6. Gyakorlat

6.)  2019. március. 13.

1. Impulzus reprezentáció

2. Írjuk fel a harmonikus oszcillátor Hamilton operátorát impulzus reprezentációban!

3. Egy \(q\) töltásű részecskét homogén elektromos térbe helyezünk. Határozzuk meg a stacionárius állapotait impulzus reprezentációban! \[H = \frac{p^2}{2m} - \mathcal{E}qx\]

HF:

A harmonikus oszcillátor esetében bevezetett \(a\) léptető operátor saját értékei a teljes komplex síkot kitöltik: \[\begin{aligned} a{\vert \alpha\rangle} = \alpha {\vert \alpha\rangle} &,& \alpha \in \mathcal{C} \;, \end{aligned}\] ahol \[a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{x}{x_0} + i\frac{p}{p_0}\right ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{x}{x_0} + \frac{i}{\hbar}x_0p\right )\;.\]

Jobboldali saját állapotai a teljes Hilbert teret kifeszítik. Koordináta és impulzus reprezentációban oldjuk meg a fenti sajátérték problémát! Lesz-e a négyzetesen integrálható függvények terén (\(\mathcal{L}^2\)) jobboldali saját állapota az \(a^+\) operátornak?