Határfeltételek az 1D Schrödinger egyenlet megoldásaira: véges potenciálugrás, Dirac delta potenciál.
Az időfüggetlen Schrödinger egyenlet kötött (normálható) sajátállapotai véges potenciál gödör esetén.
A Schrödinger egyenlet az I, II és III tartományban rendre: \[\begin{aligned} I \; \mbox{és} \;III\; \mbox{tartomány} & \ & -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\varphi}{dx^2} = E\varphi \\ II\; \mbox{tartomány} & \ & -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\varphi}{dx^2} = (E+V_0)\varphi \end{aligned}\]
Mik lesznek a differenciál egyenlet megoldásai az egyes tartományokon? Nefeledjük el, hogy az I-es és III-as tartományon a hullámfüggvénynek a minusz végtelenben és a plusz végtelenben el kell tünnie, különben nem létezik a négyzetük integrálja! Milyen előjelű lesz az energia? (Ahol lehet, használjunk \(\sin\), \(\cos\) függvényeket!)
Ha az \(I\), \(III\)-as tartományban \(Ae^{\alpha x}\), \(De^{-\alpha x}\) alakú a Schrödinger egyenlet megoldása, a \(II\)-es tartományban pedig \(B\cos(kx)+C\sin(kx)\) a hulámfüggvény alakja, akkor határozzuk meg, hogy a \(\alpha^2 + k^2\) kifejezés hogyan függ \(V_0\)-tól!
A tartományok határára írjuk fel a hullámfüggvény és annak deriváltjának folytonosságából adódó feltételeket! Mutassuk meg, hogy a következő négy egyenletnek kell teljesülnie: \[\begin{aligned} (A-D)e^{-\alpha a} = B\cos(ka) & \ & (A+D)e^{-\alpha a} = -C\sin(ka) \\ \alpha(A-D)e^{-\alpha a} = kB\sin(ka) & \ & \alpha (A+D)e^{-\alpha a} = kC\cos(ka) \end{aligned}\]
Keressünk grafikus megoldást a fenti egyenletekre! Milyen feltételek mellett teljesülhetnek a feltételek? (Mikor lesz páros és páratlan a hullámfüggvény?) Meg tudjuk-e mondani a kötött állapotok számát?
Kétállapotú modell rendszer
Egy véges potenciál gödörben két kötött állapot létezik. A gödör szélességét hirtelen megnöveljük \(\Delta x\) távolsággal. Mi lesz az időfüggő Schrödinger egyenlet megoldása? A Megoldást keressük \[\psi(x,t) = c_1(t) \varphi_1(x) + c_2(t) \varphi_2(x)\] alakban, ahol \(E_1\), \(\varphi_1\) és \(E_2\), \(\varphi_2\) az eredeti potenciálban mozgó részecske energiája és hullámfüggvénye a két kötött állapotban.