Feladat
Egy csillapított harmonikus oszcillátor mozgásegyenlete a következő: $$\ddot{x} + \omega_0^2 x + \frac{2}{\tau} \dot{x} = 0 \;.$$ A \(t_1 = 0\)
és \(t_2=1s\) pillanatban az oszcillátor kitérése \(x(t_0)=0.1\,m\)
és \(x(t_1)=0.1\,m\). Oldjuk meg a differenciálegyenletet, ha
\(\omega_0=5\,s^{-1}\) és \(\tau = 0.25\,s\)!
Feladat
Egy hosszú sínpáron két \(m\) tömegű fémrúd
csúszhat surlúdás nélkül a sín síkjára merőleges, \(\mathbf{B}\) homogén, mágneses térben.
A két rúd együttes ellenállása legyen \(R\) és a sinek közötti távolság
\(d\). Hogyan mozognak a a rudak?
A hurokban indukált feszültség $$U = -\frac{d \Phi}{dt} = -(v_2 - v_1)Bd\;,$$ melynek hatására \(I = U/R\) áram folyik a fémrudak és a sín alkotta hurokban. A rudakra a sebességükkel ellentétes irányú \(F = IdB\) Lorentz erő hat. A mozgásegyenleteket a következő alakban írhatjuk fel: $$\begin{aligned} m\ddot{x}_1 &=& -\alpha (v_1 - v_2) \\ m\ddot{x}_2 &=& -\alpha (v_2 - v_1) \;, \end{aligned}$$ ahol \(\alpha = \frac{d^2B^2}{R}\). A gyorsulásokat fejezzük ki a sebesség deriváltjaként: $$\begin{aligned} m\dot{v}_1 &=& -\alpha (v_1 - v_2) \\ m\dot{v}_2 &=& -\alpha (v_2 - v_1) \;. \end{aligned}$$
Feladat
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet az
\(y(0)=1\), \(\dot{y}(0)=0\) és
\(\ddot{y}(0)=1\) kezdőfeltételekkel: $$\dddot{y} = y \;.$$