → ∞; k) ∝ e^{±ikr}  (78a)

nyilvánvalóan kielégíti az egyenletet (E = ℏ^{2}k^{2}/2m). Jobb közelítést kapunk, ha ezt az extrém aszimptotikus alakot kiegészítjük egy f(r) függvénnyel a következő módon:

R_{l}(r → ∞; k) = lim_{r→∞} Ae^{±ikr+∫_{a}^{r} f(r′)dr′},  (78b)

ahol A és a konstansok. Behelyettesítve (76d)–be, a következő differenciál egyenletet nyerjük f−re:

f′ + f^{2} ± 2ikf = \frac{2m}{ℏ^{2}}V (r) + \frac{l(l + 1)}{r^{2}} ≡ W (r).  (78c)

Mármost, ha W (r) ∝ r^{−s}, akkor a baloldal utolsó tagja, lévén nagyságrendben a vezető tag, szintén r^{−s}−ként tart zérushoz. Így az exponensben álló integrál

lim_{r→∞} ∫_{a}^{r}(r′)^{−s}dr′ = \frac{1}{1 − s}[ lim_{r→∞} r^{1−s} − a^{1−s}]  (78d)

konvergens, ha s > 1, és akkor (78b) szintén (78a) alakjában írható. Amennyiben W (r) exponenciálisan tűnik el és l = 0, a (78c) bal oldalán álló f′−s tagot is figyelembe kell venni f mellett. Nehézség nélkül megmutatható, hogy ekkor is (78a) az általános alak. Az egyetlen kivételre, s = 1 esetére, a Coulomb szórás tárgyalásánál még visszatérünk.

A (78a) végtelenbeli határfeltételek fizikai jelentése nyilvánvaló: e^{ikr} az r̂ irányba szórt (kifutó), az e^{−ikr} az r̂ irányból beeső (befutó) hullámot jelenti. Ez a két hullám keveredik mindegyik R_{l}(r; k) parciális hullámban nagy r−ek esetén, ami ezért a következő legáltalánosabb formába írható:

R_{l}(r → ∞; k) = Ã_{l} sin(kr + δ̃_{l}),  (79)

ahol a két integrációs állandó, Ã_{l} és δ̃_{l} elvben még komplex is lehet. A befutó és kifutó hullám keveredési amplitúdóját ez a két állandó határozza meg.

A (76d) radiális parciális szórási Schrödinger egyenlet R_{l}(r; k) megoldásait tehát a (77) és (79) határfeltételek egyértelműen meghatározzák (egy komplex szorzási állandótól eltekintve). A megoldás azonban valós, mivel r = 0−ban valósként indul, és k, V, és l valós. Így δ̃_{l}−nek is valósnak kell lenni, Ã_{l} viszont lehet komplex. δ̃_{l} valós esetén megmutatható, hogy a (76a) részecske-hullámból eredő totális radiális fluxus egy teljes (végtelenbeli) gömbfelületen zérus:

lim_{r→∞} r^{2} ∫ dΩjr̂ = lim_{r→∞} r^{2} ∫ dΩℜ (\frac{ℏ}{mi}ψ_{k_{i}}^{(+)∗} \frac{∂}{∂r} ψ_{k_{i}}^{(+)})

= lim_{r→∞} r^{2}2πℜ ∑_{ll′} (\frac{sin(kr + δ̃_{l})}{r} \frac{∂}{∂r} \frac{sin(kr + δ̃_{l′})}{r}) ∫ dϑ sin ϑP_{l}(cos ϑ)P_{l′}(cos ϑ)\frac{ℏ}{mi}Ã_{l}^{∗}Ã_{l′}

= 2π ∑_{l=0}^{∞} |Ã_{l}|^{2} lim_{r→∞} r^{2}ℜ (\frac{sin(kr + δ̃_{l})}{r} \frac{∂}{∂r} \frac{sin(kr + δ̃_{l})}{r}) \frac{ℏ}{mi}

= πℜ\frac{ℏk}{mi} ∑_{l=0}^{∞} |Ã_{l}|^{2} sin 2(kr + δ̃_{l}) = 0,  ha  δ̃_{l}^{∗} = δ̃_{l}

ahol Ã_{l} tartalmazza a (76a)-ban előforduló c′_{l}(k) együtthatót is.

Amennyiben δ̃_{l} valós, a fenti eredmény tehát azt jelenti, hogy a szórási tértartományon belül a részecskéknek nincs forrása, illetve ”elnyelője”. A kifelé szóródott részecskék ezért egyedül a beeső részecske-hullámból származhatnak. Komplex potenciál esetén δ̃_{l} komplex és ezért a teljes fluxus az r gömbfelületen nem tűnik el; ezzel reakciók lefolyását és rugalmatlan ütközések bekövetkeztét lehet modellezni (ld. Feshbach-, ill. Watson-féle optikai potenciál formalizmus).

Általában nem a végtelenbeli (79) határfeltétellel dolgozunk, hanem kihasználjuk azt, hogy a gyakorlatban a potenciál egy véges r_{0} távolságon túl zérusnak vehető. Az r_{0} távolság viszont még nem olyan nagy, hogy a centrifugális tag elhanyagolható lenne. A (76d) Schrödinger egyenlet ebben az esetben a Bessel-féle differenciál egyenletbe megy át (V = 0, E = ℏ^{2}k^{2}/2m) :

[\frac{d^{2}}{dr^{2}} − \frac{l(l + 1)}{r^{2}} + k^{2}] R_{l}^{sz}(r) = 0,  r > r_{0},  (80)

amelyet ”szabad” radiális Schrödinger egyenletnek is szoktunk hívni. Két független megoldása a j_{l}(kr) szférikus Bessel- és az n_{l}(kr) szférikus Neumann-függvénynyel kapcsolatos:

R_{l}^{reg}(kr) = krj_{l}(kr) = (\frac{πkr}{2} )^{1/2} J_{l+ \frac{1}{2}} (kr)→ sin(kr − \frac{1}{2}lπ), ha r → ∞,

R_{l}^{irreg}(kr) = −krn_{l}(kr) = (−1)^{l} (\frac{πkr}{2} )^{1/2} J_{−l− \frac{1}{2}} (kr)→ cos(kr − \frac{1}{2}lπ), ha r → ∞.

Az R_{l}(r; k) radiális szórási hullámfüggvény kifejezhető R_{l}^{reg} és R_{l}^{irreg} lineárkombinációjaként r_{0}−nál nagyobb távolságokra:

R_{l}^{(a)} = R_{l}(r; k) = Ã_{l}[R_{l}^{reg}(kr) cos δ_{l} + R_{l}^{irreg}(kr) sin δ_{l}] =
= Ã_{l}kr[j_{l}(kr) cos δ_{l} − n_{l}(kr) sin δ_{l}], r > r_{0},  (81a)

amelynek aszimptotikus alakja – figyelembe véve j_{l} és n_{l} feltüntetett aszimptotikus tulajdonságait – (79)-al ekvivalens formába írható:

R_{l}^{(a)} = R_{l}(r → ∞; k) = Ã_{l}[sin(kr − \frac{1}{2}lπ) cos δ_{l} + cos(kr − \frac{1}{2}lπ) sin δ_{l}] = Ã_{l} sin(kr − \frac{1}{2}lπ + δ_{l}), (81b)

és így

u_{l}(r → ∞; k) = Ã_{l}(kr)^{−1} sin(kr − \frac{1}{2}lπ + δ_{l}).  (81c)

Ismervén az u_{l} és R_{l} parciális hullámok aszimptotikus alakját, meghatározhatjuk a differenciális hatáskeresztmetszetnek az egyes parciális hullámokból adódó összetevőit. Ehhez nem kell mást tenni, mint (76a) és (76b) aszimptotikus alakjait összehasonlítani. Ennek érdekében a (76b)-ben fellépő e^{ik_{i}r} függvényre (síkhullámra) alkalmazzuk az ismert kifejtési tételt, egyúttal vesszük a limeszt is:

lim_{r→∞} e^{ik_{i}r} = lim_{r→∞} e^{ikz} = lim_{r→∞} e^{ikr cos ϑ} = lim_{r→∞} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)i^{l}j_{l}(kr)P_{l}(cos θ)

= ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)i^{l}(kr)^{−1} sin(kr − \frac{1}{2}lπ)P_{l}(cos ϑ).

Ezt behelyettesítjük (76b)-be és az így kapott kifejezést egyenlővé tesszük (76a) aszimptotikus alakjával, amit (81c) felhasználásával kapunk. Tehát:

∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)i^{l}(kr)^{−1} sin(kr − \frac{1}{2}lπ)P_{l}(cos ϑ) + f(ϑ)r^{−1}e^{ikr}

= ∑_{l=0}^{∞} A_{l}(k)(kr)^{−1} sin(kr − \frac{1}{2}lπ + δ_{l})P_{l}(cos ϑ),

ahol most A_{l} tartalmazza a (76a)-ban fellépő c′_{l} együtthatókat is, osztva a (76b)-beli általános (l−től független) A állandóval. Az egyenlet bal- és jobboldalán álló e^{ikr} és e^{−ikr} függvények együtthatói egyenlők kell legyenek, azaz [sin x = (exp(ix) − exp(−ix))/2i]

2ikf(ϑ) + ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)i^{l}e^{− \frac{1}{2} ilπ}P_{l}(cos ϑ) = ∑_{l=0}^{∞} A_{l}e^{i(δ_{l}− \frac{1}{2} lπ)}P_{l}(cos ϑ)

és

∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)i^{l}e^{\frac{1}{2} ilπ}P_{l}(cos ϑ) = ∑_{l=0}^{∞} A_{l}e^{−i(δ_{l}− \frac{1}{2} lπ)}P_{l}(cos ϑ)

Minthogy ez igaz ϑ minden értékére és a Legendre polinomok ortogonálisak egymásra, az utóbbi egyenletből meghatározhatjuk az l−edik parciális hullám (aszimptotikus) normálási együtthatóját:

A_{l} = (2l + 1)i^{l}e^{iδ_{l}}.

Ezt behelyettesítve az előbbibe, kapjuk a kívánt összefüggést a szórásamplitúdó parciális hullámok szerint kifejtett alakjára:

f(ϑ) = \frac{1}{2ik} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)(e^{2iδ_{l}} − 1)P_{l}(cos ϑ)

= \frac{1}{k} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)e^{iδ_{l}} sin δ_{l}P_{l}(cos ϑ),  (82)

ugyanis

\frac{1}{2i}(e^{2iδ_{l}} − 1) = sin δ_{l}e^{iδ_{l}}.

Minthogy P_{l}(1) = 1 bármely l−re, az előreszórás szórási amplitúdója:

f(0) = \frac{1}{2ik} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)(e^{2iδ_{l}} − 1)

= \frac{1}{k} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)e^{iδ_{l}} sin δ_{l},

és ennek imaginárius része (ami az optikai tételben játszott szerepet):

ℑf(0) = \frac{1}{k} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1) sin^{2} δ_{l}.

A differenciális hatáskeresztmetszet a szórásamplitúdó abszolutérték négyzete:

σ(ϑ) = |f(ϑ)|^{2} = \frac{1}{k^{2}} |∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)e^{iδ_{l}} sin δ_{l}P_{l}(cos ϑ)|^{2}

= \frac{1}{k^{2}} ∑_{l≥l′=0}^{∞}(2l + 1)(2l′ + 1) sin δ_{l} sin δ_{l′}P_{l}(cos ϑ)P_{l′}(cos ϑ) cos(δ_{l} − δ_{l′})(2 − δ_{ll′}),

= \frac{1}{4k^{2}} |∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)(S_{l} − 1)P_{l}(cos ϑ)|^{2},  (83)

ahol az S_{l} ≡ e^{2iδ_{l}} jelölést alkalmaztuk. (Potenciálszórás esetén ez az ”S−mátrix” elem.)

A teljes hatáskeresztmetszet ennek teljes térre vett integrálja. Kihasználva a Legendre polinomok ortogonalitását, kapjuk:

σ_{tot} = 2π ∫_{0}^{π} sin ϑdϑσ(ϑ) = \frac{4π}{k^{2}} ∑_{ℓ=0}^{∞}(2l + 1) sin^{2} δ_{l}.  (84)

Ezt összehasonlítva az előreszórás szórási amplitúdó imaginárius részére kapott előbbi képlettel, nyerjük

σ_{tot} = \frac{4π}{k} ℑf(0),

ami a már korábbról ismert általánosan érvényes optikai tétel újbóli kifejeződése a szférikus potenciálok speciális esetére. Az optikai tétel szemléletes fizikai jelentése a következő. Ahhoz, hogy szóródás bekövetkezzen, részecskét kell a beeső nyalábból eltávolítani, és ez nyilván a szórási hatáskeresztmetszettel arányos mértékű. A beeső nyaláb intezítása a szórási tartomány mögött (ϑ ≈ 0) kisebb, mint előtte. A gyengülés csak a bejövő és szóródó hullám interferenciája révén lehetséges. Az interferencia tag viszont lineáris a szórási amplitúdóban. Tehát az előreszórási tartományban (ϑ ≈ 0, ahol mindez lejátszódik) a szórási amplitúdó arányos kell legyen a hatáskeresztmetszettel.

A parciális hullámok módszerét nyilván akkor célszerű alkalmazni, ha csak kevés parciális hullám ad járulékot a szórásamplitúdóhoz. Ez akkor következik be, ha

1) a potenciál hatótávolsága (r_{0}) rövid, vagy ha

2) a szórási energia (k^{2}/2) kicsi.

Ugyanis bp = L klasszikusan, ahol b az impakt paraméter, p az impulzus, L az impulzusmomentum, tehát

(r_{0}ℏk)^{2} ∼ ℏ^{2}l_{max}(l_{max} + 1).

6.4.1. FÁZISTOLÁS.

Az előzőekben lépten-nyomon használt δ_{l} = δ_{l}(k) konstans neve: fázistolás (phase shift), mivel éppen a hullámfüggvény fázisának a szabad megoldáshoz képesti eltolódását jelenti a (79) ill. (81) egyenletek alapján. A fázistolásoknak a szóráselméletben centrális szerepük van, mert mint láttuk, e mennyiség ismerete elegendő a hatáskeresztmetszet meghatározásához. A fázistolás ugyanazt a szerepet játssza a szórási állapotok meghatározásában, mint az E_{n} energiasajátérték a kötött állapotok jellemzésében. Valóban, többféle összefüggés állapítható meg az energiasajátértékek és a fázistolások között, a zérus energiájú kötött állapotok, illetve a zérus energiájú szórás vizsgálata révén (Levinson tétel, kvantumdefekt elmélet, stb.).

Mint láttuk, a fázistolás ismerete egy normálási állandótól eltekintve egyértelműen rögzíti a szórási hullámfüggvény (a szórási állapot) aszimptotikus alakját. A szóráselméletben (a folytonos spektrumok tanulmányozása esetén) mindig ez érdekel bennünket, mivel a hullámfüggvény aszimptotikus alakja tartalmazza a szórásamplitúdót, aminek abszolút érték négyzete adja a kísérletekkel összevethető differenciális hatáskeresztmetszet értékeket.

Mármost az a (látszólagos) ellentmondásos helyzet állt elő, hogy tulajdonképpeni célunk, a mikrorészecskék (mikrorendszerek) közötti kölcsönhatás kifürkészésére felállított elméleti apparátus mintha nem érdeklődne a hullámfüggvény kis tartományú viselkedése iránt, noha a mikrokölcsönhatások nyilván itt fejtik ki hatásukat leginkább. Természetesen ez nincs így. Márcsak azért sem, mert a hullámfüggvényt egyértelműen meghatározza a köcsönhatást tartalmazó Schrödinger egyenlet a két határfeltétellel együtt. Azaz a hullámfüggvény aszimptotikus tulajdonságait, és így a fázistolást is, egy előre megadott potenciál egyértelműen rögzíti.

A fázistolás differenciális meghatározása.

A fázistolások a hullámfüggvény folytonossága alapján V (r > r_{0}) = 0 típusú potenciál esetén könnyen meghatározhatók, mivel az aszimptotikus (81a) R_{l}^{(a)}(r > a) megoldásoknak és első deriváltjaiknak folytonosan kell csatlakoznia az R_{l}(r ≤ a) belső megoldásokhoz, ill. deriváltjaihoz. Ezen folytonossági (regularitási) feltételt a logaritmikus deriváltak

γ_{l}(k) ≡ (\frac{d}{dr} [ln \frac{1}{r}R_{l}])_{r=r_{0}} = (\frac{d}{dr} [ln \frac{1}{r}R_{l}^{(a)}])_{r=r_{0}} = (\frac{d}{dr} ln [j_{l}(kr) cos δ_{l} − n_{l}(kr) sin δ_{l}])_{r=r_{0}} ,

egyenlősége révén teljesül, amiből

tan δ_{l} = \frac{kj′_{l}(kr_{0}) − γ_{l}(k)j_{l}(kr_{0})}{kn′_{l}(kr_{0}) − γ_{l}(k)n_{l}(kr_{0})},

révén kapjuk a kívánt képletet, ahol ′ az argumentum szerinti deriválást jelenti.

A fázistolás integrális származtatása.

Kiindulunk a (76d) és (80) alatti egyenletből, amelyeket a jelölés szerint beszorozva és integrálva

∫_{0}^{∞} dr R_{l}^{reg}(r)/ [\frac{d^{2}}{dr^{2}} − \frac{l(l + 1)}{r^{2}} − U(r) + k^{2}] R_{l}(r) = 0,

∫_{0}^{∞} dr R_{l}(r)/ [\frac{d^{2}}{dr^{2}} − \frac{l(l + 1)}{r^{2}} + k^{2}] R_{l}^{reg}(r) = 0,

két egyenletet kapunk, amelyeket egymásból kivonva nyerjük [R_{l}^{reg} = rj_{l}(kr) és R_{l}(r → ∞) = Ã_{l} sin(kr − lπ/2 + δ_{l})] :

∫_{0}^{∞}[R_{l}^{reg} \frac{d^{2}}{dr^{2}} R_{l} − R_{l} \frac{d^{2}}{dr^{2}} R_{l}^{reg}]dr = ∫_{0}^{∞} R_{l}^{reg}(r)U(r)R_{l}(r) dr.

A baloldalon parciálisan integrálva és kihasználva az aszimptotikus alakokat, kapjuk a −Ã_{l}k sin δ_{l} eredményt. Így a norma-független végeredmény:

sin δ_{l} = −\frac{2m}{ℏ^{2}} Ã_{l}^{−1} ∫_{0}^{∞} rj_{l}(kr)V (r)R_{l}(r) dr.

Összefüggés a potenciál és a fázistolás előjele között.

Vizsgáljuk most meg, hogy a δ_{l} fázistolás előjeléből lehet-e következtetést levonni a potenciálra vonatkozóan.

A reguláris szabad megoldás aszimptotikus alakja,

R_{l}^{reg}(r → ∞) = lim_{r→∞} rj_{l}(kr) = sin(kr − \frac{1}{2}lπ),

amiből a szabad megoldás nódusainak (csomópontjainak) helyére

kr_{sz} − lπ/2 = 0 → r_{sz} = lπ/2k

adódik. A teljes megoldás aszimptotikájából

R_{l}^{(a)} = R_{l}(r → ∞) = Ã_{l} sin(kr − lπ/2 + δ_{l})

viszont

kr_{t} − lπ/2 + δ_{l} = 0 → r_{t} = lπ/2k − δ_{l}/k = r_{sz} − δ_{l}/k

adódik.

Mármost tekintsük a (39) ábrát, amelyen feltüntettük a reguláris szabad megoldásokat (szaggatott vonal) és a teljes megoldásokat (folytonos vonal) vonzó (V < 0) és taszító (V > 0) potenciál esetére. Az ábrát tanulmányozva nyilvánvaló, hogy δ_{l} > 0 vonzó, δ_{l} < 0 taszító potenciál jelenlétére utal.

Fontos megjegyezni, hogy δ_{l} csak mod π erejéig van meghatározva, mivel periódikus függvények argumentumaiban fordul elő. Abszolút értékét δ_{l}(k → ∞) = 0 rögzíti. Bizonyítás nélkül megemlítjük, hogy e skálát használva, δ_{l}(k = 0) = n_{l}π, ahol n_{l} a V (r) potenciál által az l−ik parciális hullámban létesített kötött állapotok számát jelenti, amennyiben nincs zérus energián is kötött állapot (Levinson tétel).

Ramsauer-Townsend jelenség.

Vonzó potenciál esetén a fázistolás felveheti a π értéket. Ekkor a parciális hullám járuléka a szórásamplitúdóhoz (82) értelmében zérus. Rövidhatótávolságú potenciál esetén előfordulhat tehát az az eset, hogy ka ∼ l_{max} = 0 miatt (ahol a a potenciál hatótávolsága) csak az s−hullám ad járulékot, ugyanakkor a potenciál eléggé vonzó ahhoz, hogy δ_{0}(k) = π legyen. Ekkor a hatáskeresztmetszet zérus: σ_{tot}(k) ≈ \frac{4π}{k} sin^{2} δ_{0}(k) = 0. Ez a kvalitatív magyarázata az elektron-nemesgáz atomok szórási hatáskeresztmetszeteiben 0.1 − 0.7 eV között megfigyelt minimumnak, amelyet először Ramsauer és T ownsend észlelt a 30-as évek elején (40. ábra).

6.4.2. LIPPMANN-SCHWINGER (LS) EGYENLET. BORN SOROZAT.

Tekintsük a

[−\frac{ℏ^{2}}{2m}∇^{2} + V (r)] ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = Eψ_{k_{i}}^{(+)}(r) (85a)

szórási egyenletet [E = (ℏk)^{2}/2m] a

lim_{r→∞} ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = e^{ik_{i}r} + f(ϑ, φ)\frac{e^{+ikr}}{r}  (85b)

határfeltétel mellett. (A hullámfüggvényen szereplő (+) index a kifutó aszimptotikára utal.)

Írjuk át a Schrödinger egyenletet a

(∇^{2} + k^{2})ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = F_{k_{i}}^{(+)}(r)  (85c)

inhomogén alakba, ahol az inhomogenitási tag,

F_{k_{i}}^{(+)}(r) = \frac{2m}{ℏ^{2}}V (r)ψ_{k_{i}}^{(+)}(r),  (85d)

tartalmazza a köcsönhatást is.

(85c) formális megoldása a Lippmann-Schwinger (LS) integrálegyenlet:

ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = e^{ik_{i}r}+\frac{2m}{ℏ^{2}} ∫ dr′G^{(+)}(r−r′)V (r′)ψ_{k_{i}}^{(+)}(r′),

(86)

ahol a G^{(+)} Green-függvényt a

(∇^{2}+k^{2})G^{(+)}(r−r′) = δ(r−r′) ≡ \frac{1}{(2π)^{3}} ∫ e^{ik′(r−r′)}dk′

(87)

egyenlet definiálja.

Behelyettesítve  (86)-ot  (85c)-be,

(87) kihasználásával azonosságot kapunk:

(∇_{r}^{2} + k^{2})ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = (∇_{r}^{2} + k^{2})e^{ik_{i}r}

+\frac{2m}{ℏ^{2}} ∫ dr′δ(r − r′)V (r′)ψ_{k_{i}}^{(+)}(r′) =

(−k^{2} + k^{2})e^{ik_{i}r} + \frac{2m}{ℏ^{2}}V (r)ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = F_{k_{i}}(r)

Kimutatjuk, hogy a LS egyenlet magában foglalja a szórási határfeltételeket is. Ehhez első lépésként kiszámítjuk G^{(+)}(r − r′)-t a reziduum tétel segítségével. Alkalmazva (87) mindkét oldalára (∇^{2} + k^{2}) inverzét, kapjuk

G^{(+)}(r − r′) = (∇^{2} + k^{2})^{−1} \frac{1}{(2π)^{3}} ∫ e^{ik′(r−r′)}dk′ = \frac{1}{(2π)^{3}} ∫ \frac{e^{ik′(r−r′)}}{−k′^{2} + k^{2}} dk′ = −\frac{1}{4π} \frac{e^{ik|r−r′|}}{|r − r′|} .

Az utolsó integrált komplex kontúrintegrálási technikával lehetett meghatározni, olyan utat választva, amely kifutó aszimptotikát biztosít a Green-függvény számára.

A Green-függvény eme konkrét alakját beírva a LS egyenletbe, kapjuk:

lim_{r→∞} ψ_{k_{i}}^{(+)}(r) = e^{ik_{i}r} − lim_{r→∞} \frac{m}{2πℏ^{2}} ∫ dr′ \frac{e^{ik|r−r′|}}{|r − r′|} V (r′)ψ_{k_{i}}^{(+)}(r′)

= e^{ik_{i}r} − \frac{m}{2πℏ^{2}} \frac{e^{ikr}}{r} ∫ dr′e^{−ik_{f} r′}V (r′)ψ_{k_{i}}^{(+)}(r′) ≡ e^{ik_{i}r} + f(ϑ, φ)\frac{e^{ikr}}{r} . Q.E.D.

Itt felhasználtuk a következő összefüggést és definíciót:

lim_{r→∞} (k|r − r′| = k\sqrt{r^{2} − 2rr′ + r^{′2}}) = kr\sqrt{1 − 2rr′/r^{2}} ≈ kr(1 − rr′/r^{2}) = kr − k \frac{r}{r}r′ ≡ kr − k_{f}r′

Meghatároztuk egyúttal a szórásamplitúdó integrális alakját is:

f_{k_{i},k_{f}} (ϑ, φ) = −\frac{m}{2πℏ^{2}} ∫ dr′e^{−ik_{f} r′}V (r′)ψ_{k_{i}}^{(+)}(r′) ≡ −\frac{m}{2πℏ^{2}} ⟨Φ_{k_{f}} |V ψ_{k_{i}}^{(+)}⟩.

Ebből a felírásból világosan látszik, hogy a szórásamplitúdó annak valószínűségét fejezi ki, hogy a szóródó rendszer (target+lövedék) a kezdeti (i) kölcsönható ψ_{k_{i}} állapotból a végső (f) nemkölcsönható, azaz szabad, Φ_{k_{f}} állapotba kerül át a V (r) kölcsönhatás eredményeként.

Levezetés nélkül közöljük a LS egyenlet parciális hullámú alakját, amely gömbszimmetrikus potenciál esetén érvényes:

u_{l}(k; r) = j_{l}(kr) + ∫_{0}^{∞} G_{l}(r, r′)\frac{2m}{ℏ^{2}}V (r′)u_{l}(r′)r^{′2} dr′,

ahol a Green-függvény az l−edik parciális hullámban:

G_{l}(r, r′) = kj_{l}(kr_{<})n_{l}(kr_{>}),

ahol r_{>} = max(r, r′), r_{<} = min(r, r′).

A LS egyenlet segítségével könnyen kiépíthető egy, a potenciál hatványai szerint haladó sorfejtésen alapuló, közelítő eljárás. Írjuk fel a LS egyenletet szimbolikus jelöléssel

ψ = Φ_{k_{i}} + GV ψ,

ahol GV nemlokális integráloperátort jelöl. A baloldalt folytonosan a jobboldalba helyettesítve, kapjuk a Born sorozatot:

ψ = Φ_{k_{i}} + GV Φ_{k_{i}} + GV GV Φ_{k_{i}} + ... ≡ ∑_{i=1}^{∞} ψ_{Bi}.

A Born sorozatot felhasználhatjuk (gyenge potenciál, vagy nagy szórási energia esetén) az említett közelítő számítás kivitelezésére. Pl. az első Born közelítést kapjuk, ha ψ helyett ψ_{B1}-et használjuk. Így pl. a szórásamplitúdó első, ill. második Born közelítése

f_{B1}(ϑ, φ) = −\frac{m}{2πℏ^{2}} ⟨Φ_{k_{f}} |V ψ_{B1}⟩ = −\frac{m}{2πℏ^{2}} ⟨Φ_{k_{f}} |V Φ_{k_{i}}⟩,

f_{B2}(ϑ, φ) = −\frac{m}{2πℏ^{2}} ⟨Φ_{k_{f}} |V (ψ_{B1} + ψ_{B2})⟩ = −\frac{m}{2πℏ^{2}} (⟨Φ_{k_{f}} |V Φ_{k_{i}}⟩ + ⟨Φ_{k_{f}} |V GV Φ_{k_{i}}⟩) .

Másik példaként a fázistolás első Born-közelítéses kifejezését írjuk fel. Kiindulva az integrális reprezentációból,

sin δ_{l}^{B1} = −\frac{2m}{ℏ^{2}} ∫_{0}^{∞} drr^{2}j_{l}(kr)V (r)j_{l}(r).

6.4.3. COULOMB SZÓRÁS. MÓDOSÍTOTT COULOMB SZÓRÁS.

Két, q_{1}e és q_{2}e töltéssel rendelkező részecske közt ható Coulomb potenciál

V_{c} = \frac{1}{4πε_{0}} \frac{q_{1}q_{2}e^{2}}{r}

A hullámfüggvény aszimptotikus alakja Coulomb szórás esetén:

lim_{r→∞} ψ_{k_{i}}^{(+)} = e^{ik_{i}r+in ln k(r−z)} + f_{c}(ϑ)\frac{e^{ikr−in ln 2kr}}{r} ,

ahol a Coulomb szórási amplitúdó analitikusan ismert:

f_{c}(ϑ) = −\frac{n}{2k sin^{2} ϑ/2}e^{2i(δ_{0}^{c}−n ln sin ϑ/2)},

ahol n a Sommerfeld paraméter: n = mq_{1}q_{2}e^{2}4π/ℏ^{2}kε_{0}, amelyben m a két részecske redukált tömegét jelenti és δ_{0}^{c} = argΓ(1 + in).

A Coulomb szórás differenciális hatáskeresztmetszete tehát:

σ_{c}(ϑ) = |f_{c}(ϑ)|^{2} = \frac{n^{2}}{4k^{2} sin^{4} \frac{ϑ}{2}} .

Ez a jól ismert Rutherford formula.

A Coulomb szórás teljes hatáskeresztmetszete végtelen: σ_{tot}^{c} = ∞. Ez annak folyománya, hogy az r^{−1}-es potenciál hosszúhatótávolságú. Még l = ∞-ed rendben is módosítja a parciális hullámok fázisait, azaz az egymástól ∞ távolságra levő részecskék is hatással vannak egymásra.

A parciális hullámokra felírt radiális Schrödinger egyenlet Coulomb potenciál esetén

[−\frac{ℏ^{2}}{2m} \frac{d^{2}}{dr^{2}} + \frac{ℏ^{2}}{2m} \frac{l(l + 1)}{r^{2}} + V_{c}(r) − E] R_{l}(r) = 0.

Ennek két lineárisan független megoldása, az origóban reguláris, ill. irreguláris Coulomb hullámfüggvény :

reg. F_{l}(k; r) → r^{l+1}, ha r → 0; → sin(kr − \frac{1}{2}lπ − n ln 2kr + δ_{l}^{c}), ha r → ∞,

irreg. G_{l}(k; r) → r^{−l}, ha r → 0; → cos(kr − \frac{1}{2}lπ − n ln 2kr + δ_{l}^{c}), ha r → ∞.

Itt a Coulomb szórás által okozott fázistolást δ_{l}^{c} = arg Γ(l + 1 + in) jelenti. (A szórás végtelen hatótávolságára utal az aszimptotikus alak argumentumában előforduló logaritmikus tag is).

A fenti megoldások közismertek, konfluens hipergeometrikus függvényekkel kifejezhetők, kézikönyvekben megtalálhatók (ld. pl. Abramovitz).

Összefüggés a pozitív és negatív energiákhoz tartozó megoldások között.

Írjuk fel a radiális egyenletet az aszimptotikus (r → ∞) tartományban:

R′′_{l} = (−k^{2} + \frac{2m}{ℏ^{2}}V_{c}) R_{l} = (−k^{2} + \frac{2nk}{r} ) R_{l}.

Ennek megoldása O(1/r^{2}) rendben:

R_{l}(r → ∞) ∝ e^{±i(kr−n ln r)} ∝ r^{ni}e^{ikr} = r^{n}e^{−κr},

ahol az utolsó egyenlőség jel után a k = iκ helyettesítést hajtottuk végre, amely negatív E = k^{2}/2 energiákra való áttérés esetén szükséges. Látjuk tehát, hogy a pozitív energiájú tartományból a negatív energiájúba való áttérés sima, ezenkívül visszakaptuk a hullámfüggvénynek a kötött állapotok esetén megismert exponenciálisan eltűnő aszimptotikus alakját. Az, hogy ez az átmenet ilyen sima két teljesen különböző fizikai jelenség (szórás és kötött állapot) között, messze nem magától értetődő, és a megoldások analitikus tulajdonságát tükrözi (ld. S-matrix elmélet, diszperziós relációk, stb.).

Módosított Coulomb szórás

Amennyiben a V_{c} Coulomb potenciál mellett még egy rövidhatótávolságú V̂ is jelen van, módosított Coulomb szórásról beszélünk. Ebben az esetben tehát

V = V_{c} + V̂ ,

ennek megfelelően a szórásamplitúdó:

f = f_{c} + f̂,

s a teljes fázistolás

δ_{l} = δ_{l}^{c} + δ̂_{l}.

Részletes, parciális hullámok szerinti analízissel megmutatható, hogy

f̂(ϑ) = \frac{1}{2ik} ∑_{l=0}^{∞}(2l + 1)e^{2iδ_{l}^{c}}(e^{2iδ̂_{l}} − 1)P_{l}(cos ϑ)

ahol tehát δ̂_{l} jelenti a rövidhatótávolságú potenciál okozta fázistolás (a Coulomb potenciál jelenléte mellett!).

A radiális hullámfüggvény a rövidhatótávolságú potenciál r_{0} hatótávolságán kívül a Coulomb függvények lineáris kombinációjaként írható fel:

R_{l}(r > r_{0}) = F_{l}(k; r) + tan δ̂_{l}G_{l}(k; r).

Ebből is meghatározható, hogy a módosított Coulomb szórás hullámfüggvényének aszimptotikus alakja:

lim_{r→∞} sin(kr − \frac{1}{2}lπ − n ln 2kr + δ_{l}^{c} + δ̂_{l}).

Rutherford híres szóráskísérletével éppen a módosított Coulomb szórásnak megfelelő hatáskeresztmetszet értékeket mérte ki, s a tiszta Coulomb szórástól való eltérésből következtethetett az atommag atomon belüli méretére.