4. A FIZIKAI MENNYISÉGEKET REPREZENTÁLÓ OPE-

RÁTOROK SAJÁTÉRTÉKEI ÉS SAJÁTFÜGGVÉNYEI

Az előző fejezetben láttuk, hogy a fizikai mennyiségek nem a klasszikus fizikában megszokott folytonos, differenciálható függvényekkel reprezentálhatók, hanem lineáris hermitikus operátorokkal. Az O fizikai mennyiség (mérhető) lehetséges értékei a neki megfelelő operátorra vonatkozó Oφ_{n} = k_{n}φ_{n} sajátérték egyenletből határozhatók meg. Itt a k_{n} sajátértékek jelentik az illető fizikai mennyiség lehetséges értékeit, a φ_{n} sajátfüggvények pedig a fizikai mennyiség mérésekor játszanak fontos szerepet.

A továbbiakban megismerkedünk néhány fizikai mennyiséget reprezentáló operátorral és megoldjuk sajátérték egyenletüket. Minthogy a legtöbb fizikai mennyiség koordinátából és impulzusból tevődik össze, először ezekkel ismerkedünk meg részletesebben. Ezek után a belőlük leszármaztatható mennyiségek közül az impulzusmomentummal, majd az energiával foglalkoznunk.

Amint az korábban szerepelt, az x koordináta operátort az x koordinátával való szorzással reprezentáljuk, míg a p_{x} impulzus operátora az x−szerinti deriválással kapcsolatos:

x → x·; p_{x} → \frac{ℏ}{i} \frac{∂}{∂x} .

Ezt a reprezentációt koordináta (vagy x-) reprezentációnak hívjuk. A koordináta és impulzus operátorának természetesen elképzelhető másféle realizációja is, csak a Heisenberg-féle alapvető

[p_{x}, x] = \frac{ℏ}{i}

felcserélési törvénynek kell teljesülnie. Így pl. használatos az ún. impulzus (vagy p-) reprezentáció, amelyben

p_{x} → p_{x}·; x → −\frac{ℏ}{i} \frac{∂}{∂p_{x}} .

A továbbiakban az x−reprezentációban dolgozunk.

4.1. A KOORDINÁTA OPERÁTOR SAJÁTÉRTÉKEI ÉS SAJÁTFÜGGVÉNYEI (DISZTRIBÚCIÓK. FOLYTONOS SAJÁTÉRTÉK SPEKTRUM ESETE)

Felírjuk a sajátérték egyenletet:

xφ_{a}(x) = aφ_{a}(x).

Mivel a részecske az egydimenziós tér (a_{1}, a_{2}) részében bárhol előfordulhat, az a sajátérték az a_{1} ≤ a ≤ a_{2} tartományban tetszőleges értéket vehet fel. A fenti sajátérték egyenlet tehát folytonos spektrummal rendelkezik. Ugyanakkor az is kitűnik, hogy a φ_{a}(x) sajátfüggvénynek az x = a hely kivételével zérusnak kell lennie, ugyanis

(x − a)φ_{a}(x) = 0.

Látjuk ebből, hogy a koordináta operátornak nincs reguláris sajátfüggvénye, mivel φ_{a} nem folytonos. Ahhoz, hogy a folytonos sajátértékspektrummal rendelkező fizikai mennyiségek sajátfüggvényeit értelmezzük, a függvényfogalom általánosításaként Dirac nyomán bevezetjük a disztribúciókat (amelyek magukba foglalják a reguláris függvényeket és ezek konvergens sorozatainak határértékeit is). A koordináta operátor sajátfüggvénye disztribúciókkal kapcsolatos.

Egy ilyen disztribúciót Dirac nyomán a következőképpen definiálunk:

∫_{−∞}^{∞} δ(x)ψ(x) dx = ψ(0),

ahol ψ(x) egy tetszőleges függvény, az integrációs tartomány véges is lehet, csak az x = 0 környékét kell, hogy tartalmazza. Speciálisan ψ ≡ 1-et választva, kapjuk a δ−disztribúció (köznapi nevén: δ−függvény) normalizációs tulajdonságát:

∫_{−∞}^{∞} δ(x) dx = 1.

δ(x), jóllehet nem reguláris függvény, előállítható reguláris függvények határértékeként:

δ(x) = lim_{b→0} δ_{b}(x), vagy : δ(x) = lim_{t→∞} δ_{t}(x),

ahol

δ_{b}(x) = \frac{1}{2b\sqrt{π}} e^{−x^{2}/4b^{2}}, vagy : δ_{t}(x) = \frac{sin^{2} xt}{πx^{2}t}

normált reguláris függvények (amelyeknek másféle választása is elképzelhető).

A δ−függvény egy integrális előállítása:

δ(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{ikx} dk.

A disztribúciók (definícióból következő) további néhány tulajdonsága:

∫_{−∞}^{∞} δ(x − a)ψ(x) dx = ψ(a),

δ(ax) = |a|^{−1}δ(x), a > 0,

δ(−x) = δ(x),

δ(x − a) = \begin{cases}0, & ha a ≠ x, \\ ∞, & ha a = x, \end{cases}

∫_{−∞}^{∞} δ′(x)ψ(x) dx = −ψ′(0).

A koordináta sajátfüggvény ezek után a

φ_{a}(x) = δ(x − a)  (26)

alakban adható meg. Az, hogy a koordináta sajátállapot maga nem reguláris függvény (azok határértékeként viszont elő állítható), pontosan megfelel annak a ténynek, hogy a természetben nem létezhet abszolút élesen meghatározott koordináta érték (ld. határozatlansági reláció).

Normáltsági összefüggés:

∫_{−∞}^{∞} φ_{a}^{∗}(x)φ_{a′}(x) dx = δ(a − a′),  (27)

amely a ⟨φ_{n}|φ_{m}⟩ = δ_{nm} ortonormáltsági reláció folytonos spektrum esetre vonatkozó megfelelője.

Teljességi összefüggés:

∫_{a_{1}}^{a_{2}} φ_{a}(x)φ_{a}^{∗}(x′) da = δ(x − x′),  (28a)

amelyet (21) folytonos sajátértékspektrum esetére való általánosításaként kaptunk.

(28a)-ból láthatjuk, hogy a folytonos sajátértékspektrumhoz tartozó sajátfüggvények nem normálhatók. Ez nem meglepetés, hiszen már tudjuk róluk, hogy nem tartoznak a reguláris függvények körébe. Ezért a mérési statisztikának a diszkrét spektrum esetére vonatkozó (23) alatti összefüggését is általánosítani kell a következő módon.

A teljesség azt jelenti, hogy egy normált ψ(x) állapotfüggvény kifejthető a koordináta sajátfüggvények teljes rendszere szerint a következőképpen:

ψ(x) = ∫_{a_{1}}^{a_{2}} c(a)φ_{a}(x) da,

ahol a

c(a) ≡ ⟨φ_{a}|ψ⟩ = ∫_{−∞}^{∞} φ_{a}^{∗}(x′)ψ(x′) dx′ [= ψ(a) !]

kifejtési együtthatókra fennáll a normáltsági feltételből következő

1 = ⟨ψ|ψ⟩ = ∫_{a_{1}}^{a_{2}} |c(a)|^{2} da  (28b)

egyenlet, amely (22) folytonos spektrumra való általánosítása. Ez az analógia lehetővé teszi, hogy posztuláljuk: annak valószínűsége, hogy a ψ állapotban levő rendszeren az x−koordinátára vonatkozó mérési eredmény az (a_{1}, a_{2}) sajátérték spektrum a′ ≤ a ≤ a′′ szakaszába essék:

W (a′, a′′) = ∫_{a′}^{a′′} |c(a)|^{2} da = ∫_{a′}^{a′′} |⟨φ_{a}|ψ⟩|^{2} da.  (29)

Behelyettesítve a koordináta sajátfüggvény kifejezését, kapjuk:

W (a′, a′′) = ∫_{a′}^{a′′} |ψ(x)|^{2} dx,

ami az állapotfüggvény jól ismert, térbeli (megtalálási) valószínűségi értelmezésével teljes összhangban van.

Hermiticitás: Elegendő egy dimenzióra bizonyítani (f, g ∈ D_{x} = L_{2}):

⟨f|xg⟩ = ∫_{−∞}^{∞} dx f^{∗}xg = ∫_{−∞}^{∞} dx (xf)^{∗}g = ⟨xf|g⟩

4.2. AZ IMPULZUS OPERÁTOR SAJÁTÉRTÉKEI ÉS SAJÁTFÜGGVÉNYEI

Az impulzus (lendület) operátor sajátérték egyenletét részben már tárgyaltuk az előző fejezet 3.1. pontjában. Koordináta reprezentációban a sajátérték egyenlet:

\frac{ℏ}{i} \frac{∂}{∂x}φ_{p_{x}}(x) = p_{x}φ_{p_{x}}(x)

alakú, ahol p_{x} a keresett sajátérték, φ_{p_{x}}(x) a keresett sajátfüggvény. A megoldás

φ_{p_{x}}(x) = Ae^{ip_{x}x/ℏ}

alakban írható, a p_{x} impulzus sajátértékek pedig a −∞ ≤ p_{x} ≤ ∞ tartományon beül tetszőlegesen (folytonosan) változhatnak. Az A határozatlan normálási állandó az

∫_{−∞}^{∞} φ_{p_{x}}(x)φ_{p_{x}}^{∗}(x′) dp_{x} = δ(x − x′)

teljességi összefüggés megkövetelésével rögzíthető A = \sqrt{1/h} értékre. Az egydimenziós mozgás impulzus sajátfüggvénye tehát

φ_{p_{x}}(x) = \sqrt{\frac{1}{h}}e^{ip_{x}x/ℏ},  (30a)

sajátértéke pedig p_{x}, amely folytonosan a −∞ ≤ p_{x} ≤ ∞ intervallumba eshet.

Az impulzus sajátfüggvényekre (hasonlóan a koordináta sajátfüggvényekhez) a δ−normálás érvényes:

∫_{−∞}^{∞} φ_{p_{x}}^{∗}(x)φ_{p′}_{x}(x) dx = δ(p_{x} − p′_{x}),  (30b)

azaz az impulzus sajátfüggvény sem tartozik a reguláris függvények körébe (mivel az abszolút pontos impulzus [saját]érték a klasszikus fizikából átvett olyan szemléletes fogalmi absztrakció, amely a természetben a határozatlansági elv miatt nem létezik).

Mérési statisztika: az impulzuseloszlást jellemző

c(p_{x}) = ∫_{−∞}^{∞} φ_{p_{x}}^{∗}(x′)ψ(x′) dx′ ≡ ⟨φ_{p_{x}}|ψ⟩

spektrális kifejtési együtthatókra fennáll a

∫_{−∞}^{∞} |c(p_{x})|^{2} dp_{x} = 1 = ⟨ψ|ψ⟩

normáltsági feltétel.

Annak valószínűsége, hogy a (p_{x}−impulzusra vonatkozó) mérési eredmény a sajátérték spektrum egy p′ ≤ p_{x} ≤ p′′ szakaszába essék:

W (p′, p′′) = ∫_{p′}^{p′′} |c(p_{x})|^{2} dp_{x}.  (31)

Hermiticitás: Szintén elegendő egy dimenzióra bizonyítani (f, g ∈ D_{p_{x}} = L_{2}):

⟨f|p_{x}g⟩ = ∫_{−∞}^{∞} dx f^{∗} \frac{ℏ}{i} \frac{∂}{∂x}g =

= \frac{ℏ}{i}[f^{∗}(x)g(x)]_{−∞}^{∞} + ∫_{−∞}^{∞} dx (\frac{ℏ}{i} \frac{∂}{∂x}f(x))^{∗}g(x) = 0 + ⟨p_{x}f|g⟩

Megjegyzendő, hogy általában p_{x} ≠ p_{x}^{+}, mivel D_{p_{x}^{+}} ⊃ D_{p_{x}}, amint azt az előző fejezetben részletesen diszkutáltuk. Az impulzus operátora tehát nem önadjungált, viszont hermitikus (az L_{2} függvények terén).

4.3.  AZ  IMPULZUSMOMENTUM  OPERÁTOR  SAJÁTÉRTÉKEI  ÉS

SAJÁTFÜGGVÉNYEI

Az impulzusmomentum (perdület, impulzusnyomaték) L operátora kifejezhető a koordináta (r) és az impulzus (p) operátorok vektoriális szorzataként

L = [ \begin{matrix}L_{x} \\ L_{y} \\ L_{z} \end{matrix} ] = r × p = [ \begin{matrix}yp_{z} − zp_{y} \\ zp_{x} − xp_{z} \\ xp_{y} − yp_{x} \end{matrix} ] .

4.3.1. AZ IMPULZUSMOMENTUM OPERÁTOR KOMPONENSEIRE VONATKOZÓ FELCSERÉLÉSI RELÁCIÓK.

Könnyen belátható a (24)–es felcserélési relációk alkalmazásával, hogy az impulzusmomentum operátor komponensei között a következő felcserélési relációk érvényesek

[L_{x}, L_{y}] = iℏL_{z},  (32a)
[L_{y}, L_{z}] = iℏL_{x},  (32b)
[L_{z}, L_{x}] = iℏL_{y}.  (32c)

A határozatlansági összefüggés értelmében ezen felcserélési relációk azt jelentik, hogy az impulzusmomentumnak csak az egyik komponense lehet teljesen meghatározott, míg a másik két komponens határozatlan, elmosódott (szórással rendelkező) értékeket vesz fel mérések esetén. Az elmosódottság mértéke éppen a harmadik komponens nagyságával áll összefüggésben.

A fenti felcserélési relációk vektoriális alakban is összefoglalhatók:

L × L = iℏL.  (32d)

Az impulzusmomentum négyzete viszont mindegyik komponenssel felcserélhető:

[L^{2}, L_{z}] = [L_{x}^{2} + L_{y}^{2} + L_{z}^{2}, L_{z}] = 0,  (33)

amint az ellenőrízhető egy kis algebrai munkával. Ez utóbbi felcserélési reláció tehát azt jelenti, hogy az impulzusmomentum nagysága és egyik komponense egyidejűleg mérhető (=vehet fel határozott értéket) és közös sajátfüggvény rendszerrel rendelkeznek.

4.3.2. AZ IMPULZUSMOMENTUM z−KOMPONENSÉNEK OPERÁTORA ÉS SAJÁTÉRTÉKEI.

Az impulzusmomentum z−komponensének operátora koordináta reprezentációban az előzőek szerint tehát

L_{z} = xp_{y} − yp_{x} = \frac{ℏ}{i} (x\frac{∂}{∂y} − y \frac{∂}{∂x}) .

Áttérve az (x, y, z) Descartes koordináta rendszerből az (r, ϑ, φ) gömbi polár koordináta rendszerbe

x = r sin ϑ cos φ,
y = r sin ϑ sin φ,
z = r cos ϑ,

és figyelembe véve a következő összefüggést

\frac{df(r)}{dφ} = \frac{∂f(r)}{∂x} \frac{∂x}{∂φ} + \frac{∂f(r)}{∂y} \frac{∂y}{∂φ} + \frac{∂f(r)}{∂z} \frac{∂z}{∂φ}

= \frac{∂f(r)}{∂x}(−y) + \frac{∂f(r)}{∂y}x + 0 = (x\frac{∂}{∂y} − y \frac{∂}{∂x}) f,

L_{z}−re az alábbi egyszerű matematikai alakot nyerjük:

L_{z} = \frac{ℏ}{i} \frac{∂}{∂φ}.

Az

L_{z}ψ = kψ

sajátérték probléma tehát a ψ′(φ) = \frac{i}{ℏ}kψ(φ) differenciálegyenlet megoldását igényli. A megoldás ψ = Ae^{\frac{i}{ℏ} kφ} alakú, ahol az A integrációs állandót a normálási feltételből határozzuk meg:

1 = ∫_{0}^{2π} |ψ|^{2} dφ = |A|^{2}2π → |A| = \frac{1}{\sqrt{2π}} .

Az egyértékűség regularitási követelményből megszorítást kapunk a k sajátértékre, ugyanis abból, hogy a φ és φ + 2π helyen vett megoldás ugyanazt az értéket szolgáltassa, azaz ψ(φ) = ψ(φ + 2π) legyen, \frac{k}{ℏ} = m = 0, ±1, ±2, …. következik. Ebből megkaptuk az impulzusmomentum z−komponensének lehetséges (saját)értékeit:

k_{m} = ℏm,  m = 0, ±1, ±2, …,  (34)

ahol a sajátértékeket elláttuk a kvantumszámra vonatkozó indexszel. Azt kaptuk tehát, hogy az impulzusmomentum z−irányú vetülete kvantált, nem vehet fel tetszőlegesen folytonos értékeket, hanem csak ℏ, a 2π−vel osztott Planck állandó egész számú többszöröse lehet.

A lehetséges sajátállapotokat is az m kvantumszámokkal (az ún. mágneses, vetület, vagy azimutális kvantumszámokkal) indexelhetjük:

ψ_{m} = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{imφ},  m = 0, ±1, ±2, ….  (35)

Hermiticitás: Könnyen belátható, hogy az L_{z} = xp_{y}−yp_{x} = \frac{ℏ}{i} (x\frac{∂}{∂y} − y \frac{∂}{∂x}) operátor a háromdimenziós, négyzetesen integrálható függvények terén hermitikus. Ugyancsak belátható, hogy a 2π szerint periódikus f(φ) = f(φ + 2π) függvények terén is hermitikus az L_{z} = \frac{ℏ}{i} \frac{∂}{∂φ} operátor. Mindkét esetben ugyanis az ún. ”felületi tagok” eltűnnek.

Teljesség:

∑_{m=−∞}^{∞} ψ_{m}(φ)ψ_{m}^{∗}(φ′) = \frac{1}{2π} ∑_{m=−∞}^{∞} e^{im(φ−φ′)} = δ(φ − φ′).

4.3.3. AZ IMPULZUSMOMENTUM NÉGYZETÉNEK SAJÁTÉRTÉK PROBLÉMÁJA .

A sajátérték egyenlet a következő

L^{2}Y = ΛY

Az L^{2} = L_{x}^{2} + L_{y}^{2} + L_{z}^{2} operátort felírhatjuk derékszögű koordináta rendszerben

L^{2} = −ℏ^{2} [(y \frac{∂}{∂z} − z \frac{∂}{∂y} )^{2} + (z \frac{∂}{∂x} − x\frac{∂}{∂z} )^{2} + (x\frac{∂}{∂y} − y \frac{∂}{∂x})^{2}] ,

vagy polár koordináta rendszerben:

L^{2} = −ℏ^{2} (\frac{∂^{2}}{∂ϑ^{2}} + cot ϑ\frac{∂}{∂ϑ} + \frac{1}{sin^{2} ϑ} \frac{∂^{2}}{∂φ^{2}} ) .

Az impulzusmomentum ez utóbbi reprezentációjában érdemes dolgozni, mivel ez csak két koordináta változót tartalmaz (az r változó kiesett az átalakítás során). A sajátérték egyenlet ezek után

−ℏ^{2} (\frac{∂^{2}}{∂ϑ^{2}} + cot ϑ\frac{∂}{∂ϑ} + \frac{1}{sin^{2} ϑ} \frac{∂^{2}}{∂φ^{2}} ) Y (ϑ, φ) = ΛY (ϑ, φ).

A reguláris megoldásokat a változókban szeparált alakban érdemes keresni:

Y (ϑ, φ) = F (ϑ)G(φ).

Behelyettesítés után és (− sin^{2} ϑ/ℏ^{2}Y)−nal végigszorozva a következő összefüggést kapjuk:

\frac{sin^{2} ϑ}{F} (\frac{d^{2}F}{dϑ^{2}} + cot ϑ\frac{dF}{dϑ} ) + \frac{Λ}{ℏ^{2}} sin^{2} ϑ = −\frac{1}{G} \frac{d^{2}G}{dφ^{2}} = α.

Minthogy a baloldal csak ϑ−tól függ, a középső rész pedig csak φ−től, az egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha mindkét oldal külön-külön állandó. Ezt az állandót jelöltük α−val. A G−re vonatkozó meghatározó egyenlet tehát a következő:

\frac{d^{2}G}{dφ^{2}} + αG = 0.

Ennek megoldása

G = Ae^{i\sqrt{α}φ}.

Az egyértékűség és normálás miatt \sqrt{α} = m =egész és A = 1/\sqrt{2π}. (G tehát megegyezik L_{z} sajátfüggvényével.)

F meghatározására ezek után a következő differenciálegyenlet szolgál:

\frac{d^{2}F}{dϑ^{2}} + cot ϑ\frac{dF}{dϑ} + (\frac{Λ}{ℏ^{2}} − \frac{m^{2}}{sin^{2} ϑ}) F = 0.

Mivel az egyenletnek a sin ϑ = 0 helyen szingularitása van, a megoldást a következő alakban keressük:

F = sin^{|m|} ϑ · P (cos ϑ),

ahol P egy polinom. Behelyettesítés és sin^{|m|} ϑ−val való osztás után, a ξ = cos ϑ jelölés bevezetésével kapjuk:

(1 − ξ^{2})\frac{d^{2}P}{dξ^{2}} − 2(|m| + 1)ξ \frac{dP}{dξ} + (\frac{Λ}{ℏ^{2}} − |m|(|m| + 1)) P = 0.

Beírva a polinom P = ∑_{r=0}^{∞} c_{r}ξ^{r} hatványsor alakját, a következő kifejezést nyerjük az ismeretlen kifejtési együtthatókra:

∑_{r=0}^{∞} \{(r + 2)(r + 1)c_{r+2} − [(r + |m|)(r + |m| + 1) − \frac{Λ}{ℏ^{2}} ] c_{r}\} ξ^{r} = 0.

Ez az egyenlet ξ tetszőleges értékére csak akkor elégül ki, ha a P (ξ) polinom együtthatói között a

c_{r+2} = \frac{(r + |m|)(r + |m| + 1) − Λ/ℏ^{2}}{(r + 1)(r + 2)} c_{r}

rekurzós összefüggés fennáll. Mivel ξ = ±1 (ϑ = 0 vagy π) és |m| = 0 esetén a P (ξ) polinom egymást követő tagjainak hányadosa megegyezik a divergens (1/1 + 1/2 + ... + 1/r + ...) harmonikus sor megfelelő tagjainak hányadosával (|m| > 0 esetén a végtelen sok tagot tartalmazó P (1) sora még divergensebb), a regularitás miatt szükséges az, hogy a P polinom véges fokszámú legyen. Tegyük fel, hogy t az a maximális fokszám, ahol P sora megszakad. Ez akkor valósul meg, ha c_{t} ≠ 0, de c_{t+2} = 0, azaz

Λ = ℏ^{2}(t + |m|)(t + |m| + 1).

Jelölés: ℓ = t + |m|. Ezzel az impulzusmomentum négyzetének sajátértékeire a következő összefüggést kapjuk:

Λ = ℏ^{2}ℓ(ℓ + 1),  ℓ = 0, 1, 2, ….  (36)

A megfelelő sajátfüggvények

Y_{ℓ}^{m}(ϑ, φ) = A sin^{|m|} ϑP_{ℓ}^{|m|}(cos ϑ)e^{imφ}  (|m| ≤ ℓ)  (37)

az ún. gömbfüggvények. A P neve: asszociált Legendre polinom. Ezek a függvények gyakorta használatosak, ezért a legtöbb kézikönyvben megtalálhatók. Itt felírjuk belőlük az első néhányat (ld. a megfelelő 15/a alatti illusztrációkat, ahol az r(ϑ) = |Y_{l}^{m}(ϑ, φ)|^{2} = |F (ϑ)|^{2} függvényeket ábrázoltuk):

Y_{0}^{0} = \frac{1}{\sqrt{4π}}; Y_{1}^{0} = \sqrt{\frac{3}{4π}} cos ϑ, Y_{1}^{1} = −\sqrt{\frac{3}{8π}} sin ϑe^{iφ};

Y_{2}^{0} = \sqrt{\frac{5}{16π}} (3 cos^{2} ϑ − 1), Y_{2}^{1} = −\sqrt{\frac{15}{8π}} sin ϑ cos ϑ e^{iφ}, Y_{2}^{2} = \sqrt{\frac{15}{32π}} sin^{2} ϑ e^{2iφ}.

Tulajdonságaik közül legfontosabb az ortonormalitás:

∫_{0}^{π} sin ϑdϑ ∫_{0}^{2π} dφ Y_{ℓ}^{m∗}Y_{ℓ′}^{m′} = δ_{ℓℓ′} δ_{mm′},

a teljesség:

∑_{ℓ=0}^{∞} ∑_{−ℓ}^{ℓ} Y_{ℓ}^{m}(ϑ, φ)Y_{ℓ}^{m}(ϑ′, φ′)^{∗} = (sin ϑ)^{−1}δ(ϑ − ϑ′)δ(φ − φ′),

az ún. addíciós tétel:

∑_{m=−ℓ}^{ℓ} Y_{ℓ}^{m}(ϑ, φ)Y_{ℓ}^{m}(ϑ′, φ′)^{∗} = \frac{2ℓ + 1}{4π}P_{ℓ}(cos Θ),

ahol Θ a két r̂ ≡ (ϑ, φ) és r̂′ ≡ (ϑ′, φ′) irány által bezárt szög, valamint a következő összefüggés: Y_{ℓ}^{−m}(ϑ, φ) = (−1)^{m}Y_{ℓ}^{m}(ϑ, φ)^{∗}.

15/a ábra: Az első néhány gömbfüggvény abszolút értékének négyzete: r(ϑ) = |Y_{ℓ}^{m}(ϑ, φ)|^{2}.

4.3.4. L_{z} ÉS L^{2} SAJÁTÉRTÉKEI A CSERERELÁCIÓK FELHASZNÁLÁSÁVAL.

Definiáljuk a nemhermitikus

L_{±} = L_{x}±iL_{y}

ún. léptető operátorokat. Könnyen ellenőrízhető tulajdonságaik a következők:

(L_{±})^{+} = L_{∓},  (a)
[L_{z}, L_{±}] = ℏ(iL_{y}±L_{x}) = ±ℏL_{±},  (b)
[L_{+}, L_{−}] = −2i[L_{x}, L_{y}] = 2ℏL_{z},  (c)
[L^{2}, L_{±}] = 0,  (d)
L_{+}L_{−} = L_{x}^{2} + L_{y}^{2} − i[L_{x}, L_{y}] = L_{x}^{2} + L_{y}^{2} + ℏL_{z},  (e)

és ezért

L^{2} = L_{+}L_{−} − ℏL_{z} + L_{z}^{2} = L_{−}L_{+} + ℏL_{z} + L_{z}^{2}.  (f)

Írjuk L_{z} sajátérték problémáját az

L_{z}ψ_{m} = mℏψ_{m}

alakba (m−ről még semmit nem tudunk). Ekkor, (b) miatt

L_{z}L_{±}ψ_{m} = L_{±}L_{z}ψ_{m}±ℏL_{±}ψ_{m},

amiből következik:

L_{z}(L_{±}ψ_{m}) = (m±1)ℏ(L_{±}ψ_{m}),

tehát L_{±} eggyel felfelé, ill. lefelé lépteti L_{z} sajátértékeit ! Írjuk fel továbbá L^{2} sajátérték problémáját az

L^{2}Y_{Λ}^{m} = ℏ^{2}ΛY_{Λ}^{m}

próba alakba. (Λ−ról sem tudunk még semmit, legfeljebb annyit, hogy valós és nemnegatív, Y_{Λ}^{m} pedig L_{z} és L^{2} közös sajátfüggvénye.)

(d) miatt:

L^{2}(L_{±}Y_{Λ}^{m}) = L_{±}L^{2}Y_{Λ}^{m} = ℏ^{2}Λ(L_{±}Y_{Λ}^{m}),

azaz L_{±} az L^{2} operátor Λ sajátértékét változatlanul hagyja. További felvilágosítással a Λ és m sajátértékekről az L_{±}Y_{Λ}^{m} normája szolgál:

⟨L_{±}Y_{Λ}^{m}|L_{±}Y_{Λ}^{m}⟩ = ⟨Y_{Λ}^{m}|L_{∓}L_{±}Y_{Λ}^{m}⟩ =

⟨Y_{Λ}^{m}|(L^{2} − L_{z}^{2}∓ℏL_{z})Y_{Λ}^{m}⟩ = ℏ^{2}[Λ − m^{2}∓m] = ℏ^{2}[Λ − m(m±1)] = (Q_{Λm}^{±})^{2} ≥ 0,

ahol az első egyenlőség (a) miatt, a második (f) miatt igaz. Mármost a norma pozitívitása miatt m > 0 esetén

Λ ≥ m(m + 1),

m < 0 esetén pedig

Λ ≥ m(m − 1) = (−m)(−m + 1),

azaz

Λ ≥ |m|(|m| + 1),

tetszőleges m esetén.

Legyen most max m = ℓ ≥ 0. Ekkor (f) kihasználásával kapjuk:

ℏ^{2}ΛY_{Λ}^{ℓ} = L^{2}Y_{Λ}^{ℓ} = (L_{−}L_{+} + ℏL_{z} + L_{z}^{2})Y_{Λ}^{ℓ} = (0 + ℏ^{2}ℓ + ℏ^{2}ℓ^{2})Y_{Λ}^{ℓ} = ℏ^{2}ℓ(ℓ + 1)Y_{Λ}^{ℓ}.

Ezért a továbbiakban Λ = ℓ(ℓ + 1), ahol ℓ = max m és az egyértelműség miatt indexelhetjül ℓ−lel is a közös sajátfüggvényt (és a normát).

Az eddigieket összefoglalva:

L_{±}Y_{ℓ}^{m} = Q_{ℓm}^{±}Y_{ℓ}^{m±1}, azaz Y_{ℓ}^{m±1} = (Q_{ℓm}^{±})^{−1}L_{±}Y_{ℓ}^{m},

ahol

ℓ(ℓ + 1) ≥ |m|(|m| + 1), azaz |m| ≤ ℓ és Q_{ℓm}^{±} = ℏ\sqrt{ℓ(ℓ + 1) − m(m±1)}.

Tekintsük most a max(m) = ℓ esetet. Ekkor

L_{+}Y_{ℓ}^{ℓ} = 0

kell legyen, mert nincs Y_{ℓ}^{ℓ+1} állapot. Hasonlóan, legyen min(m) = −ℓ. Ekkor

L_{−}Y_{ℓ}^{−ℓ} = 0

kell legyen, mivel nem létezik Y_{ℓ}^{−ℓ−1} állapot. Ezért, kiindulva az Y_{ℓ}^{ℓ} sajátfüggvényből, az L_{−} operátor segítségével lépésről lépésre előállíthatjuk az Y_{ℓ}^{ℓ−1}, Y_{ℓ}^{ℓ−2}, stb. sajátfüggvényeket:

L_{−}Y_{ℓ}^{ℓ} ∼ Y_{ℓ}^{ℓ−1}, (L_{−})^{2}Y_{ℓ}^{ℓ} ∼ Y_{ℓ}^{ℓ−2}, …

Mivel m = ℓ, ℓ − 1, ..., −ℓ, a léptető operátort valamilyen k egész számszor alkalmazva jutunk el a −ℓ legkisebb vetületkvantumszámú állapothoz, azaz

ℓ − k = −ℓ, k = egész.

Ebből következik: 2ℓ = k, azaz ℓ = k/2. Tehát ℓ csak egész (pl. pályaimpulzusmomentum), vagy félegész (pl. spin) lehet! Azaz a sajátértékek:

ℓ = 0, 1, 2, ..., vagy ℓ = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}...

és

m = ℓ, ℓ − 1, ℓ − 2, ..., −ℓ + 1, −ℓ.

4.3.5. AZ IMPULZUSMOMENTUM SAJÁTÉRTÉKEINEK ÉRDEKESSÉGEI.

a) Az előző alfejezetben korlátot kaptunk |m|−re, amely az impulzusmomentum z−komponensének sajátértékével, ℏm−mel kapcsolatos: |m| ≤ ℓ. Másrészt, szintén az előző alfejezetben, az impulzusmomentum nagyságára a ℏ\sqrt{ℓ(ℓ + 1)} értéket kaptuk. Az a különlegesség állt tehát elő, hogy az impulzusmomentum vetületének maximális értéke, ℏℓ, mindig kisebb az impulzusmomentum nagyságának ℏ\sqrt{ℓ(ℓ + 1)} értékénél ℓ ≠ 0 esetén.

Ezt a meglepő eredményt szemléletesen úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a koordináta rendszer z−tengelyét nem vehetjük fel az impulzusmomentum vektor irányában, vagyis az impulzusmomentum vektora nem forgatható be egyik tengely irányába sem (ld. 15. ábra). Magyarázat: a (32a) cserereláció miatt élesen meghatározott L_{z} állapot (azaz sajátállapot) esetén L_{x}, L_{y} csupán elmosódott, hibaszórással rendelkező, nem élesen meghatározott értéket vehet fel, így zérus sem lehet.

b) Az ℓ impulzusmomentummal kapcsolatos kvantumszám zérus értéket is felvehet, míg a bevezetőben tárgyalt Bohr-modellben (ℓ ≡ n =)1 volt a legkisebb érték az impulzusmomentumra (ld. 1.5. fejezet). [A következő fejezetben fogjuk látni, hogy a H-atom alapállapotában ℓ = 0, azaz keringésről nem beszélhetünk: az alapállapotú elektron minden keringés nékül tartózkodik a mag körül; a magba való be nem esését a Heisenberg-féle bizonytalansági reláció segítségével érthetjük meg.]

c) A Bohr elmélet szerint az impulzusmomentum nagysága általánosságban az impulzusmomentum dimenzóval rendelkező ℏ állandó egész számú többszöröse lehetett, míg a kvantummechanika alapján az előző fejezetben azt kaptuk, hogy az impulzusmomentum ℏ−nak nem egész számú (\sqrt{2}, \sqrt{6}, ... stb.) többszöröse. Azt, hogy az impulzusmomentum |L| nagyságára nézve a Bohr-féle ℏℓ képlet, vagy a kvantummechanika által megadott ℏ\sqrt{ℓ(ℓ + 1)} kifejezés a helyes, a tapasztalat kell eldöntse.

4.3.6.  A  KÉTATOMOS  MOLEKULÁK

FORGÁSI (ROTÁCIÓS) ENERGIASPEKTRUMA. [Kísérleti bizonyíték az |L| = ℏ\sqrt{ℓ(ℓ + 1)} képlet helyességére vonatkozóan.]

Kétatomos molekulák (pl. a HCl sósav molekula) színképét jó közelítéssel a

H = H_{törzs} + H_{rot}

szerkezetű energiaoperátor határozza meg, ahol [H_{törzs}, H_{rot}] = 0. Itt H_{törzs} a molekula elektronjainak E = E_{A}, E_{B}, .. energiaállapotait határozza meg

H_{törzs}ψ = Eψ

révén, H_{rot} pedig az erre szuperponálódó (lényegesen kisebb) rotációs energiáért felelős. A két atom közös tömegközéppont körül való forgását leíró H_{rot} rotációs energiaoperátort kifejezhetjük a forgás impulzusmomentumával is:

H_{rot} = \frac{L^{2}}{2Θ},

ahol Θ a molekula tehetetlenségi nyomatékával azonosítható. A molekula forgási energiáját a

H_{rot}ψ = \frac{ℏ^{2}}{2Θ}ℓ(ℓ + 1)ψ

Schrödinger egyenlet, míg a molekula teljes energiáját a

Hψ = [E + \frac{ℏ^{2}}{2Θ}ℓ(ℓ + 1)] ψ

teljes Schrődinger egyenlet határozza meg. A molekula rotációs spektruma akkor keletkezik, amikor az elektron-szerkezet E_{A} → E_{B} változásával egyidejűleg a forgási állapotban is egy ℓ′ → ℓ kvantumszám változás történik. Az átmenet során kisugárzott fénykvantum energiáját meghatározó összefüggés a következő:

hν_{AB} = E_{A} − E_{B} + \frac{ℏ^{2}}{2Θ} [ℓ′(ℓ′ + 1) − ℓ(ℓ + 1)] .

Később (ld. 7. fejezet) megindoklandó okok miatt az ℓ′ = ℓ ± 1 kiválasztási szabály kell érvényesüljön az ℓ′ → ℓ rotációs átmenetre. A szögletes zárójelben álló kifejezés ekkor a következő értékeket veheti fel:

ha ℓ′ > ℓ, azaz ℓ′ = ℓ + 1, [ℓ′(ℓ′ + 1) − ℓ(ℓ + 1)] = 2(ℓ + 1), ℓ = 0, 1, 2, ...
ha ℓ′ < ℓ, azaz ℓ′ = ℓ − 1, [ℓ′(ℓ′ + 1) − ℓ(ℓ + 1)] = −2(ℓ′ + 1), ℓ′ = 0, 1, 2, ...

A spektrum frekvenciájára tehát a

ν_{AB} = C_{AB} + 2B × \{ \begin{matrix}(ℓ + 1) (ℓ = 0, 1, 2, ...) \\ −(ℓ′ + 1) (ℓ′ = 0, 1, 2, ...) \end{matrix}

képlet a jellemző, ahol C_{AB} = (E_{A} − E_{B})/h, B = h/8π^{2}Θ. A színkép ezek szerint egymástól 2B távolságra eső vonalakból áll, kivéve a legalacsonyabb (ℓ, vagy ℓ′ zérus) rotációs gerjesztéseknek megfelelő részt, amelyre az úgynevezett ”nullvonal hiány” a jellemző (ld. 16. ábra).

Tanulságos az iménti levezetést összevetni a Bohr-elmélet által jósolt eredménnyel. A Bohr-elmélet szerint a kisugárzott fény energiája

hν_{AB} = E_{A} − E_{B} + \frac{ℏ^{2}}{2Θ} [ℓ^{′2} − ℓ^{2}]

lenne, s ez a

ν_{AB} = C_{AB} + 2B × \{ \begin{matrix}(ℓ + \frac{1}{2}) (ℓ = 0, 1, 2, ...) \\ − (ℓ′ + \frac{1}{2}) (ℓ′ = 0, 1, 2, ...) \end{matrix}

képletet szolgáltatná a spektrumvonalak szerkezetére, amelyben ezek szerint nem lenne nullvonal hiány, a spektrumvonalak egyöntetűen, egymástól egyforma távolságra helyezkednének el.

A  kétatomos  molekulák  rotációs

spektrumában megfigyelt ”nullvonal hiány” tehát direkt kísérleti bizonyítékot szolgáltat a kvantummechanika |L| = \sqrt{ℓ(ℓ + 1)}ℏ képletének helyességére a Bohr-elméletből következő ℓℏ képlettel szemben.

4.4. AZ ENERGIA OPERÁTORÁNAK SAJÁTÉRTÉKEI ÉS SAJÁTFÜGGVÉNYEI.

A kvantummechanikának leggyakoribb alkalmazási területét éppen a kvantummechanikai részecskerendszerek (atomok, molekulák, atommagok, szilárd testek, klaszterek, vegyületek, stb.) lehetséges energiaértékeinek és az ezekhez tartozó hullámfüggvényeknek a meghatározása képezi. Mindez a Schrödinger egyenlet megoldását jelenti, amely csupán a legegyszerűbb valóságos kvantumfizikai rendszerre, az egyetlen elektront Coulomb kölcsönhatással magához láncoló atommag esetére ismert analitikus formában.

A továbbiakban ezen legegyszerűbb kvantummechanikai rendszerek, a hidrogénatom és a hidrogénszerű ionok példáján keresztül mutatjuk be, hogy a kötött állapotban levő fizikai rendszerek energiája kvantált, és az (általában végtelen számú) energia sajátértékek a megoldás során fellépő kvantumszámok segítségével egyértelműen klasszifikálhatók.

4.4.1. A HIDROGÉNATOM ÉS A HIDROGÉNSZERŰ IONOK KVANTUMELMÉLETE.

Tekintsünk egy ponthoz rögzített, Z protont tartalmazó atommagot és egyetlen ”körülötte keringő” m_{e} tömegű elektront.

A Bohr-elmélet az ilyen fizikai rendszer energiaértékeire az

E_{n} = −\frac{1}{2} \frac{m_{e}(kZe^{2})^{2}}{ℏ^{2}} \frac{1}{n^{2}} , n = 1, 2, ...

képletet szolgáltatta, ahol az n kvantumszám, a Bohr-féle kvantumfeltétel révén, az impulzusmomentummal volt kapcsolatos (ld. 1.5. fejezet).

A kvantummechanikában az energiaértékeket a

Hψ = Eψ

Schrödinger egyenlet megoldása révén kapjuk, ahol az adott fizikai rendszer

H = T + V

energiaoperátora a T kinetikus energia és V potenciális energia részből tevődik össze. Az elektron potenciális energiájának operátora a Coulomb kölcsönhatás miatt a következőképpen írható:

V = −k \frac{Ze^{2}}{r} , k = \frac{1}{4πϵ_{0}} ,

ahol ϵ_{0} a dielektromos állandó, r az elektron–atommag távolság, e az elemi töltés, Z pedig a rendszám (ld. 17. ábra).

Az elektron kinetikus energiájának operátora

T = \frac{p^{2}}{2m_{e}} = \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2m_{e}} = −\frac{ℏ^{2}}{2m_{e}} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂z^{2}} ) ≡ −\frac{ℏ^{2}}{2m_{e}} Δ

felírható gömbi polárkoordinátákban is:

T = −\frac{ℏ^{2}}{2m_{e}} \frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} r + \frac{L^{2}(ϑ, φ)}{2m_{e}r^{2}},

ahol felhasználtuk az előző fejezet eredményét az L^{2} impulzusmomentum négyzetének operátor kifejezésére vonatkozóan.

A fenti eredményhez másképpen is eljuthatunk, a p^{2} operátor vizsgálatával.

A klasszikus mechanika szerint

L^{2} = (r × p)^{2} = r^{2}p^{2} − (r, p)^{2},

amiből

p^{2} = p^{2} = \frac{L^{2}}{r^{2}} + p_{r}^{2}, ahol p_{r} ≡ (p, \frac{r}{r}) .

A kvantummechanika szerint figyelembe kell venni az r és p közti felcserélési törvényt, amely miatt egy további, pusztán kvantummechanikai eredetű tag járul a fenti klasszikus összefüggéshez:

L^{2} = (r × p)^{2} = r^{2}p^{2} − (r, p)^{2} + iℏ(r, p),

amiből

(r, p) = \frac{ℏ}{i}(r, ∇_{r}) = \frac{ℏ}{i} r \frac{∂}{∂r} , [mivel ∇ = (\frac{∂}{∂r} , ...\frac{∂}{∂ϑ}, ...\frac{∂}{∂φ})]

felhasználásával kapjuk:

p^{2} = \frac{L^{2}}{r^{2}} − ℏ^{2} \frac{1}{r^{2}} r \frac{∂}{∂r} r \frac{∂}{∂r} − ℏ^{2} \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} ≡ \frac{L^{2}}{r^{2}} + p̂_{r}^{2}.

Centrális tér esetén tehát a kinetikus energia operátorban szereplő p^{2} operátornak többféle alakjával találkozhatunk az irodalomban. Álljon itt ezekből néhány emlékeztetőül:

p^{2} = p_{r}^{2} + \frac{L^{2}}{r^{2}} ,

p^{2} = −ℏ^{2} (\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} r \frac{∂}{∂r} + \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} ) + \frac{L^{2}}{r^{2}} ,

p^{2} = −ℏ^{2} (\frac{∂^{2}}{∂r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂}{∂r} ) + \frac{L^{2}}{r^{2}} ,

p^{2} = −ℏ^{2} (\frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} r) + \frac{L^{2}}{r^{2}} ,

p^{2} = −ℏ^{2} (\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} r)^{2} + \frac{L^{2}}{r^{2}} .

Az utolsó kifejezést az elsővel összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy a radiális impulzus operátorát a

p_{r} = \frac{ℏ}{i} \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} r = \frac{ℏ}{i} (\frac{∂}{∂r} + \frac{1}{r})

kifejezés definiálja. Az érdekességet itt az \frac{1}{r}−es tag megjelenése jelenti a differenciál operátor mellett, mert naívan általánosítva, a radiális impulzus operátorára csak az első tagot (a nabla operátor radiális komponensét) gondolhatnánk eredményül. Könnyen belátható azonban, hogy p_{r} csak ezen második tag fellépése esetén hermitikus (p_{r} = p_{r}^{+}), valamint ezzel együtt teljesül a következő felcserélési reláció is:

[p_{r}, r] = \frac{ℏ}{i}.

A teljes energia operátora (amit átalában Hamilton operátornak szoktak nevezni) a H-atom esetében tehát jól elkülönülő radiális és szögfüggő részekből áll, a szögfüggő rész pedig az impulzusmomentum operátor négyzetével kapcsolatos, amelynek problémáját az előző fejezetben megoldottuk. Így, kereshetjük a megoldást a következő szeparált alakban:

ψ(r, ϑ, φ) = \frac{1}{r}R(r)Y_{ℓ}^{m}(ϑ, φ).

A Schrödinger egyenletbe való helyettesítés és az impulzusmomentum négyzetre vonatkozó

L^{2}Y_{l}^{m}(ϑ, φ) = ℏ^{2}ℓ(ℓ + 1)Y_{l}^{m}(ϑ, φ)

sajátérték egyenletet kihasználása után az ún. radiális Schrödinger egyenletet nyerjük az R(r) radiális hullámfüggvény meghatározására vonatkozóan:

(−\frac{ℏ^{2}}{2m_{e}} \frac{d^{2}}{dr^{2}} + \frac{ℏ^{2}}{2m_{e}} \frac{ℓ(ℓ + 1)}{r^{2}} − kZ \frac{e^{2}}{r} ) R(r) = ER(r).  (38)

4.4.1.a) E = −|E|, KÖTÖTT ÁLLAPOT ESETE. DISZKRÉT SPEKTRUM.

A (38) egyenletben szereplő E sajátérték, a teljes energia mindig negatív, E = −|E|, amennyiben kötött részecske rendszerről van szó. (E = 0−át éppen az egymástól végtelen távolságra levő és így egymással kölcsönhatásban sem álló, nyugalomban levő részecskékből álló rendszer energiájával definiáljuk; ehhez képest a kölcsönható rendszer energiája kisebb [negatív], mivel energiát kell befektetnünk ahhoz, hogy ezt az idealizált nem-kölcsönható állapotot létrehozzuk. Harmonikus oszcillátor és végtelen mély potenciálvölgy esetén az E = 0 pontot természetesen másként kell definiálni.)

A megoldást a már jól ismert Sommerfeld-féle polinom módszerrel fogjuk megkapni (ld. harmonikus oszcillátor, 2.3. pont).

Az

r_{0} = \frac{ℏ}{\sqrt{2m_{e}|E|}}, ε = k \frac{Zm_{e}e^{2}}{ℏ^{2}} r_{0} = Z \frac{r_{0}}{a_{0}} = \sqrt{\frac{m_{e}e^{4}Z^{2}k^{2}}{2ℏ^{2}|E|}}

jelölések bevezetése és a

ξ = \frac{2r}{r_{0}} ( → \frac{1}{r} = \frac{1}{ξ} \frac{2}{r_{0}} , \frac{d^{2}}{dr^{2}} = \frac{4}{r_{0}^{2}} \frac{d^{2}}{dξ^{2}} )

skálatranszformáció elvégzése után a radiális Schrödinger egyenlet a következő egyszerűbb formát ölti:

\frac{d^{2}R}{dξ^{2}} + [−\frac{1}{4} + \frac{ε}{ξ} − \frac{ℓ(ℓ + 1)}{ξ^{2}}] R = 0.

Ennek aszimptotikus alakja

R′′_{a} = \frac{1}{4}R_{a},

amelynek megoldása

R_{a} = e^{− \frac{1}{2} ξ}.

A teljes megoldást az

R = u(ξ)e^{− \frac{1}{2} ξ}

alakban keressük, ahol u egy polinom. Szükségünk lesz R első és második deriváltjára:

R′ = (u′ − \frac{1}{2}u)e^{− \frac{1}{2} ξ}, R′′ = (u′′ − 2 · \frac{1}{2}u′ + \frac{1}{4}u)e^{− \frac{1}{2} ξ}.

Behelyettesítés után u−ra a következő differenciálegyenletet nyerjük:

u′′ − u′ + (\frac{ε}{ξ} − \frac{ℓ(ℓ + 1)}{ξ^{2}}) u = 0.

Látjuk, hogy ξ = 0 esetén az egyenletnek szingularitása van. Ezen szingularitást kiküszöbölendő, az u polinom nem kezdődhet konstanssal, legkisebb fokszáma ξ^{s} (s > 0) kell legyen. Ezt rögtön kiemelve, az u polinomunk (a szükséges első és második deriváltakkal együtt) a következőképpen írható:

u = ξ^{s} ∑_{i=0}^{∞} c_{i}ξ^{i} = ∑_{i=0}^{∞} c_{i}ξ^{i+s}, s > 0,

u′ = ∑_{i=0}^{∞} c_{i}(i + s)ξ^{i+s−1}, s > 0,

u′′ = ∑_{i=0}^{∞} c_{i}(i + s)(i + s − 1)ξ^{i+s−2}, s > 0.

Behelyettesítés után az egyenlet a

∑_{i=0}^{∞} c_{i}[(i + s)(i + s − 1) − ℓ(ℓ + 1)]ξ^{i+s−2} + ∑_{i=0}^{∞} c_{i}[ε − (i + s)]ξ^{i+s−1} = 0

alakú. Ezt az összefüggést átalakíthatjuk úgy, hogy az első összegzésben szereplő legalacsonyabb fokszámú tagot külön kiírjuk (i = 0 esete), a második összegzést pedig az i → i − 1 helyettesítéssel beolvasztjuk az első összegzés maradék részébe:

c_{0}[s(s − 1) − ℓ(ℓ + 1)]ξ^{s−2}+

∑_{i=1}^{∞} {c_{i}[(i + s)(i + s − 1) − ℓ(ℓ + 1)] + c_{i−1}[ε − (i − 1 + s)]}ξ^{i+s−2} = 0.

Az egyenlet ξ tetszőleges értékeire csak akkor állhat fenn, ha ξ minden hatványának együtthatója külön-külön zérus. Az első tagból kapjuk:

s(s − 1) = ℓ(ℓ + 1),  →  s = ℓ + 1,

amely rögzíti az s ún. indiciális index értéket. (Megjegyezzük, hogy ennek az indiciális egyenletnek a másik megoldása, s = −ℓ, az origóban szinguláris, tehát irreguláris hullámfüggvény megoldásra vezetne, amelyet ki kell zárnunk a regularitási követelmény miatt. A szóráselméleti részben [ld. 6. fejezet] az irreguláris megoldásnak azonban fontos szerepe lesz.) A második tagból egy rekurziós formulát kapunk a polinom együtthatóira nézve:

c_{i} = \frac{i + ℓ − ε}{(i + ℓ + 1)(i + ℓ) − ℓ(ℓ + 1)}c_{i−1}, i = 1, 2, ….

Ez a rekurziós kifejezés a polinom magas hatványai esetén a

c_{i} ∼ \frac{1}{i}c_{i−1}, i → ∞

összefüggést szolgáltatja, amelyben az e^{ξ} = ∑ ξ^{i}/i! sorának rekurziós képletét ismerhetjük fel. Mivel az e^{ξ} függvény majorálja az R_{a} = e^{−ξ/2} aszimptotikus megoldást ξ nagy értékeire, szükséges az, hogy az u polinom véges fokszámú legyen, azaz valahol megszakadjon. Ez úgy lehetséges, ha létezik egy i_{max} legmagasabb összegző index, amelyre c_{i_{max}−1} ≠ 0, de c_{i_{max}} = 0 már. Ez akkor kövekezik be, ha a rekurziós képlet számlálója ezen legmagasabb fokszám esetére zérussá válik:

i_{max} + ℓ − ε = 0, i_{max} = 1, 2, · · · .

Bevezetve az n = i_{max} + ℓ jelölést (n = 1, 2, ⋯), megállapíthatjuk a fenti levezetésből, hogy ahhoz, hogy a hidrogén atom (és a hidrogénszerű ion) problémájára reguláris megoldást kapjunk, szükséges az, hogy az (energiát is tartalmazó) ε állandó valamelyik zérustól különböző pozitív egésszámú n értéket vegye fel:

ε = k \frac{Zm_{e}e^{2}}{ℏ^{2}} r_{0} = Z \frac{r_{0}}{a_{0}} = \sqrt{\frac{m_{e}e^{4}Z^{2}k^{2}}{2ℏ^{2}|E|}} = n, n = 1, 2, ...,

amelyből az energiasajátértékekre az

E_{n} = −\frac{1}{2} \frac{m_{e}(kZe^{2})^{2}}{ℏ^{2}} \frac{1}{n^{2}} ,  n = 1, 2, ...  (39)

képletet nyerjük. Ez formálisan megegyezik a Bohr-elmélet energiaképletével, viszont tartalmilag különbözik tőle. A levezetés során láttuk ugyanis, hogy az n kvantumszámnak nem direkt, hanem csak áttételes kapcsolata van az impulzusmomentummal. A Bohr elméletben n közvetlenül az impulzusmomentumot számlálta le. A kvantummechanikai levezetés során az impulzusmomentumot az ℓ kvantumszám jellemzi, amely lehet zérus is (n = 1 esetén).

[A kvantumszámok egymással való összefüggésére a következő meggondolásból lehet következtetni:

n = i_{max} + ℓ, i_{max} = 1, 2, ... → n = ℓ + 1, ℓ + 2, ... → ℓ_{max} = n − 1.

Ily módon felső korlátot kaptunk az impulzusmomentumra az energiaértékeket meghatározó n = 1, 2, ... kvantumszám függvényében. Természetesen n az R(r) radiális hullámfüggvény zérushelyeinek számával is kapcsolatos, amit n − ℓ − 1 = i_{max} − 1 ad meg.]

A tárgyalandó probléma teljes megoldásához hátra van még a hullámfüggvény felírása. Ez a következő alakban áll elő:

ψ_{nℓm}(r, ϑ, φ) = \frac{1}{r}R_{nℓ}(r)Y_{ℓ}^{m}(ϑ, φ),  (40a)

ahol a radiális Schrödinger egyenletet kielégítő radiális hullámfüggvény

R_{nℓ}(r) = L_{nℓ}(\frac{2r}{r_{0}} )e^{−r/r_{0}}, r_{0} = a_{0}n/Z,  (40b)

a_{0} = ℏ^{2}/m_{e}ke^{2} ∼ 0, 53×10^{−10}m a Bohr sugár, L_{nℓ} pedig (a korábban u−val jelölt) az (ℓ+1) hatvánnyal kezdődő (n+1)−ed fokú ún. Laguerre-polinom. (Ne tévesszük össze az itteni r_{0} állandót a Bohr elmélet tárgyalásánál használt r_{n} = \frac{a_{0}}{Z} n^{2} = nr_{0}−lal !) A radiális hullámfüggvények ortonormáltak:

∫_{0}^{∞} dr R_{nℓ}^{∗}R_{n′ℓ} = δ_{nn′}.

Az alábbiakban megadunk néhányat közülük:

R_{10}(r) = 2r (\frac{Z}{a_{0}} )^{3/2} e^{−Zr/a_{0}},

R_{20}(r) = 2r (\frac{Z}{2a_{0}} )^{3/2} (1 − \frac{Zr}{2a_{0}} ) e^{−Zr/2a_{0}},

R_{21}(r) = \frac{2r}{\sqrt{3}} (\frac{Z}{2a_{0}} )^{3/2} \frac{Zr}{2a_{0}} e^{−Zr/2a_{0},}

R_{30}(r) = 2r (\frac{Z}{3a_{0}} )^{3/2} [1 − \frac{2Zr}{3a_{0}} + \frac{2(Zr)^{2}}{27a_{0}^{2}} ] e^{−Zr/3a_{0}}.

A radiális hullámfüggvények R_{nl} → r^{ℓ+1}−ként tartanak az origóban (r → 0) a nullához. A teljes hullámfüggvény viszont ψ_{nlm} → r^{ℓ}−ként, miközben r → 0. Ezért véges valószínűségsűrűsége van annak, hogy az elektron a mag helyén tartózkodik alapállapot esetén. Sőt, ψ_{100}(r, ϑ, φ) = \frac{1}{\sqrt{π}} (\frac{Z}{a_{0}} )^{3/2} exp(−Zr/a_{0}) miatt az elektronnak éppen a magban való tartózkodási valószínűségsűrűsége a legnagyobb. Ugyanis, az elektron tartózkodási valószínűségsűrűségét az (r, ϑ, φ) pontban éppen |ψ_{nlm}(r, ϑ, φ)|^{2} adja meg. Ha viszont az iránt érdeklődünk, hogy milyen valószínűséggel találjuk meg az elektront egy r = (r, ϑ, φ) körüli d^{3}r térfogatelemben, akkor ennek meghatározására a

|ψ|^{2}d^{3}r = \frac{1}{r^{2}} R_{nl}^{2}(r)|Y_{ℓ}^{m}(ϑ, φ)|^{2}r^{2} dr d(cos ϑ) dφ ≡ W_{nℓ}(r) dr |Y_{ℓ}^{m}(ϑ, φ)|^{2} d(cos ϑ) dφ

képlet szolgál, amelyben a W_{nℓ}(r) = R_{nℓ}^{2} mennyiséget radiális valószínűségnek nevezzük. A radiális valószínűség tehát azt fejezi ki, hogy milyen valószínűséggel tartózkodik az elektron egy r, r + dr gömbhéjban. A W_{nℓ} valószínűség már azt a fizikai képet adja az atombeli elektron elhelyezkedéséről, amit klasszikus szemléletünk alapján várunk: az origó körül zérus valószínűséggel található az elektron (W_{nℓ}(0) = 0), a

0 = \frac{dW_{nl}}{d r} |_{r_{nl}}

egyenlettel definiált r_{nℓ} sugarú gömbhéjban viszont maximális valószínűséggel található meg az elektron. Konkrét számolással néhány r_{nℓ} mennyiségre a következő érték adódik:

r_{10} = \frac{a_{0}}{Z} , r_{21} = 4\frac{a_{0}}{Z} , ..., r_{n,n−1} = n^{2} \frac{a_{0}}{Z} .

Ezek tehát a Bohr elmélet szolgáltatta pályasugarak. A 18/a ábrán bemutatott néhány W_{nℓ}(r) valószínűség függvény a főhéjak térbeli elhelyezkedését szemlélteti.

Feltehetjük azt a kérdést is, hogy mi az átlagértéke a radiális koordinátára vonatkozó mérésnek? A választ az ⟨r⟩ kifejezés adja meg:

⟨r⟩_{nℓ} = ∫_{0}^{∞} dr r R_{nℓ}^{2}(r) = ∫ dr r W_{nℓ}(r) = \frac{1}{2} \frac{a_{0}}{Z} (3n^{2}−ℓ(ℓ+1)). Pl. ⟨r⟩_{10} = \frac{3}{2} \frac{a_{0}}{Z} .

Hermiticitás: Könnyen belátható, hogy a Hatom energiaoperátora hermitikus a reguláris függvények terén.

Ortonormáltság: A H-atom kötött állapoti energiasajátfüggvényei ortonormált függvényrendszert alkotnak. Figyelemmel a radiális hullámfüggvények, és a gömbfüggvények ortogonalitására,

⟨ψ_{nℓm}|ψ_{n′ℓ′m′}⟩ = δ_{nn′}δ_{ℓℓ′}δ_{mm′}.

4.4.1.b) E ≥ 0, SZÓRÁSI ÁLLAPOT ESETE. FOLYTONOS SPEKTRUM.

Ahhoz, hogy a H-atom sajátfüggvények teljes rendszert képezzenek, szükség van a pozitív energiájú állapotokhoz tartozó megoldások figyelembevételére is, mert a kötött állapoti sajátfüggvények önmagukban nem alkotnak teljes rendszert.

A folytonos spektrumhoz tartozó energiasajátfüggvényeket ψ_{E}(r)−vel jelölve, bizonyítható a teljességi összefüggés:

∑_{nlm} ψ_{nlm}(r)ψ_{nlm}^{∗}(r′) + ∫_{0}^{∞} dE ψ_{E}(r)ψ_{E}^{∗}(r′) = δ(r − r′)

A ψ_{E} folytonos spektrumhoz tartozó ún. Coulomb-hullámfüggvényekkel később, a 6-ik fejezetben ismerkedünk meg.

4.4.2 A HIDROGÉNATOM VONALAS SZíNKÉPE.

A hidrogénatom vonalas színképének (ld. 18. ábra) megértését a kvantummechanika tette lehetővé. Az előforduló kvantumszámok és elnevezéseik a következők:

főkvantumszám: n = 1, 2, 3, ...

mellékkvantumszám: ℓ = 0, 1, 2, ..., n − 1

mágneses kvantumszám: m = −ℓ, −ℓ + 1, .., 0, .., ℓ − 1, ℓ

Minthogy a (39)-es energiasajátérték csak a főkvantumszámtól függ, az egyes energiaszintek elfajultak. A degeneráció foka: ∑_{ℓ=0}^{n−1}(2ℓ + 1) = n^{2}. Az n−nel jellemzett szinteket főhéjnak nevezzük. Adott n esetén a hozzátartozó különböző ℓ−ű állapotok alhéjat alkotnak; jelük: (nℓ)^{x}, ahol x jelenti az alhéjba tartozó elektronok számát. Az ℓ mellékkvantumszámoknak az abc különböző betűit feleltetjük meg: az ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .. stb. kvantumszámokat rendre az s, p, d, f, g, h, i, .. stb. betűkkel jelöljük. Így pl. beszélünk (1s), (2p)^{3}, (3d)^{2}, .. stb. alhéjakról.

Az alapállapoti szintet n = 1 jellemzi:

E_{1} = −13, 6 eV, ℓ = 0.

Az első gerjesztett állapotot n = 2 esetén kapjuk:

E_{2} = E_{1}/4, ℓ = 0, 1.

A harmadik (n = 3) szinthez tartozó energia és mellékkvantumszámok értékei:

E_{3} = E_{1}/9, ℓ = 0, 1, 2.

A hidrogénatom gerjesztett állapotainak száma végtelen.

A hidrogénatom színképe egymástól elkülönülő részekből áll.

Az ultraibolya frekvenciatartományba eső ún. Lyman-sorozat akkor keletkezik, amikor a gerjesztett ”pályákról” az alapállapotba (n = 1) történik a legerjesztődés.

Balmer-sorozatnak hívjuk a színkép (látható tartományba eső) azon részét, amely az n = 2 szintre való legerjesztődés révén keletkezik.

Infravörös tartományba eső kis energiák tartoznak azon kisugárzásokhoz, amelyekben az n = 3-as szint a legerjesztődés első állomása; ez a Paschen-sorozat.

4.5. A SPIN OPERÁTORÁNAK SAJÁTÉRTÉKEI ÉS SAJÁTFÜGG-VÉNYEI.

4.5.1. KÍSÉRLETI BIZONYÍTÉKOK AZ ELEKTRONSPIN LÉTÉRE.

A XX. század 20-as éveiben egyre inkább uralkodóvá vált az a felfogás, hogy az elektronnak saját impulzusmomentummal, spinnel kell rendelkeznie. Ezt az álláspontot sokféle kísérleti evidencia támasztotta alá.

a) A közönséges Zeeman-effektus: A XIX. század végén Zeeman holland fizikus a hidrogénszínkép tanulmányozása közben észrevette, hogy homogén mágneses tér hatására a színképvonalak kiszélesednek és felhasadnak.

A jelenség az atomi energianívók felhasadásával magyarázható. A klasszikus elektrodinamikából ismeretes, hogy a köráram mágneses teret kelt. Az atomban az L impulzusmomentummal rendelkező elektron elemi köráramot képvisel, amelynek mágneses tere a kör felületére merőleges irányban

B = If = (\frac{−ev}{2πr} ) r^{2}π = −\frac{e}{2m_{e}} rm_{e}v.

Ennek alapján az L impulzusmomemtumhoz tartozó elemi mágneses momentum

M^{L} = −\frac{eℏ}{2m_{e}} \frac{1}{ℏ}L ≡ −μ_{B} \frac{1}{ℏ}L,  (41a)
M_{z}^{L} = −\frac{eℏ}{2m_{e}} \frac{1}{ℏ}L_{z} ≡ −μ_{B} \frac{1}{ℏ}L_{z},  (41b)

ahol a μ_{B} = \frac{eℏ}{2m_{e}} arányossági tényező neve: Bohr magneton. Értéke: SI-ben 9.27 × 10^{−24} J/T, cgs-ben 9.27×10^{−21} erg/G.

A B = (0, 0, B) homogén mágneses tér erőhatást gyakorol a mágneses dipólusra. Az ennek megfelelő potenciális energia a

V_{mágn}^{L} = −(M^{L}, B) = μ_{B} \frac{1}{ℏ}L_{z}B = μ_{B}m_{ℓ}B

alakba írható, amely – a teljes Hamilton operátort módosítva – az atomi elektronnívók [(2ℓ + 1)−szeres] felhasadásához vezet. Tehát pl. a p− nívó felhasadása háromszoros. Ezzel szemben a színképek tanulmányozása arra a következtetésre vezetett, hogy a p− nívó felhasadása ötszörös (ld. 19. ábra).

b) Anomális Zeeman-effektus: Bizonyos esetekben (pl. páratlan rendszámú atomok esetén) külső mágneses tér hiányában is észleltek nívófelhasadást a színképek gondos tanulmányozása révén.

Úgy tűnt tehát, hogy az elektron egy további szabadsági fokkal rendelkezik, és ez saját impulzusmomentumban (spinben) nyilvánul meg, amelyhez (töltött részecskéről lévén szó) saját mágneses momentum társul. Ez utóbbinak az atom belső mágneses terével való kölcsönhatása eredményezi aztán a megfigyelt dublett szerkezeteket (20. ábra). A dublett szerkezet egyúttal azt is sugallta, hogy ezen új szabadsági fokhoz feles kvantumszám társul.

c) Stern-Gerlach kísérlet (1922): Stern és Gerlach keskeny, ezüst atomokból álló nyalábot bocsátott át inhomogén mágneses téren. A tér az Ag-atom nyalábot két részre osztotta (21. ábra).

Mivel az Ag-atom zárt héjjal s azon kívül levő egyetlen elektronnal rendelkezik, amely az n = 5 és ℓ = 0 kvantumszámmal jellemzett állapotban van, az ezüst atom teljes pálya impulzusmomentuma (L) zérus, az ebből eredő mágneses nyomaték (M^{L}) tehát zérus. Ha létezik spin (saját impulzusmomentum), egyedül ez hordozhat mágneses nyomatékot (M^{S}), amit meg lehet mérni inhomogén mágneses tér alkalmazásával. A mágneses kölcsönhatás potenciális energiája ugyanis

V_{mágn}^{S} = −(M^{S}, B),

és a nyalábra (az Ag-atomokra) ható erő

−∇V_{mágn}^{S} = ∇M_{z}^{S}B(z) = (0, 0, F_{z})

F_{z} = M_{z}^{S} \frac{dB(z)}{dz}

F_{z} az eltérülés mértékéből meghatározható, dB(z)/dz kísérleti adat, így M_{z}^{S} mérhető. A mérések M_{z}^{S} = ∓μ_{B} értéket szolgáltatták az ezüst atom külső elektronjának mágneses momentumára. Ez az eredmény az elektron saját impulzusmomentumának z− komponenséhez feles kvantumszámot rendel, ugyanis

M_{z}^{S} = ∓μ_{B} = −(2μ_{B})m_{s} → m_{s} = ±\frac{1}{2}

(m_{s} = egész a nyaláb legalább három részre való szakadását jelentené). Egyúttal kifejezi azt az érdekes körülményt is, hogy az elektron saját impulzusmomentumához kétszer annyi (2μ_{B}) mágneses momentum tartozik, mint a pályamozgáshoz. Az elektron saját impulzusmomentumát S-sel jelölve, a spinből eredő mágneses momentum tehát a következőképpen írható:

M^{S} = −2μ_{B} \frac{1}{ℏ}S  (41c)

Ezt az eredményt erősíti meg a következő kísérlet is.

d) Einstein-de Haas kísérlet (1915): Einstein és de Haas eredetileg azt vizsgálta, vajon igaz-e az a feltételezés, hogy az anyagok mágnesezhetőségéért (a ferromágnességért) az ℓ ≠ 0 impulzusmomentummal jellemezhető és ezért elemi köráramot képviselő (s így mágneses momentumot hordozó) elektronok pályaimpulzusmomentumának egyirányú beállása a felelős.

A 22. ábrán látható elrendezésben vékony szálon függő vashengert árammal átfolyt tekercsbe helyeztek. A tekercsben kialakuló mágneses tér egyirányba állítja be az (i−vel jelölt) elemi köráramok mágneses momentumát, amelynek eredője egyenesen arányos az elemi impulzusnyomatékok eredőjével:

\frac{∑_{i} |M_{i}|}{∑_{i} |L_{i}|} = \frac{M}{L} = μ_{B}/ℏ,

az arányossági tényező 1μ_{B} Bohr-magneton (per ℏ).

A tekercsen átfolyó áram irányának megváltoztatása az elemi köráramoknak megfelelő parányi ”iránytűk” (mágneses momentumok) átfordulását eredményezi, amely az elemi impulzusmomentumok ellentettre vátozásával jár együtt. Az impulzusmomentum megmaradásának törvénye szerint ezt az impulzusmomentum változást a henger mérhető elfordulása kompenzálja, amit a torziós szálra erősített tükör segítségével meg lehet figyelni és mérni (ΔL_{mért}). Ugyancsak mérni lehet a vashenger mágnesezettségét és az átmágnesezésből eredő mágneses tér változást (ΔM_{mért}). A két mérhető mennyiség arányára Einstein és de Haas a

\frac{ΔM_{mért}}{ΔL_{mért}} = 2μ_{B}/ℏ

értéket kapták, amely a 2-es faktor megjelenése miatt csak úgy értelmezhető, hogy a ferromágnesség nem az elektronok pályaimpulzusmomentumával kapcsolatos, hanem az elektronok saját impulzusmomentumával, azaz spinjével. (Ezt az értelmezést csak később, Compton, Uhlenbeck, Goudschmidt, Pauli és Heisenberg munkássága révén sikerült megadni.)

4.5.2. A SPINOPERÁTOR SAJÁTÉRTÉKEI ÉS SAJÁTFÜGGVÉNYEI.

A fenti eredmények alapján megérthetjük a 19. ábrán bemutatott nívóséma multiplicitását. A B = (0, 0, B) z−irányú homogén mágneses térrel való kölcsönhatás révén keletkező

V_{mágn} = −(M^{L}+M^{S}, B) = μ_{B}B \frac{1}{ℏ}(L_{z}+2S_{z}) = μ_{B}B(m_{ℓ}+2m_{s})

potenciális energiaoperátor 2(2ℓ + 1)−szeres nívófelhasadást eredményez, amelyből ℓ = 1 esetén az egyik nívó kétszeresen degenerált (m_{s} = ±1/2 és m_{l} = ∓1).

A fenti eredmény implicite tartalmazza a spin z−komponensének sajátérték egyenletét:

S_{z}χ_{s}^{m_{s}} = ℏm_{s}χ_{s}^{m_{s}}, m_{s} = ±\frac{1}{2},  (42a)

ahol χ_{s}^{m_{s}} a spinoperátor négyzetének is sajátfüggvénye:

S^{2}χ_{s}^{m_{s}} = ℏ^{2}s(s + 1)χ_{s}^{m_{s}}, s = \frac{1}{2}.  (42b)

A spinoperátor a pályaimpulzusmomentummal rokon felcserélési szabályoknak tesz eleget:

[S_{x}, S_{y}] = iℏS_{z}, [S_{z}, S^{2}] = 0, stb., illetve [S, r] = 0, [S, p] = 0, [S, L] = 0.

Ez elegendő a spinoperátor és spinsajátfüggvény megalkotásához, amelyeknek a leginkább használatos reprezentációban felírt alakját levezetés nélkül közöljük (S = ℏσ⃗/2, σ⃗ komponensei az ún. Paulimatrixok):

σ_{x} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , σ_{y} = ( \begin{matrix}0 & −i \\ i & 0 \end{matrix} ) , σ_{z} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) .  (43a)
[σ_{x}, σ_{y}] = 2iσ_{z}, [σ_{z}, σ^{2}] = 0, stb.
α ≡ χ_{1/2}^{1/2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , β ≡ χ_{1/2}^{−1/2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) .  (43b)

Ortonormalitás:

χ_{s}^{m_{s}}^{∗}χ_{s′}^{m′_{s}} = δ_{ss′}δ_{m_{s}m′_{s}} s = \frac{1}{2}, m_{s} = ±\frac{1}{2}.

[A spin konzisztens bevezetése a 8. fejezetben történik meg, ahol a Dirac egyenlet adja meg a relativisztikus, feles spinű elektron elméletét a 2−es faktorral együtt. A spin figyelembevétele a nemrelativisztikus számolásokban azonban mégis elengedhetetlen szimmetriát befolyásoló jelenléte és mágneses kölcsönhatásokban való részvétele miatt.]

4.5.3. A PAULI-SCHRÖDINGER EGYENLET.

Homogén mágneses térben mozgó elektron leírására a Pauli-energiaoperátor szolgál:

H_{M} = H_{0} − (M, B), M = M^{L} + M^{S} = −μ_{B} \frac{1}{ℏ}(L + 2S),

ahol H_{0} = p^{2}/2m_{e} + V (r) az elektron kinetikus energia operátorát és más, nem a homogén mágneses térrel való kölcsönhatásból eredő potenciális energiáját jelöli.

A fenti energiaoperátor függ a spintől is, ezért az elektron állapotfüggvénye kifejthető a két lineárisan független α és β spinfüggvény szerint:

Ψ(r, t; spin) = Ψ_{+}(r, t)α + Ψ_{−}(r, t)β,

ahol a kifejtési ”együtthatók” éppen az elektron tér(és idő-)szerű állapotfüggvényei. Ezt a kifejtést az

iℏ\frac{∂}{∂t}Ψ = H_{M}Ψ

állapotegyenletbe helyettesítve és a koordináta rendszer z− tengelyét a külső mágneses tér irányába véve, azaz B = (0, 0, B)−t véve, kapjuk az

iℏ\frac{∂}{∂t}Ψ_{+} = (H_{0} − μ_{B}B(i\frac{∂}{∂φ} − 1)) Ψ_{+}

iℏ\frac{∂}{∂t}Ψ_{−} = (H_{0} − μ_{B}B(i\frac{∂}{∂φ} + 1)) Ψ_{−}

Pauli-egyenleteket, amelyek már figyelemmel vannak az elektron spinjére is.

4.5.4. A SPINOPERÁTOR IDŐBELI VÁLTOZÁSA.

Mágneses tér jelenléte esetén a spin nem mozgásállandó, mert

\frac{dS}{dt} = \frac{i}{ℏ} [H_{M}, S] = \frac{i}{ℏ} [S, (M, B)] = \frac{i}{ℏ^{2}} 2μ_{B} [(S, B), S] = \frac{2iμ_{B}}{ℏ^{2}} \frac{ℏ^{2}}{4} [(σ⃗, B), σ⃗] ,

azaz, pl. a spin x−edik komponensének időbeli változása:

\frac{dS_{x}}{dt} = \frac{iμ_{B}}{2} [(σ⃗, B), σ_{x}] =

\frac{iμ_{B}}{2} ((σ_{x}B_{x} + σ_{y}B_{y} + σ_{z}B_{z})σ_{x} − σ_{x}(σ_{x}B_{x} + σ_{y}B_{y} + σ_{z}B_{z})) =

\frac{iμ_{B}}{2} (−2iσ_{z}B_{y} + 2iσ_{y}B_{z}) = μ_{B} (σ_{z}B_{y} − σ_{y}B_{z}) = μ_{B}(B × σ⃗)_{x} = (M^{S} × B)_{x}.

A mágneses tér tehát forgatónyomatékot gyakorol a spinhez társuló mágneses momentumra, s így a spint precesszálásra kényszeríti a mágneses tér iránya körül.