5. Gyakorlat

5.)  2019. március. 6.

1. Határozzuk meg egy kétdimenziós harmonikus oszcillátor spektrumát és sajátállapotait: \[H = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{p_y^2}{2m} + { \frac{1}{2}}m\omega_x^2x^2 + { \frac{1}{2}}m\omega_y^2y^2\] Tárgyaljuk meg az \(\omega_x = \omega_y\) esetet! Mi lesz a degeneráció mértéke az egyes energianívóknak?

2. Egy egydimenziós harmonikus oszcillátor esetében határozzuk meg a következő várhatóértékeket a léptető operátorok segítségével: \[\begin{aligned} {\langle n\vert}x{\vert n\rangle}= &,& {\langle n\vert}p{\vert n\rangle}= &,& {\langle n\vert}x^2{\vert n\rangle}= &,& {\langle n\vert}p^2{\vert n\rangle}= \end{aligned}\] Mutassuk megm hogy a kinetikus és potenciális energia várható értéke az oszcillátor saját állapotaiban megegyezik!

3. A léptető operátorok és az alapállapoti hullámfüggvény segítségével adjuk meg az egydimenziós harmonikus oszcillátor sajátállapotait!

4. Írjuk fel hely és impulzus operátor mátrixát, a harmonikus oszcillátor bázisán!

HF:

Határozzuk meg a harmonikus oszcillátor \(n\)-ik állapotában az \(x^4\) operátor várható értékét!