Kétállapotú modell rendszer
0.6 Egy véges potenciál gödörben két kötött állapot létezik. A gödör szélességét hirtelen megnöveljük \(\Delta x\) távolsággal. Mi lesz az időfüggő Schrödinger egyenlet megoldása? A Megoldást keressük \[\psi(x,t) = c_1(t) \varphi_1(x) + c_2(t) \varphi_2(x)\] alakban, ahol \(E_1\), \(\varphi_1\) és \(E_2\), \(\varphi_2\) az eredeti potenciálban mozgó részecske energiája és hullámfüggvénye a két kötött állapotban.
Az időfüggő Schrödinger egyenlet: \[i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x) \psi\; .\] Legyen az új potenciál \(V(x) = V_0(x) + \Delta V(x)\). Helyettesítsük be a hullámfüggvény megadott alakját: \[\begin{aligned} i\hbar\dot{c}_1\varphi_1(x) + i\hbar\dot{c}_2\varphi_2(x) &=& \left (-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \varphi_1}{dx^2} + V_0(x)\varphi_1(x)\right )c_1(t) + \Delta V(x)\varphi_1(x)c_1(t) \\ &+& \left (-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \varphi_2}{dx^2} + V_0(x)\varphi_2(x)\right )c_2(t) + \Delta V(x)\varphi_2(x)c_2(t) \end{aligned}\] \[i\hbar\dot{c}_1\varphi_1(x) + i\hbar\dot{c}_2\varphi_2(x) = E_1 c_1(t) + \Delta V(x)\varphi_1(x)c_1(t) + E_2c_2(t) + \Delta V(x)\varphi_2(x)c_2(t)\] Tudjuk, hogy \(\varphi_1(x)\) és \(\varphi_2(x)\) normáltak és merőlegesek egymásra: \[\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \varphi_1^*(x)\varphi_2(x)dx = 0 & , & \int_{-\infty}^\infty \varphi_1^*(x)\varphi_1(x)dx = \int_{-\infty}^\infty \varphi_2^*(x)\varphi_2(x)dx = 1 \end{aligned}\] Szorozzuk be az előző egyenletet \(\varphi_1^*\)-gyel és \(\varphi_2^*\)-vel, mjd integráljunk: \[\begin{aligned} i\hbar \dot{c}_1 &=& (E_1 + \Delta V_{11})c_1 + \Delta V_{12}c_2 \\ i\hbar \dot{c}_2 &=& \Delta V_{21}c_1 + (E_2 + \Delta V_{22})c_2 \;,\end{aligned}\] ahol \(\displaystyle \Delta V_{ij} = \int_{-\infty}^\infty \varphi_i^*(x)\Delta V(x)\varphi_j(x)dx\). Az elsőrendű, állandóegyütthatós differenciál egyenletet könnyedén megoldhatjuk.
Az előadáson tanult rekurziós összefüggéseket felhasználva határozzuk meg a hely és a potenciális energia várható értékét. A várható értéke egy mennyiségnek: \(<f> = \int f(x) p(x)dx\), ahol annak a valószínűsége hogy az \(x,x+dx\) intervallumban vagyunk \(p(x)dx\). A Hullámfüggvény abszolútértékenek a valószínűségi értelmezése szerint\( p(x) = \vert\varphi(x)\vert^2(x)\). Ezek szerint
\(<f> = \int f(x)\varphi^*(x)\varphi(x)dx\).
\[\varphi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^nn!x_0\sqrt{\pi}}}H_n(\frac{x}{x_0})e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}}\] \[\begin{aligned} H_{n+1}(q) = 2qH_n(q) - H_n^\prime(q) &,& H_n^\prime(q) = 2nH_{n-1}(q) &,& 2qH_n(q) = H_{n+1}(q) + 2nH_{n-1}^\prime(q)\end{aligned}\]
Helyezzük a harmonikus oszcillátort homogén elektromos térbe! A Schrödinger egyenlet \[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\varphi}{dx^2} - \frac{1}{2}m\omega^2x^2\varphi(x) - \mathcal{E}qx\varphi(x) = E\varphi(x) \;,\] ahol \(\mathcal{E}\) az elektromos tér, \(q\) pedig a részecske töltése. Hogyan módosulnak az energia nívók és a hullámfüggvények? Mi történik klasszikus esetben, ha egy rugót homogén erőtérbe teszünk? Hogyan lehetne a potenciális energiát \(\frac{1}{2}m\omega^2(x+d)^2\) alakban felírni?